3 BAB II ESTIMASI STATISTIK. Pegertia Etimai a. Etimai merupaka uatu metode dimaa kita dapat memperkiraka ilai Populai dega memakai ilai ampel. b. Etimai merupaka kegiata pearika keimpula tatitik yag berawal dari hal-hal yag berifat umum ke hal hal yag berifat khuu, agar pearika keimpula dapat dibearka da mampu medekati kebeara maka dibutuhka uatu alat utuk memproe data ecara bear, jika kegiata etimai dapat dilakuka ecara bear maka emua keputua yag berkaita dega etimai dapat dilakuka juga dega bear da dapat utuk megatai egala peroala tatitik. c. Etimai adalah meakir ciri-ciri tertetu dari populai atau memperkiraka ilai populai (parameter) dega memakai ilai ampel (tatitik).. Etimator yag Baik.. Pegertia Etimator a. Etimator adalah ilai peduga. b. Etimator adalah etiap tatitik ( mea ampel, preetae ampel, varia ampel, da lai lai) yag diguaka utuk megetimai ebuah parameter... Kriteria Etimator yag Baik Etimator yag Baik Etimator yag baik mempuyai tiga ciri berikut :. ô (tatitik dari ampel) merupaka peduga tak bia dari o, yaitu E (ô) =, artiya harapa peduga ô ama dega o;. ô merupaka peduga yag efiie; artiya bila ada lebih dari atu peduga, maka peduga yag efiie adalah peduga yag mempuyai variai palig kecil; da 3. ô merupaka peduga yag koite; artiya bila ampel yag diambil maki bear, maka ilai ô aka emaki medekati o.
4 Gambar berikut ii yag berkaita dega tiga ciri etimator yag baik terebut.. Peduga Tak Bia Peduga tak bia artiya peduga yag dega tepat megeai aara, eperti ditujukka oleh gambar 4.. edagka peduga bia artiya peduga yag tidak tepat megeai aara atau diebut meleet, eperti ditujukka oleh gambar 4.3. Peduga yag Efiie Gambar 4.4 meujukka ada tiga peduga, yaitu ô, ô, ô 3 yag diperoleh dari tiga ampel, dimaa ditribui ampel mempuyai variai σ, ampel mempuyai variai σ, da ampel 3
5 mempuyai variai σ. oleh karea ampel mempuyai variai palig kecil, maka dikataka ô merupaka peduga yag efiie 3. Peduga yag Koite Pada Gambar 4.5, ditujukka bahwa ukura ampel, yaitu, lebih kecil daripada ukura ampel, yaitu da lebih kecil dari ukura ampel 3, yaitu 3. Terlihat bahwa emaki bear ukura ampel, maka tatitik peduga ô maki medekati parameter 0 dari populai, dimaa ditribui ampel koite bergerak kekiri..3 Jei - Jei Etimai Statitik ifereial adalah tatitika yag dega egala iformai dari ample diguaka utuk mearik keimpula megeai karakteritik populai dari maa ample itu di ambil. Utuk mearik keimpula terebut dapat dilakuka dega duacar, yaitu: peakira parameter da pegujia hipotei. Parameter adalah karakteritik dari uatu populai cotohya: m(mea atau rata-rata), (varia atau keeragama), md (mea differeial atau perbedaa rata-rata), p (Propori), pd (Propori rata-rata), edagka tatitik ialah karakteritik dari data ample, cotoh: x (mea atau rata-rata), S (varia atau keeragama), xd (mea differeial atau perbedaa rata-rata), P(Propori), Pd (Propori rata-rata). Adaya tatitic itu utuk meduga parameter, eperti utuk meduga σ dapat diduga dega S. Etimai adalah keeluruha proe yag megguaka ebuah etimator(fugi ample) utuk meghailka
