Turunan Tingkat Tinggi Operasi diferensial mengambil sebah fungsi f dan menghasilkan sebuah fungsi baru f. Jika f sekarang kita difernsialkan, kita masih tetap menghasilkan fungsi lain, dinyatakan oleh f (dibaca f dua aksen ) dan disebut turunan kedua dari f. Pada gilirannya dia boleh didiferensiasikan lagi, dengan demikian menghasilkan f, yang disebut turunan ketiga dari f. Turunan keempat dinyatakan f (4), turunan kelima dinyatakan f (4), dan seterusnya. Jika, sebagai contoh, f(x) = 2x 3 4x 2 + 7x 8 maka f(x) = 6x 2 8x + 7 f (x) = 12x 8 f (x) = 12 f (4) (x) = 0 Karena turunan fungsi nol adalah nol, maka turunan keempat dan semua turunan tingkat yang lebih tinggi (higher-order derivative). Dari f akan nol. Kecepatan dan Percepatan Terdapat peebedaan teknis antara kecepatan ( velocity ) dan laju ( speed ). Kecepatan memiliki tanta; mengkin positif mungkin negative. Laju didefinisikan sebagai nilai mutlak dari kecepatan. Sekarang kita ingin memberikan tafsiran fisik mengenai turunan kedua d 2 s/dt 2. Tentu saja ini hanyalah turunan pertama dari kecepatan. Jadi, ia
mengukur laju perubahan kecepatan terhadap waktu, yang mempunyai nama percepatan. Jika percepatan dinyatakan oleh a maka a = dv = d2 s dt dt 2 Notasi Leibniz untuk turunan kedua dibaca turunan kedua dari y terhadap x. Turunan ke Notasi f (n) Notasi y (n) Notasi D Notasi Leibniz Pertama f (x) y Dxy Ke dua f (x) y D x y d 2 y 2 = d ( ) Ke tiga f (x) y D x y d 3 y 3 = d y (d2 2) Ke empat f (4) (x) y (4) D 4 x y d 4 y 4 Ke-n f (n) (x) y (n) D n x y d n y x Diferensial Implisit Dalam persamaan y 3 + 7y = x 3 kita tidak dapat memecahkan y dalam bentuk x. Namun boleh jadi masih tetap menjadi kasus, bahwa terdapat tepat satu y yang berkorespondensi terhadap masing-masing x. Misalnya, kita menanyakan berapa nilai-nilai y (jika ada) yang berkorespondensi terhadap x = 2. Untuk menjawab pertanyaan ini, kita harus memecahkan y 3 + 7y = 8 Tentu saja, y = 1 adalah satu penyelesaian, dan ternyata bahwa y = 1 adalah satu-satunya penyelesaian real. Diberikan x = 2, persamaan y 3 + 7y = x 3 menentukan nilai y yang berkorespondensi. Kita katakana bahwa persamaan mendefinisikan y sebagai fungsi implisit x. Grafik persamaan ini, diperlihatkan
dalam gambar 1, tentu saja Nampak seperti grafik suatu fungsi yang terdeferensiasikan. Elemen baru ini tidak berbentuk y = f(x). Berdasarkan grafik, kita anggap bahwa y adalah suatu fungsi yang tidak diketahui dari x. Jika kita nyatakan fungsi ini oleh y(x), kita dapat menuliskan persamaan tersebut sebagai [y(x)] 3 + 7y(x) = x 3 Walaupun kita tidak mempunyai rumus untuk y(x), kita masih tetap dapat memperoleh kaitan antara x, y(x), dan y (x), dengan mendiferensiasikan kedua ruas persamaan itu terhadap x. Dengan menggunakan aturan rantai, kita peroleh Perhatikan bahwa untuk d (y3 ) + d (7y) = d x3 3y 2 + 7 = 3x2 (3y2 + 7) = 3x 2 = 3x2 3y 2 + 7 melibatkan x dan y suatu fakta yang sering menyulitkan. Tetapi, jika hanya ingin mencari kemiringan pada suatu titik yang keduakoordinatnya diketahui, tidak ada kesukaran. Pada (2,1) = 3(2)2 3(1) 2 + 7 = 12 10 = 6 5 Kemiringannya adalah 6 5 Metode yang baru saja diilustrasikan untuk mencari tanpa terlebih dahulu menyelesaikan secara gambling persamaan yang diberikan untuk y dalam x diseut diferensiasi implisit.
Contoh: Penyelesaian: Cari jika 4x2 y 3y = x 3 1 Metode 1 : kita dapat menyelesaikan persamaan yang diberikan untuk y secara gambling sebagai berikut y() = x 3 1 y = x3 1 Jadi = (4x2 3)(3x 2 ) (x 3 1)(8x) = 4x4 9x 2 +8x (4x 2 3) 2 (4x 2 3) 2 Metode 2 diferensiasi implisit : samakan turunan-turunan kedua ruas dari d (4x2 y 3y = d (x3 1) Setelah menggunakan aturan hasil kali pada suku pertama maka diperoleh 4x 2. + y. 8x 3 = 3x2 (4x2 3) = 3x 2 8xy = 3x2 8xy Dua jawaban ini kelihatannya berlainan. Untuk satu hal, jawaban yang diperoleh dari metode 1 hanya melibatkan x, sedangkan jawaban ari metode 2 melibatkan x maupun y. namun ingat bahwa persamaan yang semula dapat dipecahkan untuk y dalam bentuk x dan memberikan y = (x3 1) (4x 2 3). Ketika mensubstitusi y = (x3 1) (4x 2 3) ke dalam ekspresi untuk yang baru saja diperoleh, kita mendapatkan berikut
= 3x2 8xy 12x 4 9x 2 8x 4 + 8x () 2 x = 3x2 8x 3 1 = 4x4 9x 2 + 8x () 2