IDEAL DIFERENSIAL DAN HOMOMORFISMA DIFERENSIAL. Na imah Hijriati, Saman Abdurrahman, Thresye

Transkripsi

1 DEAL DFEENSAL DAN HOMOMOFSMA DFEENSAL Na imah Hijriati, Saman Abdurrahman, Thresye Program Studi Matematika Universitas Lambung Mangkurat l. end. A. Yani Km. 36 Kampus Unlam Banjarbaru imah_math@yahoo.co.id ABSTAK deal diferensial adalah ideal dari ring diferensial yang memenuhi jika untuk setiap a, dan setiap, (a), sedangkan homomorfisma diferensial merupakan homomorfisma ring yang komutatif terhadap setiap derivasinya. Pada tulisan ini disajikan sifat-sifat dari ideal diferensial dan homomorfisma diferensial. Kata Kunci : ring diferensial, ideal diferensial, dan homomorfisma diferensial. ABSTACT Differential ideal is ideal of differential ring that if every a, and every, than (a), and differential homomorfism is ring homomorfism that every derivation is commute. n this paper, we explain about characteristic of differential ideal and differential homomorfism. Keyword : differential ring, ideal differential, and differential homomorfism. 1. PENDAHULUAN Suatu himpunan yang dilengkapi dengan dua operasi biner, yaitu operasi penjumlahan + dan operasi pergandaan., disebut ring jika dibawah operasi penjumlahan merupakan grup komutatif dan di bawah operasi pergandaan berlaku sifat assosiatif, serta memenuhi sifat distributif operasi pergandaan terhadap operasi penjumlahan. disebut ring komutatif jika dibawah operasi pergandaan komutatif. ika ring komutatif yang dengan elemen satuan dan { 1, 2,, m} merupakan himpunan derivasi berhingga yang komutatif atas, yaitu himpunan pemetaan dari ke yang memenuhi (f + g) = (f) + (g) dan (fg) = f (g) + (f)g untuk setiap f, g maka yang dilengkapi dengan membentuk strukur baru yang disebut ring diferensial (Morrison, 2002). Diketahui didalam suatu ring terdapat pembahasan mengenai ideal dan homomorfisma ring. deal adalah himpunan bagian yang merupakan grup terhadap operasi penjumlahan, dan tertutup terhadap operasi pergandaan atas ring tersebut, sedangkan dan homomorfisma ring adalah suatu pemetaan yang mengawetkan operasi penjumlahan dan operasi pergandaan. Kerena ring diferensial merupakan suatu ring, maka didalam ring diferensial terdapat juga ideal dan homomorfisma ring yang memiliki sifat tertentu yang disebut ideal diferensial dan homomorfisma ring diferensial. 20

2 2. TNAUAN PUSTAKA 2.1. NG Berikut ini diberikan definisi ring dan definisi ring komutatif sebagai berikut : Definisi (Adkins, 1992) Misalkan adalah himpunan dengan dua operasi biner, yaitu operasi penjumlahan + dan operasi pergandaan.. disebut ring jika : i. dibawah operasi penjumlahan adalah grup komutatif ii. dibawah operasi pergandaan berlaku sifat assosiatif iii. untuk setiap a, b, c berlaku sifat distributif kiri : a. (b + c) = a. b + a. c dan distributif kanan : (a + b). c = a. c + b. c Selanjutnya a. b ditulis dengan ab. Definisi (Dummit&Foote, 1999) Misalkan adalah ring. dikatakan ring komutatif jika dibawah operasi pergandaan bersifat komutatif dan dikatakan mempunyi elemen identitas jika terdapat 1 sedemikian sehingga berlaku 1.a = a.1 = a untuk setiap a DEAL Berikut ini definisi dari ideal beserta sifatnya : Definisi (Fraleigh, 2000) Diberikan himpunan bagian tak kosong dari ring. disebut ideal dari jika : i. untuk setiap a,b berlaku a b ii. untuk setiap a, dan untuk setiap r berlaku ra, ar Teorema (Dummit&Foote, 2002) ika dan ideal-ideal dari ring, maka berlaku dan + ideal-ideal dari. 2.3 NG FAKTO Diberikan ideal dari ring. Dibentuk himpunan { r r }. Didefinisikan operasi penjumlahan dan operasi pergandaan pada berturut-turut sebagai berikut : (r + ) + (s + ) = (r + s) + dan (r + )(s + ) = (rs) + (2.1) untuk setiap (r + ), (s + ) dengan r, s. Karena r, s dan diketahui adalah ring, maka berdasarkan definisi operasi penjumlahan dan operasi pergandaan di atas dan berdasarkan definisi himpunan, terbukti bahwa tertutup terhadap operasi penjumlahan dan operasi pergandaan yang didefinisikan pada persamaan (2.1). Himpunan merupakan ring terhadap operasi penjumlahan dan operasi pergandaan yang didefinisikan pada (2.1) dan dinyatakan di dalam teorema berikut ini : Teorema (Adkins, 1992) merupakan ring terhadap operasi penjumlahan dan operasi pergandaan yang didefinisikan (2.1). 21

