HASIL KALI TENSOR: KONSTRUKSI, EKSISTENSI DAN KAITANNYA DENGAN BARISAN EKSAK

Transkripsi

1 HASIL KALI TENSO: KONSTUKSI, EKSISTENSI AN KAITANNYA ENGAN BAISAN EKSAK Samsul Arifin Mahasiswa S Matematika FMIPA UGM alam tulisan ini akan dibahas mengenai konstruksi hasil kali tensor dari dua buah modul, dan yang terpenting adalah eksistensi dan ketunggalannya. Kemudian akan dibahas juga mengenai eksistensi hasil kali tensor dua buah homomorfisma modul. Setelah itu akan diakahiri dengan pembahasan kaitan antara hasil kali tensor dengan barisan eksak. Kata kunci: tensor product, homomorfisma modul, barisan eksak. 1.Pendahuluan (Konstruksi Hasil Kali Tensor) Sebelum memasuki pembahasan tentang konstruksi hasil kali tensor dan eksistensinya, akan diberikan terlebih dahulu definisi pemetaan bilinear yang seimbang (balanced) yang akan sangat berperan dalam konstruksi hasil kali tensor dari dua buah modul, yaitu sebagai berikut efinisi (Hungerford, 1974): iberikan ring, -modul kanan M, -modul kiri N dan sebarang grup Abel G,. Pemetaan : X Y G disebut fungsi bilinear dan seimbang atas jika untuk setiap x, x X, y, y Y dan r berlaku 1 1 (i). x1 x, y1 x1, y1 x, y1 (ii). x1, y1 y x1, y1 x1, y (iii). x r, y x, ry (Balance) i sini akan dibahas mengenai konstruksi hasil kali tensor dua buah modul. Misalnya iberikan ring, modul kanan X dan modul kiri Y. ari sini dapat dibentuk himpunan: X Y a, b a X, b Y Selanjutnya, dari X Y dapat dibentuk suatu grup abelian bebas F, yang generator-generator bebasnya adalah elemen-elemen dari X Y, dinotasikan: F x, y x X, y Y cij xi, y j xi X, y j Y, cij, untuk cij 0 yang berhingga banyak i, j 1

2 Perhatikan bahwa selalu ada monomorfisma natural i : X Y F untuk setiap x, yx Y, yaitu dengan mengambil c 1 ij dengan x y x y, 1,,. ari grup abelian bebas F tersebut, juga dapat dibentuk suatu subgroup H y1, y, y3 yaitu subgroup yang dibangun oleh y, y, dan y dengan masing-masing berbentuk sebagai berikut: ',, ',, ',, ',, y x x y x y x y y x y y x y x y y xa y x ay Perhatikan juga bahwa selalu ada proyeksi kanonik : F F H dengan x', y ' x', y ' H, untuk setiap x', y ' sebagai beriku: Jika dibentuk i maka akan berlaku: F. ari sini sudah bisa dibuat urutan pemetaan i X Y F F H y1 ix x ', y x, y x ', y i x x ', y x, y x ', y x x y x y x y x x y x y x y H H y i x, y y ' x, y x, y ' i x, y y ' x, y x, y ' x y y x y x y x y y x y x y H H y3 i xa, y x, ay i xa, y x, ay xa, y x, ay xa, y x, ay H H 0 F H, ',, ', ',, ', 0, ',, ', ',, ' 0 yang artinya adalah suatu pemetaan bilinear -balanced dari X Perhatikan bahwa dari dua buah pemetaan di atas yaitu dapat dibuat skema besar sebagai berikut: i X Y F F H i X Y F H Y ke F H. F H F H i X Y F dan F F H, akan Selanjutnya, didefinisikan " X Y" adalah grup kuosien komutatif X Y F H. ari proses-proses i X Y F F H di atas, maka dapat dituliskan x, y x, y H x y untuk setiap x, y F. engan notasi ini, X Y grup komutatif, dimana generator-generator dari x y memenuhi: adalah suatu

