Regres Lnear Sederhana dan Korelas 1. Model Regres Lnear. Penaksr Kuadrat Terkecl 3. Predks Nla Respons 4. Inferens Untuk Parameter-parameter Regres 5. Kecocokan Model Regres 6. Korelas Utrwen Mukhayar MA 081 Statstka Dasar
Tujuan 1. Menentukan/menaksr parameter-parameter yang terlbat dalam suatu model matematk yang lnear terhadap parameter-parameter tersebut. Melakukan predks terhadap nla suatu varabel, msalkan Y, berdasarkan nla varabel yang lan, msalkan X, dengan menggunakan model regres lner (nterpolas). p
f(x) Suhu (X) Gula yang Dhaslkan (Y) X menentukan Y predktor respons bukan peubah acak peubah acak 3 Memlk dstrbus
Observas 1 3 n X X 1 X X 3 X n Y Y 1 Y Y 3 Y n 1 Varabel yang nlanya mempengaruh varabel yang lannya. Mana yang merupakan predktor?? 3 Varabel yang kejadannya lebh dahulu terjad. Varabel yang varansnya terkecl 4
MODELREGRESI LINEAR SEDERHANA Y X e 0 1-1 dan 0 merupakan parameter-parameter model yang akan dtaksr - e adalah galat padaobservas ke- (acak) 5
Sumber Galat 6 1. Ketdakmampuan model regres dalam memodelkan hubungan predktor dan respons dengan tepat. Ketdakmampuan penelt dalam melakukan pengukuran dengan tepat 3. Ketdakmampuan model untuk melbatkan semua varabel predktor
Penaksr Kuadrat Terkecl - 1 dan 0 dtaksr dengan metode kuadrat terkecl (least square) - Asums-asums : 1. Ada pengaruh X terhadap Y. Y 0 1 X e, untuk = 1,,..., n 3. Nla harapan dar e adalah 0, atau E[ e ] = 0 4. Varans dar e, sama untuk semua = 1,,, n 5. e berdstrbus normal untuk semua = 1,,, n 6. e 1,ee,...,ee n salng bebas (ndependen) 7
Msalkan b 1 adalah taksran bag 1 dan b 0 adalah taksran bag 1. Maka taksran bag model regres adalah Yˆ b b X 0 1 Krtera penaksran kuadrat terkecl adalah memnmumkan n 1 e terhadap b 0 dan b 1, dengan e Y Yˆ Y b0 b1 X. 0 1 8
Dperoleh b 1 JK JK XY XX X XY Y n 1 n 1 1 X X b Y bx 0 1 Sedangkan taksran untuk varans galat acak adalah ˆ n Y ˆ Y JKG 1 n n 9
Suhu (X) 1 1.1 1. 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 Gula yg dhaslkan (Y) 8.1 7.8 8.5 9.8 9.5 8.9 8.6 10. 9.3 9. 10.5 Sumber: Walpole and Myers, 1989 e 10
n = 11 1 x x 1.5 n n n 1 n 1 1 y y 9.13 b 1 n x x y y 1 n x 1 x 1.8091 b0 Y bx 1 6.4136 Yˆ 6.4136 1.8091X 11 Model persamaan regres
Predks Nla Respons Suhu (x ) Gula yg dhaslkan (y ) Predks (y model ˆ ) e ˆ y y 1 8.1 8. -0.1 1.1 7.8 8.40-0.60 1. 8.5 8.58-0.08 1.3 9.8 8.77 1.03 1.4 9.5 8.95 0.55 1.5 8.9 1 ˆ y yˆ 9.13-0.3 0.4 9 1.6 8.6 9.31-0.71 1.7 10. 9.49 0.71 1.8 9.3 9.67-0.37 1.9 9. 9.85-0.65 10.5 10.03 0.47 Taksran varans galat acak 1
Msalkan suhu proses (X) adalah 1.55 satuan suhu. Maka predks banyaknya gula yang dhaslkan pada suhu tersebut adalah ŷy 6.4136 1.8091x = 6.4136 + 1.8091(1.55) =9.17705 13
ASUMSI KENORMALAN Asumse berdstrbus normal 1 untuk semua = 1,,, n Y berstrbus normal untuk semua = 1,,, n 3 b 0 dan b 1 berdstrbus normal 14
INFERENSI UNTUK PARAMETER 0 T= 0 ˆ b n 1 0 0 x / njk XX berdstrbus t dengan derajat kebebasan n-. Selang kepercayaan (1-α) untuk 0 : n n ˆ ˆ 0 t / XX 0 0 / x n t x n XX 1 1 b / JK b / JK t / adalah nla dstrbus t dengan derajat kebebasan n- 15