3 2.4. HOMOMOFSMA NG Berikut ini adalah definisi dari homomorfisma ring Definisi (Fraleigh, 2000) Diberikan ring (, +,.) dan (S, +, *) dan pemetaan : S. Pemetaan disebut homomorfisma ring jika : i. f(a + b) = f(a) + f(b) ii. f(a. b) = f(a) * f(b). Definisi (Fraleigh, 2000) Misalkan dan S adalah ring, dan fungsi f : S merupakan homomorfisma ring. i. f disebut monomorfisma jika f fungsi injektif ii. f disebut epimorfisma jika f fungsi surjektif iii. f disebut isomorfisma jika f fungsi bijektif iv. f disebut endomorfisma jika = S v. f disebut automorfisma jika f fungsi bijektif dan = S Berikut ini definisi dari kernel dan image dari homomorfisma ring : Definisi (Adkins, 1992) Misalkan f : S homomorfisma ring. Didefinisikan kernel dan image dari f sebagai berikut: 1. Kernel (f) = Ker(f) = {r f(r) = 0, 0 unsur nol di S} 2. mage (f) = m(f) = f() = { s S s = f(r), untuk r } Teorema (Fraleigh, 2000) Suatu homomorfisma f dari ring ke ring S disebut monomorfisma jika dan hanya jika Ker (f) = 0. ika ideal dari maka akan selalu terdapat pemetaan dari ke yang merupakan epimorfisma dan kernelnya adalah, yang dinyatakan dalam teorema berikut ini : Teorema Homomorfisma Natural (Fraleigh, 2000) ika ideal dari ring, maka f : yang didefinisikan dengan f(r) = r +, merupakan epimorfisma dengan Ker(f) =. Selanjutnya akan diberikan Teorema somorfisma ing Pertama, Kedua dan Ketiga sebagai berikut : Teorema Teorema somorfisma ing Pertama (Dummit&Foote, 2002) ika f : S homomorfisma ring dengan Ker (f) =, maka ideal dari, f() subring dari S dan : f() yang didefinisikan dengan ( r ) f ( r ) merupakan homomorfisma natural, maka isomorfisma dan tunggal. Selanjutnya jika : = f. Teorema Teorema somorfisma ing Kedua (Dummit&Foote, 2002) Diberikan ring diferensial. ika dan adalah ideal-ideal dari maka ideal dari +, ideal dari, dan terdapat dengan tunggal isomorfisma dari. ke 22

