MODUL HASIL BAGI DARI SUATU MODUL DEDEKIND

Transkripsi

1 MODUL HASIL BAGI DARI SUATU MODUL DEDEKIND Erlina Tri Susianti 1) Santi Irawati 2) Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Negeri Malang. Abstrak: Gelanggang hasil bagi dan modul hasil bagi merupakan dua konsep yang saling berkaitan. Dari suatu gelanggang komutatif R, dapat dikonstruksi suatu lokalisasi RS di mana S merupakan himpunan multiplikatif dari semua unsur regular di R. Berdasarkan ide tersebut, dari suatu R-modul M akan dikonstruksi suatu lokalisasi modul hasil bagi MS = [m, s] m M, s S dengan S R merupakan himpunan multiplikatif. Artikel ini akan mengkaji konstruksi modul hasil bagi MT dengan T t S tm = 0, untuk suatu m M m = 0 dan M adalah suatu modul atas gelanggang komutatif R. M adalah R-modul Dedekind, jika setiap submodul tak nol dari M mempunyai balikan di M. Kesimpulan yang didapat dari konstruksi ini adalah bahwa modul hasil bagi dari suatu R-modul Dedekind merupakan suatu RT -modul Dedekind. Selanjutnya, artikel ini dilengkapi dengan contoh sebagai ilustrasi. Kata kunci: modul, gelanggang hasil bagi, modul hasil bagi, modul Dedekind. Dalam bidang aljabar, dikenal suatu sistem matematika yaitu modul. Pembahasan mengenai modul tidak lepas dari struktur grup dan gelanggang. Modul yang terbatas pada daerah Dedekind disebut dengan modul Dedekind. Pembahasan konsep daerah Dedekind ke dalam area teori modul telah diperkenalkan oleh Naoum dan Al-Alwan (dalam Garminia dkk.: 2008). Konsep tersebut membuka jalan untuk penelaahan sifat-sifat yang berkaitan dengan modul Dedekind atas gelanggang komutatif. Robson (dalam Garminia dkk.: 2008) telah memperumum konsep daerah Dedekind menjadi gelanggang prima Dedekind. Misalkan R adalah gelanggang prima Dedekind maka gelanggang hasil baginya juga merupakan gelanggang prima Dedekind (Goodearl, 1974). Oleh karena itu, sangat relevan untuk membahas perluasan sifat gelanggang prima Dedekind tersebut di area teori modul atas gelanggang komutatif. Khususnya, membahas apakah struktur modul hasil bagi dari suatu modul Dedekind juga merupakan modul Dedekind. Garminia dkk. (2008) telah membuktikan struktur modul hasil bagi dari modul Dedekind adalah suatu modul Dedekind. Pada artikel ini akan dikaji ulang konstruksi modul hasil bagi dari suatu modul Dedekind dengan pendekatan yang berbeda disertai dengan contohnya. Artikel ini akan dimulai dengan notasi dan pengertian yang berkaitan dengan modul Dedekind. Selanjutnya akan dibahas modul hasil bagi dari suatu modul Dedekind yang merupakan hasil utama dari tulisan ini. Pembuktian hasil utama ini melalui konsep submodul dari modul hasil baginya. Artikel ini ditutup dengan kesimpulan dan masalah terbuka yang dapat dikembangkan untuk penelitian selanjutnya. HASIL DAN PEMBAHASAN Misalkan R merupakan suatu gelanggang komutatif dan S adalah suatu himpunan multiplikatif dari semua unsur regular R. Lokalisasi dari R atas S merupakan suatu gelanggang komutatif, RS dengan unsur satuan dan suatu monomorfisma gelanggang φ: R RS sehingga untuk semua a RS ada b R dan c S sehingga φ(c) adalah 1) Erlina Tri Susianti adalah mahasiswa Jurusan Matematika Universitas Negeri Malang. 2) Santi Irawati adalah dosen Jurusan Matematika Universitas Negeri Malang.