3 x x ', y x, y x ', y 0 x x ', y x, y x ', y 0 x x ', y H x, y H x ', y H 0 x x ' y x y x ' y 0 x x ' y x y x ' y... * x, y y ' x, y x, y ' 0 x, y y ' x, y x, y ' 0 x, y y ' H x, y H x, y ' H 0 x y y ' x y x y ' 0 x y y ' x y x y '... ** xa, y x, ay 0 xa, y x, ay 0 xa, y H x, ay H 0 xa y x ay 0 Perhatikan bahwa dari sifat-sifat tersebut akan berakibat xa y x ay... *** x ya xa y x ay... **** untuk setiap x X, yy, dan a. Butir-butir (*) sampai dengan (****) inilah yang akan menjadi sifat-sifat operasi pada X Y..Eksistensi Hasil Kali Tensor Setelah dibahas konstruksi hasil kali tensor dari dua buah modul di atas, bahwa dua buah pemetaan i X Y F dan F F H bisa dibentuk secara alamiah dari dua buah modul yaitu modul kanan X dan modul kiri Y untuk suatu ring. engan kata lain, hasil kali tensor juga selalu bisa dibentuk dari suatu modul kanan dan modul kiri yang seolah-olah dikalikan tersebut, padahal struktur keduanya berbeda. Proposisi berikut diperlukan untuk menunjukkan eksistensi hasil kali tensor dari dua buha modul. 3

4 .1.Proposisi (Hazewinkel, 005): iberikan ring, grup abelian G, modul kanan X, dan modul kiri X. Untuk sebarang pemetaan bilinear -balanced f : X Y G, ada dengan tunggal pemetaan g : X Y G sedemikian hingga diagram komutatif, yaitu berlaku f g. Bukti: Misalkan diberikan sebarang suatu pemetaan bilinear -balanced f : X Y G. Karena F adalah grup abelian bebas, maka akan ada dengan tunggal homomorfisma grup komutatif, yaitu berlaku f f i, dimana i adalah pemetaan embedding natural dari X Y ke F. Selanjutnya karena f adalah pemetaan bilinear -balanced, maka f juga merupakan pemetaan bilinear -balanced, yaitu pemetaan yang memenuhi aksioma-aksioma berikut: Perhatikan bahwa: ',, ',, ',, ' f xa, y f x, ay f x x y f x y f x y f x y y f x y f x y f x x ', y f x, y f x ', y ',, ', 0 f x x ', y x, y x ', y 0 f x x y f x y f x y 4

5 sehingga berlaku H Ker f f x, y y ' f x, y f x, y ', ',, ' 0 f x, y y ' x, y x, y ' 0 f x y y f x y f x y f xa, y f x, ay,, 0,, 0 f xa y f x ay f xa y x ay dengan H y1, y, y3 untuk suatu y x x', y x, y x', y, y x, y y ' x, y x, y ', y xa, y x, ay. 1 3 ari sini diperoleh bahwa ada dengan tunggal homomorfisma grup g : F H G sedemikian hingga diagram komutatif, yaitu berlaku f g. Jika diambil i, maka akan berlaku g g i g i f i f, sehingga berakibat diagram juga komutatif, yaitu berlaku f g. Selanjutnya tinggal ditunjukkan bahwa g adalah tunggal. iberikan g':f G adalah homomorfisma grup sebarang yang lain, maka akan H diperoleh g' f yang artinya g ' i g ' f g i f i atau g ' i f i. 5

6 Karena sifat f yang tunggal, maka sifat yang surjektif berakibat g' f sehingga berakibat g ' f g, dan karena g g'. engan demikian terbukti bahwa g bersifat tunggal. efinisi dari hasil kali tensor dari dua buah modul adalah sebagai berikut...efinisi (Hungerford, 1974): iberikan -modul kanan X, -modul kiri Y dan sebarang grup Abel G,. Grup Abel X Y beserta fungsi bilinear dan seimbang disebut hasil kali tensor dari X dan Y jika untuk setiap pemetaan bilinear dan seimbang : X Y G terdapat dengan tunggal pemetaan : X Y G sedemikian hingga diagram berikut komutatif, yaitu. Elemen-elemen dari X Y adalah x i y x X y Y ii i i i dan..3.contoh (auns, 1994): 1) Untuk sebarang n, jika n n adalah ideal di dan adalah himpunan bilangan rasional (yang masing-masing juga merupakan -modul), maka berlaku 0. Setiap elemen v berbentuk v nq untuk suatu q. Oleh karena itu, n untuk setiap v dan w1w n dapat diperoleh: v 1 nq 1 nq 1 n q n 1 n q 0 n 0 ) Jika pq masing-masing adalah bilangan prima, maka sebagai -modul berlaku p q 0. Perhatikan bahwa gcd pq, 1 sehingga sp tq 1 untuk suatu st,. Selanjutnya untuk sebarang m p p dan n q berlaku: 1 0 n m p q p q p q p q m n m n m n s p tq m n s p m n tq s pm n m tqn n 6

