MODEL DINAMIK ERUMBUHAN EKONOMI WAKU DISKRE DENGAN VARIABEL KEBIJAKAN FISKAL DAN MONEER FREDERICK F JEBADA DEAREMEN MAEMAIKA FAKULAS MAEMAIKA DAN ILMU ENGEAHUAN ALAM INSIU ERANIAN BOGOR 9
ABSRAC FREDERICK FREINADEMEZ JEBADA Dynam model of Eonom Gowh wh Vaable me Dske Fsal and Moneay oly Supevsed by RENO BUDIARI and DONNY CIRA LESMANA hs pape s a senf analyss on how fsal and moneay poles affe eonom gowh (elaed o he amoun of money and onsumpon) Model s essenally a budge onsan he household seo fo he peod of me Budge onsans ha made equaly of ondons ha desbes he ably of households and he govenmen o pay fo he expenses / pay off debs Objeve funon ha opmzed s a funon whh s he uly funon of onsumpon and eal money hen ondued a qualave analyss on he opmal ajeoy fo he nfluene of nomnal nees aes and nflaon on he dynams of onsumpon and eal money demand (he ase of Benoull ype uly funon) Fnally, I analyze he nfluene of seveal fsal and moneay desons on he opmal ajeoy he esuls fom an objeve funon ha s affeed by he level of nflaon Keywods: Eonom Gowh, Fsal oly, Moneay oly, Maxmum nples
RINGKASAN FREDERICK FREINADEMEZ JEBADA Model Dnamk eumbuhan Ekonom Waku Dske dengan Vaabel Kebjakan Fskal dan Monee D bawah bmbngan RENO BUDIARI dan DONNY CIRA LESMANA Kaya lmah n meupakan analss mengena aa bagamana kebjakan fskal dan monee mempengauh peumbuhan ekonom (eka jumlah uang dan konsums) Dasanya adalah sebuah model kendala anggaan seko umah angga unuk peode waku eenu Kendala anggaan u djadkan pesamaan yang menggambakan konds kesanggupan umah angga dan pemenah unuk membaya pengeluaan aau melunas huangnya Fungs obyekf yang dmaksmumkan adalah sebuah fungs ulas yang meupakan fungs da konsums dan uang eal Kemudan dlakukan analss seaa kualaf pada lnasan opmal unuk mengeahu pengauh suku bunga nomnal dan ngka nflas ehadap dnamka konsums dan pemnaan uang eal (kasus fungs ulas pe Benoull) Akhnya danalss mengena pengauh bebeapa kepuusan fskal dan monee pada lnasan opmal Haslnya beupa sebuah fungs objekf yang dpengauh oleh ngka nflas Kaa kun: eumbuhan Ekonom, Kebjakan Fskal, Kebjakan Monee, nsp Maksmum
MODEL DINAMIK ERUMBUHAN EKONOMI WAKU DISKRE DENGAN VARIABEL KEBIJAKAN FISKAL DAN MONEER Skps Sebaga salah sau syaa unuk mempeoleh gela Sajana Sans pada Fakulas Maemaka dan Ilmu engeahuan Alam Insu eanan Bogo Oleh : FREDERICK F JEBADA G54469 DEAREMEN MAEMAIKA FAKULAS MAEMAIKA DAN ILMU ENGEAHUAN ALAM INSIU ERANIAN BOGOR 9
Judul Nama NIM : Model Dnamk eumbuhan Ekonom Waku Dske dengan Vaabel Kebjakan Fskal dan Monee : Fedek F Jebada : G54469 Dseuju, embmbng I embmbng II I Reno Buda, MS NI 9679 9893 Donny Ca Lesmana, SS, MFnMah NI 9797 5 Mengeahu, Dekan Fakulas Maemaka dan Ilmu engeahuan Alam Insu eanan Bogo D dh Hasm, DEA NI 9638 986 anggal Lulus :
KAA ENGANAR uj syuku penuls panjakan ke hada uhan yang Mahakuasa aas segala ahma, beka dan peolongan-nya sehngga penulsan skps n behasl dselesakan Skps n bejudul Model Dnamk eumbuhan Ekonom Waku Dske dengan Vaabel Kebjakan Fskal dan Monee eumbuhan ekonom eka ea dengan ngka konsums seaa agega Memaksmumkan konsums dengan kendala jumlah uang yang dmlk menjad fokus pembahasan dalam skps n eka jumlah uang yang beeda, pemenah dapa melakukan nevens dalam benuk peneapan suku bunga auan (bank senal), ngka nflas, dan besaan pajak yang haus dbaya Skps n menjad salah sau syaa unuk mempeoleh gela Sajana Sans (SS) pada Depaemen Maemaka, Fakulas Maemaka dan Ilmu engeahuan Alam, Insu eanan Bogo (IB) enuls menguapkan emakash yang sebesa-besanya kepada semua phak yang seaa langsung dan ak langsung membanu penuls dalam penyelesaan skps n Ibu I Reno Buda, MS yang elah dengan saba membmbng penuls sejak awal pengejaan skps n emakash elah menjad IBU yang lua basa keka penuls menghadap sedk anangan d saa-saa akh Semoga Ibu selalu mendapakan yang ebak da-nya Bapak Donny Ca Lesmana, SS, MFnMah yang elah mempekaya wawasan penuls melalu masukan dan kk-kk behaganya emakash juga unuk s belau, yang ela waku sahanya dganggu, unuk makanan dan mnuman yang elah penuls nkma selama bmbngan d umah Semoga sukses unuk kulah dokonya nan 3 Ibu D Enda Hasafah Nugahan, MS yang elah beseda menjad modeao semna dan dosen penguj dsdang akh emakash unuk pengean dan segala bud baknya 4 Mahnu, Rken Roa, dan Nova Handayan yang elah bekenan menjad pembahas dalam semna skps n Sukses selalu bua kalan 5 Bapak Kaolus Jebada dan Ibunda Doea Maa Fama yang elah menjad oang ua juaa sau bag penuls emakash aas doa, doongan, pengean, juga mae yang mempelana penulsan skps n Juga unuk Ck sek, Kend, Awoh, Suleng, dan Uung yang elah dengan aanya masng-masng selalu menyemanga penuls 6 eman-eman MaemakaAngkaan 4: Oezhank, Geho, Ddo dan Cohom (unuk semua dukungan yang ak enla), Ral, Ids, Mahnu, Zal, Mazd, Iboy, yad, Iba, Dka, Yaya, Mmn, Jengez, Denol, Cum, Chubby, Yos, Hend, Fe, Endh, Shul, Re, Dee, Dan, Lay, Sfa, Muk, enoy, Uwe, An, Lam, Dawsah, Jannah, Am, Inan, Enyon, Eh, Ra, Enny, Roma, es, a, Febna, Ayu, Ika, Maha, El, Rna Z, Eva, Roo, Nda, aas segenap dukungan, suka-duka dan kebahagaan selama penuls menempuh sud d Depaemen Maemaka IB 7 eman-eman d FUSAL IB (Mas Hay, Mas Mano, ae