4 Teorema Teorema somorfisma ing Ketiga (Dummit&Foote, 2002) ika dan adalah ideal-ideal dari ring dan maka ideal dari terdapat dengan tunggal isomorfisma dari ke. dan 2.5. NG DFEENSAL Definisi (Morrison, 2002) ring komutatif yang dengan elemen satuan dan { 1, 2,, m} merupakan himpunan derivasi berhingga yang komutatif atas, yaitu himpunan pemetaan dari ke yang memenuhi (f + g) = (f) + (g) dan (fg) = f (g) + (f)g untuk setiap f, g Definisi (Morrison, 2002) deal dari ring diferensial disebut ideal diferensial jika a,, (a). Definisi (Morrison, 2002) Diberikan dan S masing-masing ring diferensial. Pemetaan : S disebut homomorfisma diferensial jika merupakan homomorfisam ring dan komutatif terhadap setiap derivasinya. 3. METODE PENELTAN Penelitian ini merupakan penelitian studi literatur, dengan langkah-langkah prosedur yang digunakan adalah pertama mengumpulkan beberapa pustaka yang berhubungan dengan ring diferensial, ideal diferensial dan homomorfisma diferensial, kedua mempelajari definisi dan sifat-sifat ring, ideal, homomorfisma ring, dan derivasi yang mendasari sifat-sifatnya ideal diferensial dan homomorfisma diferensial, ketiga membuktikan sifat-sifat dari ideal diferensial dan homomorfisma diferensial, dan terakhir menarik kesimpulan. 4. HASL DAN PEMBAHASAN 4.1. DEAL DFEENSAL Berdasarrkan Definisi diketahui bahwa suatu ideal diferensial dari ring diferensial dengan derivasi, merupakan suatu ideal yang memenuhi sifat (a) untuk setiap a dan untuk setiap, sehingga sifat sifat dari ideal yang dinyatakan dalam Teorema dapat diturunkan pada ideal diferensial, yaitu : Teorema Diberikan ideal-ideal diferensial dan dari ring diferensial dengan derivasi, maka dan + merupakan ideal diferensial i. Berdasarkan Teorema diketahui jika dan ideal dari maka merupakan ideal dari, sehingga untuk membukikan merupakan ideal diferensial cukup ditunjukkkan (a), untuk setiap a dan untuk setiap. Diberikan sebarang a maka a dan a. Karena diketahui dan berturutturut merupakan ideal diferensial maka (a) dan (a) umtuk setiap, sehingga diperoleh (a). adi terbukti merupakan ideal diferensial. ii. Berdasarkan Teorema diketahui jika dan ideal dari maka + merupakan ideal dari, sehingga untuk membukikan + merupakan ideal diferensial cukup ditunjukkkan (a) +, untuk setiap a +. 23

5 Diberikan sebarang a + maka terdapat b dan c sedemikian sehingga a = b + c. Dengan menggunakan definisi derivasi diperoleh untuk setiap (a) = (b +c) = (b) + (c). Karena diketahui dan berturut-turut merupakan ideal diferensial maka (b) dan (c), akibatnya (a) +. adi terbukti + merupakan ideal diferensial. Selanjutnya suatu ideal dari ring komutatif sedemikian sehingga berlaku sifat jika a n maka a, disebut ideal radikal, akibatnya jika merupakan ideal diferensial dari ring diferensial maka disebut ideal diferensial radikal. Berikut ini beberapa sifatsifat yang berkaitan dengan ideal diferensial radikal : Lemma Diberikan ideal diferensial radikal dari ring diferensial dengan himpunan derivasi berhingga. ika ab maka a (b) dan (a)b, untuk a, b dan untuk setiap Bukti Diketahui ab, karena ideal diferensial maka (ab), untuk setiap dengan (ab) = (a)b + a (b) a (b) = (ab) (a)b dan (a)b = (ab) a (b), sehingga a (b) (ab), ( (a) (b))(ab). Akibatnya karena (a (b)) 2 = a (b)( (ab) (a)b) = a (b) (ab) a (b) (a)b = a (b) (ab) (a) (b)ab ( (a)b) 2 = (a)b( (ab) a (b)) = (a)b( (ab) (b)ba (b) = (a)b( (ab) ( (a) (b))ab maka (a (b)) 2, ( (a)b) 2, sehingga karena diketahui ideal radikal maka diperoleh a (b), (a)b. Lemma Diberikan ideal diferensial radikal dari ring diferensial dan S sebarang himpunan bagian dari. ika didefinisikan T = {x xs }, maka T ideal diferensial radikal dari. Himpunan T = {x xs } merupakan himpunan tak kosong karena terdapat 0 sedemikian sehingga 0s = 0, sehingga untuk membuktikan T ideal diferensial radikal jika T ideal yang memenuhi (x) T untuk setiap x T, setiap dan jika x n T maka x T. i. Himpunan T disebut ideal jika T subgrup terhadap opersai penjumlahan dan memenuhi rx, xr T untuk setiap x T dan r. a. Akan dibuktikan T subgrup dari yaitu untuk setiap x,y T berlaku x y T (x y)s Ambil sebarang x, y T maka xs, ys. Karena (x y)s = xs ys untuk setiap s S maka karena xs, ys dan diketahui ideal dari diperoleh xs ys untuk setiap s S, akibatnya (x y)s untuk setiap s S. adi (x y)s x y T b. Akan dibuktikan rx, xr T untuk setiap x T dan r Ambil sebarang r dan x T maka xs. Karena (rx)s = r(xs) dan (xr)s = (rx)s = r(xs) untuk setiap s S maka karena xs dan diketahui ideal dari diperoleh r(xs) untuk setiap s S, akibatnya (rx)s, (xr)s untuk setiap s S. adi rxs, xrs rx, xr T adi berdasarkan (a) dan (b) terbukti T ideal dari ii. Akan dibuktikan (x) T untuk setiap x T dan untuk setiap 24

