Pertemua 7. BAHAN AJAR ANALISIS REAL Matematika STKIP Tuaku Tambusai Bagkiag 5. da kekovergeaya 5. DERET Diberika sebuah barisa a, dapat didefeisika barisa bilaga real S N dega S N := N a = a + a 2 +... + a N, N N Utuk tiap N N, S N dikeal sebagai jumlah parsial deret Jika S N s utuk N, maka deret Σ a dikataka koverge ke s. Dalam hal ii s disebut sebagai jumlah deret tersebut da kita tuliska a = s Cotoh 5. geometri merupaka barisa jumlah parsial 2 S N = N 2 = 2 yag koverge ke. Jadi dalam hal ii kita dapat meuliska 2 = Secara umum, deret geometri =0 x = + x + x 2 + x 3 +... mempuyai jumlah parsial S N = N =0 x = xn+ x Jika x <, maka x N+ 0 utuk N ; sehigga S N x, utuk N Jadi, utuk x <, deret Σ =0 koverge ke diverge. Cotoh 5.2 x, jika x, maka deret
mempuyai jumlah parsial (+) S N = ( + ) = N ( + ) N = ( 2 ) + ( 2 3 ) +... + ( N N + ) = N + Di sii S N utuk N, sehigga deret di atas koverge da mempuyai jumlah, yaki Latiha 5. (+) =. Misalka α > 0. Tujukka bahwa Σ =0 2. Tujukka bahwa Σ 4 2 = 2 4 (α+)(α++) = α 3. Tetuka jumlah parsial deret ( ). Apakah deret ii koverge?. 5.2 dega suku-suku Positif yag suku-sukuya positif ( atau tak egatif ) termasuk deret yag mudah dipelajari, karea jumlah parsialya membetuk baris aik. Jadi jika kita igi meujukka bahwa deret tersebut koverge, kita haya perlu meujukka bahwa barisa jumlah parsialya terbatas diatas. Jika barisa jumlah parsialya tak terbatas diatas, maka deret tersebut diverge ke +. Cotoh 5.3 2 mempuyai suku-suku yag berilai positif. Jumlah parsialya yaitu S N = + 2 2 +... + N 2 membetuk barisa aik da terbatas di atas. Karea itu deret tersebut koverge. Cotoh 5.4 mempuyai suku-suku yag berilai positif. Jumlah parsialya yaitu 2
S N = + 2 +... + N membetuk barisa aik yag tak terbatas diatas. Jadi deret ii diverge ke +. Teorema 5. Misalka α >, bilaga rasioal. Maka deret Σ α Latiha 5.2. Selidiki kekovergea deret!. 2. Misalka r adalah barisa bilaga rasioal 2, 3, 2 3, 4, 2 4, 3 4,... Tujukka bahwa r diverge ke +. 5.3 Sifat-sifat dasar deret Bagia ii membahas sifat-sifat dasar deret. koverge. Teorema 5.2 Misalka Σ a da Σ b koverge ke a da b berturut-turut. Jika λ da µ adalah bilaga real sembarag, maka koverge ke λa + µb. Teorema 5.3 Jika deret Σ a koverge, maka a 0 utuk. Proposisi 5. Misalka deret Σ a koverge. Maka utuk setiap N N, deret Σ =N a koverge da Σ =N a 0, utuk N. Latiha 5.3. Apakah deret 2. Buktika Proposisi 5.2 00+ koverge?. 3. Misalka a turu, a > 0 utuk tiap N, da Σ a koverge. Buktika bahwa a 0 utuk. 5.4 Kriteria Cauchy; Uji Kekovergea Teorema 5.4 Misalka a turu, a > 0 utuk tiap N, da a 0 utuk. Maka deret ( ) a = a a 2 + a 3 a 4 +... koverge. Cotoh 5.5 ( ) = 2 + 3 4 +... 3
merupaka deret yag memeuhi hipotesis teorema 5.4, karea itu deret ii koverge. Teorema 5.5 (Uji Badig). Misalka b > 0 utuk tiap N da Σ b koverge. Jika maka Σ a koverge. a b, N Teorema 5.6 (Uji rasio). Misalka a 0 utuk tiap N da lim a+ a = L Jika L <, maka Σ a koverge; jika L >, maka Σ a diverge. Latiha 5.4. Selidiki bear atau salah peryataa berikut; (a) Jika Σ a da Σ b koverge, maka Σ a b koverge. (b) Jika b > 0 utuk tiap N, Σ b koverge, da Σ N a Σ N b,utuk tiap N N, maka Σ a koverge. 2. Buktika teorema 5.5 3. Selidiki kekovergea deret berikut (a) Σ (b) Σ (c) Σ 2 2 + 2 + 5.5 Kekovergea Mutlak da Kekovergea bersyarat. Σ a dikataka kovergea mutlak apabila deret apabila deret Σ a koverge. Sebagai cotoh, Σ ( ) 2 koverge mutlak karea Σ 2 koverge. Teorema 5.6 koverge mutlak seetiasa koverge. Bukti ; Guaka uji badig. yag koverge tetapi tidak koverge mutlak disebut koverge bersyarat. Latiha 5.5. Buktika jika Σ a 2 da Σ b 2 koverge, maka Σ a b koverge mutlak ( da kareaya koverge). 2. Selidiki apakah deret berikut koverge mutlak, koverge bersyarat, atau diverge 4
(a) Σ ( ) (b) Σ ( ) 3/2 3. Selidiki kekovergea deret berikut (a) Σ (b) Σ + + 4. Buktika bahwa x! koverge mutlak utuk setiap x R Tugas pertemua 8. latiha 5. omor 2 2. Latiha 5.2 omor 3. latiha 5.3 omor da 3 4. latiha 5.4 omor 4 5. Latiha 5.5 omor, 3, da 4. 5