Kukuh, Aonk, Bee, Galuh, Neswa, Huda, Agus, Bedul, dll), KORAN KAMUS IB (Iqbal, Fahmul, alesn, dll), BEM KM, GUMAIKA, GAMANUSRAIM BOGOR (Ka Ad, Dony, Ran, Bala, Gonze, On, Yun, Mna, Ayu, Rsna, dll), enguus MASRANS JAKARA, RODUA SA BANDUNG, dan GOLDEN WAER JAKARA, yang elah mengnspas penuls dan ela melha penuls membawa daf skps n ke mana-mana 8 eman-eman d Wsma ASRI: Ka helln, Obe, Oenald, Ewad, Mas Rony, Ian (my manage), Uok, Rzky, homma, Hangga, Ade, Dky, Abang, eeh, Uwo, Adella, Dana, dan Hesny emakash aas dukungan dan kekeluagaan yang elah ejaln 9 aa pegawa d lngkungan Depaemen Maemaka IB: Bu Sus, Bu Ade, Mas Yono, dan Mas Hey yang elah banyak membanu penuls emakash unuk semua yang saya dapakan d sn enuls menyada adanya kedaksempunaan dalam skps n Kaena u penuls menghaapkan kk dan saan yang membangun da pembaa Semoga skps n dapa bemanfaa Bogo, Agusus 9 Fedek F Jebada
RIWAYA HIDU Fedek F Jebada lah d Ranggu, Floes, pada 6 Janua 986 enuls adalah anak kedua da enam besaudaa, da pasangan Kaolus Jebada dan Doea Maa Fama Jenjang penddkan dasa dan menengah penuls lalu anpa halangan bea Seelah menamakan penddkan dasa pada SD Ranggu I, penuls menempuh sekolah menengah pada SM dan SMA S us XII Ksol, Rueng ada Agusus 4, penuls lulus Ujan Masuk eguuan ngg Nege (UMN), dan dema sebaga mahasswa pada Depaemen Maemaka Insu eanan Bogo (IB) Selama menjalan masa pekulahan, penuls akf dalam bebaga ogansas nenal dan eksenal kampus enuls elba dalam kepenguusan ogansas kemahasswaan dan umum sejak awal masuk kulah ahun 4 penuls begabung dalam kepenguusan Hmpunan ofes Mahasswa Maemaka IB (GUMAIKA), yakn Depaemen Kesekeaaan dan Kajan Saegs Selan u, penuls menjad penguus ogansas mahasswa daeah N (GAMANUSRAIM Bogo), dan eakh menjad wakl keua ogansas esebu enuls adalah salah sau pens Dewan Legslaf GUMAIKA Masuk dalam Dewan Deks KORAN KAMUS IB pada 6-8 Juga menjad saf pada Kemenan Infokom BEM KM IB peode 6/7 Selan u, penuls akf dalam bebaga dskus besama ogansas eksakampus sepe: GMNI, MKRI, HMI, dan KAMMI d Koa Bogo Un Kegaan mahasswa (UKM) Sepak bola juga menjad empa penuls belaja beogansas, dengan menjad keua Dvs Eksenal UKM Sepak bola peode 5/6 Kemudan menjad salah sau pend UKM Fusal dan menjad Sekjen pada peode kepenguusan 6/7 enuls juga sempa menjad keua semenaa d masa pealhan ahun 8 D ahun 6, penuls menjad sekeas wlayah Bogo unuk Foum emuda N Jakaa-Bogo dan d ahun bekunya penuls menjad koodnao wlayah Bogo enuls eplh menjad Keua Angkaan Keluaga Mahasswa Kaolk IB (KEMAKI) Angkaan 4 Sempa menjad saf d Bo enddkan dan embnaan KEMAKI peode kepenguusan 6/7 enuls juga mengembangkan hob menuls dan belaja manajemen meda (junalsk) dengan begabung dengan KORAN KAMUS IB, meda junalsk ebesa d kampus IB Akf d KORAN KAMUS IB dengan amanah eakh sebaga edaku seno pada 7-8 enuls menjad epoe akf dan menjad penanggung jawab bea bea da 5-7 Mens dan menjad penanggung jawab KORAN KAMUS IB Eds amfle pada 6-7 ada peode n, penuls menjad Redaku elaksana KORAN KAMUS IB Selan u, penuls juga menjad pemmpn edaks dan penanggung jawab bulen GAMANEWS (bulen mahasswa N Bogo) Menjad edo BUKI 4 (Bulen Ukhuwah Keluaga Maemaka Angkaan 4) ada 4/5 menjad edo majalah dndng GUMAIKA 3 Dalam bdang olah aga, penuls uu sea menghaumkan nama almamae d ngka nasonal enuls menjad peman m nasonal Fusal IB pada 5-9 Sejak awal 7 menjad kapen m nasonal Fusal IB ada musm kompes 6/7, penuls dkonak klub fusal pofesonal, RODUA SA BANDUNG, dalam kompes Indonesan Fusal League (IFL) Lga pofesonal fusal engg d anah a D musm kompes bekunya, penuls pndah ke klub MASRANS JAKARA hngga sekaang D kedua klub esebu, penuls sekalgus mengemban amanah sebaga kapen m Unuk ngka kampus, penuls menjad kapen m fusal Fakulas MIA, pada Olmpade Mahasswa IB ahun 5, 6, 7, 8, 9 Menjad juaa dan mempeoleh gela peman ebak sekalgus op soe pada Olmpade Mahasswa IB ahun 5 Selan u, penuls juga seng beman unuk bebeapa klub unuk kompes ak esm ( akam ) d Bogo, Jakaa, dan Bandung 4 enuls akf dalam bebaga kepanan penng, d ngka kampus hngga nasonal, danaanya sebaga koodnao fusal pada Olmpade Mahasswa IB 7 dan 8 Juga menjad koodnao Humas dan Meda Massa pada Fusal Nasonal 7 Semasa kulah, penuls menjad guu pva Maemaka dan Bahasa Inggs unuk sswa SD, SM, dan SMA d Bogo D akh masa kulah, penuls menjad enaga eny daa Bank Duna unuk penggunaan Dana BOS ngka SD dan SM d Indonesa (ahun Anggaan 8/9)
DAFAR ISI Halaman DAFAR ISI DAFAR LAMIRAN v I ENDAHULUAN Laa Belakang ujuan II LANDASAN EORI eumbuhan Ekonom embangunan Ekonom 3 Kebjakan Fskal 4 Kebjakan Monee 5 Inflas dan ngka Inflas 6 Segnoage 7 ngka Bunga Nomnal Bebas Rsko 8 ngka Bunga Real Bebas Rsko 3 9 Lump-Sum ax 3 esamaan Fshe (Fshe Equaon) 3 esamaan Beda 3 uunan 3 3 nsp Maksmum: Maksmsas dan Mnmsas Fungs 4 4 uunan asal 4 5 engal Lagange 4 6 Deemnan Hess 4 7 Vaabel Slak 4 8 Fungs Ulas (Uly Funon) 5 9 esamaan Hamlon 5 III EMBAHASAN 5 3 Model elaku Ekonom Seko Rumah angga dan emenah 5 3 Model Masalah Opmas 6 33 Analss Kualaf Lnasan Opmal 8 34 Konds ansvesalas 9 35 Kasus Fungs Ulas pe Benoull 9 36 Kesesuaan anaa Kebjakan Fskal dan Monee IV KESIMULAN DAN SARAN 3 4 Kesmpulan 3 4 Saan 3 DAFAR USAKA 4 LAMIRAN 5
