PAM 252 Metode Numerik Bab 4 Pencocokan Kurva

Transkripsi

1 PAM 252 Metode Numerik Bab 4 Pencocokan Kurva Mahdhivan Syafwan Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas Semester Genap 2013/ Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Pencocokan Kurva

2 Permasalahan dan penyelesainnya Permasalahan dan Penyelesainnya Dua Macam Teknik Pencocokan Kurva Diberikan n buah titik dalam bidang (x 1,y 1 ),(x 2,y 2 ),...,(x n,y n ) yang berasal dari sebuah fungsi atau data hasil pengamatan. Permasalahan: ingin diketahui nilai dari fungsi/data tersebut di suatu titik x yang tidak berada dalam data tersebut. Penyelesaian: pencocokan kurva, yaitu mengkonstruksi sebuah kurva yang menghampiri titik tersebut. Istilah menghampiri di sini berarti: (i) kurva yang dibangun diformulasikan sedemikian sehingga galat yang diperoleh seminimal mungkin. (ii) mengaproksimasi fungsi yang rumit dengan fungsi yang sederhana 2 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Pencocokan Kurva

3 Dua macam teknik pencocokan kurva Permasalahan dan Penyelesainnya Dua Macam Teknik Pencocokan Kurva 1 digunakan apabila sumber data yang digunakan mempunyai ketelitian yang cukup rendah. kurva yang dibangun tidak perlu melalui semua titik data tersebut, tetapi cukup mengikuti kecendrungannya saja. 2 digunakan apabila sumber data yang digunakan mempunyai ketelitian yang sangat tinggi. kurva yang dibangun harus melalui semua titik data yang digunakan. 3 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Pencocokan Kurva

4 Ilustrasi Permasalahan dan Penyelesainnya Dua Macam Teknik Pencocokan Kurva 4 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Pencocokan Kurva

5 linier: bentuk umum Linier Penerapan Linier pada Model Nonlinier Polinom Titik-titik data dihampiri oleh sebuah garis lurus (disebut garis/kurva regresi) yang dinyatakan sebagai y f(x) = a 0 +a 1 x. Pertanyaan: berapa nilai a 0 dan a 1 agar garis regresi tersebut sedekat mungkin dengan titik-titik data yang diberikan (meminimumkan galat)? 5 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Pencocokan Kurva

6 linier: galat Linier Penerapan Linier pada Model Nonlinier Polinom Galat dari garis regresi untuk setiap datum diberikan oleh e i = f(x i ) y i, i = 1,2,...,n. Tiga jenis galat dari garis regresi untuk keseluruhan data (i) Galat maksimum: E (f) = max 1 i n { f(x i) y i } (ii) Galat rata-rata: E 1 (f) = 1 n n f(x i) y i 1 n (iii) Galat akar kuadrat rata-rata: E 2 (f) = n f(x i) y i 2 Di antara ketiga galat di atas, galat akar kuadrat rata-rata paling mudah untuk dihitung nilai minimumnya. [mengapa?] 6 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Pencocokan Kurva

7 Linier Penerapan Linier pada Model Nonlinier Polinom linier: galat regresi kuadrat terkecil Pada regresi kuadrat terkecil, galat yang dipakai adalah galat akar kuadrat rata-rata, yaitu E = 1 (y i (a 0 +a 1 x i )) 2. (1) n Q: mengapa perlu dikuadratkan? Akan ditentukan nilai a 0 dan a 1 yang meminimumkan nilai galat E. Perhatikan bahwa E mencapai minimum jika E a 0 = 0 dan E a 1 = 0. (2) Untuk memudahkan perhitungan, masalah di atas diselesaikan dengan meminimumkan E 2, bukan E. [mengapa?] 7 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Pencocokan Kurva

