RANGKUMAN MATERI FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS
|
|
- Sucianty Sumadi
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 RANGKUMAN MATERI FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS Diajukan untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Matematika Sekolah Dosen Pembina: Dr. Tatag Yuli Eko Siswono, M.Pd. Universitas Negeri Surabaya Oleh Siti Rohmawati ( ) Kelas 2014D PROGRAM STUDI S2 PENDIDIKAN MATEMATIKA PROGRAM PASCASARJANA UNIVERSITAS NEGERI SURABAYA 2014
2 DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL... i DAFTAR ISI.. ii BAB XI FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS Notasi Fungsi Membentuk Fungsi Komposit Domain dan Range Urutan Sebagai Fungsi Membalikkan Funggi Fungsi Satu-Satu Mencari Fungsi Invers Menggambar Fungsi Invers. 11 DAFTAR PUSTAKA. 12 ii
3 BAB XI FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS Bab ini merupakan penggembangan gagasan fungsi yang terdapat pada Bab 3. Dalam bab ini diperkenalkan tentang macam fungsi aljabar dengan menunjukkan bagaimana menemukan fungsi komposit. Setelah mempelajari bab ini, diharapkan: 1. Dapat menggunakan bahasa dan notasi yang benar terkait dengan fungsi. 2. Tahu kapan fungsi-fungsi dapat dikombinasikan dengan operasi komposisi dan dapat membentuk fungsi komposit. 3. Menghargai bahwa urutan dapat dianggap sebagai fungsi yang domainnya adalah bilangan asli, atau himpunan bagian berturut-turut dari bilangan asli. 4. Tahu kondisi satu-satu' untuk fungsi yang memiliki invers, dan dapat membentuk fungsi invers. 5. Mengetahui hubungan antara grafik fungsi satu-satu dan grafik fungsi inversnya Notasi Fungsi Dalam menggunakan kalkulator untuk menemukan nilai-nilai dari suatu fungsi, terdapat tiga langkah yang terpisah: Langkah 1 Masukkan bilangan ('input'). Langkah 2 Masukkan petunjuk fungsi. Langkah 3 Baca bilangan di layar ('output'). Pada langkah kedua terkadang menggunakan satu kunci, ataupun lebih. a. Menggunakan satu kunci Seperti 'akar kuadrat', 'tanda perubahan' atau 'sinus' Contoh: Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers_2014 1
4 Input Output [+ ± ] -3 2 [sin] 0.5 Dalam bab ini sin, cos dan tan mengarah pada fungsi-fungsi yang dioperasikan oleh kalkulator dalam mode derajat. Jika anda memasukkan bilangan x, maka output yang diperoleh adalah sin x, cos x atau tan x. b. Menggunakan lebih dari satu kunci Seperti 'kurangi 3', 7 [, 3, =] 4 Pada prinsipnya hal yang terpenting adalah bahwa urutan tombol dalam tanda kurung siku mewakili fungsi. Urutan ini sama apapun bilangan yang anda masukkan sebagai input pada langkah 1. Untuk input umum bilangan x, Anda dapat menulis x [+ ± ] - x x [, 3, =] x 3 Dan seterusnya. Dan untuk fungsi umum, x [ f ] f(x) Dimana f singkatan urutan tombol fungsi. Ungkapan-ungkapan seperti 'fungsi x 2 ', 'fungsi cos x o ', atau 'fungsi f(x)' benarbenar salah; x 2, cos x o dan f(x) adalah simbol untuk output ketika diberikan input x, bukan untuk fungsi itu sendiri. Jika yang dimaksudkan adalah menyebutkan fungsi, maka bahasa yang tepat adalah 'fungsi pangkat', 'fungsi cos' atau 'fungsi f'. Sayangnya hanya beberapa fungsi memiliki nama yang mudah seperti 'pangkat' atau 'cos'. Tidak ada nama sederhana untuk fungsi output yang diberikan oleh ekspresi seperti x 6x + 4. f: x x 6x + 4 Dibaca sebagai 'f adalah fungsi yang mengubah input bilangan x dalam domain ke bilangan output x 2-6x+4' Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers_2014 2
5 contoh Jika f: x x(5 x), berapakah f(3)? Simbol f (3) singkatan output ketika input 3. Fungsi f mengubah input 3 ke output 3(5-3) = 6. Jadi f (3) = 6. Penggunaan panah untuk menunjukkan hubungan antara input dan output dapat dihubungkan dengan grafik sebuah fungsi. Gambar menunjukkan grafik y = x (5-x), dengan bilangan input 3 pada sumbu x. Panah, yang naik dari titik input dan membelok melalui sudut kanan ketika memotong grafik, menghasilkan bilangan output 6 pada sumbu y Membentuk fungsi komposit Jika Anda ingin menghitung nilai-nilai x 3, Anda mungkin akan menggunakan tombol urutan [-, 3, =, ] dengan tidak bersamaan. Tetapi jika Anda perhatikan dengan teliti, Anda akan melihat bahwa tiga angka muncul pada layar selama proses tersebut. Misalnya, jika Anda menggunakan input 7, layar akan menampilkan pada bilangan masukan Anda 7, maka (setelah memasukkan [-, 3, =]) 4, dan akhirnya (setelah memasukkan ) output 2. Anda mengerjakan dua fungsi, 'kurangi 3' lalu 'akar kuadrat', berturut-turut. Anda bisa mewakili seluruh perhitungan dengan: 7 [, 3, =] 4 2 Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers_2014 3
6 Output dari fungsi pertama menjadi masukan kedua. Contoh Cari output ketika fungsi 'pangkat' dan 'sin' bertindak pada rentetan input dari (a) 30, (b) x (a) 30 [Pangkat] 900 [sin] 0 (b) x [Pangkat] x [sin] sin(x ) Karena dalam (b) input ke fungsi sin adalah x 2, bukan x, maka outputnya adalah sin(x ), bukan sin x. Untuk sebarang input, dan dua fungsi sebarang f dan g, proses akan ditulis: Fungsi ketiga disebut 'fungsi komposit'. x [f] f(x) [g] g f(x) Karena output dari fungsi komposit adalah g(f (x)), fungsi komposit itu sendiri dilambangkan dengan gf. gf dibaca sebagai 'f pertama, maka g'. Menulis fg berarti 'g pertama, maka f', yang hampir selalu berbeda fungsi dari gf. Misalnya, jika Anda mengubah urutan fungsi dalam Contoh (a), bukan output 0 yang Anda dapatkan, melainkan: 30 [sin] 0,5 [pangkat] 0,25 Contoh Misalkan f: x x + 3 dan g: x x. Cari gf dan fg. Tunjukkan bahwa hanya ada satu bilangan x sehingga gf(x) = fg (x). Komposit fungsi gf diwakili oleh x [f] x + 3 [g] (x + 3) Dan fg diwakili oleh x [g] x [f] x + 3. Jika gf (x) = fg (x), maka (x + 3) = x + 3, sehingga x + 6x + 9 = x + 3, menghasilkan x = -1. Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers_2014 4