DAFAR LAMIRAN Halaman enuunan esamaan (6b) menjad esamaan (7) 6 enuunan esamaan () menjad esamaan (4) 7 Buk esamaan (9) 8 Buk esamaan (3) 8 Buk esamaan (37) 9 Buk esamaan (39) 9 Buk esamaan (4) dan esamaan (4) Buk esamaan (48) Buk esamaan (5a) Buk esamaan (5b) Buk esamaan (5) 3 Buk esamaan (54) 3 Buk esamaan (67) 4 Buk esamaan (74) 5 Buk esamaan (84) 6 Buk esamaan (88) 7
I ENDAHULUAN Laa Belakang Seap negaa d duna mempunya nsans eenu yang mengau kemajuan ekonom bangsanya Adapun ugas negaa melalu nsans besangkuan yakn memaskan konnuas pembangunan ekonom dem kesejaheaan kehdupan bangsa dan negaanya eumbuhan ekonom (eonom gowh) menjad salah sau ndkao da pembangunan ekonom eumbuhan ekonom suau negaa meupakan paamee, sejauh mana nsumen negaa memanfaakan semua poens dan kekayaan negaa u dem membangun ekonom mako Hal n menjad penng sebab konds ekonom menjad fako ugen dalam menjaga sablas suau negaa C penng pekembangan ssem peekonoman negaa-negaa duna dewasa n adalah dak ada negaa yang bena-bena menganu sosals mun (k) aau lbeal (kanan) Yang ada, yakn, edapa pean pemenah dalam mengonol pasa ap negaa bebeda ukuan dan peanan pemenahnya Hal n dlakukan aga saa mekansme pasa bejalan, negaa (pemenah) memaskan adanya manfaa ehadap peumbuhan ekonom bangsanya Salah sau pean negaa dalam mengonol pasa dan memau peumbuhan ekonom suau negaa adalah melalu mplemenas kebjakan fskal dan monee yang efekf Dalam bebeapa ahun eakh, bekembang pedebaan soal efekfas da mplemenas kebjakan fskal dan monee suau negaa dalam mendukung eapanya peumbuhan ekonom yang opmal, euama dalam jangka panjang, msalnya sud eos maupun emps yang menganalss hubungan anaa nflas dengan peumbuhan ekonom jangka panjang (Ala, 3) Sud-sud yang dlakukan sejak dua dekade eakh makn mempeluas wawasan ka enang pengauh kebjakan-kebjakan publk ehadap peumbuhan ekonom Bao (99) seaa khusus mempelaja pengauh kebjakan-kebjakan fskal, sepe pepajakan dan belanja pemenah, ehadap peumbuhan ekonom Van de loeg & Alogoskoufs (994) dan Cha, Jones, & Manuell (995) menguj pengauh kebjakan monee, sepe peubahan pada ngka pesedaan nomnal maa uang ehadap akfas eal jangka panjang Akh-akh n paa ekonom menngkakan pehaannya pada neaks anaa kebjakan mako melalu eo ngka haga, yang dkenal dengan sebuan eo Fskal (Fsal heoy/f) F menyoo bahwa kemampuan membaya pemenah haus djamn, sehngga kebjakan monee akan dapa mengonol ngka haga Saa ooas fskal mengalam defs pada anggaan, ooas monee haus menjamn kemampuan membaya pemenah melalu kebjakan segnoage Selan u, pengeluaan (belanja pemenah) juga akan beakba pada peubahan haga (nflas) Kaena u, pelu dsada penngnya kesembangan anggaan melalu penyusunan anggaan yang bjak sehngga dak menghamba sablsas fskal eumbuhan ekonom suau negaa pada dasanya dak hanya eganung pada kebjakan fskal saja, aau kebjakan monee saja, eap lebh pada gabungan kedua kebjakan makoekonom n Ineaks kebjakan fskal dan monee penng dalam mendukung peumbuhan dan mensablkan peekonoman suau negaa Kaena u, kajan lmah sanga dpelukan unuk mempelaja masalah neaks kebjakan fskal dan monee; pengauhnya ehadap peumbuhan ekonom jangka panjang ujuan ujuan da kaya lmah n adalah menganalss sebuah model dnamk peumbuhan ekonom waku dske, dengan vaabel beupa kebjakan fskal dan monee
II LANDASAN EORI ada bagan n akan duakan bebeapa defns dan penjelasan slah-slah yang dgunakan dalam kaya lmah n eumbuhan Ekonom eumbuhan ekonom (eonom gowh) adalah pekembangan kegaan dalam peekonoman yang menyebabkan baang dan jasa yang dpodukskan dalam masyaaka beambah ngka peumbuhan ekonom menunjukkan pesenase kenakan pendapaan nasonal eal pada suau ahun eenu, dbandngkan dengan pendapaan nasonal eal pada ahun sebelumnya (Sukno 4) embangunan Ekonom embangunan ekonom (eonom developmen) adalah peumbuhan ekonom yang dku oleh peubahan dalam suku dan oak kegaan ekonom Dalam konsep pembangunan ekonom, yang dlha dak saja pekembangan pendapaan nasonal eal, eap juga pada pegesean suku pendukung, msalnya modensas kegaan ekonom embangunan ekonom juga danda dengan pendapaan pe kapa yang eus-meneus menngka (Lanase & Dulaney 979) 3 Kebjakan Fskal Kebjakan fskal meupakan kebjakan yang dbua pemenah (ooas fskal) dalam mengelola pendapaan (pepajakan) dan pengeluaan pemenah unuk mengaahkan peekonoman suau negaa Insumen uama kebjakan fskal adalah pengeluaan dan pajak eubahan dalam ngka dan komposs pajak; dan pengeluaan pemenah yang dapa mempengauh vaabel-vaabel sepe: pemnaan agega dan ngka akvas ekonom, pola pesebaan sumbe daya, dan dsbus pendapaan Yang dsebu ooas fskal adalah badan pemenah yang beanggung jawab ehadap penemaan dan anggaan pemenah, dalam hal n mene keuangan (Sukno 4) 4 Kebjakan Monee Kebjakan monee meupakan kebjakan yang melpu langkah-langkah pemenah (ooas monee) dalam mengau/ mempengauh jumlah uang yang beeda dalam peekonoman suau negaa Langkahlangkah yang dlakukan beujuan mensablkan peekonoman ujuan yang dapa msalnya pengendalan ehadap nflas dengan mengau kesembangan anaa pesedaan uang dan baang Hal n dlakukan dengan menenukan sanda bunga pnjaman (suku bunga), nevens d pasa valua asng, dan menjad empa eakh bag bank-bank unuk memnjam uang apabla mengalam kesulan lkudas Adapun ooas monee