SISTEM BILANGAN RIIL DAN FUNGSI

SISTEM BILANGAN RIIL DAN FUNGSI Matematika Juni 2016 Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 1 / 67

Outline 1 Sistem Bilangan Riil Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 2 / 67

Outline 1 Sistem Bilangan Riil 2 Ketaksamaan dan Nilai Mutlak Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 2 / 67

Outline 1 Sistem Bilangan Riil 2 Ketaksamaan dan Nilai Mutlak 3 Sistem Koordinat Segi Empat Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 2 / 67

Outline 1 Sistem Bilangan Riil 2 Ketaksamaan dan Nilai Mutlak 3 Sistem Koordinat Segi Empat 4 Fungsi dan Grafiknya Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 2 / 67

Outline 1 Sistem Bilangan Riil 2 Ketaksamaan dan Nilai Mutlak 3 Sistem Koordinat Segi Empat 4 Fungsi dan Grafiknya 5 Jenis-Jenis Fungsi Fungsi Polynomial Fungsi Pangkat (Power function) Fungsi Rasional Fungsi Aljabar Fungsi Trigonometri Fungsi Exponensial Fungsi Logaritma Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 2 / 67

Outline 1 Sistem Bilangan Riil 2 Ketaksamaan dan Nilai Mutlak 3 Sistem Koordinat Segi Empat 4 Fungsi dan Grafiknya 5 Jenis-Jenis Fungsi Fungsi Polynomial Fungsi Pangkat (Power function) Fungsi Rasional Fungsi Aljabar Fungsi Trigonometri Fungsi Exponensial Fungsi Logaritma 6 Translasi dan Dilatasi Fungsi Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 2 / 67

Sistem Bilangan Riil Kalkulus merupakan studi berdasarkan sistem bilangan riil dan sifat-sifatnya. Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 4 / 67

Sistem Bilangan Riil Kalkulus merupakan studi berdasarkan sistem bilangan riil dan sifat-sifatnya. Himpunan bilangan yang paling sederhana adalah Himpunan bilangan asli N = {1, 2, 3, 4,... } bilangan ini digunakan salah satunya untuk menghitung, misalnya menghitung banyaknya buku, uang atau barang yang kita miliki. Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 4 / 67

Sistem Bilangan Riil Kalkulus merupakan studi berdasarkan sistem bilangan riil dan sifat-sifatnya. Himpunan bilangan yang paling sederhana adalah Himpunan bilangan asli N = {1, 2, 3, 4,... } bilangan ini digunakan salah satunya untuk menghitung, misalnya menghitung banyaknya buku, uang atau barang yang kita miliki. Apabila kita sertakan bilangan negatif dan nol maka kita dapatkan Himpunan bilangan bulat (integer) I = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 4 / 67

Sistem Bilangan Riil Namun untuk mengukur misalnya panjang atau berat sesuatu, bilangan bulat tidaklah cukup. Selanjutnya kita tinjau himpunan bilangan yang merupakan rasio atau perbandingan dari dua bilangan seperti berikut : 3 4, 7 8, 21 5, 19 2, 16 2 dan 17 1 Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 5 / 67

Sistem Bilangan Riil Namun untuk mengukur misalnya panjang atau berat sesuatu, bilangan bulat tidaklah cukup. Selanjutnya kita tinjau himpunan bilangan yang merupakan rasio atau perbandingan dari dua bilangan seperti berikut : 3 4, 7 8, 21 5, 19 2, 16 2 dan 17 1 Perhatikan bahwa 16 17 2 = 8 dan 1 = 17 hal ini menunjukkan bahwa ada himpunan bilangan yang memuat himpunan bilangan bulat. Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 5 / 67

Sistem Bilangan Riil Namun untuk mengukur misalnya panjang atau berat sesuatu, bilangan bulat tidaklah cukup. Selanjutnya kita tinjau himpunan bilangan yang merupakan rasio atau perbandingan dari dua bilangan seperti berikut : 3 4, 7 8, 21 5, 19 2, 16 2 dan 17 1 Perhatikan bahwa 16 17 2 = 8 dan 1 = 17 hal ini menunjukkan bahwa ada himpunan bilangan yang memuat himpunan bilangan bulat. Himpunan bilangan ini dinamakan Himpunan bilangan rasional yaitu : Q = { p p, q I} q Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 5 / 67