2 unit di RS dan a = φ(b)φ(c) (Adkind, 1999). Berdasarkan Matsumura (1986), lokalisasi ini kemudian disebut sebagai gelanggang hasil bagi. Sedangkan suatu daerah integral R dimana setiap ideal tak nol dari R mempunyai balikan adalah daerah Dedekind (gelanggang Dedekind). Modul Dedekind Pertama akan disajikan beberapa notasi yang akan digunakan dalam tulisan ini. Notasi R menyatakan gelanggang komutatif. Misalkan M adalah suatu R-modul tak nol, S adalah himpunan yang terdiri dari unsur reguler R, dan T t S tm = 0, untuk suatu m M m = 0. Selanjutnya, T adalah himpunan bagian multiplikatif dari S dan RT merupakan gelanggang bagian RS (Passman, (1991). Untuk selanjutnya, pada tulisan ini, T menyatakan himpunan multiplikatif seperti yang telah didefinisikan di atas. Teorema 1 (Garminia, dkk, 2008:114) Misalkan M adalah suatu R-modul dan N adalah suatu R-submodul tak nol dari M. Himpunan N x RT xn M adalah suatu R-modul dan N N M. Definisi 1 (Garminia, dkk, 2008:114) Misalkan M adalah suatu R-modul dan N merupakan submodul tak nol dari M. Himpunan N = x RT xn M dikatakan submodul yang mempunyai balikan di M, jika N N = M. Sebagai contoh, modul 4Z adalah Z-modul bagian yang dapat dibalik di 2Z. Definisi 2 (Garminia, dkk, 2008:114) Misalkan M adalah suatu R-modul. M adalah R-modul Dedekind, jika setiap submodul tak nol dari M mempunyai balikan di M. Sebagai contoh, M 2 Z = a b a, b, c, d Z merupakan suatu Z-modul Dedekind dan c d Q merupakan suatu Z-modul Dedekind dan gelanggang. Sedangkan, Z 4 bukan Z-modul Dedekind, karena ada P = 0, [2] suatu Z-submodul tak nol dari Z 4 tetapi tidak mempunyai balikan di Z 4. Modul Hasil Bagi dari Modul Dedekind Teorema 2 (Goodearl, 1974) Jika R adalah gelanggang prima Dedekind dan S adalah himpunan dari semua unsur reguler di R, maka RS = [r, s] r R, s S merupakan suatu gelanggang prima Dedekind.

3 Selanjutnya, pembahasan utama dalam artikel ini adalah menunjukkan bahwa modul hasil bagi dari modul Dedekind merupakan modul Dedekind dengan langkah-langkah pengkonstruksian modul hasil bagi sebagai berikut: Misalkan R adalah suatu gelanggang komutatif dengan unsur satuan, S adalah himpunan multiplikatif dari semua unsur reguler di R, M adalah suatu R-modul, dan T = t S tm = 0, untuk suatu m M m = 0. Pada M T, didefinisikan suatu relasi ekivalen yaitu untuk sebarang (m, s) dan (m 1, s 1 ) M T, m, s ~ m 1, s 1 ms 1 = sm 1 maka relasi ini merupakan relasi ekivalen. Selanjutnya didefinisikan kelas ekivalen dari (m, s), ditulis [m, s], dengan m, s = (a, b) M T m, s ~(a, b), dan Didefinisikan himpunan MT = m, s m M, s T dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar pada MT sebagai berikut. m, s + m 1, s 1 = ms 1 + sm 1, ss 1 r, t m, s = [rm, ts] Selanjutnya dapat ditunjukkan bahwa MT adalah suatu RT -modul. Definisikan monomorfisma R-modul, φ: M MT dengan pengaitan φ(m) [mu, u], m Mdan u unit. MT dinamakan R-modul hasil bagi dari M oleh T. Misalkan m, s MT. Untuk selanjutnya, m, s dituliskan dengan ms. Proposisi 1 (Garminia dkk., 2008:11) Misalkan M adalah suatu R-modul dan N adalah suatu R-submodul dari M, maka Bukti: NT adalah suatu RT -submodul dari MT. 1. NT 0 = 0.1 = 0. 1 NT, dengan 0 N, 1 T. Jadi, NT. 2. NT MT Ambil sebarang x NT. Akan ditunjukkan x MT. x NT x = nt, untuk suatu n N, t T. N adalah suatu R-submodul dari M N M. Karena N M, maka n M. Sehingga x = nt, untuk suatu n M, t T. Jadi, x MT Karena untuk sebarang x NT berlaku x MT, maka diperoleh NT MT. 3. Ambil sebarang n 1 t 1, n 2 t 2 NT. Akan ditunjukkan n 1 t 1 + n 2 t 2 NT. Misalkan n j t j = m j t, untuk suatu m j n j R, j = 1, 2.