7 3) Misalnya diambil p, q 3, maka diperoleh 3 0. Perhatikan bahwa gcd,3 1 sehingga st3 1 untuk suatu st,. Selanjutnya untuk sebarang m dan n 3 berlaku: n m m n m n m n m n m n m n m n Proposisi berikut menjelaskan bahwa hasil kali tensor bersifat tunggal, yaitu jika ada hasil kali tensor yang lain dari modul-modul X dan Y, maka akan isomorfis dengan X Y..4.Proposisi (Hazewinkel, 005): iberikan ring, modul kanan X dan modul kiri Y. Jika X Y, maka berlaku: 1) X Y, adalah hasil kali tensor dari X dan Y. ) Jika T, ' sebarang hasil kali tensor dari X dan Y, maka ada isomorfisma grup : X Y T dengan ', yaitu diagram komutatif. Bukti: 1) Berdasarkan Proposisi.1. ) iketahui T, ' adalah sebarang hasil kali tensor dari X dan Y. Karena ' adalah pemetaan bilinear A-balanced, maka ada : X Y T dengan '. engan cara sama, karena : X Y X A Y adalah suatu pemetaan bilinear -balanced maka dengan definisi hasil kali tensor, aka nada : T X Y dengan '. Oleh karena itu berlaku dan ' ', dan karena dan ' bersifat tunggal maka dan tersebut adalah pemetaan identitas, yang artinya bahwa adalah suatu ismomorfisma. 7

8 3.Eksistensi Hasil Kali Tensor Homomorfisma Modul Kejadian khusus dari efinisi. di atas adalah sebagai berikut. Perhatikan bahwa jika diberikan ring, modul kanan X dan X ', modul kiri Y dan ' Y, kemudian diberikan juga homomorfisma modul f : X X ' dengan a f a X ' dan g : Y Y ' dengan b g b Y ', serta pemetaan bilinear : X Y X Y. Berdasarkan proposisi di atas, jika C X ' Y ' maka untuk sebarang pemetaan bilinear h: X Y X ' Y ' akan ada dengan tunggal homomorfisma grup h': X Y X ' Y ' sedemikian hingga dengan a b h' a b f a g b h h'. Untuk selanjutnya, dinotasikan h' f g. Penjelasan di atas tertuang dalam Akibat 3.1 berikut. 3.1.Akibat (Hungerford, 1974): iberikan ring, modul kanan X dan X, modul kiri Y dan Y '. Jika diberikan homomorfisma modul f : X X ' dan g : Y Y ', maka ada dengan tunggal homomorfisma dengan a b f a g b grup f g : X Y X ' Y ' Bukti: ' untuk setiap a b X Y. iketahui f : X X ' dengan a f a untuk setiap a X dan g : Y Y ' dengan b g b untuk setiap b Y adalah homomorfisma modul. Perhatikan bahwa h : X Y C X ' Y ' dengan a, b f a g b untuk setiap a, bx Y merupakan suatu pemetaan bilinear, yaitu sebagai berikut. Untuk sebarang a1, a1 X, berlaku: b1 b1 1, f a1 g b1 f a g b1 ha1, b1 ha, b1 1, f a1 g b1 f a1 g b ha1, b1 ha1, b ha r, b f a r g b f a g rb ha, rb h a a b f a a g b f a f a g b h a b b f a g b b f a g b g b , Y, dan r 8