INFERENSI UNTUK PARAMETER 1 b 1 1 T= 1 / ˆ/ JKXX berdstrbus t dengan derajat kebebasan n-. Selang kepercayaan (1-α) untuk 1 : b t ˆ b JK / / 1 1 1 XX t JK ˆ XX t / adalah nla dstrbus t dengan derajat kebebasan n- 16
PENGUJIAN PARAMETER REGRESI Rumusan Hpotess H 0 : β 0 = 0 H 1 : β 0 0 H 0 : β 1 = 0 H 1 : β 1 0 b0 t0 1 n t 1 x ˆ ˆ 1 njk XX b JK XX 17
S P SELANG PREDIKSI Msalkan nla respons Y untuk X = X 0 adalah Y 0, dan msalkan adalah predks model regres bag Y 0. Maka Ŷ-Y T 0 0 ˆ 1+(1/n)+[(x 0 x) /JK XX] berdstrbus t dengan derajat kebebasan n-. Selang predks (1 α) bag y 0 adalah 1 (x x) 1 (x x) yˆ t ˆ 1+ + y yˆ t ˆ 1+ + 0 0 0 / 0 0 / n JKXX n JKXX 18
CONTOH; SELANG KEPERCAYAAN 1- TINJAU CONTOH SEBELUMNYA (.6)(0.4) (.6)(0.4) 1.8091 1 1.8091 11 1.1 11 1.1 Selang kepercayaan 95% untuk β 1 : b 1 =1,8091 b 0 =6,4136 19 Selang kepercayaan 95% untuk β 0 : 5.85 5.85 6.4136 (.6)(0.4) 0 6.4136 (.6)(0.4) (11)(1.1) (11)(1.1)
C ; CONTOH; UJI HIPOTESIS H 0 : β 0 = 0 H 1 : β 0 0 derajat kebebasan n = 9, nla krts t 0.05 =.6 t 0 > t 0.05 & t 1 > t 005 0.05 maka masngmasng H 0 dtolak H = Kesmpulan 0 : β 1 0 H 1 : β 1 0 β 0 dan β 1 tdak dapat dabakan 0
Kecocokan Model Regres Salah satu alat ukur untuk melhat apakah model regres yang dperoleh sudah memada adalah koefsen determnas yatu n (yˆ y) JK R =1 n JKT (y y) =1 R = =, dengan 0 R 1 Besaran R menunjukkan propors varas total dalam respons Y yang dterangkan oleh model regres yang dperoleh 1
UJI KEBAIKAN MODEL H 0 : Model regres yang dperoleh tdak memada H 1 : Model memada Statstk uj f JK ˆ R n = 1 (yˆ y) ˆ Tolak H 0 pada tngkat keberartan α jka f > f,(1,n-) n, dmana f,(1,n-) adalah nla dstrbus F dengan derajat kebebasan 1 dan n.
CONTOH Untuk contoh sebelumnya dperoleh R = 0,499. Artnya propors varas total dalam respons Y yang dterangkan oleh model regres yang dperoleh adalah 49.9% Uj kebakan model n (yˆ y) JKR = 1 f 899 8.99 ˆ ˆ Untuk α = 5%, ttk krts f 0.05,(1,9) = 5,1 f > f 0.05,(1,9), model memada. 3
Korelas Mengukur hubungan lnear dua peubah acak Msalkan X dan Y adalah dua peubah acak, maka korelas antara X dan Y dnyatakan dengan XY E(X )(Y ) X X Y Y 4
Jka nla korelas mendekat 1 maka hubungan kedua peubah sangat erat dan searah sedangkan jka nla korelas mendekat 1 maka hubungan kedua peubah sangat erat dan berlawanan arah. 5
Gambar 1 Korelas postf Gambar Korelas negatf Gambar 3 Korelas nol Gambar 4 Korelas nol 6
KORELASI SAMPEL Korelas dapat dtaksr dengan koefsen korelas sampel, yatu r XY JK JK XY XX JK n YY (X X)(Y Y) =1 n n (X X) (Y Y) =1 =1 7
CONTOH Data dua peubah acak berat badan bay (kg) dan ukuran dada bay (cm) berat (kg) ukuran dada (cm).75 9.5.15 6.3 4.41 3. 5.5 36.5 31 3.1 7. 4.3 7.7 31.31 8.3 4.3 30.3 3.71 37 8.7 Rata-rata berat = 3.63, Rata-rata ukuran dada = 9.63 8
ukuran (cm m) 38 36 34 3 30 8 6 4 0 1 3 4 5 6 berat (kg) 9 =1 (X X)(Y Y) r 0.78 9 9 (X X) (Y Y) =1 =1 9
Referens 30 Pasarbu, U.S., 007, Catatan Kulah Bostatstka. Walpole, Ronald E. Dan Myers, Raymond H., Ilmu Peluang dan Statstka untuk Insnyur dan Ilmuwan, Eds 4, Bandung: Penerbt ITB, 1995.