BAB 1 Konsep Dasar 1

BAB 1 Konsep Dasar 1

BAB Solusi Persamaan Fungsi Polinomial

BAB 3 Interpolasi dan Aproksimasi Polinomial 3

BAB 4 Metoda Numeris untuk Sistem Nonlinier 4

BAB 5 Metoda Numeris Untuk Masalah Nilai Awal 5

BAB 6 Metoda Numeris Untuk Masalah Nilai Batas Suatu fenomena yang umum dibicarakan berkenaan dengan masalah nilai batas ini adalah dalam bidang teknik sipil. Salah satu contohnya yaitu deeksi dari suatu balok persegi panjang yang kedua ujungnya tersanggah dengan kuat sehingga tidak mengalami perubahan. Persa- S 0 L S x w(x) maan difrensial dari fenomena ini digambarkan sebagai d w dx = S EI w + qx (x ; L) EI dimana w=w(x) adalah deeksi yang dialami balok pada jarak tertentu x, sedang L q E S dan I masing-masing menunjukkan panjang balok, intensitas beban, modulus elastisitas, tekanan pada ujung balok, dan momen inersia. Selanjutnya karena ujung balok tidak mengalami perubahan maka deeksi tidak terjadi pada daerah ini, sehingga PD order tersebut memenuhi sarat batas w(0) = w(l) =0 91

BAB 6. METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI BATAS 9 Fokus permasalahan sekarang berkenaan dengan ketebalan balok itu, apakah balok itu mempunyai ketebalan yang sama (uniform), jika ini terpenuhi solusi eksak dapat ditelusuri oleh solusi analitik, dan EI akan menjadi konstan. Namun pada umumnya ketebalan itu tidak uniform atau beragam, sehingga momen inesrsia I merupakan fungsi dari x, yaitu I = I(x), sehingga dibutuhkanlah solusi numeris. Masalah nilai batas dalam hal ini akan direpresentasikan dengan persamaan difrensial order dua, dengan asumsi semua sistem persaamaan difrensial order p dapat ditransformasikan kedalam order ini. Secara umum persamaan itu adalah sebagai berikut y 00 = f(x y y 0 ) a x b (6.1) y(a) = dan y(b) = (6.) Teorema 6.0.1 Bila suatu fungsi f dalam masalah nilai batas y 00 = f(x y y 0 ) a x b y(a) = y(b) = adalah fungsi kontinyu dalam himpunan D = f(x y y 0 )ja x b ;1 <y<1 ;1 <y 0 < 1g dan @f @y @f @y 0 juga kontinyu dalam D. maka jika 1. @f @y (x y y0 ) > 0 untuk semua (x y y 0 ) D, dan. ada konstanta M, denga j @f @y 0 (x y y 0 )jm, untuk setiap (x y y 0 ) D masalah nilai batas diatas dikatakan mempunyai solusi tunggal. Contoh 6.0.1 Masalah nilai batas berikut y 00 + e ;xy + sin y 0 =0 1 x y(1) = y() = 0

BAB 6. METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI BATAS 93 mempunyai f(x y y 0 )=;e ;xy ; siny 0 : Sekarang dan @f @y (x y y0 )=xe ;xy > 0 sebab 1 x j @f @y 0(x y y0 )j = j;cos y 0 jm dimana M =1 sehingga masalah ini mempunyai solusi tunggal. 6.1 Metoda Difrensi Terbatas untuk MNB linier Jika f(x y y 0 ) disajikan dalam bentuk f(x y y 0 )=p(x)y 0 + q(x)y + r(x) a x b y(a) = y(b) = (6.3) maka persamaan difrensial y 00 = f(x y y 0 ) disebut MNB linier. Selain itu disebut MNB non linier. Selanjutnya untuk menerapkan metoda ini pertama kali kita pilih N>0 dan bagi interval [a b] menjadi bagian kecil (grid) kedalam N +1 subinterval homogen, dimana x i = a + ih, untuk i =0 1 ::: N +1 dan h = b;a. Perlu dicatat N +1 bahwa untuk N! 1maka h! 0, solusi numeris dengan metoda ini diharapkan mengaplikasikan N!1sehingga solusinya benar-benar akurat menginterpolasi y 00 (x i )=p(x i )y 0 + q(x i )y + r(x i ) a x b y(a) = y(b) = (6.4)