6 Ambil sebarang x T maka xs xs untuk setiap s S. Andaikan (x) T untuk setiap. Karena diketahui ideal difernsial maka jika xs maka (xs). Selanjutnya karena diketahui ideal diferensial radikal maka berdasarkan Lemma diperoleh (x)s (x) T. Akibatnya kontradiksi dengan (x) T. adi terbukti (x) T untuk setiap x T dan untuk setiap. iii. Akan dibuktikan jika x n T maka x T Ambil sebarang x dengan x n T. Karena (xs) n = x n s n = (x n s n 1 )s untuk setiap s S dan diketahui ideal diferensial radikal maka xs untuk setiap s S, sehingga x T. adi terbukti T ideal radikal Berdasarkan (i), (ii), dan (iii) terbukti bahwa T ideal diferensial radikal HOMOMOFSMA DFEENSAL ika ideal dari ring maka berdasarkan Teorema dapat dibentuk ring faktor. ika didefinisikan derivasi pada dengan ideal diferensial dari ring diferensial dengan himpunan derivasi berhingga sebagai berikut : (a + ) = (a) + (4.1) untuk setiap a + dan untuk setiap, maka merupakan ring diferensial yang dinyatakan dalam lemma berikut ini : Lemma ika ideal diferensial dari ring diferensial maka ring faktor diferensial dengan derivasi yang didefinisikan pada persamaan (4.1) Karena diketahui merupakan ring faktor terhadap operasi pergandaan dan penjumlahan yang didefinisikan pada persamaan (2.1), maka untuk membuktikan ring diferensial cukup dibuktikan (i). ((a + ) + (b + )) = (a + ) + (b + ) (ii). ((a + )(b + )) = ( (a + ))(b + ) + (a + )( (b + )) untuk setiap a +, b + dan untuk setiap. (i). Akan dibuktikan ((a + ) + (b + )) = (a + ) + (b + ) Diberikan sebarang a +, b + / dan sebarang, maka berlaku : ((a + ) + (b + )) = ((a + b) + ) = (a + b) + = (a) + (b) + = (a) + + (b) + = (a + ) + (b + ) (ii). Akan dibuktikan ((a + )(b + )) = ( (a + ))(b + ) + (a + )( (b + )) ((a + )(b + )) = ((ab) + ) = (ab) + = ( (a)b + a (b)) + = (a)b + + a (b) + = ( (a) + )(b + ) + (a + )( (b) + ) = ( (a + ))(b + ) + (a + )( (b + )) adi terbukti merupakan ring diferensial. Berdasarkan Definisi diketahui bahwa suatu homomorfisma diferensial ring adalah homomorfisma ring yang komutatif terhadap derifasinya, yaitu jika homomorfisma diferensial ring dari ring diferensial (, 1 ) ke ring diferensial (S, 2 ), maka 1 (a) = 2 (a) untuk setiap a. Akibatnya beberapa sifat dari homomorfisma ring yang dinyatakan dalam Teorema 2.4.8, dapat diturunkan pada homomorfisma diferensial ring, yaitu : 25