6 ebuah etimate(ilai terealiai dari etimator, yaitu bilaga yag didapat bila ample bear-bear diambil) dari uatu parameter. Atau dega kata lai uatu etimator titik adalah ebarag fugi T (,,,, ) dari ampel. Ii berarti ebarag titik adalah etimator titik. Jei-jei Etimai : a. Etimai Titik Titik etimai merupaka alah atu cara utuk megadaka etimai terhadap parameter populai yag tidak diketahui (Nar: 0). Titik etimai ialah ilai tuggal yag diguaka utuk megadaka etimai terhadap parameter populai. Titik etimai yag dapat diguaka utuk megadaka etimai parameter populai ialah rata-rata ampel terhadap rata-rata populai, propori ampel terhadap propori populai, jumlah variabel tertetu yag terdapat dalam ampel utuk meakir jumlah variabel terebut dalam populai, da varia atau impaga baku ampel utuk meakir impaga baku populai. E (µ ) = ; E ( σ ) = S ; E ( p ) = Sebuah etimai titik dari ebuah parameter q adalah euatu agka tuggal yag dapat diaggap ebagai ilai yag mauk akal dari q. Adapu Hakikat Etimai ecara umum, yaitu: ) Etimai adalah takira, da yag dietimai adalah parameter populai ) Data yag diguaka utuk melakuka etimai parameter populai adalah tatitik ampel ebagai etimator 3) Terdapat proedur tertetu utuk melakaaka etimai Salah atu Cotoh dalam kehidupa ehari-hari dari etimai titik itu ialah: rata-rata bayiyag baru lahir beratya 3 kg. Dari peryataa ii dapat diimpulka bahwa peryataa terebut dapat megguaka ditribui ormal, karea tidak bayak bayi yag baru lahir itu beratya kurag atau lebih berat dari 3kg. bayi yag beratya 3kg dapat diebut
7 ebagai etimate, edagka yag diebut etimatorya ialah bayi yag baru lahir. Dalam meetuka etimai titik(meakir) itu haru megetahui ditribuiya terlebih dahulu, apabila ditribui terebut tidak diketahui maka kita tidak dapat meetuka etimai titikya..metode peakir titik Metode peakir titik ebuah parameter dapat ditempuh ddega megguaka bebebrapa metode, yaitu: metode mome, metode likelihood, Metode Kuadrat Terkecil, Metode Chikuadrat Miimum, etimator baye da laiya. Aka tetapi tidak emua metode erig diguaka, yag palig bayak diguaka dalam peetua parameter titik haya dua metode aja, yaitu Metode Mome da Metode Kemugkia Makimum atau metode likelihood. Berikut edikit tetag kedua metode terebut da etimator baye utuk perbadiga dari kedua metode terebut keapa kedua metode itu erig diguaka.. Metode mome Metode momet diciptaka oleh Karl Pearo pada tahu 800. Metode ii merupaka metode tertua dalam meetuka etimator titik. Mialka adalah peubah acak kotiu(atau dikrit) dega fugi kepadata peluag berbetuk f(x; ), dega adalah k buah para meter yag tidal diketehui, mialka,,,, merupaka ebuah ampel acak berukura da didefiiika k buah mome ekitar puat ample pertama ebagai: ; t=,, 3,, k Kemudia kita tetuka k buah mome ekitar puat populai pertama dega rumuebagai berikut: Utuk dikrit : ; t=,, 3,., k Utuk dikrit: ; t=,, 3,., k