4 n j R N Ambil sebarang m j n j R. Akan ditunjukkan m j N. m j n j R m j = n j r, untuk suatu r R. Karena n j N, r R, dan N adalah suatu R-submodul M, maka m j = n j r N. Oleh karena itu, n 1 t 1 + n 2 t 2 = m 1 t + m 2 t = (m 1 + m 2 )t NT 4. Ambil sebarang n 1 t 1 NT dan rt RT. Akan ditunjukkan n 1 t 1 (rt ) NT. Karena R merupakan gelanggang komutatif, maka t 1 r T R = RT. Maka t 1 r = r 2 t 2, untuk suatu r 2 R, t 2 T. Sehingga diperoleh n 1 t 1 rt = n 1 t 1 r t = n 1 r 2 t 2 t = (n 1 r 2 ) t 2 t = (n 1 r 2 ) t 2 t NT Jadi, NT adalah suatu RT -submodul dari MT. Proposisi 2 (Garminia dkk., 2008:116) maka Bukti: Misalkan M adalah suatu R-modul dan X adalah suatu RT -submodul dari MT, i. X M merupakan suatu R-submodul dari M, dan ii. X = X M T = X M RT. Akan ditunjukkan X M merupakan suatu R-submodul dari M. 1. X M 0 = 0.1 = 0. 1 X dan 0 M. Jadi, X M. 2. X M M Jelas bahwa X M M. 3. Ambil sebarang m 1, m 2 X M. Akan ditunjukkan m 1 + m 2 X M. m 1 X M m 1 X dan m 1 M. m 2 X M m 2 X dan m 2 M. Karena X adalah RT -submodul dari MT, maka m 1 + m 2 X. Karena M adalah R-modul, maka m 1 + m 2 M. Oleh karena itu, m 1 + m 2 X M.

5 4. Ambil sebarang m 1 X M dan r R. Akan ditunjukkan m 1 r X M. m 1 X M m 1 X dan m 1 M. r R r = r. 1 = r. 1 RT. Karena X adalah RT -submodul dari MT, m 1 X dan r RT, maka m 1 r X. Karena M adalah R-modul, m 1 X dan r R, maka m 1 r M. Oleh karena itu, m 1 r X M. Jadi, X M adalah suatu R-submodul dari M. X = X M T = X M RT. Akan ditunjukkan X = X M T. 1. Akan ditunjukkan X X M T. Ambil sebarang x X. Akan ditunjukkan x X M T. x X x = mt, untuk suatu m M dan t T. t = 1. t RT. Karena m M, t T, t RT, dan X adalah RT -modul, maka diperoleh m = m. 1 = mt t X. Sehingga kita peroleh x = mt X M T. Jadi, X X M T. 2. Akan ditunjukkan X M T X. Ambil sebarang y X M. Akan ditunjukkan y X. y X M T y = mt, untuk suatu m X M dan t T. - m X M X - Karena t = 1. t RT dan X adalah RT -submodul dari MT, maka y = mt X. Jadi, X M T X. Karena terbukti bahwa X X M T dan X M T X, maka X = X M T. Akan ditunjukkan X M T = X M RT. 1. Akan ditunjukkan X M T X M RT. Ambil sebarang p X M T. Akan ditunjukkan p X M RT. p X M T p = mt, untuk suatu m X M, t T. t = 1. t RT. Oleh karena itu, p = mt = m(1. t ) X M RT. Jadi, X M T X M RT.

