Nama : Deami Astenia Purtisari Nim : 125100300111014 Kelas : L / TIP A. Integral Integral merupakan konsep yang bermanfaat, kegunaan integral terdapat dalam berbagai bidang. Misalnya dibidang ekonomi, astronomi, pemodelan dalam biologi, ilmu fisika, dan ilmu biologi. Pada prinsipnya terdapat dua cara dalam memandang integral, yaitu integral dipandang sebagai anti turunan dan integral dipandang sebagai jumlah riemann. Integral sebagai anti turunan atau antidiferensial : fungsi F disebut antiturunan dari f pada selang I jika berlaku () = F (x)= f(x)untuk semua x dalam I. Misalnya F(x) = 3x³+5 memiliki turunan F (x)= f(x)= 9x², maka F antiturunan dari f. Akan tetapi fungsi G(x) = 3x³+6 juga memenuhi G (x)=9x². oleh karena itu, F dan G keduanya merupakan anti turunan dari f. Jika F dan G adalah dua antiturunan dari f, maka berlaku F (x) = f(x) = G (x) sehingga G(x) - F(x) = C dengan C konstanta atau dapat dituliskan F(x) G(x) = C. jadi antiturunan dari f(x) = 9x² adalah F(x)= 3x³ + C. Integral disimbolkan dengan. Notasi integral sebagai antiturunan dapat dituliskan sebagai berikut : Jika F(x) memiliki turunan F (x) = f(x), maka integral f(x) = F(x)+C. B. Integral Tak Tentu 1. Integral sebagai antiturunan Integral dapat dipandang sebagai antiturunan. Oleh karena itu, menentukan integral suatu fungsi menggunakan antiturunan. Rumus umum anti turunan fungsi aljabar dengan a dan C konstanta sembarang adalah sebagai berikut : Antiturunan dari f(x) = ax n adalah F(x) = xn +¹ + C dengan n -1, a dan C adalah konstanta sembarang. 2. Integral tak tentu Secara umum, notasi integral dapat ditulis : f(x) = F(x) + C 3. Integral fungsi aljabar xᵑ = ᵑ ¹ + C, dengan n -1 dan C konstanta sembarang
secara umum rumus dasar integral tak tentu fungsi aljabar sebagai berikut : xᵑ = ᵑ ¹ + C, dengan n -1 axᵑ = xn +¹ + C dengan n -1 af(x) = a f(x) k = kx + C Contoh soal : 1. Tentukan integral berikut dengan menggunakan rumus integral tak tentu : a. b. 8x ³ c. Jawaban : a. = ʃ 1 b. 8x ³ = = xº+¹ +C = x +C x ³+¹ +C = x ² + C = -4x ² + C c. = x ¹/² = = x¹/² +¹ +C x ³/² +C = x +C 4. Aljabar fungsi trigonometri Hubungan integral tak tentu dengan fungsi trigonometri : a. cos x = sin x + C b. sec² x = tan x + C c. sec x tan x = sec x + C d. sin x = -cos x + C e. csc² x = -cot x + C
f. csc x cot x = -csc x + C dengan C konstanta sembarang Contoh soal : 1. 2sin x = 2 sin x = -2 cos x + C 2. =. ² = tan x sec x = sec x + C 5. Sifat kelinearan tak tentu Sifat kelinearan integral tak tentu sangat memudahkan kita dalam dalam mengerjakan berbagai soal. Kelinearan ini menyangkut dua operasi, yaitu : C. Integral Tentu 1. Perkalian integran dengan bilangan real 2. Penjumlahan atau perkurangan dua fungsi integran Misalnya, jika k suatu konstanta, f(x) dan g(x) adalah fungsi yang terintegralkan, maka berlaku sifat berikut : 1. kf(x) = k f(x) 2. {f(x) ± g(x)} = f(x) ± g(x) Menghitung integral dengan menggunakan teorema dasar kalkulus : Andaikan fungsi f kontinu pada interval [a,b] dan andaikan F sebarang anti turunan dari f pada selang tersebut maka () Sifat-sifat integral tentu = F(b) F(a) Misalkan, f(x) dan g(x) adalah fungsi-fungsi yang terintegralkan pada [a,b] dan k suatu konstanta maka berlaku sifat berikut : 1. () 2. () 3. = 0 = - () f(x) = k () 4. {()±()} 5. () = () = () ± () + (), dengan a < t < b 6. () 0, jika f(x) 0 pada interval [a,b]
7. () 0, jika f(x) 0 pada interval [a,b] D. Integral Subtitusi (²)² Misalkan, u=x²+2x+6 maka du= (2x+2) = 2(x+1) Perhatikan bahwa untuk x=0 maka u=6 dan x=1 maka u=9. Jadi ( )² ( )² = () = ² = ² du du = [- ] =- (- ) = E. Aplikasi Integral Tentu untuk Menghitung Luas Daerah dan Volume Benda Putar 1. Aplikasi integral tentu untuk menghitung luas daerah Misalkan, sebuah bus melaju dengan kecepatan tetap 15m/detik selama selang waktu 20 detik, diberikan oleh fungsi r(t) = f(t) = 15 Dengan t diukur dalam detik dan f(t) dalam meter/sekon. Kemudian jarak total yang telah ditempuh bus selama selang waktu yang diberikan adalah (15) (20-0) atau 60 meter. Perhatikan kurva berikut : Pada kurva diatas dapat dilihat bahwa jarak total ini tepat sama dengan luas daerah persegi panjang di bawah kurva f, di atas sumbu t, di sebelah kiri t = 0, dan di sebelah kanan t = 20. Perhatikan kurva ke 2 di bawah ini.