BAB 6. METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI BATAS 94 Perluas y dalam deret Taylor sampai order 3 akan x i untuk x i+1 dan x i;1. y(x i+1 )=y(x i + h) =y(x i )+hy 0 (x i )+ h y00 (x i )+ h3 6 y000 (x i )+ h4 4 y(4) ( + i ) (6.5) untuk + (x i x i+1 )dan y(x i;1 )=y(x i ; h) =y(x i ) ; hy 0 (x i )+ h y00 (x i ) ; h3 6 y000 (x i )+ h4 4 y(4) ( ; i ) (6.6) untuk + (x i;1 x i ). Dalam hal ini y C 4 [x i;1 x i+1 ]. Jumlahkan kedua persamaan (??) dan (??) sehingga diperoleh y 00 (x i )= 1 h [y(x i+1) ; y(x i )+y(x i;1 )] ; h 4 [y(4) ( + )+y (4) ( ; i Dengan teorema nilai tengan diperoleh )]: (6.7) y 00 (x i )= 1 h [y(x i+1) ; y(x i )+y(x i;1 )] ; h 1 y(4) ( i ) (6.8) untuk i (x i;1 x i+1 ), ini disebut dengan rumus Difrensi Terpusat. Selanjutnya dengan mengurangkan kedua persamaan itu diperoleh untuk i (x i;1 x i+1 ) y 0 (x i )= 1 [y(x i+1) ; y(x i;1 )] ; h 6 y000 ( i ): (6.9) Substitusikan (??) dan (??) ini kedalam (??) maka y(x i+1 ) ; y(x i )+y(x i;1 ) y(xi+1 ) ; y(x i;1 ) = p(x i ) + q(x i )y(x i ) h +r(x i ) ; h 1 [p(x i)y 000 ( i ) ; y (4) ( i )] Metoda difrensi terbatas dengan kesalahan pemenggalan O(h ) dapat disajikan bersama nilai batas y(a) = dan y(b) =, yakni w 0 = w N +1 = (6.10)

BAB 6. METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI BATAS 95 wi ; w i+1 ; w i;1 wi+1 ; w i;1 + p h ( x i ) + q(x i )w i = ;r(x i ) ; 1+ h p(x i) w i;1 +(+h q(x i ))w i ; 1 ; h p(x i) w i+1 = ;h r(x i ) (6.11) dimana i =1 ::: N. Kombinasi dari (??) dan(??) akan mengarah pada pembentukan sistem linier Aw = b (6.1) dimana A adalah matrik tridiagonal, w dan b adalah suatu vektor, dengan entri sebagai berikut. +h q(x 1 ) ;1+ hp(x 1) 0 ::: 0 ;1 ; h p(x ) +h q(x ) ;1+ h p(x ). A = 0 0 6. ;1+ hp(x N ;1) 7 4 5 0 ::: 0 ;1 ; h p(x N) +h q(x N ) 3 w = 6 4 w 1 w. w N ;1 w N 3 ;h r(x 1 )+ ;h r(x ) dan b =. 7 ;h r(x N ;1 ) 5 6 4 ;h r(x N )+ 1+ hp(x 1) w 0 1 ; h p(x N) w N +1 3 7 5 Algoritma metoda Difrensi Terbatas linier INPUT a b, nilai batas beta dan N OUTPUT approksimasi w i untuk y(x i ), dimana i =0 1 ::: N +1

BAB 6. METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI BATAS 96 Step 1 Set h =(b ; a)=(n + 1) x = a + h a 1 =+h q(x) b 1 = ;1+(h=)p(x) d 1 = ;h r(x)+(1+(h=)p(x)). Step For i = ::: N ; 1 set x = a + ih a i =+h q(x) b i = ;1+(h=)p(x) c i = ;1 ; (h=)p(x) d i = ;h r(x). Step 3 Set x = b ; h a N =+h q(x) c N = ;1 ; (h=)p(x) d N = ;h r(x)+(1; (h=)p(x)). Step 4 Set l 1 = a 1 (Step 4-8, adalah program untuk menyelesaikan sistem linier tridiagonal) u 1 = b 1 =a 1 z 1 = d 1 =l 1 Step 5 For I = ::: N ; 1, set l i = a i ; c i u i;1 u i = b i =l i z i =(d i ; c i z i;1 )=l i Step 6 Set l N = a N ; c N u N ;1 z N =(d N ; c N z N ;1 )=l N Step 7 Set w 0 = w N +1 = w N = z n : Step 8 For i = N ; 1 ::: 1 set w i = z i ; u i w i+1 : Step 9 Step 10 For i =0 1 ::: N + 1 set x = a + ih OUTPUT (x w i ) STOP. (Prosedur selesai) Contoh 6.1.1 Gunakan algoritma metoda Difrensi Terbatas Untuk menyelesaikan