Sistem Bilangan Riil Apakah himpunan bilangan rasional Q sudah mencakup semua bilangan? Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 6 / 67

Sistem Bilangan Riil Apakah himpunan bilangan rasional Q sudah mencakup semua bilangan? Perhatikan gambar berikut : 2, 3, 7 bukan bilangan rasional sama halnya dengan π. Himpunan bilangan ini dinamakan himpunan bilangan Irrasional Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 6 / 67

Sistem Bilangan Riil Himpuan bilangan yang memuat semua bilangan Rasional dan Irasional dinamakan Himpunan bilangan Riil R Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 7 / 67

Sistem Bilangan Riil Himpuan bilangan yang memuat semua bilangan Rasional dan Irasional dinamakan Himpunan bilangan Riil R Salah satu ciri yang membedakan bilangan riil dan bilangan rasional adalah pada bilangan riil angka di belakang koma tidak membentuk pola, contohnya π = 3, 1415926535... Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 7 / 67

Ketaksamaan Bilangan riil dapat dinyatakan dalam garis bilangan sebagai berikut : Bilangan riil memiliki sifat urutan. Misalkan a, b R. Jika b a > 0 maka a kurang dari b ditulis a < b. Secara geometris bilangan a terletak di kiri bilangan b. a b(atau b a) artinya a kurang dari atau sama dengan b. Berikut ini adalah pernyataan ketaksamaan bernilai benar : 7 < 7, 4 < 7, 5 3 > π 2 < 2 2 2 2 2 Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 9 / 67

Ketaksamaan Suatu himpunan bilangan dapat dinyatakan dalam 3 cara : 1 Dengan kata kata Contoh A = { Himpunan bilangan asli dari 1 sampai 6} 2 Dengan mendaftarkan anggota-anggotanya Contoh : A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 3 Dengan notasi himpunan Contoh : A = {x 0 < x < 7, x N} Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 10 / 67

Interval Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 11 / 67

Ketaksamaan Contoh: Tentukan semua riil x yang memenuhi ketaksamaan berikut : 1 4 3x 2 < 13 2 x 2 5x + 6 0 Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 12 / 67

Latihan Tentukan semua riil x yang memenuhi ketaksamaan berikut : 1 x 7 < 2x 5 2 4 < 3x + 2 < 5 3 x 2 + 2x 12 < 0 4 x+4 x 3 0 5 2 x < 5 6 x 3 x 2 x + 1 > 0 Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 13 / 67

Nilai Mutlak Definisi Nilai mutlak dari suatu bilangan riil x dinotasikan x adalah { x jika x 0 x = x jika x < 0 Contoh : 6 = 6 0 = 0 5 = 5 3 ( 2) = 2 3 = 5 x a = a x Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 14 / 67

Nilai Mutlak Definisi Nilai mutlak dari suatu bilangan riil x dinotasikan x adalah { x jika x 0 x = x jika x < 0 Contoh : 6 = 6 0 = 0 5 = 5 3 ( 2) = 2 3 = 5 x a = a x Catatan : x dapat diartikan sebagai jarak dari x ke titik asal 0. Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 14 / 67

Nilai Mutlak Sifat-sifat Nilai Mutlak : 1 ab = a b 2 a b = a b 3 a + b a + b (Ketaksamaan Segitiga) 4 a b a b Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 15 / 67

Ketaksamaan Nilai Mutlak x < 3 menyatakan jarak dari x ke 0 kurang dari 3, artinya nilai x yang memenuhi adalah 3 < x < 3. x > 3 menyatakan jarak dari x ke 0 lebih dari 3, artinya nilai x yang memenuhi adalah x < 3 atau x > 3 Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 16 / 67

Ketaksamaan Nilai Mutlak x < 3 menyatakan jarak dari x ke 0 kurang dari 3, artinya nilai x yang memenuhi adalah 3 < x < 3. x > 3 menyatakan jarak dari x ke 0 lebih dari 3, artinya nilai x yang memenuhi adalah x < 3 atau x > 3 Ketaksamaan Nilai Mutlak Jika a > 0 maka berlaku x < a a < x < a x > a x < a atau x > a Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 16 / 67

