Matematika Peminatan SMA kelas X Kurikulum 2013 BAB I PERTIDAKSAMAAN RASIONAL, IRASIONAL & MUTLAK I. Pertidaksamaan Rasional (Bentuk Pecahan) A. Pengertian Secara umum, terdapat empat macam bentuk umum dari pertidaksamaan berbentuk pecahan, yaitu : () () < 0 () () > 0 () 0 () () 0 () Dengan f(x) dan g(x) merupakan fungsi-fungsi dalam x dan g(x) 0 B. Metode Penyelesaian Metode penyelesaian dalam pertidaksamaan bentuk pecahan antara lain: 1. Mengubah ruas kanan menjadi nol 2. Samakan penyebutnya sehingga pecahan dapat disederhanakan 3. Menentukan nilai pembuat nol pembilang dan penyebut 4. Meletakkan nilai pembuat nol pada garis bilangan 5. Mensubstitusikan x = 0, sebagai nilai uji untuk menentukan tanda interval, yaitu Tanda positif (+)untuk nilai pertidaksamaan yang lebih dari nol ( > 0) Tanda negatif (-)untuk nilai pertidaksamaan yang kurang dari nol (< 0) 6. Interval yang memiliki tanda dengan nilai sesuai tanda pertidaksamaan merupakan himpunan penyelesaian yang dicari. Contoh Soal : Tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan < 1, x 3! Jawab : 2x 1 x 3 < 1 2x 1 x 3 1 < 0 2x 1 x 3 x 3 x 3 < 0 (2x 1) (x 3) < 0 x 3 x + 2 x 3 < 0 Nilai pembuat nol pembilang x + 2 = 0 x = 2 Nilai pembuat nol penyebut x 3 = 0 x = 3 Garis bilangan: 0 + 2 0 3 < 0 2 3 < 0 (benar/negatif)
Karena tanda pertidaksamaannya ( < ) maka himpunan penyelesaiannya pada interval yang bertanda ( - ) Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {x 2 < x < 3} II. Pertidaksamaan Irasional ( Bentuk Akar) A. Pengertian Pertidaksamaan Irasional adalah pertidaksamaan yang bentuk aljabarnya berada di dalam akar B. Bentuk Umum f(x) > g(x) f(x) g(x) f(x) > g(x) f(x) < g(x) f(x) < g(x) Syarat : f(x) 0 dan g(x) 0 f(x) g(x) f(x) g(x) f(x) g(x) C. Penyelesaian Pertidaksamaan Irasional Langkah-langkah penyelesaiannya antara lain : a. Menguadratkan kedua ruas agar bentuk akarnya hilang b. Menetapkan syarat bagi fungsi yang berada di bawah tanda akar dan himpunan penyelesaiannya merupakan irisan dari penyelesaian utama dan syarat-syaratnya. Adapun syarat-syaratnya sebagai berikut: 1. Bentuk : f(x) < a dengan a > 0 Dipenuhi untuk : (a) f(x) 0 (b) f(x) < a Penyelesaian : irisan dari (a) dan (b) 2. Bentuk : f(x) < g(x) Dipenuhi untuk : (a) f(x) 0 (b) g(x) 0 (c) f(x) < g(x) Penyelesaian : irisan dari (a), (b) dan (c) 3. Bentuk : f(x) < g(x) Dipenuhi untuk : (a) f(x) 0 (b) g(x) > 0 (c) f(x) < g (x) Penyelesaian : irisan dari (a), (b) dan (c) Contoh Soal : 1. Tentukan penyelesaian pertidaksamaan 3x 9 6! 2. Tentukan penyelesaian pertidaksamaan x 9 > x + 4x 5! Jawab : 1. Syarat yang dipenuhi : a. 3x 9 6 3x 9 6 3x 9 36
3x 36 + 9 3x 45 x 15 b. 3x 9 0 3x 9 x 3 Dari syarat (a) dan (b), maka himpunan penyelesaiannya : {x 3 x 15} 2. Syarat yang dipenuhi : a. x 9 > x + 4x 5 x 9 > x + 4x 5 x 9 > x + 4x 5 x 9 (x + 4x 5) > 0 4x 4 > 0 4x > 4 x < 1 b. x 9 0 (x + 3)(x 3) 0 (0 + 3)(0 3) 0 9 0 (Salah/negatif) Hp : x 3 atau x 3 c. x + 4x 5 0 (x + 5)(x 1) 0 (0 + 5)(0 1) 0 5 0 (Salah/negatif) Hp : x 5 atau x 1 Dari syarat (a), (b) dan (c) diperoleh: Jadi himpunan peneyelesaiannya adalah {x x 5 atau x 3} III. Pertidaksamaan Mutlak 1. Pengertian