8 Secara umum, mome populai merupaka fugi dair k buah parameteryag tidak diketahui. Peyamaa mome ampel da mome populai aka meghailka k buah peramaa dalam k buah parameter yag tidak diketahui, yaitu: ; t =,, 3,, k Solui dari peramaa diata, diotaika dega meghailka peakir mome utuk Cotoh : Mialka peubah acak berditribui B(; ) dega tidak diketahui. Tetuka peakir titik utuk dega megguaka metode mome. Peyeleaia: Fugi kepaadata peluag dari adalah: f(; ) = ; x = 0, = 0 ; laiya Cotoh : Mialka x, x, x,.., x adalah ample radom dari populai yag berditribui ~ N (m, ). Dega megguaka metode mome, tetuka etimator titik utuk m da Peyeleaia: ~ N (m, ) berarti E() = m da Var(Z) = Var () = E ( )-(E()) = E ( ) m E ( ) = m + Sehigga memperoleh peramaa eperti berikut: E() = ehigga m = E ( ) = maka m + = = - = -` =
9.Metode kemugkia makimum(likelihood) Metode yag terbaik utuk meetuka peakir titik ebuah parameter adalah metode kemugkia makimum(likelihood). Metode kemugkia makimum merupaka metode utuk memperoleh etimator titik dega cara memakimumka fugi kemugkiaya. Mialka adalah peubah acak kotiu / dikrit dega fugi kepadata peluag f(x;θ), dega θ adalah uatu parameter yag tidak diketahui, da,,, ampel acak berukura,maka fugi kemugkia makimum(likelihood fuctio) θ adalah: L( ) = f(x ; ). f(x ; ). f(x ; )..f(x ; ) L( ) = Utuk etiap tiitk ampel x, mialka (x) adalah harga perameter dimaa L( ) ebagai fugi dega megaggap x kota mecapai makimumya. Etimator makimum likelihood (MLE) dari parameter berdaarka ampel adalah (). Perhatika bahwa dari kotrukiya, jelajah dari MLE berimpit dega jelajah dari parameter ecara ituitif, MLE adalah etimator yag mauk akal, karea MLE adalah titik parameter ampel terobervai yag palig mugki terjadi. Mekipu demikia, perhatika juga eitivita perubaha data. Lagkah-lagkah utuk meetuka etimai titik dega megguaka metode kemugkia makimum(likelihood):.tetuka L( ) (i).kedua rua beri l (l L( )) (ii) 3.Turuka (ii) atau l L( ) terhadap (iii) 4. Seleaikalah (iii) Cotoh: Mialka,, adalah ampel acak berukura dari ditribui B (; ), dega tidak diketahui. Tetuka peakir titik utuk dega megguaka metode kemugkia Makimum. Peyeleaia: Fugi kepadata peluagdari adalah:
0 F(x; ) = ; x = 0, = 0 ; laiya Fugi kemugkia dari ample acak berukura adalah: L( ) = L( )=[ L( ) = Kemudia kedua rua beri l, ehigga diperoleh: Catata: Tujua di beri tambaha l ialah utuk meghilagka betuk pagkat. Selajutya kita turuka l L( ) terhadap, yaitu:.. = 0 Jadi, peakir kemugkia makimum utuk adalah, yag merupaka rerata empel.. Etimator baye Pedekata Bayeia dalam tatitic ecra fudametal berbeda dega pedekata klaik mome da likelihood. Mekipu demikia, beberapa apek dari pedekata terebut dapat bergua pada beberapa pedekata tatitic yag lai. Dalam pedekata klaik, parameter adalah beara tetep yag tidak diketaui. Sampel radom,,,, diambil dari populai beridek da berdaarka harga-harga terobervai dalam ampel didapat pegetahua tetag. Dalam pedekata Bayeia, dipadag ebagai beara yag variaiya digambarka dega ditribui probabilita(diebut ditribui poterior). Ii adalah ditribui ubjektif. Berdaarka pada keyakia eeorag da dirumuka ebelum data diambil. Kemudia, mapel diambil dari populai beridek da ditribui prior dieuaika dega iformai ampel ii. Prior yag telah dieuaika diebut ditribui poterior. Peyeuaia ii dilakuka dega megguaka atura baye. Itulah keapa diamai tatitic Bayeia.