Latihan 1 Tentukan semua nilai x yang memnuhi 3x 5 1 2 Misalkan ε (epsilon) adalah bilangan positif. Tunjukkan bahwa x 2 < ε 5 5x 10 < ε 3 Misalkan ε bilangan positif. Tentukan bilangan positir δ (delta) sedemikan sehingga x 3 < δ 6x 18 < ε 4 Sebuah gelas berbentuk tabung berukuran 1 2 liter (500 cm3 ) mempunyai diameter 5 cm. Tentukan seberapa akuratkah kita harus mengukur tinggi air h dalam gelas untuk meyakinkan bahwa kita mempunyai 1 2 liter air dengan error( kesalahan) pengukuran kurang dari 1% (error kurang dari 5 cm 3 ). Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 17 / 67

Sistem Koordinat Segi Empat Setiap titik pada bidang dapat dinyatakan dalam pasangan dua bilangan riil (a, b) Figure: Sistem koordinat kartesius Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 19 / 67

Sistem Koordinat Segi Empat Setiap titik pada bidang dapat dinyatakan dalam pasangan dua bilangan riil (a, b) Figure: Sistem koordinat kartesius Garis horizontal dinamakan sumbu -x dan garis vertikal dinamakan sumbu-y. Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 19 / 67

Sistem Koordinat Segi Empat Setiap titik pada bidang dapat dinyatakan dalam pasangan dua bilangan riil (a, b) Figure: Sistem koordinat kartesius Garis horizontal dinamakan sumbu -x dan garis vertikal dinamakan sumbu-y. Titik P (a, b) menyatakan a pada sumbu x dan b pada sumbu y. Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 19 / 67

Sistem Koordinat Segi Empat Garis horizontal dinamakan sumbu -x dan garis vertikal dinamakan sumbu-y. Titik P (a, b) menyatakan a pada sumbu x dan b pada sumbu y. Sistem Dosen : Dadang koordinat Amir Hamzah ini dinamakanmatematika sistem koordinat Kartesius. Juni 2016 19 / 67 Setiap titik pada bidang dapat dinyatakan dalam pasangan dua bilangan riil (a, b) Figure: Sistem koordinat kartesius

Rumus Jarak Misal diberikan dua titik P 1 (x 1, y 1 ) dan P 2 (x 2, y 2 ) pada bidang Kartesius. Bagaimana menentukan jarak P 1 ke P 2 (atau sebaliknya)? Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 20 / 67

Rumus Jarak Misal diberikan dua titik P 1 (x 1, y 1 ) dan P 2 (x 2, y 2 ) pada bidang Kartesius. Bagaimana menentukan jarak P 1 ke P 2 (atau sebaliknya)? Perhatikan gambar berikut : Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 20 / 67

Rumus Jarak Misal diberikan dua titik P 1 (x 1, y 1 ) dan P 2 (x 2, y 2 ) pada bidang Kartesius. Bagaimana menentukan jarak P 1 ke P 2 (atau sebaliknya)? Perhatikan gambar berikut : Misal P 1 P 2 menyatakan jarak titik P 1 ke P 2. Dari gambar didapat P 1 P 2 = P 1 P 3 2 + P 2 P 3 2 = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 20 / 67

Persamaan garis Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 21 / 67

Persamaan garis Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 22 / 67

Persamaan Lingkaran Lingkaran adalah himpunan titik-titik P (x, y) yang mempunyai jarak yang sama r terhadap satu titik C(h, k). Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 23 / 67

Persamaan Lingkaran Lingkaran adalah himpunan titik-titik P (x, y) yang mempunyai jarak yang sama r terhadap satu titik C(h, k). Persamaan lingkaran dengan pusat (h, k) dan jari-jari r adalah : r 2 = (x h) 2 + (y k) 2 Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 23 / 67

Fungsi Fungsi berperan ketika suatu kuantitas bergantung pada kuantitas yang lain. Perhatikan kasus-kasus berikut : Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 25 / 67

Fungsi Fungsi berperan ketika suatu kuantitas bergantung pada kuantitas yang lain. Perhatikan kasus-kasus berikut : 1 Misal A dan r menyatakan luas dan jari-jari lingkaran. Nilai A bergantung pada nilai r yakni A = πr 2. Setiap satu bilangan positif r terdapat satu bilangan positif A. Dalam hal ini A adalah fungsi dari r. Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 25 / 67