Pada kurva di atas menunjukkan kecepatan nyata dari sebuah bus tertentu selama selang waktu 20 sekon. Perhatikan bahwa kecepatan busa tidaklah tetap yang berarti fungsi r(t) tidaklah tetap atau fungsu f bukanlah fungsi terapan. 2. Menggunakan integral tentu untuk menghitung luas daerah Sebelumnya telah di bahas untuk kurva y = f(x), dengan f(x) > 0 dalam selang [a,b] maka integral tentu ( ) menyatakan luas daerah antara kurva y = f(x), sumbu x (garis y = 0), garis vertikal x = a dan x b. Secara umum, pernyataan ini diilustrasikan pada kurva berikut 3. Menentukan luas daerah antara dua kurva Misalkan, konsumsi minyak sebuah negara tertentu diharapkan bertumbuh pada laju f(t) juta barrel per tahun, t tahun dari sekarang selama periode 5 tahun berikutnya. Konsumsi minyak negara tersebut selama periode yang di tanyakan diberikan oleh luas dibawah kurva f pada selang [0,5]. Selanjutnya, misalkan karena penerapan konservasi energi yang teratur, laju pertumbuhan konsumsi minyak diharapkan menjadi g(t) juta pertahun. Laju pertumbuhan konsumsi minyak diharapkan menjadi g(t) juta per tahun. Proyeksi konsumsi total minyak selama periode 5 tahun diberikan oleh luas daerah dibawah kurba pada selang [0,5].
Keterangan : Gambar 1.19 Pada laju konsumsi f(t) juta barrel per tahun, konsumsi total minyak diberikan oleh luas daerah dibawah kurva f. Gambar 1.20 Pada laju konsumsi g(x) juta barrel pertahun, konsumsi total minyak diberikan oleh luas daerah di bawah kurva g. Oleh karena itu, daerah yang diwarnai S terletak di antara kurva f dan g pada selang [0.5] memberikan jumlah minyak yang akan dihemat selama periode 5 tahun karena konversi energi yang teratur. Akan tetapi, luas S diberikan oleh daerah dibawah kkurva f pada [0,5] dikurangi daerah di bawah kurva g pada [0,5]. F. Aplikasi Integral dalam Ekonomi Integral digunakan dalam analisis ekonomi dengan berbagai cara. 1. Dari fungsi marjinal kefungsi total Bila diketahui fungsi total (misalnya, fungsi total biaya), proses diferensiasi dapat menghasilkan fungsi marjinal (misalnya, fungsi biaya marjinal). Karena proses integrasi merupakan kebalikan dari diferensiasi, hal ini sebaliknya akan memungkinkan kita untuk mencari fungsi total dari fungsi marjinal tertentu. Contoh : Jika kecenderungan menabung marjinal Marjinal Propensity to Save = (MPS)-merupakan fungsi pendapatan berikut, S (Y) = 0,3-0,1Y ¹/ ², dan jika tabungan agregat S adalah nol bila pendapatan Y adalah 81, carilah fungsi tabungan S(Y). karena MPS merupakan derivatif dari fungsi S, masalahnya sekarang adalah mencari integrasi dari gungsi S (Y) : S(Y) = (0,3 0,1Y ¹/ ²)dY = 0,3Y 0,1Y¹/² +C Nilai spesifik konstanta C dapat diperoleh dari kenyataan bahwa S =0 bila Y=81. Meskipun dikatakan secara tegas bahwa hal ini bukanlah kondisi awal, mensubtitusikan informasi ini kedalam integral sebelumnya akan membantu untuk menentukan C, karena 0 = 0,3(81) 0,2(9) + C, C= -22,5 Fungsi tabungan yang diinginkan adalah S(Y) = 0,3Y 0,1Y¹/² -22,5
2. Investasi dan pembentukan modal Pembentukan modal adalah proses penjumlahan persediaan atau stok modal. Dengan menganggap proses ini sebagai proses yang kontinu sepanjang waktu, sehingga kita bisa menyatakan persediaan modal sebagai suatu fungsi waktu. Persediaan modal K dan investasi netto I dengan dua persamaan berikut : = I(t) dan K(t) = I(t) dt = dt = dk Persamaan pertama merupakan suatu identitas yang menunjukkan sinonimitas antara investasi netto dan pertambahan modal.
DAFTAR PUSTAKA Listya.Tri dewi, Herawati.2007. Matematika SMA Kelas XII. Jakarta : Grafindo Media Pratama Marsigit, dkk. 2008. Matematika 3. Jakarta : Penerbit Quadra Wainwright. Kevin.2005. Dasar-dasar Matematika Ekonomi Edisi 4: Erlangga