6 2. Akan ditunjukkan X M RT X M T. Ambil sebarang q X M RT. Akan ditunjukkan q X M T. q X M RT q = m(rt ), untuk suatu X M, r R, t T. Karena X M adalah suatu R-submodul dari M, maka mr X M. Oleh karena itu, q = m rt = (mr)t X M T. Jadi, X M RT X M T. Karena terbukti X M T X M RT dan X M RT X M T, maka X M RT = X M T. Teorema 3 (Garminia, 2008:11) Jika M adalah R-modul Dedekind, maka MT yang didefinisikan di atas merupakan RT -modul Dedekind. Bukti: Akan ditunjukkan untuk setiap RT -submodul dari MT, mempunyai balikan di MT. Ambil sebarang RT -submodul tak nol L dari MT. Akan ditunjukkan L mempunyai balikan di MT. Berdasarkan Proposisi 2, L M adalah R-submodul dari M dan L = L M T. Bentuk N = x RT x L M M sehingga, N L M = M. N L M M Ambil sebarang x N L M. Akan ditunjukkan x M. x N L M x = n l, dengan n N dan l L M. n N n RT, n L M M x = n l n L M M. N L M M. M N L M Ambil sebarang x M. Akan ditunjukkan x N L M. m = 1. m N L M dengan 1 N Karena 1 = 1. 1 RT dan 1 L M M, maka 1 N. m L M m = 1. m = t t m = t t m = t mt = (t. 1 ) mt L

7 Oleh karena itu, m L M. M N L M. Jadi, N L M = M. Tulis pula L = x RT xl MT Akan ditunjukkan bahwa L = N. 1. L N Ambil sebarang x L. Akan ditunjukkan x N. x L x RT, dengan xl MT. xl = x( L M T ) MT sehingga x L M M. Jadi, x RT, dengan x L M M, mengakibatkan x N. 2. N L Ambil sebarang y N. Akan ditunjukkan y L. y N y RT, dengan y L M M. y L M T = (y L M )T karena untuk setiap l L M, t T, berlaku y lt = y t l = yt l = t y l = (yl)t Oleh karena itu, yl = y L M T = (y L M )T MT sehingga yl MT. Jadi, y RT, dengan yl MT, mengakibatkan y L. Karena terbukti L N dan N L, maka L = N. L L = L L M T = N L M T = N L M T = MT Jadi, L mempunyai balikan di MT, yaitu L, sehingga dapat disimpulkan bahwa MT merupakan RT -modul Dedekind. Contoh 1 Z 3 () merupakan suatu Z-modul hasil bagi dari Z 3. Z 3 dan Z 3 () merupakan suatu Z-modul Dedekind. Bukti: Z 3. Telah diketahui, Z 3 adalah Z-modul. Selanjutnya, akan ditunjukkan setiap submodul tak nol dari Z 3 mempunyai balikan di Ambil sebarang Z-submodul tak nol P dari Z 3, yaitu P = Z 3. Akan ditunjukkan P mempunyai balikan di Z 3.