7 Anda dapat memeriksa ini dengan kalkulator Anda. 1. Jika Anda memasukkan -1 dan kemudian 'menambah 3' [+, 3, =] diikuti dengan 'pangkat', layar akan menampilkan pada gilirannya -1, 2, Jika Anda mengoperasikan 'pangkat' diikuti dengan 'menambahkan 3', ia akan menampilkan -1, 1, 4. Ketika input adalah -1, outputnya adalah sama meskipun tampilan-tampilan tengahnya berbeda. Contoh Jika f: x cos x dan: : x, hitung (a) gf(60), (b) gf(90). Dengan input 60, kalkulator akan menunjukkan urutannya 60, 0.5, 2, jadi gf (60) = 2. Dengan input 90, kalkulator akan menampilkan 90, 0 dan kemudian diberi pesan kesalahan! Hal ini karena cos 90 = 0 dan 1/0 tidak didefinisikan. Apa yang terjadi dalam Contoh (b) adalah bahwa angka 0 ada dalam kisaran fungsi f, tetapi tidak dalam domain g Domain dan Range Ketika Anda melihat huruf x dan y dalam matematika, misalnya dalam sebuah persamaan seperti y = 2x - 10, umumnya dipahami bahwa huruf x dan y melambangkan bilangan real. Tapi kadang-kadang penting untuk benar-benar teliti tentang hal ini. Simbol R digunakan untuk menyingkat 'himpunan bilangan real', dan simbol untuk 'anggota'. Dengan simbol-simbol ini, Anda dapat mempersingkat pernyataan 'x adalah bilangan real', atau 'x anggota himpunan bilangan real', ke x R. Jadi, dapat ditulis f: x 2x 10, x R untuk menunjukkan bahwa f adalah fungsi yang domainnya adalah himpunan bilangan real yang mengubah setiap masukan x ke output 2x-10. Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers_2014 5
8 Tepatnya, fungsi tidak sepenuhnya ditentukan kecuali Anda menyatakan domain serta aturan untuk memperoleh output dari input. Untuk fungsi di atas range-nya juga R, meskipun tidak perlu diyatakan dengan menggambarkan fungsi. Kita tahu dari bab 3 bahwa untuk beberapa fungsi domainnya hanya bagian dari R, karena ekspresi f(x) hanya bermakna untuk beberapa x R. Himpunan bilangan real yang f(x) nya memiliki arti akan disebut 'domain asli' f. Dengan kalkulator, jika Anda memasukkan bilangan yang tidak dalam domain asli, maka output akan menunjjukkan tampilan 'error'. Untuk fungsi akar kuadrat, misalnya, domain aslinya adalah himpunan bilangan real positif dan nol, sehingga Anda menulis Akar pangkat : x x, di mana x R dan x 0. Jika Anda diberi fungsi yang dijelaskan oleh rumus tetapi tidak ada domain dinyatakan, Anda harus mengasumsikan bahwa domain yang dimaksud adalah domain asli. Contoh Cari range masing-masing fungsi (a) sin, dengan domain asli R, (b) sin, dengan domain x R dan 0 <x <90. Dari grafik y = sin x, ditunjukkan pada gambar. 11.2, Anda dapat membaca dari rentang: (a) Untuk x R, rangenya adalah y R, 1 y 1. (b) Untuk x R, 0 < x < 90, kisaran adalah y R, 0 < y < 1 Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers_2014 6
9 Contoh telah menggunakan huruf x dalam menggambarkan domain, dan y untuk range. Aturan umumnya adalah: Untuk membentuk fungsi komposit gf, domain D dari f harus dipilih sehingga seluruh range f termasuk dalam domain dari g. fungsi gf kemudian didefinisikan sebagai gf: x g (f (x)), x D Urutan sebagai fungsi Tidak semua fungsi memiliki domain himpunan bilangan real atau interval terbatas bilangan real. Sebagai contoh, fungsi memiliki himpunan bilangan asli {1, 2, 3,...} untuk domainnya. Himpunan ini dilambangkan dengan simbol N. Beberapa game (seperti catur dan Scrabble) yang dimainkan di papan dikesampingkan dalam kotak. Jika papan memiliki kotak r masing-masing cara, maka jumlah kotak adalah r 2. Jadi ini mendefinisikan fungsi f: r r, di mana r N. Ini adalah fungsi yang berbeda dari f: x x, di mana r R, Karena jumlah kotak masing-masing cara harus bilangan bulat. Anda dapat membuat daftar nilai-nilai yang berurutan dari f (r): f (1) = 1, f (2) = 4, f (3) = 9, f (4) = 16, f (5) = 25,... Perhatikan bahwa angka-angka ini adalah tepat berurutan (a) dalam bagian 8.1. ini menunjukkan bahwa urutan dapat dianggap sebagai fungsi yang domainnya adalah N. Beberapa urutan hanya memiliki jumlah terbatas istilah. Anggaplah, misalnya, bahwa Anda memiliki 6 koin identik, dan f(r) menunjukkan sejumlah cara membagi koin ke dalam r tumpukan. Jadi f (2) = 3, karena Anda dapat memiliki tumpukan koin 1 dan 5 koin, 2 koin dan 4 koin, atau 3 koin dan 3 koin. Dapat dibuktikan bahwa f (1) = 1, f (2) = 3, f (3) = 3, f (4) = 2, f (5) = 1, dan f (6) = 1; Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers_2014 7
10 tapi f (r) tidak ada artinya untuk r > 6. Oleh karena itu domain fungsi adalah himpunan {1, 2, 3, 4, 5, 6}, yang merupakan bagian dari angka berturut-turut di N. Sebuah urutan dapat didefinisikan sebagai fungsi yang domain di N atau bagian berturut-turut N. Untuk notasi urutan u r biasanya digunakan lebih sering daripada f (r), tapi itu hanya untuk kenyamanan. Perbedaan yang penting antara N dan R adalah bahwa, untuk setiap bilangan asli r, ada 'nomor berikutnya'. Inilah yang memungkinkan untuk menggunakan definisi induktif untuk menggambarkan urutan. Tidak ada cara yang sebanding mendefinisikan fungsi f (x), di mana x R, karena tidak ada hal seperti 'bilangan real berikutnya Membalikkan fungsi Jika kakak Anda adalah 2 tahun lebih tua dari Anda, maka Anda 2 tahun lebih muda dari dia. Untuk mendapatkan usianya dari Anda yang Anda gunakan fungsi 'tambahkan 2'; untuk mendapatkan usia Anda dari miliknya Anda mengurangi 2 '. Fungsi 'tambahkan 2' dan 'mengurangi 2' dikatakan fungsi invers satu sama lain. Artinya, 'kurangi 2' adalah fungsi kebalikan dari 'tambahkan 2' (dan sebaliknya). Kebalikan dari fungsi f dinotasikan dengan simbol f -1. Jika f menjadikan bilangan input x menjadi bilangan output y, maka f -1 menjadikan y ke x. Contoh Cari nilai-nilai cos -1 y ketika (a) y = 0.5, (b) y = -1 (c) y = 1,5. Menggunakan [cos ] kunci dengan input 0.5, -1, 1.5 pada gilirannya memberikan output 60, 180, dan pesan kesalahan! Jadi, dalam modus derajat, (a) cos -1 0,5 = 60, (b) cos -1 (- 1) = 180, tetapi (c) cos - 1 1,5 tidak ada artinya. Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers_2014 8