Fungsi Fungsi berperan ketika suatu kuantitas bergantung pada kuantitas yang lain. Perhatikan kasus-kasus berikut : 1 Misal A dan r menyatakan luas dan jari-jari lingkaran. Nilai A bergantung pada nilai r yakni A = πr 2. Setiap satu bilangan positif r terdapat satu bilangan positif A. Dalam hal ini A adalah fungsi dari r. 2 Misal C dan w menyatakan ongkos dan berat untuk mengirim sebuah surat. Ongkos mengirim surat C bergantung pada berat surat w. Suatu perusahaan pengiriman mempunyai aturan untuk menentukan C berdasarkan berat w. Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 25 / 67

Fungsi Fungsi berperan ketika suatu kuantitas bergantung pada kuantitas yang lain. Perhatikan kasus-kasus berikut : 1 Misal A dan r menyatakan luas dan jari-jari lingkaran. Nilai A bergantung pada nilai r yakni A = πr 2. Setiap satu bilangan positif r terdapat satu bilangan positif A. Dalam hal ini A adalah fungsi dari r. 2 Misal C dan w menyatakan ongkos dan berat untuk mengirim sebuah surat. Ongkos mengirim surat C bergantung pada berat surat w. Suatu perusahaan pengiriman mempunyai aturan untuk menentukan C berdasarkan berat w. Kedua contoh diatas menjelaskan bahwa terdapat aturan yang memasangkan r dan w ke A dan C. Dalam hal ini A dan C merupakan fungsi dalam r dan w. Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 25 / 67

Fungsi Definisi Suatu fungsi f adalah aturan yang memasangkan setiap x anggota D ke tepat satu f(x) anggota E. D dan E adalah himpunan bilangan riil. D dinamakan domain/ asal dari f. f(x) adalah nilai f di x. Range / hasil dari f adalah himpunan semua nilai dari f(x) di setiap x D. x D dinamakan variabel bebas dan f(x) E dinamakan variabel terikat. Dalam contoh sebelumnya r dan w adalah variabel bebas, sedangkan A dan C adalah variabel terikat. Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 26 / 67

Fungsi Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 27 / 67

Fungsi Cara untuk memvisualisasikan fungsi adalah dengan grafik. Jika f adalah fungsi dengan domain D maka grafik dari f adalah himpunan {(x, f(x)) x D} Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 27 / 67

Fungsi Contoh: Sketsa grafik serta tentukan domain dan range dari fungsi-fungsi berikut : a. f(x) = 2x 1 b. g(x) = x 2 Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 28 / 67

Fungsi Contoh: Sketsa grafik serta tentukan domain dan range dari fungsi-fungsi berikut : a. f(x) = 2x 1 b. g(x) = x 2 Solusi : Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 28 / 67

Fungsi Contoh: Sketsa grafik serta tentukan domain dan range dari fungsi-fungsi berikut : a. f(x) = 2x 1 b. g(x) = x 2 Solusi : a. Domain D = (, ), Range R f = (, ) Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 28 / 67

Fungsi Contoh: Sketsa grafik serta tentukan domain dan range dari fungsi-fungsi berikut : a. f(x) = 2x 1 b. g(x) = x 2 Solusi : a. Domain D = (, ), Range R f = (, ) b. Domain D = (, ), Range R f = [0, ) Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 28 / 67

Latihan 1 Misal f(x) = 2x 2 5x + 1 dan h 0, Tentukan f(a+h) f(a) h. 2 Sebuah kotak tanpa tutup mempunyai volume 10cm 3. ukuran panjangnya dua kali ukuran lebarnya. Harga material untuk mambuat alasnya $10 per meter persegi, harga material untuk membuat sisi nya $6 per meter persegi. Nyatakan harga material sebagai fungsi dari lebar kotak. 3 Tentukan domain dan range dari fungsi-fungsi berikut a. f(x) = x + 2 b. g(x) = 1 x 2 x Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 29 / 67