8 Linier Penerapan Linier pada Model Nonlinier Polinom linier: penentuan nilai koefisien a 0 dan a 1 Misalkan D = E 2. Maka D = (y i (a 0 +a 1 x 1 )) 2, D =... = 0, a 0 (3) D =... = 0. a 1 (4) Pers. (3)-(4) dapat ditulis (disebut persamaan normal): na 0 + n x ia 1 = n y i, n x ia 0 + n x2 i a 1 = n x iy i. Solusi dari SPL di atas untuk a 1 dan a 0 adalah a 1 = n x iy i n x n i y i n n x2 i ( n x ) 2 dan a 0 = i n y n i a 1 x i. n 8 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Pencocokan Kurva

9 linier: algoritma Linier Penerapan Linier pada Model Nonlinier Polinom 9 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Pencocokan Kurva

10 Model nonlinier Linier Penerapan Linier pada Model Nonlinier Polinom Dalam masalah nyata, seringkali dijumpai data dengan kecendrungan berbentuk fungsi nonlinier (bukan garis lurus), seperti fungsi eksponensial, fungsi pangkat, fungsi laju pertumbuhan jenuh, fungsi polinomial, dan lain-lain. Kurva regresi untuk model-model nonlinier tersebut dapat diselesaikan dengan bantuan regresi linier, asalkan kurva regresinya dapat ditransformasi ke bentuk regresi linier. 10 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Pencocokan Kurva

11 eksponensial Linier Penerapan Linier pada Model Nonlinier Polinom Bentuk umum: y = pe qx. Transformasi pelinieran: ln(y) = ln(p)+qx. [tunjukkan!] Notasikan variabel baru sebagai berikut: ỹ = ln(y), a 0 = ln(p), a 1 = q. Dengan demikian diperoleh bentuk regresi linier: ỹ = a 0 +a 1 x. 11 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Pencocokan Kurva

12 persamaan pangkat Linier Penerapan Linier pada Model Nonlinier Polinom Bentuk umum: y = px q. Transformasi pelinieran: ln(y) = ln(p)+qln(x). [tunjukkan!] Notasikan variabel baru sebagai berikut: ỹ = ln(y), x = ln(x), a 0 = ln(p), a 1 = q. Dengan demikian diperoleh bentuk regresi linier: ỹ = a 0 +a 1 x. 12 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Pencocokan Kurva

13 model laju pertumbuhan jenuh Linier Penerapan Linier pada Model Nonlinier Polinom Bentuk umum: Transformasi pelinieran: y = px q +x. 1 y = 1 p + q 1 p x. [tunjukkan!] Notasikan variabel baru sebagai berikut: ỹ = 1 y, x = 1 x, a 0 = 1 p, a 1 = q p. Dengan demikian diperoleh bentuk regresi linier: ỹ = a 0 +a 1 x. 13 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Pencocokan Kurva

14 Linier Penerapan Linier pada Model Nonlinier Polinom Transformasi pelinieran dari beberapa model nonlinier 14 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Pencocokan Kurva

15 Koefisien determinasi Linier Penerapan Linier pada Model Nonlinier Polinom Seberapa baik suatu regresi menghampiri data? Apa ukurannya? Untuk mengukurnya secara kuantitatif, dapat digunakan koefisien determinasi, R 2, yang didefinisikan dengan dimana dengan S res = R 2 = 1 S res S tot, [y i (a 0 +a 1 x i )] 2 dan S tot = ȳ = 1 n y i. (y i ȳ) 2, Nilai R 2 berkisar dari 0 sampai 1. Jika R 2 mendekati nilai 1, maka kurva regresi tersebut dikatakan semakin baik dalam menghampiri data, dan sebaliknya. 15 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Pencocokan Kurva

16 polinom: pendahuluan Linier Penerapan Linier pada Model Nonlinier Polinom Bagaimana jika kecendrungan pola data tidak dapat ditentukan atau sulit dicari transformasi pelinierannya? Langkah yang biasanya diambil adalah dengan menggunakan regresi berbentuk polinom. Alasan pemilihan regresi polinom adalah karena setiap fungsi kontinu selalu dapat dihampiri dengan fungsi polinom (dibuktikan pada kuliah Analisis Riil). 16 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Pencocokan Kurva

