REGULARISASI SISTEM SINGULAR DENGAN OUTPUT UMPAN BALIK u = Fy + v (Regularization of a Singular System by Feedback Output u = Fy + v )

Transkripsi

1 arekeng Juni 7 hal3-37 Vol No RGULARISASI SISM SINGULAR DNGAN OUPU UMPAN ALIK u Fy + v Regularization of a Singular System y Feedack Output u Fy + v LVINUS RIHARD PRSULSSY Jurusan Matematika FMIPA Universitas Pattimura Amon Jl Ir M Putuhena Kampus Unpatti Amon ASRA AD as a singular system is given A and are real constant matrices if I I is a identify matrix then A is a normal system A unique solution of a singular system exists if A is regular A singular system which is regular and the index is not more than one can e simplified to a normal system he regularization of a singular system y feedack output u Fy + v is investigated in this paper Furthermore a sufficient and necessary condition of the existence of F such that A+F is regular and the index is not more than one is represented Keywords : singular system regular system normal system PNDAHULUAN Dierikan sistem linier singular time invariant x t A x t + u t y t x t n dengan variael state m p u t R variael output t R nxm R x t R variael input y nxn A R pxn R da n p n Sistem A ksistensi ketunggalan penyelesaian dari A regular dapat ditulis seagai sistem terjamin jika matriks pencil yaitu terdapat skalar α sehingga α A Menurut Dai 989:7 kondisi yang diperlukan agar A regular adalah dapat ditemukannya dua matriks matriks tak singular Q P yang memenuhi QP diag I N QAP diag n A I n n n A nxn denga + R da N R xn adalah matriks nilpoten erindeks h yaitu h h N N Indeks sistem dilamangkan dengan ind A didefinisikan seagai indeks matriks N Dierikan umpan alik erentuk u Fy + v 3 Jika 3 disusitusikan ke diperoleh sistem x A + F x + v dengaatriks pencil A + F 4 Sistem yang regular erindeks tidak leih x t x t P dengan x t dari mempunyai penyelesaian x At A t τ t e x e u τ x + dτ t u t syarat awal x x Selanjutnya akan ditinjau suatu kondisi yang menjamin eksistensi matriks F sehingga A + F regular ind A + F LANDASAN ORI Jika A adalah matriks erukuraxn dengan rank r a maka terdapat S A yaitu matriks yang kolomkolomnya memangun ruang null A S A merupakan matriks dengan rank kolom penuh Untuk matriks A terdapat R S sedemikian sehingga ra RAS Dapat dipilih S A S Inr a Defenisi Golderg 99: 39 Misalkan A matriks real erukura n ilangan real taknegatif σ diseut nilai singular dari m n matriks A jika ada vektor taknol u R v R sehingga Av σu Au σ v eorema Golderg 99: 395 Jika A matriks real erukura aka terdapat m m matriks orthogonal U R V R sedemikian hingga A USV m n dengan S R erentuk S diag diag σ σ σ3 σ r dimana σ σ σr adalah nilai-nilai singular dari A Lemma 3 hu etal 998

2 arekeng Vol 7 RGULARISASI SISM SINGULAR ind A Matriks pencil A regular jika hanya jika rank AS [ ] Lemma 4 hu etal 998 Jika R R n rank r n maka terdapat matriks-matriks orthogonal Q U V sedemikian hingga UV UQ rxr e + r re dengan R mempunyai rank kolom re r x re r penuh R rxr R adalah matriks diagonal definit positif Regularisasi Sistem Singular dengan Output Umpan alik u Fy + v Jika re rank [ ] rec rank r rank rec rank maka generalisasi dari Lemma 4 adalah eorema 3 Dierikan R R R erdapat matriks-matriks orthogonal U V Q W sedemikian hingga 3 UV 3 4 UQ WV 3 Dengan matriks yang masing-masing erukuran r r x r r r + r r x r + r r e e ec ec ec ec rec re x rec re penuh erukuran r r r r x r r 3 matriks dengan rank aris + e ec e ec ec e adalah matriks taksingular erukuran px r r r xr e adalah matriks erukuran ukti : Dierikan R R Menurut Lemma 4 terdapat matriks-matriks orthogonal U V Q yang masing-masing erukuraxn nxn daxm sehingga UV UQ dengan rxr e + r re R matriks dengan rank kolom re r xr e r penuh R rxr R Misalkan V V V dengan nx re r V e V nx n r + r e V dengan e rxn r + r px n r + r Menurut Lemma 4 terdapat matriks orthogonal U erukuran r xr V matriks n r + r x n r + r e e W matriks pxp sehingga V U 3 3 atau U V V U atau WV dengaatriks mempunyai rank kolom penuh erukuran rank x rank + rank rank matriks erukuran rank x rank Jika diamil y rank rank z rank y rank y