11 11.6 Fungsi Satu-satu Masalah muncul setiap kali Anda mencoba untuk mencari sebuah fungsi yang memiliki output yang sama untuk lebih dari satu input. Dalam matematika, ambiguitas tidak dapat diterima. Satu-satunya fungsi yang memiliki fungsi invers adalah fungsi-fungsi yang setiap output dalam range berasal dari hanya satu input. Fungsinya ini dikatakan satu-satu'. Sebuah fungsi f didefinisikan untuk beberapa domain D adalah satu-satu jika, untuk setiap bilangan y di range R dari f hanya ada satu bilangan x D sehingga y = f (x). fungsi dengan domain R didefinisikan oleh f : y x, di mana y = f (x), adalah fungsi inverse dari f. Definisi ini diilustrasikan dalam gambar. 11.3, yang ditarik untuk memastikan bahwa fungsi f adalah satu-satu. Fungsi f -1 f dan ff -1 disebut fungsi identitas karena input dan output mereka adalah identik. Tapi ada perbedaan halus antara kedua fungsi komposit, karena domain mereka mungkin tidak sama; yang pertama memiliki domain D dan yang kedua memiliki domain R Mencari fungsi invers Untuk fungsi yang sangat sederhana mudah untuk menuliskan bentuk fungsi inversnya. Kebalikan dari 'tambahkan 2' adalah 'mengurangi 2', sehingga f: x x + 2, x R memiliki invers f : x x 2, x R. Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers_2014 9
12 Perhatikan bahwa kebalikannya bisa juga ditulis sebagai f : y y 2, y R. Anda kadang-kadang dapat memecah fungsi yang lebih rumit menjadi sebuah mata rantai langkah sederhana. Contoh Cari invers dari f: x 2x + 5, x R Perhatikan dulu bahwa f adalah satu-satu, dan rangenya adalah R. Metode 1 Anda dapat memecah fungsi sebagai x [ganda] [tambahkan 5] 2x + 5. Untuk menemukan f -1, ke belakang melalui rantai (baca dari kanan ke kiri): (x 5) [setengah] [kurangi 5] x Jadi f = x (x 5), x R. Metode 2 Jika y = 2x + 5, y 5 = 2x yang memberikan x = (y 5). Jadi fungsi invers f = x (x 5), x R Dua jawaban yang sama, meskipun menggunakan huruf yang berbeda. Contoh Tentukan invers dari fungsi f(x) =, di mana x R dan x 2. Hal ini tidak jelas bahwa fungsi ini salah-salah, atau apa yang rentang adalah. Namun, dengan menggunakan metode kedua dan menulis f(x) =, y(x 2) = x + 2, yx 2y = x + 2, yx x = 2y + 2, x(y 1) = 2(y + 1), x = ( ). Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers_
13 Hal ini menunjukkan bahwa, kecuali y = 1, hanya ada satu nilai x untuk setiap nilai y. Jadi f harus menjadi salah satu-satu, sehingga fungsi invers ada, dan f : y ( ), dimana y R dan y Menggambar fungsi invers. Gambar menunjukkan grafik y = f (x), dimana f adalah fungsi satu satu dengan domain D dan range R. Karena f ada, dengan domain R dan range D, Anda dapat juga menulis persamaan sebagai x = f (y). Anda dapat menganggap Gbr sebagai grafik kedua f dan f. Tapi kadang-kadang Anda ingin menarik grafik f dalam bentuk yang lebih konvensional, seperti y = f (x) dengan domain sepanjang sumbu x. Untuk melakukan ini, Anda harus menukar sumbu x dan y, yang Anda lakukan dengan merefleksikan grafik pada Gambar. 11,8 di garis y = x. (Pastikan bahwa Anda memiliki skala yang sama pada kedua sumbu!) maka sumbu x tercermin dalam sumbu y dan sebaliknya, dan grafik dari x = f (y) tercermin dalam grafik y = f (x). Hal ini ditunjukkan pada Gambar Jika f adalah satu-satu fungsi, grafik y = f (x) dan y = f (x) adalah cerminan dari satu sama lain dalam garis y = x. Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers_
14 DAFTAR PUSTAKA Neill, Hugh dan Douglas Quadling Advance Level Mathematics: Pure Mathematics 1. Cambridge: Cambridge University Press. Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers_
Komposisi fungsi dan invers fungsi. Syarat agar suatu fungsi mempunyai invers. Grafik fungsi invers
Komposisi fungsi dan invers fungsi mempelajari Fungsi komposisi menentukan Fungsi invers terdiri dari Syarat dan aturan fungsi yang dapat dikomposisikan Nilai fungsi komposisi dan pembentuknya Syarat agar
Lebih terperinciFUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI
FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI Apabila suatu besaran y memiliki nilai yang tergantung dari nilai besaran lain x, maka dikatakan bahwa besaran y tersebut merupakan fungsi besaran x. secara umum ditulis: y= f(x)
Lebih terperinciMATEMATIKA DASAR PENDIDIKAN BIOLOGI UPI 0LEH: UPI 0716
MATEMATIKA DASAR PENDIDIKAN BIOLOGI UPI 0LEH: UPI 0716 N0 TOPIK FUNGSI 2.1 DEFINISI FUNGSI 2.2 DAERAH DEFINISI DAN DAERAH HASIL 2.3 JENIS-JENIS FUNGSI 2.4 OPERASI ALJABAR FUNGSI 2.5 FUNGSI GENAP, GANJIL,
Lebih terperinciFUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya
FUNGSI dan LIMIT 1.1 Fungsi dan Grafiknya Fungsi : suatu aturan yang menghubungkan setiap elemen suatu himpunan pertama (daerah asal) tepat kepada satu elemen himpunan kedua (daerah hasil) fungsi Daerah