suau negaa adalah bank senal, yang d Indonesa adalah Bank Indonesa (Sukno 4) 5 Inflas dan ngka Inflas Inflas adalah suau poses kenakan hagahaga yang belaku dalam suau peekonoman Semenaa ngka nflas (pesenas peambahan kenakan haga) menggambakan peubahan haga-haga yang belaku da sau ahun ke sau ahun lannya (Sukno 4) 6 Segnoage Segnoage beasal da kaa dalam bahasa eans, segneu, yang meupakan sebuan oang peans unuk uan anah D abad peengahan, uan anah memlk hak eksklusf unuk meneak uang Sekaang, hak n dmlk oleh pemenah pusa (bank senal), dan meupakan salah sau sumbe penemaan Jad, penemaan (negaa) yang dngkakan melalu peeakan uang bau dsebu segnoage (Mankw 3) 7 ngka Bunga Nomnal Bebas Rsko ngka bunga nomnal bebas sko (skfee nomnal nees ae) adalah ngka bunga pas yang denukan bank ehadap nomnal uang (dengan dak mempehungkan nflas) ngka bunga nomnal bekaan dengan peumbuhan uang bedasakan suku bunga Msalnya, epa seahun lalu Anda mendeposokan Rp,- ke dalam deposo sau ahun yang menjamn suku bunga % Anda akan segea mempeoleh Rp, sekaang (Bode e al 5)
3 8 ngka Bunga Real Bebas Rsko ngka bunga eal/efekf bebas sko (sk-fee eal nees ae) adalah ngka bunga nomnal pas (sk-fee ae) yang dkoeks dengan aa menguang laju nflas, unuk menyesuakan peubahan dalam daya bel uang Jad, suku bunga eal bekaan dengan peumbuhan daya bel Dalam onoh d aas, apakah mbal hasl sebesa Rp,- u eal? Beganung pada apa yang bsa dbel uang sekaang, yang sanga dpengauh oleh ngka nflas dalam seahun eakh (Kunajo 3) 9 Lump-Sum ax Lump-sum ax adalah pajak yang penghungannya mengabakan vaabel apa pun, sepe pendapaan aau pengeluaan ajak dbebankan pada besanya kapasas pendapaan eap dak beganung pada jumlah keseluuhan pendapaan Sebaga onoh, pajak baang pbad Seoang pemlk umah membaya pajak yang sama, apakah a mempeoleh pendapaan da umahnya aau dak enaksan lump-sum ax ehadap kapasas pendapaan ndvdu ukup sul euama jka eap bepegang pada pnsp pajak haus sesua dengan kapasas unuk membaya da ap pembaya pajak Kaena u, lump-sum ax dkonol oleh pembaya pajak (Bouldng 958) esamaan Fshe (Fshe Equaon) esamaan dengan benuk meupakan sebuah benuk pendekaan yang mengakan ngka suku bunga eal ( ), ngka suku bunga nomnal ( ), dan ngka nflas ( ) esamaan n menunjukkan ngka suku bunga nomnal bsa beubah kaena dua alasan: kaena ngka bunga eal beubah aau kaena ngka nflas beubah Nama pesamaannya send dambl da nama belakang ekonom Ivng Fshe (867947) endekaan d aas akua selama,, dan ukup kel (kuang da pesen pe ahun) D lua u, fomula eksak unuk pesamaan d aas sebenanya sebaga beku eo kuanas uang menunjukkan bahwa ngka peumbuhan uang menenukan ngka nflas Dalam pesamaan Fshe, ngka bunga eal dambah ngka nflas unuk menenukan ngka bunga nomnal (Mankw 3) esamaan Beda Konsep pesamaan beda (dffeene equaon) dgunakan dalam analss ssem dnamk dengan vaabel dske unuk menunjukkan dnamka/peubahan suau vaabel pada peode eenu Unuk fungs y, nla y beubah bla nla beubah da nege yang sau ke nege bekunya, ms,, 3, dan seeusnya ola peubahan y dgambakan dengan slah beda (dffeene) menunjukan besa y Msalkan peubahan y pada dua peode beuuan, sehngga dapa duls y y y Dengan y adalah nla y pada peode ke Sedangkan y menunjukan nla y pada sau peode seelah peode ke- Benuk d aas dapa duls y y y y y y y 3 y y Msalkan, maka ka dapa menyaakan y dalam y hngga y Hal yang sama belaku juga sebalknya, dalam hal n jka pesamaan bebenuk y y y (Chang & Wanwgh 5) uunan uunan dgunakan unuk menguku ngka peubahan sesaa vaabel ak bebas jka ejad peubahan un yang sanga kel dalam vaabel bebas pada blangan f uunan fungs a dnyaakan dengan f ' a adalah f ' a lm h f a h f a h, jka lm n ada Jka x a h, maka h x a dan h mendeka jka dan hanya jka x mendeka a Sehngga dapa duls f ' a lm x a f x f a x a (Sewa 998)
4 3 nsp Maksmum: Maksmsas dan Mnmsas Fungs eneapan da uunan kedua salah saunya adalah menguj nla maksmum dan mnmum (eka keekungan) Dalam kalkulus dkenal dengan sebuan Uj uunan Kedua Andakan f '' konnu d seka, a) Jka f ' dan 6 Deemnan Hess Unuk mengopmumkan suau fungs dua vaabel z f x, y dengan anggapan syaa uunan peama elah dpenuh, syaa selanjunya haus dpenuh: ) z xx, z yy unuk mnmum z xx, z yy unuk maksmum, dan f '', maka f mempunya mnmum lokal pada b) Jka f ' dan f '', maka f mempunya maksmum lokal pada (Sewa 998) z xx z yy z xy ) 4 uunan asal Jka f adalah fungs dua vaabel, maka Suau pengujan yang mudah unuk syaa odo kedua n adalah deemnan Hess, duls: z xx z xy H z yx z yy uunan pasalnya adalah fungs f x dan f y dengan z xy z yx yang ddefnskan oleh f x x, y lm f x h, y f x, y h h f y x, y lm f x, y h f x, y h Unuk mena f x, pandang y sebaga h konsana dan dfeensalkan f x, y Jka H, dan H ehadap y Jka f adalah fungs dua vaabel, maka uunan pasal (peama) f x dan f y juga fungs dua vaabel, sehngga ka dapa mennjau uunan pasal kedua, f x x, fx y, f y x, f y y Noas fx y aau f xy aau f bemakna bahwa peama y x ka mendfeensalkan ehadap x, kemudan ehadap y (Sewa 3) 5 engal Lagange ( ) Unuk mena nla eksem f ( x, y ) ehadap kendala (dengan g x, y k anggapan bahwa nla eksem n ada), ka mena semua nla x, y, dan sedemkan sehngga f x, y g x, y, dan g x, y k (Sewa 3) z xy z yx z yy z xx z yy z xy, syaa odo kedua unuk suau mnmum dpenuh Hal esebu dkaakan Hess defn posf Jka H dan, ehadap x Semenaa unuk f y, pandang x sebaga konsana lalu dfeensalkan f x, y z xx H z xx z xy z yx z yy syaa odo kedua unuk suau maksmum dpenuh Hal esebu dkaakan Hess defn negaf (Dowlng 98) 7 Vaabel Slak Mena solus (penyelesaan) da sebuah fungs obyekf dengan lebh da dua vaabel pada pemogaman lnea dapa menggunakan meode penyelesaan eenu, msalnya meode smpleks Msalkan: n aj x j b j () adalah sebuah kendala peaksamaan Dmsalkan sebuah vaabel bau, s esamaan () dapa duls kembal sebaga beku: n aj x j s b, aau j n s b aj x j () s (3) j