Mialka,,,, merupaka ebuah ampel acak berukura dari ditribui yag mempuyai fugi kepadata peluag berbetuk f(x; ), dalam hal ii, kita aka meetuka takira baye utuk parameter Lagkah-lagkah utuk meetuka tekira baye bagi adalah:. Tetuka fugi kepadata peluag gabuga dari,,,, (diotaika) dega g(,,,, ) yag didefiiika ebagai berikut: g(,,,, )=f(x ; ). f(x ; ). f(x ; )..f(x ; ). Tetuka fugi deita (theta bear), yag bearya di ambil atau dipilih da dieuaika dega g(,,,, ). Ditribui yag mempuyai deita dari, da diotaika dega, diamaka ditribui prior..peakir baye utuk ditetuka oleh: ) Jika dari peubah acak berbetuk dikrit, maka: ) Jika dari peubah acak berbetuk kotiu, maka: δ(,,,, )= Kemudia hail akhir dari δ(,,,, ) dilakuka perubaha dari x mejadi edagka utuk meetuka ditribui poteriorya diguaka rumu ebagai berikut: Prior tak ejati. Salah atu ifat mearik dari pedekata Baye pada tatitic adalah keederhaaaya. Begitu ditribui prior udah ditetuka, prhituga atura baye dapat lagug dikerjaka. Keederhaaa ii membawa pada uaha utuk megguaka pedekata Bayeia mekipu iformai prior tebata bahka tidak ada ama ekali. Dalam ituai demikia, yag diperluka adalah prior takiformatif, yaitu prior yag tidak memuat iformai tetag. Cotoh : Mialka x x,,x merupaka ebuah ampel acak dari dirtibui B( ; θ), θ Ω = (0,). Tetuka peakir Baye utuk θ Peyeleaia: Fugi kepadata peluag dari adalah:
f(x;θ) = θ (-θ) ; x = 0, = 0 = laiya. Fugi deita gabuga dari,,, adalah: = f(x ; θ). F( θ). f( θ) B. Etimai Iterval Dari peelitia da perhituga-perhituga harga tatitik uatu ampel, bia dihitug uatu iterval dimaa dega peluag tertetu harga parameter yag hedak ditakir terletak dalam iterval terebut. Etimai iterval merupaka ekumpula ilai tatitik ampel dam iterval tertetu yag diguaka utuk megadaka etimai terhadap parameter populai dega harapa bahwa ilai parameter populai terletak dalam iterval terebut. Etimai Rata rata : dalam tatitik di aumika uatu ukura ampel dikataka bear apabila 30, ampel dikataka kecil apabila 30. Etimai rata-rata utuk ampel kecil < 30, maka iterval kofidei utuk m adalah :. t ( - ; a/ ). S μ + t ( - ; α/ ). S Cotoh: Wida, Budi, Roi melakuka pegamata megeai lama uia pakai baterey merk Alkali yag diguaka pada alfalikya maigmaig, meurut mereka dari 4 baterey merk Alfalik terebut rata-rata bia dipakai elama 00 jam dega impaga baku 00 jam, dega iterval kofidei 98% temuka berapa rata-rata uia pakai ebearya dari baterey merk Alkali terebut? Etimaiya: bar = 00 jam. N = 4 S = 00 jam -α = 98% α = 0,0 = 0,0 t-; ) = t(3;0,0) = 4,45 (dari tabel t).
3 bar t (-;a/). S μ bar + t (-;α/). S 00-[4,45. 00 ] µ 00 + [4,45. 00 ] 4 4 754,9 jam µ 546, jam teryata etelah di uji dega iterval kofidei 98%, uia pakai baterey merk Alkali berkiar (ebearya) atara 754,9 jam miimum da 645, jam makimum..4 Peghituga Etimai ESTIMASI RATA-RATA () Kau Sampel Bear ( 30) da atau diketahui Utuk Ifiite Populatio Z Z0. P 0.5 5 jika diketahui Z Z 0. P 0.5 5 jika 30 Utuk Fiite Populatio N N P Z0.5 Z0. 5 N N jika diketahui N N P Z 0.5 Z0. 5 N N jika 30 Kau Sampel Kecil ( 30) da atau tidak diketahui Utuk Ifiite Populatio