Lebih terperinciBAB 3 FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS Standar Kompetensi: Menentukan komposisi dua fungsi dan invers suatu fungsi Kompetensi Dasar:
BAB 3 FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS Standar Kompetensi: Menentukan komposisi dua fungsi dan invers suatu fungsi Kompetensi Dasar:. Menentukan komposisi fungsi dari dua fungsi. Menentukan invers suatu
Lebih terperinciKALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia
KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia BAB II. FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN Fungsi dan Operasi pada Fungsi Beberapa Fungsi Khusus Limit dan Limit
Lebih terperinciKALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan
KALKULUS 1 HADI SUTRISNO 1 Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan BAB I PENDAHULUAN A. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus kita terlebih dahulu perlu memahami bahasan tentang sistem bilangan
Lebih terperinciPersamaan dan Pertidaksamaan Linear
MATERI POKOK Persamaan dan Pertidaksamaan Linear MATERI BAHASAN : A. Persamaan Linear B. Pertidaksamaan Linear Modul.MTK X 0 Kalimat terbuka adalah kalimat matematika yang belum dapat ditentukan nilai
Lebih terperinciMATEMATIKA SMK TEKNIK LIMIT FUNGSI : Limit Fungsi Limit Fungsi Aljabar Limit Fungsi Trigonometri
MATEMATIKA SMK TEKNIK LIMIT FUNGSI : Limit Fungsi Limit Fungsi Aljabar Limit Fungsi Trigonometri MATEMATIKA LIMIT FUNGSI SMK NEGERI 1 SURABAYA Halaman 1 BAB LIMIT FUNGSI A. Limit Fungsi Aljabar PENGERTIAN
Lebih terperinciPerbandingan trigonometri sin x merupakan relasi yang memetakan setiap x tepat satu nilai sin x yang dinyatakan dengan notasi f : x sinx
MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI Perbandingan trigonometri dari suatu sudut tertentu terdapat tepat satu nilai dari sinus, kosinus dan tangens dari sudut tersebut. Sehingga perbandingan trigonometri
Lebih terperinciMA2111 PENGANTAR MATEMATIKA Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan
MA2111 PENGANTAR MATEMATIKA Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 5 KUANTOR II: METODE MEMILIH (c) Hendra Gunawan (2015) 2 Masih Berurusan dengan Kuantor Sekarang kita akan membahas metode memilih,
Lebih terperinciDefinisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada,
Lecture 4. Limit B A. Continuity Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada, (2) lim f(x) ada, (3) lim f(x) =
Lebih terperinciCatatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I
Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):
Lebih terperinciSilabus. Kegiatan Pembelajaran Instrumen. Tugas individu.
Silabus Jenjang : SMP dan MTs Mata Pelajaran : Matematika Kelas : VIII Semester : 1 Standar Kompetensi : ALJABAR 1. Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi, dan garis lurus. Kompetensi Dasar Materi Ajar
Lebih terperinciBAB 6 FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS Standar Kompetensi: Menentukan komposisi dua fungsi dan invers suatu fungsi
BAB 6 FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS Standar Kompetensi: Menentukan komposisi dua fungsi dan invers suatu fungsi A. Fungsi dan Macam-macam Fungsi Pada saat di Sekolah Lanjutan Pertama (SMP) telah dipelajari
Lebih terperinciFUNGSI. Fungsi atau Pemetaan dari A ke B adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, dengan setiap x Є A dipasangkan tepat dengan satu y Є B.
FUNGSI Fungsi atau Pemetaan dari A ke B adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, dengan setiap x Є A dipasangkan tepat dengan satu y Є B. FUNGSI KOMPOSISI Daerah asal alami f : A B adalah semua unsur
Lebih terperinciHendra Gunawan. 4 September 2013
MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 2013/2014 4 September 2013 Latihan (Kuliah yang Lalu) 1. Tentukan daerah asal dan daerah nilai fungsi 2 f(x) = 1 x. sudah dijawab 2. Gambar grafik fungsi
Lebih terperinciFUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS
FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS Jika A dan B adalah dua himpunan yang tidak kosong, fungsi f dari A ke B; f : A B atau A f B adalah cara pengawanan anggota A dengan anggota B yang memenuhi aturan setiap
Lebih terperinciFUNGSI LOGARITMA ASLI
FUNGSI LOGARITMA ASLI............ Definisi Fungsi logaritma asli, dinyatakan oleh ln, didefinisikan sebagai ln (Daerah asalnya adalah., 0 Turunan Logaritma Asli ln, 0 Lebih umumnya, Jika 0 dan f terdifferensialkan,
Lebih terperinciMatematika Dasar FUNGSI DAN GRAFIK
FUNGSI DAN GRAFIK Suatu pengaitan dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi bila mengaitkan setiap anggota dari himpunan A dengan tepat satu anggota dari himpunan B. Notasi : f : A B f() y Himpunan
Lebih terperinciRingkasan Materi Kuliah Bab II FUNGSI
Ringkasan Materi Kuliah Bab II FUNGSI. FUNGSI REAL, FUNGSI ALJABAR, DAN FUNGSI TRIGONOMETRI. TOPIK-TOPIK YANG BERKAITAN DENGAN FUNGSI.3 FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS. FUNGSI REAL, FUNGSI ALJABAR,
Lebih terperinciMatematika
dan D3 Analis Kimia FMIPA Universitas Islam Indonesia Definisi Suatu fungsi f adalah suatu aturan korespondensi yang menghubungkan setiap objek x dalam satu himpunan, yang disebut domain, dengan sebuah
Lebih terperinciMODUL 1. Teori Bilangan MATERI PENYEGARAN KALKULUS
MODUL 1 Teori Bilangan Bilangan merupakan sebuah alat bantu untuk menghitung, sehingga pengetahuan tentang bilangan, mutlak diperlukan. Pada modul pertama ini akan dibahas mengenai bilangan (terutama bilangan