Fungsi Sebagian (Piecewise Function) Misal diberikan fungsi sebagai berikut : { 1 x jika x 1 f(x) = x 2 jika x > 1 Tentukan f( 2), f( 1), dan f(0). Kemudian sketsa grafiknya. Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 30 / 67

Fungsi Ganjil dan Fungsi Genap Fungsi ganjil dan genap Fungsi f disebut fungsi ganjil apabila memenuhi f( x) = f(x). Fungsi f disebut fungsi genap apabila memenuhi Contoh:.f(x) = x 3 adalah fungsi ganjil. f(x) = x 2 adalah fungsi genap. f( x) = f(x). Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 31 / 67

Fungsi Polynomial Definisi Fungsi P dengan bentuk P (x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 dinamakan fungsi polynomial, dimana n adalah bilangan bulat tak negatif dan a 0, a 1,..., a n adalah konstanta riil dinamakan koefisien. Domain dari polynomialp (x) adalah R = (, ). Jika leading koefisien a n 0 maka n menyatakan derajat polynomial tersebut. Contoh : P (x) = 2x 6 x 4 + 2 5 x3 + 2 adalah polynomial berderajat 6. Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 34 / 67

Fungsi Polynomial Jika n = 1 maka P (x) = a 1 x + a 0 = mx + b dinamakan fungsi linear, grafiknya berupa garis. Jika n = 2 maka P (x) = a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = ax 2 + bx + c dinamakan fungsi kuadrat, grafiknya berupa parabola. Jika n = 3 maka P (x) = a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = ax 3 + bx 2 + cx + d dinamakan fungsi kubik. Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 35 / 67

Fungsi Polynomial Figure: Contoh fungsi kuadrat Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 36 / 67

Fungsi Polynomial Figure: Contoh fungsi kubik Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 37 / 67

Fungsi Pangkat Definisi Fungsi f(x) = x a dengan a konstanta riil dinamakan fungsi pangkat (power function) Jika n = bilangan bulat positif maka f(x) menjadi polynomial. Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 39 / 67

Fungsi Pangkat (Power function) Jika n = 1 n dengan n bilangan asli, makaf(x) = xn dinamakan fungsi akar. Figure: grafik fungsi akar Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 40 / 67

Fungsi Rasional Definisi Fungsi f dengan bentuk f(x) = P (x) Q(x) dimana P (x) dan Q(x) 0 fungsi-fungsi polynomial, dinamakan fungsi rasional. Contoh : f(x) = 1 x, Domain D f = R {0}, Range R f = R {0} f(x) = 2x4 x 2 +1 x 2 4, Domain D f = R { 2, 2}, Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 42 / 67

Fungsi Aljabar Definisi Suatu fugsi f disebut fungsi aljabar apabila fungsi tersebut dibangun oleh operasi-operasi aljabar seperti tambah, kurang, kali, bagi dan akar dari suatu polynomial. Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 44 / 67

Fungsi Exponensial Bentuk umum fungsi exponensial adalah f(x) = b x dimana b adalah konstanta positif. Perhatikan apabilax = n, bilangan bulat positif, maka b n = b b b... b }{{} n faktor Kemudian apabila x = 0, maka b 0 = 1, dan apabila x = n,dimana n bilangan bulat positif, maka b n = 1 b n Apabila x bilangan rasional, x = p q, dimana p dan q bilangan bulat dengan q > 0 maka b x = b p q = q b p = ( q b ) p Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 47 / 67

Fungsi Exponensial Apa arti dari b x untuk x bilangan irasional? Misalnya apa arti dari 2 3 atau 5 π Perhatikan grafik fungsi y = 2 x untuk x bilangan rasional sebagai berikut : Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 48 / 67

Fungsi Exponensial Kita perluas domain y = 2 x untuk x bilangan rasional dan irasional. Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 49 / 67

Fungsi Exponensial Kita perluas domain y = 2 x untuk x bilangan rasional dan irasional. Definisikan fungsi f(x) = 2 x untuk x R. Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 49 / 67

Fungsi Exponensial Kita perluas domain y = 2 x untuk x bilangan rasional dan irasional. Definisikan fungsi f(x) = 2 x untuk x R. Fungsi f adalah fungsi naik (grafiknya naik seiring x bertambah) Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 49 / 67