8 Misalkan S adalah himpunan dari semua unsur regular di Z, maka S = Z 0 Misalkan T = t Z 0 tm = 0, untuk suatu m Z 3 m = 0. Ini berarti T = Z 3Z. Definisikan P = x ZT xz 3 Z 3 1. Akan ditunjukkan P adalah suatu Z-modul. a. Ambil sebarang x, y P. Akan ditunjukkan x y P. x P x = r 1 t 1 ZT, untuk suatu r 1 Z, t 1 T = Z 3Z, dengan xz 3 Z 3 y P y = r 2 t 2, ZT, untuk suatu r 2 Z, t 2 T = Z 3Z, dengan yz 3 Z 3, karena r 1 t 2 r 2 t 1 Z dan t 1 t 2 T = Z 3Z, maka x y = r 1 t 1 r 2 t 2 = r 1 t 2 r 2 t 1 (t 1 t 2 ) ZT. Selanjutnya, akan ditunjukkan x y Z 3 Z 3. Ambil sebarang p x y Z 3. p x y Z 3 p = x y n, untuk suatu n Z 3. Karena xz 3 Z 3, yz 3 Z 3, dan Z 3 adalah suatu Z-modul, maka p = x y n = xn yn Z 3 Sehingga diperoleh (x y)z 3 Z 3. Jadi, x y P. b. Ambil a Z dan x, y P. Akan ditunjukkan a x + y = ax + ay. x P x = r 1 t 1 ZT, untuk suatu r 1 Z, t 1 T = Z 3Z y P y = r 2 t 2, ZT, untuk suatu r 2 Z, t 2 T = Z 3Z a x + y = a1 (r 1 t 1 + r 2 t 2 ) = a1 r 1 t 2 + r 2 t 1 (t 1 t 2 ) = (a r 1 t 2 + r 2 t 1 ) (t 1 t 2 ) = ( ar 1 t 2 + ar 2 t 1 )(t 1 t 2 ) = ar 1 t 1 + ar 2 t 2 = ax + ay. c. Ambil a, b Z dan x P. Akan ditunjukkan a + b x = ax + bx. x P x ZT x = r 1 t 1, untuk suatu r 1 Z, t 1 T = Z 3Z a + b x = ( a + b 1 )(r 1 t 1 ) = ( a + b r 1 )t 1 = (ar 1 + br 1 )t 1 = ar 1 t 1 + br 1 t 1 (t 1 t 1 ) = ar 1 t 1 + br 1 t 1 = ax + bx d. Ambil a, b Z dan x P. Akan ditunjukkan ab x = a(bx). x P x ZT x = r 1 t 1, untuk suatu r 1 Z, t 1 T = Z 3Z

9 ab x = ab 1 r 1 t 1 = abr 1 t 1 = a1 br 1 t 1 = a(bx) e. Ambil x P. Akan ditunjukkan 1x = x. x P x ZT x = r 1 t 1, untuk suatu r 1 Z, t 1 T = Z 3Z 1x = 1( r 1 t 1 ) = r 1 t 1 = x Jadi, P adalah Z-modul. 2. Klaim: P Z 3 = Z 3 a. Akan ditunjukkan P Z 3 Z 3. Ambil sebarang w P Z 3. Akan ditunjukkan w Z 3. w P Z 3 w = p p, untuk p P, p Z 3. - p Z 3 - p P p = a b, a Z, b Z 3Z, sehingga p Z 3 Z 3. Sehingga diperoleh, w = p p p Z 3 Z 3. Jadi, P Z 3 Z 3. b. Akan ditunjukkan Z 3 P Z 3. Ambil sebarang [v] Z 3. Akan ditunjukkan [v] P Z 3. Jika [v] = 0, maka [v] = 0 = 0 0 = (0. 1 ) 0 P Z 3 Jika [v] 0, maka v = 1 v = (1. 1 ) v P Z 3 Jadi, Z 3 P Z 3. Dari (a) dan (b), diperoleh P Z 3 = Z 3, yang berarti Z 3 mempunyai balikan di Z 3. Z 3 merupakan suatu Z-modul Dedekind. Selanjutnya, akan ditunjukkan Z 3 () merupakan suatu Z-modul Dedekind. Akan ditunjukkan Z 3 () adalah suatu Z-modul, dengan Misalkan Z 3 () = x a Z 3 a = x, x Z 3 b Z 3 b = y, y Z 3 x Z 3 a. Ambil a, b Z 3 (). Akan ditunjukkan a b Z 3 (). a b = x y x [y] x y = = Z 3 () b. Ambil r Z dan a, b Z 3 (). Akan ditunjukkan r a + b = ra + rb.

10 r a + b = r x + y = r x + y 1 r x + y = = rx + ry = rx + ry = r x = ra + rb + r y c. Ambil p, q Z dan a Z 3 (). Akan ditunjukkan p + q a = pa + qa. p + q x p + q a = 1 p + q x = px + qx = = px + qx = p x = pa + qa + q x d. Ambil p, q Z dan a Z 3 (). Akan ditunjukkan pq a = p qa. pq a = pq x 1 pq x = p qx = = p qx = p q x = p qa e. Ambil a Z 3 (). Akan ditunjukkan 1a = a. 1a = 1 1 x = 1x = x = a Jadi, Z 3 () adalah suatu Z-modul.