Lebih terperinciMatematika SMA (Program Studi IPA)
Smart Solution UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 0/0 Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 0 Matematika SMA (Program Studi IPA) Disusun oleh : Hario Pamungkas 4.. Menyelesaikan persamaan trigonometri. Nilai
Lebih terperinciFUNGSI LOGARITMA ASLI
D.. = D.. = D.. = = 0 D.. = D.. = D.. = 3 FUNGSI LOGARITMA ASLI Definisi Fungsi logaritma asli, dinyatakan oleh ln, didefinisikan sebagai ln = (Daerah asalnya adalah R). t dt, > 0 Turunan Logaritma Asli
Lebih terperinciFungsi Grafik Fungsi. Kalkulus 1. Fungsi dan Grafik Fungsi. Atina Ahdika, S.Si, M.Si. Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia
Kalkulus 1 Fungsi dan Atina Ahdika, S.Si, M.Si Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Fungsi Definisi Suatu fungsi f adalah suatu aturan korespondensi yang menghubungkan setiap objek x dalam satu
Lebih terperinciBAB 1. PENDAHULUAN KALKULUS
BAB. PENDAHULUAN KALKULUS (Himpunan,selang, pertaksamaan, dan nilai mutlak) Pembicaraan kalkulus didasarkan pada sistem bilangan nyata. Sebagaimana kita ketahui sistem bilangan nyata dapat diklasifikasikan
Lebih terperinciNughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc Department of Mathematics FMIPA UNS
Lecture 3. Function (A) A. Definition of Function Definisi. f adalah fungsi dari himpunan A ke himpunan B yang ditulis dengan f: A B, yaitu merupakan suatu aturan yang memetakan (mengawankan) setiap xεa
Lebih terperinciPERSAMAAN, FUNGSI DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT
LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) PERSAMAAN, FUNGSI DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT Oleh: Hj. ITA YULIANA, S.Pd, M.Pd MATEMATIKA PAKET C TINGKAT V DERAJAT MAHIR 1 SETARA KELAS X Created By Ita Yuliana
Lebih terperinciFUNGSI DAN MODEL. Bogor, Departemen Matematika FMIPA IPB. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63
FUNGSI DAN MODEL Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 63 Topik Bahasan 1 Fungsi 2 Jenis-jenis Fungsi 3 Fungsi Baru dari Fungsi Lama 4
Lebih terperinciA B A B. ( a ) ( b )
BAB. FUNGSI A. Relasi dan Fungsi Misalkan A dan B dua himpunan tak kosong. Relasi T dari himpunan A ke B adalah himpunan bagian dari A B. Jadi relasi A ke B merupakan himpunan (,y), dengan pada himpunan
Lebih terperinciMBS - DTA. Sucipto UNTUK KALANGAN SENDIRI. SMK Muhammadiyah 3 Singosari
MBS - DTA Sucipto UNTUK KALANGAN SENDIRI SMK Muhammadiyah Singosari SERI : MBS-DTA FUNGSI STANDAR KOMPETENSI Siswa mampu memecahkan masalah yang berkaitan dengan fungsi, persamaan fungsi linear dan fungsi
Lebih terperinciMenurut jenisnya, fungsi dapat dibedakan menjadi (1) Fungsi aljabar (2) Fungsi transenden
Lecture 3. Function (B) A. Macam-macam Fungsi Menurut jenisnya, fungsi dapat dibedakan menjadi (1) Fungsi aljabar (2) Fungsi transenden Fungsi aljabar dibedakan menjadi (1) Fungsi rasional (a) Fungsi konstan
Lebih terperinciMatematika
Fungsi dan D3 Analis Kimia FMIPA Universitas Islam Indonesia Fungsi Definisi Suatu fungsi f adalah suatu aturan korespondensi yang menghubungkan setiap objek x dalam satu himpunan, yang disebut domain,
Lebih terperinci*Tambahan Grafik Fungsi Kuadrat
*Tambahan Grafik Fungsi Kuadrat GRAFIK FUNGSI KUADRAT Langkah-langkah menggambar grafik: 1. Tentukan pembuat nol fungsi y=0 atau f(x)=0 2. Tentukan sumbu simetri x = -b/2a 3. Tentukan titik puncak P (x,y)
Lebih terperinciBAB 3 FUNGSI. f : x y
. Hubungan Relasi dengan Fungsi FUNGSI Relasi dari himpunan P ke himpunan Q disebut fungsi atau pemetaan, jika dan hanya jika tiap unsur pada himpunan P berpasangan tepat hanya dengan sebuah unsur pada
Lebih terperinciFUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS
Bab 3 FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR Kompetensi Dasar 1. Mendeskripsikan konsep fungsi dan menerapkan operasi aljabar (penjumlahan, pengurangan, perkalian,
Lebih terperinciOSN Guru Matematika SMA (Olimpiade Sains Nasional)
ocsz Pembahasan Soal OSN Guru 2012 OLIMPIADE SAINS NASIONAL KHUSUS GURU MATEMATIKA SMA OSN Guru Matematika SMA (Olimpiade Sains Nasional) Disusun oleh: Pak Anang Halaman 2 dari 26 PEMBAHASAN SOAL OLIMPIADE
Lebih terperinciFUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS
FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS. Relasi dan Fungsi Pada saat di Sekolah Lanjutan Pertama (SMP) telah dipelajari tentang topik Relasi, Fungsi dan Grafik. Pada materi relasi ini selain menggunakan istilah
Lebih terperinciMatematika SMA/MA IPA. : Ximple Education. No. Peserta : Nilai dari. A. x 4 B. x 3 C. 3 4 D. 3 3 E Bentuk sederhana 5 2 3
Nama : Ximple Education No. Peserta : 08-6600-77. Nilai dari A. B. C. D. E. 6 0 0 7. Bentuk sederhana 6 =. A. 9 B. 9 + C. 9 D. 9 E. + 9. Nilai dari ( A. B. 7 8 C. 9 6 log log log 6 6 log 0 log 6 + log
Lebih terperinciRANGKUMAN MATERI VEKTOR Diajukan untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Matematika Sekolah Dosen Pembina: Dr. Tatag Yuli Eko Siswono, M.Pd.
RANGKUMAN MATERI VEKTOR Diajukan untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Matematika Sekolah Dosen Pembina: Dr. Tatag Yuli Eko Siswono, M.Pd. Universitas Negeri Surabaya Oleh Abdul Hayyih (147785010) Kelas D PROGRAM
Lebih terperinciabcde dengan a, c, e adalah bilangan genap dan b, d adalah bilangan ganjil? A B C D E. 3000
Hal. 1 / 7 METHODIST-2 EDUCATION EXPO LOMBA SAINS PLUS ANTAR PELAJAR TINGKAT SMA SE-SUMATERA UTARA TAHUN 2015 BIDANG WAKTU : MATEMATIKA : 120 MENIT PETUNJUK : 1. Pilihlah jawaban yang benar dan tepat.