BAB 6. METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI BATAS 97 masalah nilai batas berikut ini. y 00 = ; x y0 + sin(ln x) xy + 1 x y(1) = 1 y() = x dengan N=9, dan h=0.1 Penyelesaian 6.1.1 Memahami bentuk persamaan linier itu dalam hal ini dapat ditulis bahwa p(x) =; x q(x) = x dan r(x) = sin(ln x) x. Selanjutnya untuk x i = a + ih, maka i =0! x 0 = a +0:h =1:0 i =1! x 1 = a +1:h =1:0+0:1 =1:1 i =! x =1:. i =9! x 9 =1:9 sehingga sebagian entri dari matrik A dan vektor w b dapat digambarkan sebagai berikut A = 6 4 +(0:1) q(1:1) ;1+ 0:1 p(1:1) 0 ::: 0 ;1 ; 0:1 p(1:) +(0:1) q(1:) ;1+ 0:1 p(1:). 0 0. ;1+ 0:1 p(1:8) 0 ::: 0 ;1 ; 0:1 p(1:9) +(0:1) q(1:9) 3 7 5

BAB 6. METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI BATAS 98 w = 6 4 w 1 w. w N ;1 w N 3 ;(0:1) r(1:1) + ;(0:1) r(1:) dan b =. 7 ;(0:1) r(1:8) 5 6 4 ;(0:1) r(1:9) + 1+ 0:1 p(1:1) :1 1 ; 0:1 p(1:9) : 3 7 5 ini. Dengan menggunakan algoritma diatas diperoleh hasil dalam tabel dibawah x i w i y(x i ) e n 1.0 1.000000 1.000000 1.1 1.09601 1.0969 :88 10 ;5 1. 1.187043 1.187085 4:17 10 ;5 1.3 1.83337 1.8338 4:55 10 ;5 1.4 1.38140 1.381446 4:39 10 ;5 1.5 1.48110 1.481159 3:9 10 ;5 1.6 1.58359 1.5839 3:6 10 ;5 1.7 1.684989 1.685014 :49 10 ;5 1.8 1.78888 1.788898 1:68 10 ;5 1.9 1.89391 1.89399 8:41 10 ;6.0.000000.000000 Tabel 6.1: Data hasil simulasi Difrensi Terbatas Linier Dibawah ini dapat dilihat visualisasi grak dari metoda Difrensi Terbatas untuk interval domain 1 x.

BAB 6. METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI BATAS 99 1.9 1.8 1.7 1.6 1.5 1.4 1.3 1. o : Solusi eksak : Solusi numeris 1.1 1 1 1.1 1. 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 Gambar 6.1: Interpolasi metoda Difrensi Terbatas 6. Metoda Difrensi Terbatas untuk MNB non linier Secara umum MNB non linier disajikan dalam bentuk y 00 = f(x y y 0 ) a x b y(a) = y(b) = (6.13) Teorema 6..1 MNB diatas dikatakan mempunyai solusi tunggal bila untuk interval domain D = f(x y y 0 )ja x b ;1 <y<1 ;1 <y 0 < 1g maka 1. f @f @y dan @f @y0 adalah fungsi kontinyu dalam D.. @f @y (x y y0 ) >untuk sebarang >0 3. ada konstanta K, dan L dimana K = max (x y y 0 )D j @f @y (x y y0 )j L = max (x y y 0 )D j @f @y 0(x y y0 )j Selanjutnya sebagaimana halnya metoda Difrensi Terbatas pertama kali kita pilih N>0 dan bagi interval [a b] menjadi bagian kecil (grid) kedalam N +1

BAB 6. METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI BATAS 100 subinterval homogen, dimana x i = a + ih, untuk i = 0 1 ::: N +1 dan h = b;a N +1. Kemudian kita ganti y00 (x i )dany 0 (x i ) pada persamaan non linier berikut y 00 (x i )=f(x i y(x i ) y 0 (x i )) a x b y(a) = y(b) = (6.14) dengan rumus Difrensi Terpusat pada (??) dan (??), maka untuk i =1 ::: N berlaku y(x i+1 ) ; y(x i )+y(x i;1 ) = f x i y(x i ) y(x i+1) ; y(x i;1 ) ; h h 6 y000 ( i ) + h 1 y(4) ( i ) (6.15) untuk sebarang i i elemen (x i;1 x i+1 ). Demikian juga bila suku kesalahan kita penggal maka diperoleh bentuk selengkapnya dengan nilai batas sebagai beikut w 0 = w N +1 = (6.16) ; w i+1 ; w i + w i;1 h + f x i w i w i+1 ; w i;1 =0 (6.17) untuk i =1 ::: N. Sekarang sistem nonlinier N N yang diperoleh dari metoda ini adalah w 1 ; w + h f ;w 1 +w ; w 3 + h f x 1 w 1 w ; ; = 0 x w w 3 ; w 1 ;w N ; +w N +1 ; w N + h f x N ;1 w N ;1 w N ; w N ; ;w N ;1 +w N + h f mempunyai solusi tunggal sepanjang h<=l. x N w N ; w N ;1 = 0. (6.18) = 0 ; = 0