Pertidaksamaan Mutlak adalah pertidaksamaan yang variabelnya mengandung atau dalam bentuk tanda mutlak... Pengertian nilai mutlak : x, untuk x < 0 f(x) = x = dengan x R x, untuk x 0 f(x) = x = x 2. Bentuk Umum f(x) < a f(x) > a f(x) a f(x) 0 3. Penyelesaian Pertidaksamaan Mutlak Dalam menyelesaikan pertidaksamaan mutlak selalu menggunakan sifat-sifat nilai mutlak berikut ini: Untuk x, y bilangan real, maka selalu berlaku : 1. x y = y x 2. xy xy 3. x = x = x 4. x + y x + y 5. x y x + y Cara menyelesaikan pertidaksamaan mutlak secara umum : a. Bentuk f(x) < a dan a > 0 diubah ke dalam bentuk : a < f(x) < a b. Bentuk f(x) a dan a > 0 diubah ke dalam bentuk : a f(x) a c. Bentuk f(x) > a dan a > 0 diubah ke dalam bentuk : f(x) < a atau f(x) > a d. Bentuk f(x) a dan a > 0 diubah ke dalam bentuk : f(x) a atau f(x) a e. Bentuk f(x) > g(x) diubah ke dalam bentuk : [f(x) + g(x)][f(x) g(x)] > 0 f. Bentuk a < f(x) < b dengan a dan b positif, diubah menjadi : a < f(x) < b atau b < f(x) < a g. Bentuk < c dengan c > 0 < c a < c b a < cb (a + cb)(a cb) < 0 Contoh Soal : Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan : a. 2x 7 < 3 b. 1 2x x 2 c. 4 Jawab : a. 2x 7 < 3 memenuhi f(x) < a a < f(x) < a
Sehingga diubah menjadi : 3 < 2x 7 < 3 3 + 7 < 2x 7 + 7 < 3 + 7 4 < 2x < 10 4 2 < 2x 2 < 10 2 2 < x < 5 Jadi penyelesaiannya : 2 < x < 5 b. 1 2x x 2 memenuhi f(x) > g(x) [f(x) + g(x)][f(x) g(x)] > 0 Sehingga diubah menjadi : [1 2x + (x 2)][1 2x (x 2)] 0 (1 2x + x 2)(1 2x x + 2) 0 ( 1 x)(3 3x) 0 (x + 1)[ 1(3x 3)] 0 (x + 1)(3x 3) 0 (0 + 1)(0 3) 0 3 0 (Salah/negatif) x 1 atau x 1 Jadi penyelesaiannya : x 1 atau x 1 c. 4 memenuhi c (a + cb)(a cb) < 0 Sehingga diubah menjadi : [3 2x + 4(2 + x)][3 2x 4(2 + x)] 0 (3 2x + 8 + 4x)(3 2x 8 4x) 0 (2x + 11)( 6x 5) 0 (2x + 11)[ (6x + 5)] 0 (2x + 11)(6x + 5) 0 ( kedua ruas dibagi -1) (0 + 11)(0 + 5) 0 55 0 (Salah/negatif) x atau x Jadi penyelesaiannya : x atau x
LATIHAN SOAL Soal 1. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 0 2. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 0 3. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 4. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan < + 2 5. Himpunan penyelesaian dari () pertidaksamaan > 0 6. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 2x + 6 < 4 x 7. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 4 x < x + 2 8. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x 3x 3 2 9. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x 3x + 2 x + 7 10. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 2 11. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x 6x + 8 < x + 2 12. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 3 2x 5 adalah... 13. Himpunan penyelesaian dari Jawaban
pertidaksamaan 3x 1 < x + 2 14. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x 3x + 1 < 1 15. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x 2 x 2 < 2 16. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 4x 3 x + 1 17. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x 4x + 4 2x 3 18. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 19. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x x 12 20. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 0