5 Vaabel s dsebu vaabel slak enambahan vaabel slak beujuan unuk mengubah peaksamaan yang mengandung anda menjad sebuah pesamaan eaksamaan () bena jka dan hanya jka pesamaan () dan peaksamaan (3) bena enulsan vaabel s basanya dsesuakan dengan vaabel yang dgunakan dalam fungs, msalnya: xn unuk vaabel slak pada peaksamaan ke- Sehngga kendala ke- menjad: n xn b aj x j, dengan xn j (Comen ) 8 esamaan Hamlon esamaan Hamlon ddefnskan sebaga beku: H x, y,, f x, y, g x, y, dengan Cosae vaable dsebu osae vaable menaks nla magnal aau mengku peubahan da vaabel sae x (Dowlng ) 9 Fungs Ulas (Uly Funon) Fungs ulas adalah suau fungs yang menunjukkan kepuasan seseoang da mengonsums baang dan jasa, yang dnoaskan sebaga beku: U U x, x,, xn dengan U adalah kegunaan/ulas oal, dan x, x,, xn meupakan banyaknya poduk yang dkonsums Kegunaan oal baang yang dkonsums seoang ndvdu basanya makn menngka pada saa da mengonsums suau poduk Hngga pada ngka eenu, kegunaan magnalnya menjad lebh kel dbandngkan dengan sebelumnya Hal n ejad sejalan dengan kejenuhan ndvdu besangkuan akan poduk u (ass e al 994) III EMBAHASAN Analss mengena pengauh kebjakan monee dan fskal ehadap peumbuhan ekonom dbua aas dasa sebuah model dnamk dengan vaabel-vaabel eenu da pe Sdausk-Bok (Obsfeld & Rogoff, 983) 3 Model elaku Ekonom Seko Rumah angga dan emenah ada bagan n akan dbahas sebuah model dnamk, dengan asums: Rumah angga dengan waku hdup anpa baas dan mempeoleh pendapaan konsan ap peode Rumah angga membaya pajak konsan dan konsums ap peode konsan 3 Ada agen swasa yang epesenaf dan seko pemenah yang ed aas gabungan ooas fskal dan monee (bank senal) 4 dak ada kedakpasan dan pasa dalam konds sempuna Vaabel-vaabel yang dgunakan sebaga beku: : peode waku ada model dske, neval ana sauan waku adalah sama y : pendapaan umah angga pada peode, dengan y :konsums pada peode, dengan h : pengeluaan unuk pembayaan lumpsum ax pada peode : nla uang da oupu pada peode M : jumlah uang pada awal peode (aau d akh peode - ) B : oblgas nomnal yang belum dlunas pada awal peode (aau d akh peode - ) : suku bunga nomnal bebas sko unuk sau peode : suku bunga eal bebas sko unuk sau peode : ngka nflas x : vaabel slak g : belanja/pengeluaan eal pemenah pada peode
6 Dkeahu esamaan Fshe: () dengan, Kendala anggaan umah angga unuk suau peode: B M M B y h, () Dengan kaa lan, jumlah pengeluaan lebh kel aau sama dengan pendapaan seelah dkuang pajak Ddefnskan kekayaan eal, W, sebaga beku: W B M (3) Unuk mengubah peaksamaan () menjad sebuah pesamaan, dbekan vaabel slak x, x, esamaan () dapa dsedehanakan menjad: B M M B y h B M W y h M M B W y h M B W y h M Kaena W B M, maka dengan menambahkan vaabel slak, dpeoleh pesamaan beku W x W y h M Aau dapa duls W W y h M x (4) ada konds kesembangan, saa pengeluaan yang denanakan sama dengan pendapaan, pesamaan d aas mengku kadah umum dalam lmu ekonom, yakn g y, (5) Dengan demkan pesamaan (4) menjad W x W g h M (6a) Unuk mendapakan W, pesamaan d aas dapa dulskan sebaga beku: W x W h g M (6b) Dengan esamaan Beda, pesamaan (6b) dapa dpeahkan unuk mendapakan hasl beku: W B M k = W j j k j j j [ h g M x ] k k k k k k (Buk lha Lampan ) Jka konds ansvesalas: (7) lm W (8) j j j dpenuh, maka pesamaan (7) menjad: k B M [ k h k gk k j j k Mk x k ] (9) k esamaan (9) menggambakan konds kesanggupan pemenah unuk membaya pengeluaan, emasuk melunas huangnya Dengan menyubsus kembal g y pada pesamaan (9), maka akan dpeoleh pesamaan () yang menggambakan konds kesanggupan umah angga unuk membaya pengeluaannya: k k B M [ M k k j j k - k yk - h k - k x k ] () 3 Model Masalah Opmas Msalkan ka noaskan: Z M () dan fako dskon nlanya sama dengan:, ()
7 dengan > adalah suku bunga subjekf Konsumen memaksmumkan fungs J yang dbekan oleh pesamaan: dengan Z J U, U, (3) adalah fungs ulas Fungs esebu meupakan fungs nak, konkaf dan euunkan dua kal: U,, U z, (4) dan Maks Hess-nya: U Uz (5) U z U zz adalah defn negaf, dengan U U U ; U z ; z U U U U ; U zz ; U z ; z z U dan U z z Lebh jauh lag, Z Z lm U, lm, U z z (6) Z lm, U (7) Agen memaksmumkan (3) ehadap kendala beku: W [ W ( y h )] Z x (8) W Z (dengan W denukan) (9) x () lm W () j j j Kendala (9) dapa dulskan sebaga beku: B M M aau B (9 ) Unuk mempeoleh konds yang opmal, dgunakan nsp Maksmum unuk ssem dnamk dengan vaabel dske esamaan Hamlon-nya: (Ala, 3) Z H U, {( )[ ( W y h )] Z x } {( )[ W ( y h )] ( ) Z x } x () dengan melambangkan vaabel dual; dan adalah pengal Lagange (Lagange mulple) yang sesua dengan kendala (9) dan () Syaa pelu unuk konds opmalnya adalah sebaga beku: H H Z H x Sehngga dpeoleh Z U, Z U, z (Buk lha Lampan ) esamaan dnamk da vaabel dual (3) (4) adalah sebaga beku: (Ala, 3) H W (5) sehngga (6) Unuk pengal Lagange (bedasakan nsp Maksmum), dpeoleh (Ala, 3): ; W Z ; x (7a)