17 polinom: konstruksi (1) Linier Penerapan Linier pada Model Nonlinier Polinom Perhatikan kembali n buah titik data (x 1,y 1 ),(x 2,y 2 ),...,(x n,y n ). Prosedur kuadrat terkecil pada regresi linier akan diperluas untuk membangun kurva regresi polinom berderajat m yang dinyatakan dengan y = a 0 +a 1 x +a 2 x 2 + +a m x m. Catatan: nilai m dan n tidak ada hubungan tertentu. Terapkan rumus galat sebagai berikut: E = n ( yi (a 0 +a 1 x i +a 2 xi 2 + +a m xi m ) ) Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Pencocokan Kurva

18 polinom: konstruksi (2) Linier Penerapan Linier pada Model Nonlinier Polinom Akan ditentukan nilai a 0,a 1,...,a m yang meminimumkan nilai D = E 2. Hal ini tercapai ketika D a 0 = 0, D a 1 = 0,, D a m = 0. Langkah di atas menghasilkan persamaan normal berupa SPL dalam a 0,a 1,...,a m sebagai berikut: na 0 + x i a 0 + x 2 i a 0 +. xi m a 0 + x i a 1 + x 2 i a 1 + x 3 i a 1 +. x m+1 i a 1 + x 2 i a x 3 i a x 4 i a x m+2 i a x m i a m = x m+1 i a m = x m+2 i a m =. x m+m i a m = SPL di atas dapat diselesaikan dengan salah satu teknik penyelesaian SPL yang sudah dibahas sebelumnya. 18 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Pencocokan Kurva y i x i y i x 2 i y i. xi m y i

19 polinom: algoritma Linier Penerapan Linier pada Model Nonlinier Polinom 19 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Pencocokan Kurva

20 Polinom Interpolasi Lagrange Polinom Interpolasi (Beda Terbagi) Newton Interpolasi/ekstrapolasi bertujuan untuk membangun suatu kurva yang melalui semua titik data. Pada kuliah ini hanya dibahas tentang interpolasi/ekstrapolasi berbentuk polinom. Interpolasi kurva yang dibangun dipakai untuk menaksir nilai f(x) dengan x berada di dalam interval titik-titik data yang diberikan. Ekstrapolasi kurva yang dibangun dipakai untuk menaksir nilai f(x) dengan x berada di luar interval titik-titik data yang diberikan. 20 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Pencocokan Kurva

21 Konstruksi awal Polinom Interpolasi Lagrange Polinom Interpolasi (Beda Terbagi) Newton Diberikan n+1 titik data (x 0,f(x 0 )),(x 1,f(x 1 )),...,(x n,f(x n )), dengan x i x j untuk i j. Urutan nilai x i tidak diperlukan. Akan dikonstruksi sebuah polinom yang melalui semua titik data tersebut. Misalkan polinom tersebut berderajat m: y p m (x) = a 0 +a 1 x +a 2 x 2 + +a m x m. Pertanyaan: Bagaimana hubungan antara m dan n agar diperoleh solusi tunggal untuk koefisien a 0,a 1,...,a m? Sifat Diberikan n+1 titik data dengan nilai absis yang berbeda. Maka terdapat secara tunggal polinom derajat m n yang melalui semua titik data tersebut. 21 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Pencocokan Kurva

22 Ilustrasi Polinom Interpolasi Lagrange Polinom Interpolasi (Beda Terbagi) Newton Misalkan untuk n + 1 titik data digunakan polinom dengan derajat maksimum n. Maka diperoleh SPL berikut: a 0 + a 1 x 0 + a 2 x a n x n 0 = f(x 0 ) a 0 + a 1 x 1 + a 2 x a n x n 1 = f(x 1 )..... a 0 + a 1 x n + a 2 xn a n xn n = f(x n ) Nilai-nilai koefisien a 0,a 1,...,a n dapat dicari dengan salah satu metode penyelesaian SPL. 22 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Pencocokan Kurva