7 Teorema Diberikan homomorfisma diferensial ring dari ring diferensial ring diferensial (, 1 ) ke ring diferensial (S, 2 ), maka berlaku i. Ker ( ) = {a (a) = 0 S, 0 S S} merupakan ideal diferensial dari ii. () = { (a) a } merupakan subring diferensial dari S i. Berdasarkan Teorema terbukti bahwa Ker( ) merupakan ideal dari ring 1, sehingga untuk membuktikan Ker( ) ideal diferensial cukup ditunjukkan 1 (a) Ker( ) untuk setiap a Ker( ) jika dan hanya jika ( 1 (a)) = 0 S. Ambil sebarang a Ker( ), maka (a) = 0 S, sehingga ( 1 (a)) = 2 ( (a)) = 2 (0 S ) = 0 S. adi 1 (a) Ker( ), sehingga terbukti Ker( ) merupakan ideal diferensial dari ring. ii. Berdasarkan Teorema terbukti bahwa () merupakan subring dari S, sehingga untuk membuktikan () subring diferensial cukup ditunjukkan 2 (a + b) = 2 (a) + 2 (b) dan 2 (ab) = 2 (a)b + a 2 (b) untuk setiap a,b (). Ambil sebarang a,b (), maka terdapat x, y dengan (x) = a dan (y) = b. (a). 2 (a + b) = 2 ( (x) + (y)) = 2 ( (x + y)) = ( 1 (x + y)) = ( 1 (x) + 1 (y)) = ( 1 (x)) + ( 1 (y)) = 2 ( (x)) + 2 ( (y)) = 2 (a) + 2 (b) (b). 2 (ab) = 2 ( (x) (y)) = 2 ( (xy)) = ( 1 (xy)) = ( 1 (x)y + x 1 (y)) = ( 1 (x)y) + (x 1 (y)) = ( 1 (x)) (y) + (x) ( 1 (y)) = 2 ( (x))b + a 2 ( (y)) = 2 (a)b + a 2 (b). Berdasarkan (a) dan (b) terbukti () subring diferensial dari S. Teorema Diberikan ring diferensial dengan derivasi dan ideal diferensial dari dan didefinisikan homomorfisma ring natural dari ke dengan (a) = a +. ika didefinisikan ( (a)) = (a) + untuk setiap a, maka merupakan homomorfisma diferensial. Ambil sebarang a, maka (a) = a +, sehingga berlaku ( (a)) = (a) + = (a + ) = ( (a)). adi terbukti merupakan homomorfisma diferensial. Sama hal nya dengan homomorfisma ring, pada suatu homomorfisma diferensial ring disebut berturut-turut disebut monorfisma, epimorfisma, dan isomorfisma, jika berturut-turut adalah injektif, surjektif, dan bijektif. ika bijektif dan merupakan pemetaan dari dan ke dirinya sendiri disebut automorfisma. Selanjutnya karena isomorfisma diferensial merupakan isomorfisma ring, maka Torema Pertama, Kedua dan Ketiga somorfisma berlaku pada isomorfisma diferensial, yang dinyatakan dalam teorema-teorema berikut ini : Teorema (Teorema somorfisma Diferensial Pertama) Diberikan homomorfisma diferensial : S dan kernel dari homomorfisma diferensial yang didefinisikan atas ring diferensial, maka ideal diferensial dari dan terdapat isomorfisma diferensial dari ke image. Diketahui : S homomorfisma diferensial dan = Ker dan berdasarkan Teorema terbukti bahwa ideal diferensial. 26

8 ing diferensial isomorfik diferensial dengan (r) jika terdapat suatu pemetaan dari ke (r) yang merupakan homomorfisma diferensial dan bijektif. Berdasarkan Teorema yang merupakan Teorema somorfisma ing Pertama dan Teorema 4.2.3, maka terdapat suatu isomorfisma ring : () yang didefinisikan dengan (r + ) = (r) untuk setiap r + dan r. Sehingga untuk menunjukkan isomorfik diferensial dengan (r), cukup ditunjukkan (r + ) = (r + ) untuk setiap. Ambil sebarang r +, maka ( (r + )) = ( (r)) = ( (r)) = ( (r) + ) = ( (r + )) adi terbukti : () isomorfisma atau dengan kata lain isomorfik diferensial dengan (r). Teorema (Teorema somorfisma Diferensial Kedua) Diberikan ring diferensial. ika dan adalah ideal diferensial-ideal diferensial dari maka ideal diferensial dari +, ideal diferensial dari, dan terdapat dengan tunggal isomorfisma diferensial dari ke. Karena untuk setiap a berlaku a = a + 0 dengan 0, maka a +, sehingga + dan diketahui ideal diferensial, jadi terbukti ideal diferensial dari +. Selanjutnya berdasarkan Teorema terbukti bahwa merupakan ideal diferensial, karena maka merupakan ideal diferensial dari. Akibatnya dapat dibentuk ring faktor diferensial dan. Berdasarkan Teorema yang merupakan Teorema Kedua somorfisma ring, maka terdapat dengan tunggal isomorfisma : yang memenuhi = dengan epimorfisma dari ke, Ker = dan homomorfisma natural dari ke yang berdasarkan Teorema merupakan homomorfisma diferensial. Sehingga untuk membuktikan homomorfisma diferensial cukup ditunjukkan dan homomorfisma diferensial. i. diberikan sebarang r dan, maka berlaku ( (r)) = (r + ) = (r) + = ( (r)). ii. Diberikan sebarang r + ( ) dan, maka berlaku ( ( r + ( ))) = ( ( (r))) = ( (r)) = ( (r)) = ( ( (r))) = ( (r) + ( ))) = ( (r + ( ))) adi berdasarkan (i) dan (ii) terbukti homomorfisma diferensial. Akibatnya terbukti bahwa isomorfisma diferensial. Teorema (Teorema somorfisma Diferensial Ketiga ika dan berturut-turut adalah ideal diferensial dari ring diferensial dan maka terdapat dengan tunggal isomorfisma diferensial dari ke 27