8 Da pesamaan ; x, dapa dlha bahwa jka x maka Dalam hal n, pesamaan kega pada pesamaan (4) menjad, sehngga membua konds d aas dak opmal Semenaa u, jka x,, maka kendala anggaan konsumen () pada kuva/lnasan opmal dpenuh sebaga sebuah pesamaan, yau B M M B y h, (7b) Da pesamaan peama (7a), bla maka W Z B M Z Kaena M Z, maka dapa duls B Dengan kaa lan, jka, maka agen dak akan membel oblgas pada peode besangkuan Ddefnskan: q ;, (8) maka konds opmal (4) menjad: Z U, q Z U, z q (9) (Buk lha Lampan 3) esamaan dnamknya sebaga beku: q q aau q q (3) (Buk lha Lampan 4) 33 Analss Kualaf Lnasan Opmal Unuk mempemudah analss n, dasumskan bahwa fungs ulas dapa dpsahkan dalam dua agumen beku: Z Z U (, ) V ( ) ( ) (3) Dalam kasus n, konds opmal (9) menjad: V '( ) ( ) ( q ) (3) ' Z q ( ) (33) Bedasakan pesamaan (7a), jka B (agen membel oblgas) maka nla, sehngga esamaan (3), (3), (33) menjad: q q (34) V ' q (35) ' Z q (36) enulsan konds opmal (35) unuk dua peode beuuan adalah sebaga beku: V ' q V ' q Dengan mengambl aso kedua pesamaan esebu dan menggunakan pesamaan (34), dpeoleh V ' V ' (37) (Buk: lha Lampan 5) Dkeahu, (38) dengan menunjukkan ngka nflas pada peode, pesamaan (37) menjad: V ' V ' (39) (Buk: lha Lampan 6) Dengan asums bahwa fungs da konsums d aas adalah fungs sau-sau, maka pesamaan (39) bemplkas pada suas beku: a) Jka b) Jka ) Jka Oleh kaena u, pekembangan nflas dan suku bunga nomnal bebas sko menyebabkan konsums dapa menjad konsan, nak aaupun uun Selanjunya, dengan mengambl aso pesamaan (36) unuk dua peode beuuan
9 dan menggunakan pesamaan (34), dpeoleh Z ' Z ' (4) aau Z ' Z ' (4) (Buk lha Lampan 7) Jka dasumskan bahwa: a) Inflas konsan, yau b) ) Maka, da (4) dpeoleh: Z ' Z ' aau Z Z (4) Kaena Z M, maka M M Jad, dengan pesamaan (3), asums (b), dan asums (), dkeahu bahwa pemnaan ehadap uang umbuh dengan laju yang sama dengan peumbuhan nflas M M (43) 34 Konds ansvesalas Unuk lnasan opmal, nsp Maksmum menyedakan konds ansvesalas aau syaa baas: lm W (44) Subsuskan menggunakan pesamaan (8), maka pesamaan (44) menjad: lm q W (45) Kaena W B M dengan B dan M, konds ansvesalas (45) menjad: lm q B (46a) lm q M (47a) Da pesamaan dnamk (34) dpeoleh: q q k k (48) (Buk lha Lampan 8) Dengan menyubsus (48) ke pesamaan (46a) dan (47a), dpeoleh: lm B k (46b) k k lm M (47b) k Jka ngka bunga nomnal bebas sko konsan, yau, k (49) k k maka konds ansvesalas menjad: lm B (46) lm M (47) In bea bahwa basan B N dan M N haus nak lebh lamba da pada basan N 35 Kasus Fungs Ulas pe Benoull Dasumskan bahwa fungs ulas V () dan () pada pesamaan (3) meupakan pe Benoull Msalkan: V - Z Z (5) dengan (,) Dengan mengeahu konsums pada dua peode beuuan d pesamaan (39), dpeoleh pesamaan konsums pada konds opmal sebaga beku:
(5a) (Buk lha Lampan 9) esamaan (5a) menggambakan sebuah pesamaan dnamk dengan vaabel konol esamaan (5a) menunjukkan bahwa, unuk ujuan mengeahu dnamka konsums yang opmal, ukup dengan mengeahu peubahan da ngka suku bunga eal bebas sko dan nla awal unuk konsums Dengan esamaan Beda, pesamaan (5a) dapa dpeahkan unuk mendapakan hasl beku: k k (Buk lha Lampan ) Dengan subsus maju, dpeoleh (5b) k k (5) (Buk lha Lampan ) eka pemnaan ehadap uang, ka bag pesamaan (35) dengan pesamaan (36), sehngga dpeoleh pesamaan beku: Z ' (53) V ' Dengan menyubsuskan benuk uunannya dpeoleh: Z (54) (Buk lha Lampan ) Kaena Z M, maka pesamaan (54) dapa duls sebaga beku: M (55) Da pesamaan (55) dapa dsmpulkan bahwa pemnaan ehadap uang, M, menngka selama dan nak Dkeahu: Msalkan: M m (56) Kaena, maka pesamaan (55) dapa duls sebaga beku: M M Bedasakan pesamaan (56), dpeoleh pesamaan beku: m (57) Dapa dsmpulkan bahwa m akan uun mengku kenakan ngka nflas, Jka ngka suku bunga nomnal dan ngka nflas konsan: (58) maka, bedasakan pesamaan (5a), dapa dkaakan bahwa konsums konsan, (59) Dalam kasus n, pemnaan eal ehadap uang juga akan menjad konsan: m (6) Da pesamaan (58) ka mempeoleh pesamaan ngka suku bunga nomnal: ( )( ) (6) Sehngga pesamaan pemnaan eal ehadap uang pada pesamaan (6) d aas akan menjad: m ( )( ) (6) Kaena u, dengan asums d aas, jka bank senal membua kepuusan sepua besanya ngka nflas,, (konsan), maka besanya ngka suku bunga dbekan oleh pesamaan (6) dan pemnaan eal ehadap uang dbekan oleh pesamaan (6)