Lebih terperinciTUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS
PREVIEW KALKULUS TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Mahasiswa mampu: menyebutkan konsep-konsep utama dalam kalkulus dan contoh masalah-masalah yang memotivasi konsep tersebut; menjelaskan menyebutkan konsep-konsep
Lebih terperinciI. Aljabar Himpunan Handout Analisis Riil I (PAM 351)
I. Aljabar Himpunan Aljabar Himpunan Dalam bab ini kita akan menyajikan latar belakang yang diperlukan untuk mempelajari analisis riil. Dua alat utama analisis riil, yakni aljabar himpunan dan fungsi,
Lebih terperinciTujuan Instruksional Umum Mahasiswa memahami pengertian relasi, relasi ekuivalen, hasil ganda suatu
BAB IV RELASI DAN FUNGSI Tujuan Instruksional Umum Mahasiswa memahami pengertian relasi, relasi ekuivalen, hasil ganda suatu relasi, relasi invers, relasi identitas, pengertian fungsi, bayangan invers
Lebih terperinci[FUNGSI DAN LIMIT] KALKULUS 1 FUNGSI DAN LIMIT R E L A S I
FUNGSI DAN LIMIT R E L A S I Ω Definisi Relasi himpunan A ke himpunan B adalah aturan yang memasangkan anggota himpunan A dan anggota himpunan B dengan aturan tertentu. Himpunan anak yang beranggotakan
Lebih terperinciMATERI PELAJARAN MATEMATIKA SMA KELAS X BAB I: BENTUK PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA. 1.1 Pangkat Bulat. A. Pangkat Bulat Positif
MATERI PELAJARAN MATEMATIKA SMA KELAS X BAB I: BENTUK PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA 1.1 Pangkat Bulat A. Pangkat Bulat Positif B. Pangkat Bulat Negatif dan Nol C. Notasi Ilmiah D. Sifat-Sifat Bilangan Berpangkat
Lebih terperinciPembahasan Matematika IPA SIMAK UI 2009
Pembahasan Matematika IPA SIMAK UI 2009 Kode 924 Oleh Kak Mufidah 1. Diketahui fungsi. Agar fungsi tersebut senantiasa berada di bawah sumbu x, maka nilai m yang mungkin adalah Agar fungsi tersebut senantiasa
Lebih terperinciLEMBAR AKTIVITAS SISWA FUNGSI KOMPOSISI DAN INVERS FUNGSI Yang bukan merupakan fungsi nomor: Contoh: 1. y = f(x) g(x) 2. y = f(x) Syarat: f(x) 0
Nama Siswa Kelas LEMBAR AKTIVITAS SISWA FUNGSI KOMPOSISI DAN INVERS FUNGSI Yang bukan merupakan fungsi nomor: : : Kompetensi Dasar (KURIKULUM 2013): 3.2 Memahami konsep fungsi dan menerapkan operasi aljabar
Lebih terperinci1 Sistem Bilangan Real
Learning Outcome Rencana Pembelajaran Setelah mengikuti proses pembelajaran ini, diharapkan mahasiswa dapat ) Menentukan solusi pertidaksamaan aljabar ) Menyelesaikan pertidaksamaan dengan nilai mutlak
Lebih terperinciBAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN
BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN A. HASIL PENELITIAN 1. Hasil Pengembangan Produk Penelitian ini merupakan penelitian pengembangan yang bertujuan untuk mengembangkan produk berupa Skema Pencapaian
Lebih terperinci3 LIMIT DAN KEKONTINUAN
Menurut Bartle dan Sherbet (994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun oleh berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan, kekonvergenan
Lebih terperinciLIMIT FUNGSI. A. Menentukan Limit Fungsi Aljabar A.1. Limit x a Contoh A.1: Contoh A.2 : 2 4)
LIMIT FUNGSI A. Menentukan Limit Fungsi Aljabar A.. Limit a Contoh A.:. ( ) 3 Contoh A. : 4 ( )( ) ( ) 4 Latihan. Hitunglah nilai it fungsi-fungsi berikut ini. a. (3 ) b. ( 4) c. ( 4) d. 0 . Hitunglah
Lebih terperinciBab 16. LIMIT dan TURUNAN. Motivasi. Limit Fungsi. Fungsi Turunan. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan 1/35
Bab 16 Grafik LIMIT dan TURUNAN Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 1/35 Grafik Pada dasarnya, konsep limit dikembangkan untuk mengerjakan perhitungan matematis yang melibatkan: nilai sangat kecil; Matematika
Lebih terperinciBilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Bilangan Real S PENDAHULUAN Drs. Soemoenar emesta pembicaraan Kalkulus adalah himpunan bilangan real. Jadi jika akan belajar kalkulus harus paham terlebih dahulu tentang bilangan real. Bagaimanakah
Lebih terperinciMAT 602 DASAR MATEMATIKA II
MAT 60 DASAR MATEMATIKA II Disusun Oleh: Dr. St. Budi Waluya, M. Sc Jurusan Pendidikan Matematika Program Pascasarjana Unnes 1 HIMPUNAN 1. Notasi Himpunan. Relasi Himpunan 3. Operasi Himpunan A B : A B
Lebih terperinciSoal-Soal dan Pembahasan SBMPTN - SNMPTN Matematika Dasar Tahun Pelajaran 2010/2011
Soal-Soal dan Pembahasan SBMPTN - SNMPTN Matematika Dasar Tahun Pelajaran 2010/2011 Tanggal Ujian: 31 Mei 2011 1. Jika 6(3 40 ) ( 2 log a) + 3 41 ( 2 log a) = 3 43, maka nilai a adalah... A. B. C. 4 D.
Lebih terperinciSuku Banyak. A. Pengertian Suku Banyak B. Menentukan Nilai Suku Banyak C. Pembagian Suku Banyak D. Teorema Sisa E. Teorema Faktor
Bab 5 Sumber: www.in.gr Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu menggunakan konsep, sifat, dan aturan fungsi komposisi dalam pemecahan masalah; menggunakan konsep, sifat, dan aturan fungsi invers
Lebih terperinciFUNGSI DAN GRAFIKNYA KULIAH-4. Hadi Hermansyah,S.Si., M.Si. Politeknik Negeri Balikpapan PERTIDAKSAMAAN
KULIAH-4 Modul Pembelajaran Matematika Kelas X semester 1 Modul Pembelajaran Matematika Kelas X semester 1 FUNGSI DAN GRAFIKNYA PERTIDAKSAMAAN Hadi Hermansyah,S.Si., M.Si. Politeknik Negeri Balikpapan
Lebih terperinciHIMPUNAN MAHASISWA MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS GADJAH MADA SEKIP UTARA UNIT III BULAKSUMUR P.O.