9 Oleh karena itu, akan terdapat dengan tunggal suatu homomorfisma grup h : X Y C X ' Y ' sedemikian hingga diagram komutatif, yaitu berlaku h h, dengan,, a b h a b hi a b h a b f a g b untuk setiap a A, b B. Homomorfisma tunggal tersebut dinotasikan dengan h f g. engan demikian terbukti bahwa jika diberikan homomorfisma modul f : X X ' dan g : Y Y ', maka ada dengan tunggal hasil kali tensor homomorfisma modul dengan a b f a g b f g : A B A' B' untuk setiap a b X Y. Teorema berikut diperlukan untuk menunjukkan bahwa setiap barisan kanan eksak yang ditensorkan dengan suatu modul juga akan menghasilkan barisan kanan eksak. 3..Teorema (Hungerford, 1974): Jika adalah ring dengan elemen identitas dan X, A A dan B B. Y adalah -modul uniter, maka berlaku Bukti: Perhatikan bahwa karena adalah -bimodul,, maka Y adalah -modul kiri dengan r ', r b r ' r b untuk setiap r b Y dan r'. Untuk sebarang r b, r b Y dan a, b berlaku: ar1 b1 ar b a br1 b1 a br1 b1 ar1 br1 b1 ar1 b1 br1 b1 abr b abr b a br b a br b a br b a r b r b a r r b b a r r b b ar ar b b Perhatikan juga bahwa f : Y Y 1 r b 1r b r b adalah pemetaan bilinear dengan,, untuk setiap r, b B. Untuk sebarang r, r ', r" dan b, b' B berlaku: r b f r b rb 9

10 ', ' ', ',, ' ' ',, ' f rr", b rr" b r r " b f r, r " b f r r b r r b rb r b f r b f r b f r b b r b b rb rb f r b f r b Oleh karena itu, terdapat dengan tunggal suatu homomorfisma grup : Y Y dengan r b r b rb untuk setiap : B Y dengan 1 yang artinya bahwa suatu isomorfisma, atau terbukti A A. r b Y. Perhatikan bahwa terdapat b b b untuk setiap b Y sedemikian hingga: b b 1b 1. b b, dan r b r b rb 1 rb 1. r b r b, i dan B i B. engan demikian terbukti bahwa adalah Y Y. engan cara yang sama akan diperoleh juga 4.Kaitan Antara Hasil Kali Tensor dengan Barisan Eksak Setelah diberikan definisi dan contoh hasil kali tensor dua buah modul, selanjutnya akan diberikan sifat hasil kali tensor pada suatu barisan eksak. 4.1.Proposisi (Hungerford, 1974): iberikan ring dan modul kiri barisan eksak kanan dan adalah -modul kanan, maka barisan Adan B. Jika f g A B C 0 adalah suatu A B C 0 1f 1g juga merupakan suatu barisan eksak kanan (sebagai grup abelian). Bukti: iketahui f g A B C 0 adalah suatu barisan eksak kanan. Akan ditunjukkan bahwa A B C 0 1f 1g i Im 1 g C, juga merupakan barisan eksak. alam hal ini harus dibuktikan: ii Im1 f Ker 1 g, dan iii Im1 f Ker 1 g. 1) Karena g adalah suatu epimorfisma, berdasarkan hipotesis bahwa setiap generator d c dari C adalah berbentuk d g b gd b untuk suatu b B. Oleh karena itu, 1 Im 1 g memuat semua generator dari C, dan dengan demikian terbukti bahwa Im 1 g C. ) Karena Ker g Im f maka akan diperoleh g f 0 dan berlaku: 1 g 1 f 1 g 1 1 g f 1 1 g1 1 f gf 1 g f gf 1 gf 1 0 0, 10