11 Setiap submodul tak nol dari Z 3 () mempunyai balikan di Z 3 (). Ambil sebarang Z-submodul tak nol A dari Z 3 (). Akan ditunjukkan A mempunyai balikan di Z 3 (). Misalkan S adalah himpunan dari semua unsur regular di Z, maka S = Z 0 Misalkan T = t Z 0 tm = 0, untuk suatu m Z 3 m = 0. Ini berarti T = Z 3Z. Definisikan A = x ZT xa Z 3 () 1. Akan ditunjukkan A adalah suatu Z-modul. a. Ambil sebarang x, y A. Akan ditunjukkan x y A. x A x = r 1 t 1 ZT, untuk suatu r 1 Z, t 1 T = Z 3Z, dengan xa Z 3 () y A y = r 2 t 2 ZT, untuk suatu r 2 Z, t 2 T = Z 3Z, dengan ya Z 3 (), karena r 1 t 2 r 2 t 1 Z dan t 1 t 2 Z 3Z, maka x y = r 1 t 1 r 2 t 2 = r 1 t 2 r 2 t 1 (t 1 t 2 ) ZT. Selanjutnya, akan ditunjukkan (x y)a Z 3 (). Ambil sebarang p x y A. Akan ditunjukkan p Z 3 (). p x y A p = x y n, n A. Karena xa Z 3 (), ya Z 3 (), dan Z 3 () adalah suatu Z-modul, maka p = x y n = xn yn A Sehingga diperoleh (x y)a Z 3 (). Jadi, x y A. b. Ambil a Z dan x, y A. Akan ditunjukkan a x + y = ax + ay. x A x = r 1 t 1 ZT, untuk suatu r 1 Z, t 1 T = Z 3Z y A y = r 2 t 2 ZT, untuk suatu r 2 Z, t 2 T = Z 3Z a x + y = a1 (r 1 t 1 + r 2 t 2 ) = a1 r 1 t 2 + r 2 t 1 (t 1 t 2 ) = (a r 1 t 2 + r 2 t 1 ) (t 1 t 2 ) = ( ar 1 t 2 + ar 2 t 1 )(t 1 t 2 ) = ar 1 t 1 + ar 2 t 2 = ax + ay. c. Ambil a, b Z dan x A. Akan ditunjukkan a + b x = ax + bx. x A x ZT x = r 1 t 1, untuk suatu r 1 Z, t 1 T = Z 3Z a + b x = ( a + b 1 )(r 1 t 1 ) = ( a + b r 1 )t 1 = (ar 1 + br 1 )t 1 = ar 1 t 1 + br 1 t 1 (t 1 t 1 ) = ar 1 t 1 + br 1 t 1 = ax + bx

12 d. Ambil a, b Z dan x A. Akan ditunjukkan ab x = a(bx). x A x ZT x = r 1 t 1, untuk suatu r 1 Z, t 1 T = Z 3Z ab x = ab 1 r 1 t 1 = abr 1 t 1 = a1 br 1 t 1 = a(bx) e. Ambil x A. Akan ditunjukkan 1x = x. x A x ZT x = r 1 t 1, untuk suatu r 1 Z, t 1 T = Z 3Z 1x = 1( r 1 t 1 ) = r 1 t 1 = x Jadi, P adalah suatu Z-modul. 2. Klaim: A A = Z 3 (). a. Akan ditunjukkan A A Z 3 (). Ambil sebarang p A A. Akan ditunjukkan p Z 3 (). p A A p = a a, untuk a A, a A. a A a A Z 3 () sehingga p = a a a A Z 3 () Jadi, A A Z 3 (). b. Akan ditunjukkan Z 3 () A A. Ambil sebarang q Z 3 (). Akan ditunjukkan q A A. q Z 3 () q = [x], untuk suatu [x] Z 3. q = [x] = 1 [x] A A, dengan 1 = 1. 1 ZT dan 1A Z 3 () 1 A [x] = [x.1] = x [1] A, karena x = x. 1 ZT dan [1] Z 3(), ada [x] Z 3(), sehingga 1 [x] = [1x] = [x] = [x1] [1] = x, untuk suatu x Z. Jadi, Z 3 () A A. Dari (a) dan (b), diperoleh A A = Z 3 (), yang berarti A mempunyai balikan di Z 3 (). Z 3 () merupakan Z-modul Dedekind. Selanjutnya, Z 3 () disebut Z-modul hasil bagi dari Z 3. KESIMPULAN Modul hasil bagi dari modul Dedekind adalah modul Dedekind dengan langkahlangkah pengkonstruksian modul hasil bagi sebagai berikut: Misalkan R adalah suatu gelanggang komutatif dengan unsur satuan, S adalah himpunan multiplikatif dari semua unsur reguler di R, M adalah suatu R-modul, dan T = t S tm = 0, untuk suatu m M m = 0. Pada M T, didefinisikan suatu relasi ekivalen yaitu untuk sebarang (m, s) dan (m 1, s 1 ) di M T, m, s ~ m 1, s 1 ms 1 = sm 1 maka relasi ini merupakan relasi ekivalen.