HIMPUNAN MAHASISWA MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS GADJAH MADA SEKIP UTARA UNIT III BULAKSUMUR P.O. BOX BLS 21 YOGYAKARTA55281 lmnas@ugm.ac.id http://lmnas.fmipugm.ac.id
Lebih terperinciSistem Bilangan Kompleks (Bagian Pertama)
Sistem Bilangan Kompleks (Bagian Pertama) Supama Jurusan Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 55281, INDONESIA Email:maspomo@yahoo.com, supama@ugm.ac.id (Pertemuan Minggu I) Outline 1 Pendahuluan 2 Pengertian
Lebih terperincimatematika TURUNAN TRIGONOMETRI K e l a s A. Rumus Turunan Sinus dan Kosinus Kurikulum 2006/2013 Tujuan Pembelajaran
Kurikulum 006/03 matematika K e l a s XI TURUNAN TRIGONOMETRI Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.. Dapat menentukan rumus turunan trigonometri
Lebih terperinci3 LIMIT DAN KEKONTINUAN
Menurut Bartle dan Sherbet (1994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun oleh berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan,
Lebih terperinciTRY OUT UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2016/2017
TRY OUT UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2016/2017 LEMBAR SOAL Mata Pelajaran : MATEMATIKA Satuan Pendidikan : SMA/MA Program : BAHASA Hari, Tanggal : Sabtu, 18 Februari 2017 Waktu : 120 Menit PETUNJUK UMUM
Lebih terperinciTurunan Fungsi. h asalkan limit ini ada.
Turunan Fungsi q Definisi Turunan Fungsi Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat a. Turunan pertama fungsi f di =a ditulis f (a) didefinisikan dengan f ( a h) f ( a) f '( a) lim
Lebih terperinciLIMIT DAN KEKONTINUAN
LIMIT DAN KEKONTINUAN Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 37 Topik Bahasan 1 Limit Fungsi 2 Hukum Limit 3 Kekontinuan Fungsi (Departemen
Lebih terperinciBab 1. Bilangan Bulat. Standar Kompetensi. 1. Memahami sifat-sifat operasi hitung bilangan dan pengunaannya dalam pemecahan masalah.
Bab 1 Bilangan Bulat Standar Kompetensi 1. Memahami sifat-sifat operasi hitung bilangan dan pengunaannya dalam pemecahan masalah. Kompetensi Dasar 1.1. Melakukan operasi hitung bilangan pecahan. 1.2. Menggunakan
Lebih terperinciKALKULUS 1. Oleh : SRI ESTI TRISNO SAMI, ST, MMSI /
Oleh : SRI ESTI TRISNO SAMI, ST, MMSI 08125218506 / 082334051234 E-mail : sriestits2@gmail.com Bahan Bacaan / Refferensi : 1. Frank Ayres J. R., Calculus, Shcaum s Outline Series, Mc Graw-Hill Book Company.
Lebih terperinciBAB MATRIKS. Tujuan Pembelajaran. Pengantar
BAB II MATRIKS Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi bab ini, Anda diharapkan dapat: 1. menggunakan sifat-sifat dan operasi matriks untuk menunjukkan bahwa suatu matriks persegi merupakan invers
Lebih terperinciSRI REDJEKI KALKULUS I
SRI REDJEKI KALKULUS I KLASIFIKASI BILANGAN RIIL n Bilangan yang paling sederhana adalah bilangan asli : n 1, 2, 3, 4, 5,. n n Bilangan asli membentuk himpunan bagian dari klas himpunan bilangan yang lebih
Lebih terperinciPENENTUAN KRITERIA KETUNTASAN MINIMUM ( K K M ) : Don Bosco Padang
PENENTUAN KRITERIA KETUNTASAN MINIMUM ( K K M ) S M A Mata Pelajaran Kelas : Don Bosco Padang : Matematika : XI IPA No 1 Membaca sajian data dalam bentuk diagram batang, garis dan lingkaran 2 2 3 7/9 x100
Lebih terperinciSELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 2009 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2010
Dapatkan soal-soal lainnya di http://forum.pelatihan-osn.com SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 2009 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2010 Waktu : 210 Menit DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT
Lebih terperinciSISTEM BILANGAN RIIL DAN FUNGSI
SISTEM BILANGAN RIIL DAN FUNGSI Matematika Juni 2016 Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 1 / 67 Outline 1 Sistem Bilangan Riil Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 2 / 67 Outline
Lebih terperinciRencana Pembelajaran
Learning Outcome Rencana Pembelajaran Setelah mengikuti proses pembelajaran ini, diharapkan mahasiswa dapat ) Menentukan nilai turunan suatu fungsi di suatu titik ) Menentukan nilai koefisien fungsi sehingga
Lebih terperinciRENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN A. IDENTITAS MATA PELAJARAN 1. Nama Sekolah : SMA UII Yogyakarta 2. Kelas/Semester : X 3. Semester : 2 4. Mata Pelajaran : Matematika 5. Jumlah Pertemuan : 1 Kali Pertemuan
Lebih terperinciHimpunan dan Fungsi. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Himpunan dan Fungsi Dr Rizky Rosjanuardi P PENDAHULUAN ada modul ini dibahas konsep himpunan dan fungsi Pada Kegiatan Belajar 1 dibahas konsep-konsep dasar dan sifat dari himpunan, sedangkan pada
Lebih terperinciBAB 2 PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR
BAB 2 PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR MATERI A. Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak A. PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN YANG MEMUAT NILAI MUTLAK Dalam matematika, sesuatu yang nilainya selalu positif
Lebih terperinci2.1 Soal Matematika Dasar UM UGM c. 1 d d. 3a + b. e. 3a + b. e. b + a b a
Soal - Soal UM UGM. Soal Matematika Dasar UM UGM 00. Jika x = 3 maka + 3 log 4 x =... a. b. c. d. e.. Jika x+y log = a dan x y log 8 = b dengan 0 < y < x maka 4 log (x y ) =... a. a + 3b ab b. a + b ab
Lebih terperinciSMA / MA IPA Mata Pelajaran : Matematika
Latihan Soal UN 00 Paket Sekolah Menengah Atas / Madrasah Aliyah IPA SMA / MA IPA Mata Pelajaran : Matematika Dalam UN berlaku Petunjuk Umum seperti ini :. Isikan identitas Anda ke dalam Lembar Jawaban
Lebih terperinciBAB II KAJIAN TEORI. pada penulisan bab III. Materi yang diuraikan berisi tentang definisi, teorema, dan