11 dan dengan demikian terbukti bahwa Im1 f Ker 1 g 3) Misalkan diberikan : B B Im1 f. adalah epimorfisma kanonik. Berdasarkan ), maka akan terdapat suatu homomorfisma grup B f C : Im 1 dengan untuk setiap d b 1 gd b d g b d b B. Untuk lebih jelasnya, perhatikan hal berikut: B B Im 1 f C : B C alam hal ini akan ditunjukkan bahwa merupakan suatu isomorfisma. engan menggunakan fakta ini, akan mengakibatkan Im1 f Ker 1 g. Pertama, akan ditunjukkan bahwa : C B Im1 f,, dimana dengan d c d b g b c untuk suatu b B. Perhatikan bahwa terdapat minimal satu b B karena g adalah suatu epimorfisma. Jika g b' dan b b' Ker g Im f, dan oleh karena itu berlaku b b' f a Selanjutnya, karena d f a f dan d f a c maka berlaku g b b' 0 untuk suatu a A. Im 1 0 ' ' ' db'., maka akan diperoleh: d b d b f a d b d f a d b d f a Oleh karena itu, terbukti bahwa terdefinisi dengan baik. Perhatikan juga bahwa merupakan pemetaan bilinear, yaitu untuk setiap d1, d, c1, c C, dan r berlaku sebagai berikut. d1 d, c1 d1 d c1 d1 c1 d c1 d1 c1 d c1 d1, c1 d, c1 d1, c1 c d1 c1 c d1 c1 d1 c d1 c1 d1 c d1, c1 d1, c d r, c d r c d rc d, rc ari sini, akan terdapat dengan tunggal suatu homomorfisma grup C B f : Im 1 dengan d c d c i d, c d, c d b, dimana g b c. Oleh karena itu, semua generator d c C berlaku: d c d b d g b d c 11

12 dimana merupakan pemetaan identitas. engan cara sama, juga merupakan pemetaan identitas, sehingga terbukti bahwa merupakan suatu isomomorfisma. Proposisi di atas menyatakan bahwa jika suatu barisan eksak kanan ditensorkan dengan suatu modul, maka belum tentu barisan yang baru juga eksak kanan. Namun hal ini tidaklah berlaku sebaliknya, contoh penyangkalnya dijelaskan dalam Contoh 4.3 di bawah. Perhatikan kembali bahwa pada barisan eksak kiri, tidak berlaku bahwa barisan hasil kali tensornya selalu eksak kiri juga. Untuk itu, khusus untuk barisan eksak kiri diperoleh definisi khusus sebagai berikut. 4..efinisi (Hungerford, 1974): f iberikan barisan eksak kiri dari -modul kiri 0 A B. Setiap -modul kanan N disebut modul datar (flat) jika I f : N A N B juga injektif. N efinisi untuk -modul datar kiri diperoleh dengan cara analog. Berikut merupakan contoh-contoh modul-modul yang flat dan tidak flat. 4.3.Contoh: (1) Untuk setiap ring A, A adalah A-modul flat. Misalnya adalah -modul flat, karena untuk f g sebarang barisan eksak 0 A1 A A maka dengan menggunakan hasil kali tensor f g dengan -modul kanan, 0 A1 A A juga merupakan barisan eksak. () Setiap ruang vektor V atas lapangan F adalah modul flat, artinya V adalah F-modul flat. Lebih lanjut, setiap A-modul bebas adalah A-modul flat, karena untuk sebarang barisan eksak 0 A A A maka dengan menggunakan hasil kali tensor dengan F -modul f g 1 f g kanan V, 0 V F A1 V F A V F A juga merupakan barisan eksak. (3) Jika A adalah daerah integral dan I adalah ideal proper tak nol di A, maka AI bukan merupakan A-modul flat. Misalnya diberikan ideal proper pada daerah integral, maka f bukanlah modul flat, karena 0, dengan f :, z z dan :, z z adalah barisan eksak, tetapi 0 f I I bukan barisan eksak. Perhatikan bahwa untuk suatu z z berlaku f I z z f z I z z z, dan berlaku: f I f I 66, yang artinya bahwa fungsi f I bukan merupakan fungsi injektif. 1

13 5.aftar Pustaka [1] auns, J, Modules and ings, 1994, Cambridge University Press, United Kingdom. [] Hazewinkel et al, Algebras, ings and Modules, 004, Kluwer Academics Publishers, New York. [] Hungerford, T. W., Algebra, 000, Springer Verlag, New York. 13