3 34 PRSULSSY RGULARISASI SISM SINGULAR yxy z xz maka adalah matriks-matriks diagonal definit positif z xy matriks dengan rank kolom penuh U diag I U I U Jadi jika diamil V V diag I V maka UV U UV V I 3 U UV 3 4 UQ U UQ I U I U Karena U orthogonal taksingular maka U taksingular erukuran r xr 3 Selanjutnya WV WV V dengan WV matriks erukuran px r r e Karena rec rank U V rank I Q rank V rank rank + rank + rank z rank r r r r r r maka c ec e ec e Karena UV erakiat r e rank + rank Selanjutnya rank r e rank re re + r Diperoleh U r ec rank rank V I rank V rank + rank Akiatnya rank rec rank rec re + r Jadi diperoleh y rank rank r r + r r + r r + r r ec e ec e ec ec y rank y r r + r r r + r e e ec e ec r r r e ec ec Karakterisasi rank matriks + G dierikan oleh teorema erikut eorema 3 Jika R R R maka untuk searang ilangan ulat r yang memenuhi

4 arekeng Vol 7 RGULARISASI SISM SINGULAR 35 { } re rec rec r min re rec ada G R sehingga rank + G r Atau ekuivalen dengan rank + G \ G R S ec { } dimana Sec { r r Zre rec rec r re rec } min ukti : nxn Menurut teorema 3 untuk R R R terdapat matriks orthogonal U V Q W sehingga 3 ; UV 3 UQ 4 3 WV Untuk searang G R misalkan G G G Q GW maka G 3 G4 rank + G rank [ ] G rank [ UV I UQ] Q GW WV + G + G 3 + G rank 3 + G + G + G 4 + G 3 + G 3 G 3 Karena tak singular maka diperoleh rank + G rank + G G 3 Menurut teorema 3 rank re + r rank r + rec rec Akiatnya + G rank + G rank + rank + rank G 3 + G re + rec rec + rank G G Selanjutnya A+ G G dengan A erukuran r r x r r ec ec ec e 3 U Karena taksingular maka dipilih G U A U A 7 rec rec x rec re Dengan R adalah suatu matriks yang memenuhi i rank min r r r r Akiatnya dari G rank G 3 + ec ec ec e diperoleh rank A + U 3 A I rank A + I 3 3 rank A rank i 9 Akiatnya dari 8 9 diperoleh + G rank G 3 min r r r r ec ec ec e Dari 5 daisal r rank + G diperoleh rr r + r min r r r r e ec ec ec ec ec e Dengan kata lain r + r r r min r r r r e ec ec ec ec ec e Dierikan I I V V I I maka diperoleh : 8

5 36 PRSULSSY RGULARISASI SISM SINGULAR I I UV UV I I dengan I I WV WV I I A A A3 A4 A A A3 A 4 Selanjutnya UAV A3 A3 A A 34 A4 A4 A43 A A5 A5 A53 A 54 eorema 33 Jika rank [ ] rank n dengan S matriks yang kolomnya memangun ruang A4 3 A34 null dari maka A 54 4 A A54 masing-masing matriks dengan aris penuh rank kolom penuh ukti rank AS n maka Diketahui [ ] rank AVV S V rank U AVV S I Q rank UV AVV S UQ A4 3 A4 rank 3 A34 4 A 3 A54 n Karena R 3 taksingular dengan rank r rank re + r maka diperoleh rank R n A54 rank + rank A + rank R n 54 atau Akiatnya rank A54 n re atau A 54 matriks dengan rank aris penuh dengan A 54 matriks erukuran n r x n r e e AS Karena diketahui rank n maka AVV S rank U AVV S V rank W I UV UAVV S rank WV A4 3 A4 3 A 34 rank 4 A A54 n

6 arekeng Vol 7 RGULARISASI SISM SINGULAR 37 Karena tak singular maka A4 3 A4 3 A 34 rank 4 A n A54 A4 3 A34 Akiatnya rank n rank 4 A rank A54 nr r r Karena matriks ec e A A A A54 n p r r r x n r r r e ec ec e erukuran + + maka matriks terseut merupakaatriks dengan rank kolom penuh Selanjutnya kondisi yang menjamin eksistensi umpan alik u Fy + v dierikan oleh teorema erikut eorema 34 Dierikan A R R R n p m n p aka terdapat F R sedemikian sehingga A ind A _ F + F regular + jika hanya jika rank [ ] rank n S ukti Menurut Lemma 3 : A F A + _ F + regular ind rank A + F S n rank + FS n [ ] + [ ] rank AS F S n Menurut teorema 3 terdapat F sedemikian hingga rank AS + F S n memenuhi [ ] [ ] ekuivalen dengan n min rank [ ] rank S [ ] rank AS rank S rank S n Dari menyatakan ahwa n rank [ AS ] da rank S Karena erukuraxaka rank [ ] n rank n S erukti ahwa rank [ ] rank n S + KSIMPULAN Dari pemahasan di atas dapat diamil kesimpulan seagai erikut Untuk sistem singular x t Ax t + u t x t y t dengan A R R R m n p n r ec r e erlaku : terdapat matriks F R sedemikian sehingga A F regular ind A + _ F jika + AS rank rank n S hanya jika [ ] DAFAR PUSAKA hu D L han H Ho D W Regularization of Singular Systems y Derivative and Proportional Output Feedack SIAM J Matrix Anal Appl pp -38 ullen G 996 Matrices and Linear ransformations London : Addison-Wesley Pulishing ompany Dai L 989 Singular ontrol Systems Lecture Notes in ontrol and Information Sciences 8 erlin : Springer-Verlag Golderg J L 99 Matrix heory with Application United States of America: McGraw-Hill Inc Olsder G J 9 Mathematical System heory Netherlands : Delftse Uitgevers Maatschappij