9 Diketahui dan merupakan ideal-ideal diferensial dari, sehingga berdasarkan Lemma dapat dibentuk ring faktor diferensial dan, dan diketahui pula bahwa, sehingga dapat dibentuk ring faktor diferensial. Selanjutnya karena setiap r + dengan r dan diketahui ideal dari, maka r +, sehingga merupakan ideal diferensial dari. Berdasarkan Teorema yang merupakan Teorema somorfisma ing Ketiga maka terdapat dengan tunggal isomorfisma : yang memenuhi = dengan epimorfisma dari ke, Ker = dan homomorfisma natural dari ke yang berdasarkan Teorema merupakan homomorfisma diferensial. Sehingga untuk membuktikan homomorfisma diferensial cukup ditunjukkan dan homomorfisma diferensial. i. diberikan sebarang r + dan, maka berlaku ( (r + )) = (r + ) = (r) + = ( (r) + ) = ( (r + )). ii. Diberikan sebarang r + dan, maka berlaku ( ( r + )) = ( ( (r + ))) = ( (r + )) = ( (r + )) = ( ( (r + ))) = ( ( (r) + ))) = ( (r) + ) = ( (r + )). adi berdasarkan (i) dan (ii) terbukti homomorfisma diferensial. Akibatnya terbukti bahwa isomorfisma diferensial. 5. KESMPULAN Berdasarkan hasil dan pembahasan dapat diambil kesimpulan bahwa setiap sifat yang berlaku pada ideal dan homomorfisam ring, dapat diturunkan pada ideal diferensial dari ring diferensial dan homomorfisam diferensial yaitu : 1. ika dan ideal diferensial dari ring diferensial, maka dan + merupakan ideal diferensial. ika ideal diferensial radikal dari ring diferensial dengan himpunan derivasi berhingga, maka berlaku jika ab maka a (b) dan (a)b, untuk a, b dan untuk setiap 2. Diberikan ideal diferensial radikal dari ring diferensial dan S sebarang himpunan bagian dari. ika didefinisikan T = {x xs }, maka T ideal diferensial radikal dari. 3. Kernel dari homomorfisma diferensial merupakan ideal diferensial, dan image dari homomorfisma diferensial merupakan subring diferensial dari S 4. Diberikan ring diferensial dengan derivasi dan ideal diferensial dari dan didefinisikan homomorfisma ring natural dari ke dengan (a) = a +. ika didefinisikan ( (a)) = (a) + untuk setiap a, maka merupakan homomorfisma diferensial. 28

10 5. Diberikan homomorfisma diferensial : S dan kernel dari homomorfisma diferensial yang didefinisikan atas ring diferensial, maka ideal diferensial dari dan terdapat isomorfisma diferensial dari ke image 6. Diberikan ring diferensial. ika dan adalah ideal diferensial-ideal diferensial dari maka ideal diferensial dari +, ideal diferensial dari, dan terdapat dengan tunggal isomorfisma diferensial dari ke 7. ika dan berturut-turut adalah ideal diferensial dari ring diferensial dan maka terdapat dengan tunggal isomorfisma diferensial dari ke DAFTA PUSTAKA [1] Adkins, A.W. and S.H Weintraub, 1992, Algebra: An Approach via Module Theory, Springer-Verlag, New York. [2] Dummit, D.S.&ichard M.F., 2002, Abstract Algebra, honwiley&sons, nc., Singapura [3] Fraleigh,.B., 2000, A First Course in Abstract Algebra, Addison-Wasley Publishing Company, New York [4] Morrison, Sally, 2002, Differential Polynomial Algebra in Characteristic Zero, Kolchin Seminar in Differential Algebra 29