Fungsi Exponensial Kita perluas domain y = 2 x untuk x bilangan rasional dan irasional. Definisikan fungsi f(x) = 2 x untuk x R. Fungsi f adalah fungsi naik (grafiknya naik seiring x bertambah) Karena 3 memenuhi 1.7 < 3 < 1.8 maka haruslah 2 1.7 < 2 3 < 2 1.8 Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 49 / 67

Fungsi Exponensial Kita perluas domain y = 2 x untuk x bilangan rasional dan irasional. Definisikan fungsi f(x) = 2 x untuk x R. Fungsi f adalah fungsi naik (grafiknya naik seiring x bertambah) Karena 3 memenuhi 1.7 < 3 < 1.8 maka haruslah 2 1.7 < 2 3 < 2 1.8 Kita dapat hampiri 2 3 lebih akurat dengan cara berikut : 1.73 < 3 < 1.74 2 1.73 < 2 3 < 2 1.74 1.732 < 3 < 1.733 2 1.732 < 2 3 < 2 1.733 1.7320 < 3 < 1.7321 2 1.7320 < 2 3 < 2 1.7321.... Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 49 / 67

Fungsi Exponensial ini artinya ada bilagan yang lebih besar dari 2 1.7 2 1.73 2 1.732 2 1.7320 dan lebih kecil dari 2 1.8 2 1.74 2 1.733 2 1.7321 Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 50 / 67

Fungsi Exponensial ini artinya ada bilagan yang lebih besar dari dan lebih kecil dari 2 1.7 2 1.73 2 1.732 2 1.7320 2 1.8 2 1.74 2 1.733 2 1.7321 Kita definisikan 2 3 adalah bilangan tersebut. Dengan cara approksimasi hampiran dari 2 3 adalah 2 3 3.321997 Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 50 / 67

Fungsi Exponensial ini artinya ada bilagan yang lebih besar dari dan lebih kecil dari 2 1.7 2 1.73 2 1.732 2 1.7320 2 1.8 2 1.74 2 1.733 2 1.7321 Kita definisikan 2 3 adalah bilangan tersebut. Dengan cara approksimasi hampiran dari 2 3 adalah 2 3 3.321997 Dengan cara yang sama kita bisa definisikan 2 x (atau b x, untuk b > 0) dimana x bilangan irasonal. Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 50 / 67

Fungsi Exponensial Berikut ini adalah grafik f(x) = 2 x untuk x R : Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 51 / 67

Fungsi Exonensial Berikut ini adalah grafik fungsi f(x) = b x dengan x R dan b > 0 untuk berbagai nilai b : Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 52 / 67

Fungsi Exponensial Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 53 / 67

Bilangan e Pemilihan basis b dari fungsi y = b x didasarkan pada bagaimana grafiknya memotong sumbu y. Gambar berikut memperlihatkan garis singgung grafik y = 2 x dan y = 3 x di titik (0, 1) dengan m menyatakan gradien grais singung tersebut. Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 54 / 67

Bilangan e Pada bab Fungsi transenden kita akan melihat bahwa banyak hal dalam masalah nyata dapat dideskripsikan secara sederhana apabila kita memilih b sehingga gradien garis singgung grafik fungsi y = b x di titik (0, 1) adalah 1 (m = 1). Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 55 / 67

Bilangan e Pada bab Fungsi transenden kita akan melihat bahwa banyak hal dalam masalah nyata dapat dideskripsikan secara sederhana apabila kita memilih b sehingga gradien garis singgung grafik fungsi y = b x di titik (0, 1) adalah 1 (m = 1). Bilangan yang memenuhi adalah bilangan yang dinotasikan e. Notasi ini diperkenalkan oleh Leonhard Euler pada tahun 1927, yang merupakan singkatan dari kata exponensial. e 2.71828 Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 55 / 67

Bilangan e Pada bab Fungsi transenden kita akan melihat bahwa banyak hal dalam masalah nyata dapat dideskripsikan secara sederhana apabila kita memilih b sehingga gradien garis singgung grafik fungsi y = b x di titik (0, 1) adalah 1 (m = 1). Bilangan yang memenuhi adalah bilangan yang dinotasikan e. Notasi ini diperkenalkan oleh Leonhard Euler pada tahun 1927, yang merupakan singkatan dari kata exponensial. e 2.71828 Fungsi f(x) = e x dinamakan fungsi eksponensial natural Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 55 / 67