BAB II KAJIAN TEORI Pada bab ini akan dibahas beberapa hal yang digunakan sebagai landasan pada penulisan bab III. Materi yang diuraikan berisi tentang definisi, teorema, dan beberapa kajian matematika,
Lebih terperinci5 F U N G S I. 1 Matematika Ekonomi
5 F U N G S I Pemahaman tentang konsep fungsi sangat penting dalam mempelajari ilmu ekonomi, mengingat kajian ekonomi banyak bekerja dengan fungsi. Fungsi dalam matematika menyatakan suatu hubungan formal
Lebih terperinciMatematika Proyek Perintis I Tahun 1980
Matematika Proyek Perintis I Tahun 980 MA-80-0 Di antara lima hubungan di bawah ini, yang benar adalah Jika B C dan B C, maka A C Jika A B dan C B, maka A C Jika B A dan C B, maka A C Jika A C dan C B,
Lebih terperinciFUNGSI Matematika Industri I
FUNGSI TIP FTP UB Pokok Bahasan Memproses bilangan Komposisi fungsi dari fungsi Jenis fungsi Fungsi trigonometrik Fungsi eksponensial dan logaritmik Fungsi ganjil dan fungsi genap Pokok Bahasan Memproses
Lebih terperinciAPA ITU FUNGSI? x f : x y atau y=f(x) f : x y y=f(x) y=f(x)=x 2. Imajinasi : bermain golf
FUNGSI TEP FTP UB APA ITU FUNGSI? Imajinasi : bermain golf x f f : x y atau y=f(x) y Sebuah fungsi adalah transformasi dari input x pada output y = f(x). f : x y y=f(x) y=f(x)=x 2 Fungsi adalah hubungan
Lebih terperinciZulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana. Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ( + ) ( ) ( )=
Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ()= (+) () Penyusun Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana Nama NIm : : Untuk ilmu yang bermanfaat Untuk Harapan
Lebih terperinciSEKOLAH MENENGAH PERTAMA (SMP) NEGERI 103 JAKARTA
PEMERINTAH PROVINSI DAERAH KHUSUS IBUKOTA JAKARTA DINAS PENDIDIKAN SEKOLAH MENENGAH PERTAMA (SMP) NEGERI 103 JAKARTA SEKOLAH STANDAR NASIONAL (SSN) Jl. RA Fadillah Komp. Kopassus Cijantung Telp. 8400005,
Lebih terperinciBUKU DIKTAT ANALISA VARIABEL KOMPLEKS. OLEH : DWI IVAYANA SARI, M.Pd
BUKU DIKTAT ANALISA VARIABEL KOMPLEKS OLEH : DWI IVAYANA SARI, M.Pd i DAFTAR ISI BAB I. BILANGAN KOMPLEKS... 1 I. Bilangan Kompleks dan Operasinya... 1 II. Operasi Hitung Pada Bilangan Kompleks... 1 III.
Lebih terperinciBAB 3 LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI
Diktat Kuliah TK Matematika BAB LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI Limit Fungsi Pengantar Limit Tinjau fungsi yang didefinisikan oleh f ( ) Perhatikan bahwa fungsi ini tidak terdefinisi pada = karena memiliki
Lebih terperinciBagian 2 Matriks dan Determinan
Bagian Matriks dan Determinan Materi mengenai fungsi, limit, dan kontinuitas akan kita pelajari dalam Bagian Fungsi dan Limit. Pada bagian Fungsi akan mempelajari tentang jenis-jenis fungsi dalam matematika
Lebih terperinciSoal UN 2009 Materi KISI UN 2010 Prediksi UN 2010
PREDIKSI UN 00 SMA IPA BAG. (Berdasar buku terbitan Istiyanto: Bank Soal Matematika-Gagas Media) Logika Matematika Soal UN 009 Materi KISI UN 00 Prediksi UN 00 Menentukan negasi pernyataan yang diperoleh
Lebih terperinciMata Pelajaran MATEMATIKA Kelas X
Mata Pelajaran MATEMATIKA Kelas X SEKOLAH MENENGAH ATAS dan MADRASAH ALIYAH PG Matematika Kelas X 37 Bab 1 Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma Nama Sekolah : SMA dan MA Mata Pelajaran : Matematika Kelas
Lebih terperinciCONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN PERSIAPAN UN 2014
CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN PERSIAPAN UN 04 DISUSUN OLEH AHMAD THOHIR MA FUTUHIYAH JEKETRO GUBUG GROBOGAN JATENG KATA PENGANTAR Tulisan yang sangat sederhana ini berisi kisi-kisi UN 0 disertai contoh soal
Lebih terperinciBAB 5 TEOREMA SISA. Menggunakan aturan sukubanyak dalam penyelesaian masalah. Kompetensi Dasar
Standar Kompetensi BAB 5 TEOREMA SISA Menggunakan aturan sukubanyak dalam penyelesaian masalah. Kompetensi Dasar Menggunakan algoritma pembagian sukubanyak untuk menentukan hasil bagi dan sisa pembagian
Lebih terperinciSELEKSI TINGKAT PROPINSI MATEMATIKA SMA/MA
SELEKSI TINGKAT PROPINSI CALON PESERTA OLIMPIADE SAINS NASIONAL 2012 MATEMATIKA SMA/MA PETUNJUK UNTUK PESERTA: 1. Tes terdiri dari dua bagian. Tes bagian pertama terdiri dari 20 soal isian singkat dan
Lebih terperinciRelasi, Fungsi, dan Transformasi
Modul 1 Relasi, Fungsi, dan Transformasi Drs. Ame Rasmedi S. Dr. Darhim, M.Si. M PENDAHULUAN odul ini merupakan modul pertama pada mata kuliah Geometri Transformasi. Modul ini akan membahas pengertian
Lebih terperinciModul Matematika MINGGU 4. g. Titik Potong fungsi linier
MINGGU 4 Pokok Bahasan Sub Pokok Bahasan Tujuan Instruksional Umum : Hubungan dan : 1. Hubungan 2. a. Pengertian fungsi b. Jenis-jenis fungsi c. Diagram fungsi d. Pengertian fungsi linier e. Penggambaran
Lebih terperinciPembahasan Simak UI Matematika Dasar 2012
Pembahasan Simak UI Matematika Dasar 2012 PETUNJUK UMUM 1. Sebelum mengerjakan ujian, periksalah terlebih dulu, jumlah soal dan nomor halaman yang terdapat pada naskah soal. Naskah soal ini terdiri dari
Lebih terperinciBILANGAN BERPANGKAT DAN BENTUK AKAR
BILANGAN BERPANGKAT DAN BENTUK AKAR 1. Bilangan Berpangkat Sederhana Dalam kehidupan sehari-hari kita sering menemui perkalian bilangan-bilangan dengan faktorfaktor yang sama. Misalkan kita temui perkalian
Lebih terperinci3 LIMIT DAN KEKONTINUAN
Menurut Bartle dan Sherbet (1994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun dari berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan,
Lebih terperinciSilabus dan Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP)
Siswanto MODEL Silabus dan Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP) for Grade X of Senior High School and Islamic Senior High School Berdasarkan Permendiknas Nomor 22 Tahun 2006 tentang Standar Isi dan Permendiknas
Lebih terperinci