36 Kesesuaan anaa Kebjakan Fskal dan Monee Ineaks anaa kebjakan fskal dan monee eap menjad opk yang menak unuk dbahas oleh paa ahl makoekonom ada bagan n, dambl bebeapa asums mengena kebjakan fskal dan monee, unuk melha bagamana konds kesanggupan membaya fskal epenuh (juga konds ansvesalas (46b) dan (47b)) Dalam kaannya dengan kebjakan monee oleh bank senal, dasumskan bahwa konds-konds beku epenuh: ngka nflas konsan ngka suku bunga nomnal konsan Selanjunya, dasumskan juga bahwa ngka suku bunga nomnal elah dbekan pada pesamaan (6), yang menyebabkan konsums konsan Unuk penyedehanaan, dasumskan juga pendapaan, y, sama unuk ap peode: y y y, (63) Belanja eal pemenah ap peode adalah g y Kaena y dan eap, maka g juga eap Sehngga dapa duls: g g g, (64) Jka ka membag pesamaan anggaan umah angga (7b) dengan, maka dpeoleh: M B M B y - h (65) Msalkan B M b ; m (66) Kaena y - g, maka pesamaan (66) dapa duls sebaga beku: b b g - h m m (67) (Buk lha Lampan 3) Bedasakan asums mengena ngka nflas dan ngka suku bunga nomnal d aas, dapa dsmpulkan bahwa pemnaan eal ehadap uang juga konsan: m m m, (68) yang besanya dbekan pada pesamaan (6) esamaan (67) dapa duls sebaga beku: b b g - h - m (69a) aau b b - S (69b) dengan S menunjukkan suplus emasuk segnoage S h m g (7) Dalam kaannya dengan kebjakan fskal, dasumskan lump-sum ax-nya konsan: h h, (7) Dalam kasus n, suplus emasuk segnoage adalah konsan: S S, (7) dan pesamaan (69b) menjad: b b S (73a) aau b b S (73b) Dengan pesamaan beda, pesamaan (73b) dapa dpeahkan unuk mempeoleh hasl beku: b b S (74) (Buk lha Lampan 4) Jka kedua uas dbag dengan : b b Dkeahu bahwa, B b, S (75) (76) maka da pesamaan (75), dpeoleh pesamaan beku: B dan B lm B S (77) b S (78)
Konds ansvesalas akan dpenuh hanya jka: S b (79) Sehngga besanya jumlah lump-sum ax adalah h g - m b (8) Jka nla pajak dbekan oleh pesamaan (8), maka da pesamaan dnamk (73a), dpeoleh b b b b, N (8) Kewajban eal pemenah benla konsan dan kewajban nomnal nak bedasakan ngka nflas: B B (8) Da pesamaan kendala anggaan, unuk, maka: m m (83) M dengan m dbekan Dengan menggunakan pesamaan (6), dpeoleh (84) (Buk lha Lampan 5) Da hpoess-hpoess sebelumnya, solus yang opmal adalah, (85) dengan dbekan pada pesamaan (84) m m m m m, m (86) Sehngga pemnaan uang nomnal dbekan oleh: M M, (87) Dengan menggunakan pesamaan (3) dan (5), pesamaan (3) dapa duls sebaga beku: J - - M (88) (Buk lha Lampan 6) Bedasakan solus opmal pada pesamaan (85) dan (86), dpeoleh J - M (89) Da pesamaan (84), pesamaan (89) menjad: J m m - (9) Dapa dlha bahwa fungs ulas opmal beganung pada ngka nflas Kaena u bank senal bepean penng dalam poses opmas fungs ulas, melalu pengauan ngka nflas, yang bedampak pada maksmalnya konsums sesua dengan jumlah uang eal
IV KESIMULAN 4 Kesmpulan ada kaya lmah n, dbekan sebuah model peumbuhan ekonom waku dske dengan vaabel kebjakan fskal dan monee Dasanya adalah model kendala anggaan seko umah angga Dalam kasus dengan fungs ulas dasumskan memlk pe Benoull, maka dpeoleh sebuah pesamaan dnamk opmal da konsums Dnamkanya eganung pada ngka suku bunga nomnal dan ngka nflas Jka ngka suku bunga eal sama dengan ngka bunga subjekf, maka konsums opmal konsan unuk seluuh waku emnaan ehadap uang juga beubah sesua peubahan ngka nflas Saa nflas konsan, maka pemnaan uang eal akan konsan Da asums ngka suku bunga nomnal dan ngka nflas yang konsan oleh bank senal, dpeoleh pesamaan besanya pajak yang sesua dengan asums monee esebu Kewajban nomnal (oblgas/sua uang) pemenah akan nak bedasakan ngka nflas Dengan memanfaakan solus opmal, dpeoleh pesamaan fungs ulas bau yang eganung pada ngka nflas 4 Saan Mengnga model dalam kaya lmah n menggunakan waku dske, maka unuk penelan lanjuan, pelu dpelaja model peumbuhan ekonom dengan waku konnu dan jangka waku hdup yang ebaas Selan u, dapa danalss model dengan asums monee yang bebeda, vaabel kebjakan yang lebh kompleks, dan asums pajak yang dak konsan
DAFAR USAKA Ala M 3 Fsal and Moneay oles and Eonom Gowh Aademy of Eonom Sudes-Buhaes Bao RJ 99 Govenmen Spendng n a Smple Model of Endogenous Gowh Jounal of olal Eonomy 98: S3-S5 Bode Z, Kane A, Maus AJ 6 Invesas Eds ke-6 Z Dalmunhe dan B Wbowo, penejemah Jakaa: Salemba Empa ejemahan da: Invesmens 6 h ed Cha, Jones, Manuell 995 he Gowh Effes and of Moneay oly Quaely Revew, Fedeal Reseve Bank of Mnneapols, Fall: 8-3 Chang CA, Wanwgh K 5 Fundamenal Mehods of Mahemaal Eonoms Fouh Edon New Yok: MGaw-Hll Companes n Comen H Inoduon o Algohms Massahuses: he MI ess Dowlng E 98 Maemaka unuk Ekonom B Sughao, penejemah; V Shagan, edo Jakaa: Elangga ejemahan da: Mahemas fo Eonomss (Shaum Sees) Dowlng E Shaum s Oulne of heoy and oblems of Inoduon o Mahemaal Eonoms New Yok: MGaw-Hll Company Kenneh BE 958 nples of Eonom oly New Yok: ene-hall n- Englewood Clffs Kunajo 3 Glosaum: Ekonom, Keuangan, dan embangunan Jakaa eneb Unvesas Indonesa (UI- ess) Mankw NG 3 eo Makoekonom Eds Kelma I Numawan, penejemah; CW Ksaj, edo Jakaa: Elangga ejemahan da: Maoeonoms 5 h Edon Obsfeld M, Rogoff K 983 Speulave Hypenflaons n Maxmzng Models: Can We Rule hem Ou? Jounal of Moneay Eonoms 9,4:675-687 ass C, Lowes B, Daves L 994 Kamus Lengkap Ekonom Eds Kedua Rumapea dan Haloho, penejemah; Damos OVY Shombng, edo Jakaa: Elangga ejemahan da: Donay of Eonoms Seond Edon loeg VDF, Alogoskofs G 994 Money and Endogenous Gowh Jounal of Money, Ced and Bankng 6: 77-79 Sewa J 998 Kalkulus Jld Eds Keempa IN Susla dan H Gunawan, penejemah; N Mahanan dan W Hadan, edo Jakaa: Elangga ejemahan da: Calulus, Fouh Edon Sewa J 3 Kalkulus Jld Eds Keempa IN Susla dan H Gunawan, penejemah; N Mahanan dan A Saf, edo Jakaa: Elangga ejemahan da: Calulus, Fouh Edon Sukno S 4 Makoekonom eo engana Jakaa: RajaGafndo esada Woodfod M 995 e Level Deemnay Whou Conol of a MoneayAggegae Canege- Rohese Confeene Sees on ubl oly 43:-46 Lanase K and Ronald A Dulaney 979 Moden Eonoms nples and oly Chago: Rand MNally College ublshng Company