Fungsi Satu-satu Perhatikan, g(2) = g(3) = 4 namun f(x 1 ) f(x 2 ) untuk x 1 x 2. Fungsi yang memiliki sifat seperti f dinamakan fungsi satu-satu. Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 57 / 67

Fungsi Satu-satu Definisi Suatu fungsi f disebut fungsi satu-satu apabila f tidak pernah memiliki nilai yang sama lebih dari satu kali, yakni f(x 1 ) f(x 2 ) untuk x 1 x 2 Figure: Grafik fungsi yang tidak satu-satu Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 58 / 67

Fungsi Satu-satu Uji garis horizontal Suatu fungsi dikatakan fungsi satu-satu jika dan hanya jika grafik fungsinya tidak dipotong lebih dari satu kali oleh garis horizontal. Figure: Kiri : Fungsi satu-satu, Kanan : Bukan fungsi satu-satu Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 59 / 67

Invers Fungsi Invers Fungsi Misal diberikan fungsi satu-satu f dengan domain A dan range B. Invers fungsi f,dinotasikan f 1, adalah fungsi yang domainnya B dan range nya A f 1 (y) = x f(x) = y untuk setiap y B Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 60 / 67

Prosedur mencari invers fungsi Tentukan invers fungsi : 1 f(x) = x 3 + 2 2 g(x) = x 2 + 2x + 5 pada x 1 3 h(x) = x+1 x+2 Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 61 / 67

Fungsi Logaritma Misal diberikan bilangan b > 0. Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 62 / 67

Fungsi Logaritma Misal diberikan bilangan b > 0. Grafik fungsi f(x) = b x akan berupa grafik naik atau turun. Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 62 / 67

Fungsi Logaritma Misal diberikan bilangan b > 0. Grafik fungsi f(x) = b x akan berupa grafik naik atau turun. Menurut uji garis horizontal f(x) adalah fungsi satu-satu. Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 62 / 67

Fungsi Logaritma Misal diberikan bilangan b > 0. Grafik fungsi f(x) = b x akan berupa grafik naik atau turun. Menurut uji garis horizontal f(x) adalah fungsi satu-satu. Akibatnya ada invers fungsi f 1 yang dinamakan fungsi logaritma dengan basis b yakni b log Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 62 / 67

Fungsi Logaritma Misal diberikan bilangan b > 0. Grafik fungsi f(x) = b x akan berupa grafik naik atau turun. Menurut uji garis horizontal f(x) adalah fungsi satu-satu. Akibatnya ada invers fungsi f 1 yang dinamakan fungsi logaritma dengan basis b yakni b log Dengan menggunakan notasi sebelumnya f 1 (x) = y f(y) = x maka dalam hal ini b log x = y b y = x Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 62 / 67

Fungsi Logaritma Misal diberikan bilangan b > 0. Grafik fungsi f(x) = b x akan berupa grafik naik atau turun. Menurut uji garis horizontal f(x) adalah fungsi satu-satu. Akibatnya ada invers fungsi f 1 yang dinamakan fungsi logaritma dengan basis b yakni b log Dengan menggunakan notasi sebelumnya f 1 (x) = y f(y) = x maka dalam hal ini b log x = y b y = x Jika x > 0 maka b harus dipangkatkan suatu bilangan sedemikian sehingga menghasilkan x. Contoh : 2 log 8 = 3 karena 2 3 = 8, 10 log 0.001 = 3 karena 10 3 = 0.001 Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 62 / 67

Fungsi Logaritma Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 63 / 67

Translasi Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 65 / 67

Dilatasi Fungsi Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 66 / 67

Latihan Gambar berikut adalah grafik dari fungsi f(x) dengan domain [0, 2] dan range [0, 1]. Tentukan domain dan range dari fungsi-fungsi berikut kemudian sketsa grafiknya. a. f(x) + 2 b. 2f(x) c. f(x + 2) d. f( 1 2 x) f. f(x 1) g. f(x) h. f(x + 1) + 1 i. f(1 2x) e. f(x) 1 j. 1 2f(1 2x) Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 67 / 67