4 P t 0.5 ;df t0.5; df Utuk Fiite Populatio N N P t 0.5;df t0.5; df N N dega df = SOAL-SOAL ESTIMASI RATA-RATA. Telah diambil ecara acak ampel yag terdiri dari 00 orag mahaiwa ebuah uiverita di Jakarta. Melalui tet IQ terhadap 00 mahaiwa terebut diperoleh rata-rata IQ ebear da varia 00. Dega megguaka tigkat keyakia (cofidece level) ebear 95%, tetuka iterval kofide utuk ilai rata-rata IQ eluruh mahaiwa uiverita terebut. Diketahui : = 00 00 0 = 0.95 0.5 = 0.05 Z 0.05 =.96 Ditayaka : P(...... ) = 0.95 Jawab : Z Z 0. P 0.5 5 P.96 0 00.96 0 0.95 00
5 P P.96.96 0. 95 0.04 3.96 0. 95 Kita meraa yaki ebear 95% bahwa rata-rata IQ eluruh mahaiwa uiverita terebut atara 0.04 da 3.96 ESTIMASI PROPORSI (p) Kau Sampel Bear ( 30) Utuk Ifiite Populatio pˆ Z pˆ( pˆ) pˆ( pˆ) p pˆ Z0. P 0.5 5 Utuk Fiite Populatio pˆ Z pˆ( pˆ) N pˆ( pˆ) N p pˆ Z0. N N P 0.5 5 Kau Sampel Kecil ( 30) Utuk Ifiite Populatio Ppˆ t 0.5 pˆ( pˆ) pˆ( pˆ) ;df p pˆ t0.5; df Utuk Fiite Populatio Ppˆ t 0.5 pˆ( pˆ) N pˆ( pˆ) N ;df p pˆ t0.5; df N N
6 dega df = SOAL-SOAL ESTIMASI PROPORSI. Dari hail urvey yag dilakuka uatu reearch agecy megeai kebiaaa ibu rumah tagga meyakika tayaga ikla di TV Swata. Teryata diperoleh hail bahwa 76 orag dari 80 orag ibu rumah tagga yag dipilih ecara acak, biaa meyakika tayaga ikla palig edikit jam per miggu. Jika peeliti terebut megguaka taraf kofide ebear 90%, maka tetuka iterval etimai eluruh ibu rumah tagga yag biaa meyakika tayaga ikla palig edikit jam per miggu. Diketahui : Mialka adalah ibu rumah tagga yag biaa meyakika tayaga ikla palig edikit jam per hari. = 80 da = 76 ehigga 76 /80 0. 4 pˆ = 0.90 0.5 = 0.05 Z 0.05 =.645 Ditayaka : P(... p... ) = 0.90 Jawab : pˆ Z pˆ( pˆ) pˆ( pˆ) p pˆ Z0. P 0.5 5 P0.4.645 0.4( 0.4) p 0.4.645 80 0.4( 0.4) 0.90 80 P 0.4 0.0605573 p 0.4 0.0605573 0. 90 P 0.35948468 p 0.4805573 0. 90 P 0.359 p 0.48 0. 90
7 Kita meraa yaki ebear 90% bahwa propori ibu-ibu yag biaa meyakika tayaga ikla palig edikit jam per hari atara 35.9% da 48.% ESTIMASI BEDA DUA RATA-RATA A. Kau σ = σ = σ diketahui : Utuk Ifiite Populatio P Z Z 0.5 0.5 Utuk Fiite Populatio d d P dimaa d Z0.5 (N N) ( ) N N B. Kau σ σ diketahui : Utuk Ifiite Populatio P 0.5 0.5 Z Z Utuk Fiite Populatio d d P
8 dimaa N N ) ( ) N (N Z d 0.5 C. Kau σ = σ tidak diketahui : Utuk Ifiite Populatio t t P p ;df 0.5 p ;df 0.5 Utuk Fiite Populatio d d P dimaa N N ) ( ) N (N t d p ;df 0.5 ) ( ) ( p df = D. Kau σ σ tidak diketahui : Utuk Ifiite Populatio t' t' P Utuk Fiite Populatio