LAMIRAN 5
6 Lampan enuunan esamaan (6b) menjad esamaan (7) dengan Menggunakan esamaan Beda Dkeahu konds awal: W x W h g M (esamaan (6b)) Msalkan unuk nla selanjunya dapa duls sebaga beku: W x W h g M, () W x W h g M 3 3 W x W h g M 3 4 3 3 3 3 4 3 3 3 3 dan seeusnya, (), () Dlakukan subsus pesamaan () ke pesamaan (6b), sebaga beku: W x ( h g) M x W h g M x W W ( h g) M x h g M Kemudan, ka subsus dengan pesamaan (): W x W h g M 3 3 x x h g M h g M x W W 3 h g M3 x x h g M h g M Subsus dengan pesamaan (), menjad: W x W h g M 4 3 3 3 3 4 3 3 3 3 x h g M3 x x h g M h g M
7 Sehngga dpeoleh W 3 W 4 3 x 3 3 h 3 g 3 M4 3 3 3 x h g M3 x x h g M h g M Benuk d aas dapa dsedehanakan menjad k k W W j k h k g k M k x k j j k j j k k Lampan enuunan esamaan () menjad esamaan (4) Dkeahu Z H U, W y h Z x W y h Z x x Aau dapa duls Z H U, W y h Z x + W y h Z x x esamaan d aas duunkan ehadap, Z, dan x sebaga beku: H Z, U Z U, Z H Z U, Z z, U Z U z, H x (esamaan ())
8 Lampan 3 Buk esamaan (9) Dkeahu: q ; (esamaan (8)) Da pesamaan (4): Z U, Z U, Z U, Z, U q Z z U, Z U z, Z U z, Z U z, q Lampan 4 Buk esamaan Dnamk (3) Dkeahu: q ; aau (esamaan (8)) (da esamaan (8)) q ( ) ( ) (da esamaan (5)) ( ) ( ) (da esamaan (8)) ( ) ( ) q (da esamaan (8))
9 ( ) q ( )q Aau, q q q q ( ) ( ) q q ( ) q ( ) q Lampan 5 Buk esamaan (37) Dkeahu: q q ( ) (esamaan (34)) esamaan (35) dapa duls sebaga beku: V '( ) ( ) q ( ) q ( ) q esamaan (35) unuk peode sebelum adalah V '( ) ( ) q Dlakukan pebandngan unuk peode dan peode sebelum, sebaga beku: V '( ) q V '( ) ( ) q ( ) Lampan 6 Buk esamaan (39) Dkeahu: V '( ) V '( ) ( ) (esamaan (37)) - (esamaan (38)) - Subsus pesamaan (38) ke pesamaan (37), dpeoleh V '( ) - V '( ) ( ) Bedasakan defns pada pesamaan (), maka pesamaan d aas menjad:
V '( ) V '( ) ( ) - ( ) - Lampan 7 Dkeahu: q q ( ) Buk esamaan (4) dan esamaan (4) (esamaan (34)), (esamaan ()) Z ' q (esamaan (36)) Unuk peode sebelum, pesamaan (36) dapa duls: Z ' q Dlakukan pebandngan unuk peode dan peode sebelum, sebaga beku: Z ' q Z q ' q ( ) q ( ) Bedasakan defns pada pesamaan (), maka pesamaan d aas menjad: Z ' Z ' Lampan 8 Buk esamaan (48) dengan Menggunakan esamaan Beda Dkeahu: q q Msalkan unuk 4 aau 3, pesamaan (34) dapa duls sebaga beku: (esamaan (34))
q q q q q 4 3 4 q 3 3 q q Dlakukan subsus maju da pesamaan (): q q 4 3 4 Subsus q dengan pesamaan (): 3 q q 4 4 3 Subsus q dengan pesamaan (): q q 4 4 3 Subsus q dengan pesamaan (v): q q 4 4 3 () () () (v) Aau dapa duls: 4 q 4 q 4 k k Benuk d aas dapa duls sebaga beku: q k k q Lampan 9 Buk esamaan (5a) Dkeahu: ' V (esamaan (39)) V ' V ( ) - (esamaan (5)) - uunkan pesamaan (5): - V '( ) - - - Unuk peode sebelum, pesamaan d aas dapa duls:
V '( ) ( ) Dlakukan pebandngan unuk peode dan peode sebelum, sebaga beku: V '( ) V '( ) ( ) - ( ) ( ) Sehngga dpeoleh pesamaan dnamk beku: Lampan Buk esamaan (5b) dengan Menggunakan esamaan Beda Dkeahu: Unuk peode sebelum, pesamaan d aas dapa duls: 3 3 4 3 4 dan seeusnya Subsus pesamaan () ke pesamaan (5a): Subsus dengan pesamaan (): 3 Subsus dengan pesamaan (): 3 3 3 4 Benuk d aas dapa dsedehanakan menjad: k k 4 (esamaan (5a)) () () ()
3 Lampan Buk esamaan (5) Dkeahu: Msalkan unuk 4, pesamaan (5a) dapa duls sebaga beku: 3 4 3 3 Dlakukan subsus maju da pesamaan (): 3 4 3 Subsus dengan pesamaan (): 3 3 4 Subsus dengan pesamaan (): 3 4 Subsus dengan pesamaan (v): Benuk daas dapa dsedehanakan menjad: 3 4 k k (esamaan (5a)) () () () (v) Lampan Buk esamaan (54) Dkeahu: V -
4 Z Z dengan (,) (esamaan (5)) Z ' V ' (esamaan (53)) uunkan pesamaan (5), sehngga dpeoleh: - V '( ) - - - Z Z ' Z Subsuskan pesamaan () dan () ke pesamaan (53): Z ' Z V ' - Z - Z Z Z - - () () Lampan 3 Buk esamaan (67) Dkeahu: M B M B y h (esamaan (65)) B M b ; m ; y g (esamaan (66)) ; aau ( )( )
5 esamaan (65) dapa duls: m ( ) b ( ) m b y h ( )( ) b Dengan menempakan pada uas k, pesamaan d aas menjad: ( ) b b (( y ) h ) ( m ( ) m ) ( ) Kaena y g, maka: b b ( g h ) ( m ( ) m ) ( ) Lampan 4 Buk esamaan (74) Dkeahu: b b S (esamaan (73b)) Msalkan unuk 4 aau 3, pesamaan (73b) dapa duls sebaga beku: b b S () 4 3 b b S () 3 b b S () b b S (v) Dlakukan subsus maju da pesamaan (): b b S 4 3 Subsuskan b 3 dengan pesamaan (): b4 b S S b b S S 4 Subsuskan b dengan pesamaan (): 4 b S b S S 4 3 3 b S b S S Subsuskan b dengan pesamaan (v): 3 3 S b4 b S S S 4 4 3 4 b S S b S S esamaan d aas dapa dsedehanakan menjad: 4 4 b 4 3 S b enguang pada basan d aas beupa jumlah dee geome dengan suku peama adalah dan pengal/asonya, sehngga bsa d uls sebaga beku: b 4 4 b S
6 4 4 b S b Aau dapa duls: 4 4 b S b Lampan 5 Buk esamaan (84) Dkeahu: ( )( ) m (esamaan (6)) Dengan menempakan d uas k pesamaan (6) menjad: ( )( ) m ( )( ) ( )( ) m ( )( ) ( )( ) m ( )( ) ( )( ) m ( )( ) ( )( ) m ( )( ) ( )( ) m ( )( ) ( )( ) m
7 Lampan 6 Buk esamaan (88) Dkeahu:, Z J U (esamaan (3)) (, ) ( ) Z Z U V (esamaan (3)) - ( ) - V Z Z (esamaan (5)) Subsuskan pesamaan (3) ke pesamaan (3): ( ) Z J V Subsuskan pesamaan (5): - - Z J Bedasakan pesamaan (3), pesamaan d aas dapa duls sebaga beku: - - M J