13 Didefinisikan kelas ekivalen dari (m, s), ditulis [m, s], dengan m, s = (a, b) M T m, s ~(a, b) Didefinisikan himpunan MT = m, s m M, s T dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar pada MT sebagai berikut. m, s + m 1, s 1 = ms 1 + sm 1, ss 1 r, t m, s = [rm, ts] Selanjutnya, himpunan MT adalah suatu RT -modul. Definisikan homomorfisma R-modul, φ: M MT dengan pengaitan φ(m) [mu, u], m M, MT dinamakan R-modul hasil bagi dari M oleh T. Jika M adalah R-modul Dedekind, maka MT yang didefinisikan seperti di atas merupakan suatu RT -modul Dedekind. Sebagai contoh, Z 3 () merupakan suatu Z-modul hasil bagi dari Z 3, dengan Z 3 dan Z 3 () merupakan suatu Z-modul Dedekind. SARAN Pada artikel ini dikaji konstruksi pembahasan modul atas daerah Dedekind. Pembaca yang berminat dapat menyelidiki lebih lanjut penelitian ini, misalnya memperluas pembahasan pada semesta yang lebih umum, yaitu modul atas gelanggang. Selain itu, dari hasil ini juga dapat digunakan untuk menelaah lebih lanjut mengenai kaitan antara modul Dedekind dan modul Hereditery Noetherian Prime (HNP). DAFTAR RUJUKAN Adkins, W. A. dan Weintraub, S. H Algebra:An Approach via Modul Theory. New York: Springer-Verlag. Arifin, A Aljabar. Bandung: Penerbit ITB. Dummit, D. S. and Foote, R. M Abstract Algebra. New Jersey: Prentice. Gallian, J. A Contemporary Abstract Algebra (Seventh Edition). United State of America: Heath and Company. Garminia, H., P. Astuti, and Irawati, 2008, Modul Hasil Bagi dari Modul Dedekind, Jurnal Matematika dan Sains,13: (4), Gilbert, J. dan Gilbert, L., Elements of Modern Algebra (Seventh Edition). United State of America: Brooks/Cole. Goodearl, K. R., 1974, Localization and Splitting in Hereditary Noetherian Prime rings, Pasific J. Math., :(1), Lam, T. Y Lectures on Modules and Rings. New York: Springer-Verlag. Lam, T. Y A First in Noncommutative Rings (Second Edition). New York: Springer- Verlag.

14 Lang, S., 2002, Algebra (Third Edition). New York: Springer-Verlag. Matsumura, H., 1986, Commutative Ring Theory. New York: Cambridge University Press. May, J.P. Notes on Dedekind Rings. (Online), 1-11, ( diakses 3 November Passman, D. S. 2004, A Course in Ring Theory, United State of America: AMS Chelsea Publishing. Roman, S Graduate Text In Mathematics: Advance Linear Algebra. United State of America: Springer.

15 Artikel oleh Erlina Tri Susianti ini telah diperiksa dan disetujui pada tanggal 17 Mei 2013 Pembimbing Dra. Santi Irawati, M.Si, Ph.D NIP