9 d d P dimaa d t' (N N) ( ) N N tw tw t' w w w w t t0.5;df t t0.5;df SOAL-SOAL ESTIMASI BEDA DUA RATA-RATA. Sampel acak yag terdiri dari orag buruh peruahaa A telah diperika teryata rata-rata waktu meyeleaika pekerjaaya per uit barag adalah meit dega tadar deviai meit. Sedagka dari peruahaa B yag ejei diambil ampel acak berukura 0, etelah diperika teryata rata-rata meyeleaika pekerjaa yag ama adalah meit dega tadar deviai 3 meit. Tetukalah iterval keyakia ebear 95% utuk megetimai beda rata-rata waktu peyeleaia pekerjaa emua buruh di peruahaa A da peruahaa B. Aumi = Diketahui : = = = 0 = 3 Karea = tidak diketahui, maka diguaka rumu iterval kofide utuk kau C. Sehigga = 0.95 = 0.05 dega 0.5 = 0.05 da df = 40 dari tabel t diperoleh t 0.05;df=40 =.0 Ditayaka : P...... 0. 95
0 Jawab : P t t 0.5;df p 0.5;df p p ( ) ( ).5487635 ( ) (0 )3 p 0 p = P.0(.5487635).0(.5487635) 0 0.576538987.576538987 0. 95 P 0.576538987.576538987 0. 95 P 0.58.58 0. 95 P Kita meraa yaki ebear 95% bahwa beda rata-rata waktu peyeleaia pekerjaa emua buruh di peruahaa A da peruahaa B atara 0.58 da.58 meit. ESTIMASI BEDA DUA PROPORSI Kau Sampel Bear Utuk Ifiite Populatio (pˆ pˆ ) d p p (pˆ pˆ ) d P
d Z0.5 pˆ ( pˆ ) pˆ ( pˆ ) Utuk Fiite Populatio (pˆ pˆ ) d p p (pˆ pˆ ) P d Z0.5 pˆ ( pˆ ) pˆ ( pˆ ) N N N N Kau Sampel Kecil Utuk Ifiite Populatio (pˆ pˆ ) d p p (pˆ pˆ ) d P d t0.5;df pˆ ( pˆ ) pˆ ( pˆ ) Utuk Fiite Populatio (pˆ pˆ ) d p p (pˆ pˆ ) P N N pˆ ( pˆ ) pˆ ( pˆ ) d t0.5;df N N
SOAL-SOAL ESTIMASI DUA PROPORSI. Dua ampel acak maig-maig terdiri 700 mahaiwa da 500 mahaiwi yag megujugi uatu bazar buku murah. Teryata etelah kedua ampel terebut diperika, terdapat 39 mahaiwa da 35 mahaiwi yag meraa pua dega adaya bazar terebut. Tetuka iterval kofide ebear 98% utuk megetimai perbedaa propori mahaiwa da mahaiwi yag meraa pua terhadap bazar buku murah terebut. pˆ Diketahui : = 700 x = 39 39 700 0.56 = 500 x = 35 pˆ 35 500 0.65 Karea ampelya bear, maka = 0.98 0.5 = 0.0 Z 0.0 =.3 Ditayaka : P( p p ) = 0.98 Jawab : d Z0.5 d.3 pˆ ( pˆ ) pˆ ( pˆ ) 0.56( 0.56) 0.65( 0.65) 0.065905969 700 500 (pˆ pˆ ) d p p (pˆ pˆ ) d P (0.56 0.65) 0.066 p p (0.56 0.65) 0.66 0. 98 P 0.09 0.066 p p 0.09 0.066 0. 98 P 0.56 p p 0.04 0. 98 P
3 Kita meraa yaki ebear 98% propori mahaiwi yag meraa pua terhadap bazar buku lebih bear daripada mahaiwa atara.4% da 5.6%. MENENTUKAN UKURAN SAMPEL DALAM ESTIMASI PARAMETER SECARA STATISTIS Dalam etimai parameter ecara tatiti, ukura ampel () miimal dapat dihitug jika diketahui :. Bearya etimatio error (d) makimal yag dikehedaki. Tigkat keyakia (level of cofidece) yag dikehedaki 3. Parameter yag aka dietimai 4. Stadar error (tadar deviai tatitik) berdaarka hail urvey terdahulu atau aumi Jika yag aka dietimai adalah rata-rata () : Z 0. 5 d Z 0 5. d Z 0.5 d Z0.5 d Jika yag aka dietimai adalah propori (p) : p( p) Z 0. 5 d p( p) Z 0. 5 d Z 0. 5 p( p d Z 0.5 p( p) d Z 0.5 p( p) d
4