BAB 6. METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI BATAS 101 Untuk mengaproksimasi solusi terhadap sistem ini akan digunakan metoda Newton sebagaimana dijelaskan dalam bab, dengan hasil berupa barisan bilangan fw [k] 1 w[k] ::: w[k] g,yang diawali dengan memilih nilai awal fw[0] N Untuk sistem diatas dapat ditentukan Jacobian matriknya, yakni 8! J(w i )= >< >: ;1+ h f y0 x i w i w i+1;w i;1 +h f y x i w i w i+1;w i;1! ;1 ; h f y0 x i w i w i+1;w i;1 1 w[0] i = j ; 1 j = ::: N! i = j j =1 ::: N i = j +1 j =1 ::: N ; 1 ::: w[0] N g. dimana w 0 = dan w N +1 =. Fungsi F(x) dapat ditentukan langsung dari persamaan nonlinier diatas, yaitu F(w i )= 6 4 w 1 ; w + h f x 1 w 1 w ; ; ;w 1 +w ; w 3 + h f ;w N ; +w N +1 ; w N + h f ;w N ;1 +w N + h f. x w w 3;w 1 x N ;1 w N ;1 w N ;w N; x N w N ;w N;1 ; 3 : 7 5 Metoda newton dapat diterapkan dengan dengan menyelesaikan persamaan J(w i )(v i ) T = ;F(w i ) terlebih dahulu, kemudian hasil v 1 v ::: v n dipakai untuk menghitung w [k] i = w [k;1] i + v i i =1 ::: N

BAB 6. METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI BATAS 10 Algoritma metoda Difrensi Terbatas non linier INPUT a b, nilai batas beta dan N, toleransi, jumlah iterasi maksimum M OUTPUT approksimasi w i untuk y(x i ), dimana i =0 1 ::: N +1 Step 1 Set h =(b ; a)=(n + 1) w 0 = w N +1 = : Step For i = ::: N ; 1! set w i = + i ; b;a h Step 3 Set k =1 Step 4 While k M kerjakan step 5-16. Step 5 Set x = a + h, Step 6 Step 7 Step 8 linier tridiagonal) t =(w ; )=() a 1 =+h f y (x w 1 t) b 1 = ;1+(h=)f y 0(x w 1 t) d 1 = ;(w 1 ; w ; + h f(x w 1 t)): For i = ::: N ; 1 t =(w i+1 ; w i;1 )=() a i =+h f y (x w i t) b i = ;1+(h=)f y 0(x w i t) c i = ;1 ; (h=)f y 0(x w i t) d i = ;(w i ; w i+1 ; w i;1 + h f(x w i t)): Set x = b ; h t =( ; w N ;1 )=() a N =+h f y (x w N t) c N = ;1 ; (h=)f y 0(x w N t) d N = ;(w N ; w N +1 ; + h f(x w i t)): Set l 1 = a 1 (Step 8-1 adalah untuk menyelesaikan sistem u 1 = b 1 =a 1 z 1 = d 1 =l 1 Step 9 For i = ::: N ; 1 Set l i = a i ; c i u i;1 Set u i = b = l i z i =(d i ; c i z i;1 )=l i :

BAB 6. METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI BATAS 103 Step 10 Step 11 Step 1 Set l N = a N ; c N u N ;1 z N =(d N ; c N z N ;1 )=l N : Set v N = z N w N = w N + v N : For I = N ; 1 ::: 1 Set v i = z i ; u i v i+1 : Set w i = w i + v i : Step 13 If jjvjj maka kerjakan langkah 14 dan 15 Step 14 For i =0 ::: N +1 Set x = a + ih OUTPUT (x w i ) (Prosedur selesai dengan sukses) Step 15 STOP. Step 16 Set k = k +1 Step 17 OUTPUT (Jumlah maksimum dari iteraszi dibutuhkan) (Prosedur selesai dengan tidak sukses) STOP. Contoh 6..1 Gunakan algoritma ini, dengan h = 0:1, hitung masalah nilai batas berikut ini y 00 = 1 8 (3 + x3 ; yy 0 ) 1 x 3 y(1) = 17 y(3) = 43=3 Penyelesaian 6..1 Memahami bentuk persamaan non linier ini maka sistem nonlinier 19 19 dapat ditulis sebagai berikut w 1 ; w +(0:1) 1 w 3 + x 3 ; 17 1 ; w 1 ; 17 = 0 8 (0:1) ;w 1 +w ; w 3 +(0:1) 1 w 3 + x 3 3 ; w 1 ; w = 0 8 (0:1) ;w 18 +w 19 +(0:1) 1 8 3 + x 3 19 ; w 19 43 ; w 3 18 ; 43 (0:1) 3. = 0:

BAB 6. METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI BATAS 104 Selanjutnya matrik Jacobiannya adalah 8 J(w i )= >< >: ;1+ (0:1) f y0 x i w i w i+1;w i;1! +(0:1) f y x i w i w i+1;w i;1! ;1 ; (0:1) f y0 x i w i w i+1;w i;1 i = j ; 1 j = ::: 19! i = j j =1 ::: 19 i = j +1 j =1 ::: 18 Tabel berikut ini memberikan hasil selengkapnya dari metoda Difrensi Terbatas non linier ini dengan menentukan nilai awal fw [0] 1 w[0] ::: w[0] N g. x i w i y(x i ) e n 1.0 1.000000 1.000000 1.1 1.09601 1.0969 :88 10 ;5 1. 1.187043 1.187085 4:17 10 ;5 1.3 1.83337 1.8338 4:55 10 ;5 1.4 1.38140 1.381446 4:39 10 ;5 1.5 1.48110 1.481159 3:9 10 ;5 1.6 1.58359 1.5839 3:6 10 ;5 1.7 1.684989 1.685014 :49 10 ;5 1.8 1.78888 1.788898 1:68 10 ;5 1.9 1.89391 1.89399 8:41 10 ;6.0.000000.000000 Dibawah ini dapat dilihat visualisasi grak dari metoda Difrensi Terbatas untuk interval domain 1 x.

BAB 6. METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI BATAS 105 1.9 1.8 1.7 1.6 1.5 1.4 1.3 1. o : Solusi eksak : Solusi numeris 1.1 1 1 1.1 1. 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 Gambar 6.: Interpolasi metoda Difrensi Terbatas

BAB 6. METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI BATAS 106 Latihan Tutorial 3 1. Masalah nilai awal yang disajikan dalam bentuk: y 00 =4(y ; x) 0 x 1 y(0) = 0 y(1) = mempunyai solusi y(x) =e (e 4 ; 1) ;1 (e x ; e ;x )+x. Gunakan metoda difrensi terbatas dengan h =1=3 dan h =1=4.. Masalah nilai awal yang disajikan dalam bentuk: y 00 = y 0 +y +cosx 0 x = y(0) = ;0:3 y(=) = ;0:1 mempunyai solusi y(x) =; 1 (sin x + 3 cos x). Gunakan metoda difrensi 10 terbatas dengan h = =4 dan h = =6. 3. Gunakan algoritma difrensi terbatas untuk menyelesaikan beberapa soal berikut ini. y 00 = y 0 +y +x +3 0 x 1 y(0) = y(1) = 1 h =0:1 y 00 = ; 4 x y0 + x y ; x ln x 1 x y(1) = ;1= y() = ln h =0:05 y 00 =(x =1)y 0 +y +(1; x )e ;x 0 x 1 y(0) = ;1 y(1) = 0 h =0:1 y 00 = y0 + 3y + ln x ; 1 1 x y(1) = 0 y() = 0 h =0:1 x x x 4. Gunakan difrensi terbatas linier untuk menentukan solusi hampiran y(x) = e ;10x terhadap masalah nilai batas: y 00 = 100y 0 x 1 y(0) = 1 y(1) = e ;10 dengan h =0:1 danh =0:05.

Daftar Pustaka Burden, R. L. and Faires, J. D. 1997.Numerical Analysis. Brooks/Cole Publishing Company. U.S. Golub, G. H. and Van Loan, C. F. 1993. Matrix Computations. Second Edition. Johns Hopkins University Press. Baltimore and London Higham, N. J. 1996. Accuracy and Stability of Numerical Algorithms. SIAM Books. Philadelphia. Penny, J. and Lindeld, G. 1995. Numerical Methods Using Matlab. Ellis Horwood Limited. London Powell, M.J.D. 1981. Approximation Theory and Methods. Cambridge University Press. U.K. Strang, G. 1988. Linear Algebra and its Applications. Academic Press, U.K. Varga, R. S. 199. Matrix Iterative Analysis. Prentice-Hall, Inc. Englewood Clis. New Jersey. 107