23 Tetapi... Polinom Interpolasi Lagrange Polinom Interpolasi (Beda Terbagi) Newton Matriks koefisien (disebut matriks Vandermode) bisa saja singular. Secara analitik, semakin tinggi derajat polinom yang digunakan, semakin akurat hasil yang diperoleh. Namun hal ini harus dibayar dengan beban komputasi yang semakin berat, mengingat ukuran SPL-nya semakin besar. Semakin tinggi derajat polinom yang digunakan, semakin banyak perhitungan komputasi yang harus dilakukan. Akibatnya galat pembulatan akan secara signifikan mempengaruhi hasilnya. Solusinya? 23 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Pencocokan Kurva

24 Polinom interpolasi Lagrange - linier Polinom Interpolasi Lagrange Polinom Interpolasi (Beda Terbagi) Newton Diberikan dua buah titik data (x 0,f(x 0 )),(x 1,f(x 1 )). Polinom interpolasi yang melalui kedua titik tersebut adalah y p 1 (x) = f(x 0 )+ f(x 1) f(x 0 ) (x x 0 ). [mengapa?] x 1 x 0 Joseph Louis Lagrange menyusun polinom interpolasi tersebut dengan cara lain: y p 1 (x) = f(x 0 ) x x 1 x 0 x 1 +f(x 1 ) x x 0 x 1 x 0. [justifikasi!] Contoh: Diberikan dua buah titik (1, ln(1)) dan (6, ln(6)). Gunakan polinom interpolasi Lagrange derajat satu untuk menaksir nilai ln(2). [Catatan: nilai eksak dari f(2) adalah 0, ]. 24 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Pencocokan Kurva

25 Polinom Interpolasi Lagrange Polinom Interpolasi (Beda Terbagi) Newton Polinom interpolasi Lagrange - kuadratik Diberikan tiga buah titik data (x 0,f(x 0 )),(x 1,f(x 1 )), dan (x 2,f(x 2 )). Polinom interpolasi Lagrange berderajat 2 yang melalui ketiga titik tersebut mempunyai bentuk: (x x 1 )(x x 2 ) p 2 (x) = a 0 (x 0 x 1 )(x 0 x 2 ) +a (x x 0 )(x x 2 ) 1 (x 1 x 0 )(x 1 x 2 ) (x x 0 )(x x 1 ) +a 2 (x 2 x 0 )(x 2 x 1 ). Dapat dibuktikan bahwa a 0 = f(x 0 ), a 1 = f(x 1 ), dan a 2 = f(x 2 ). [buktikan!] Contoh: Diberikan tiga buah titik (1, ln(1)), (4, ln(4)), dan (6, ln(6)). Gunakan polinom interpolasi Lagrange derajat dua untuk menaksir nilai ln(2). [Catatan: nilai eksak dari f(2) adalah 0, ]. 25 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Pencocokan Kurva

26 Polinom Interpolasi Lagrange Polinom Interpolasi (Beda Terbagi) Newton Polinom interpolasi Lagrange - kasus umum Bentuk umum polinom Lagrange derajat n yang menginterpolasi titik-titik (x 0,f(x 0 )),(x 1,f(x 1 )),...,(x n,f(x n )) adalah p n (x) = a 0 (x x 1 )(x x 2 ) (x x n ) (x 0 x 1 )(x 0 x 2 ) (x 0 x n ) + Dapat ditunjukkan bahwa a 1 (x x 0 )(x x 2 ) (x x n ) (x 1 x 0 )(x 1 x 2 ) (x 1 x n ) +. a n (x x 0 )(x x 1 ) (x x n 1 ) (x n x 0 )(x n x 1 ) (x n x n 1 ) a 0 = f(x 0 ),a 1 = f(x 1 ),...,a n = f(x n ). 26 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Pencocokan Kurva

27 Polinom Interpolasi Lagrange Polinom Interpolasi (Beda Terbagi) Newton Polinom interpolasi Lagrange - notasi bentuk umum Bentuk umum dari polinom interpolasi Lagrange diberikan oleh p n (x) = f i L i (x), i=0 dimana f i = f(x i ) dan L i (x) = n j=0,j i x x j x i x j. 27 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Pencocokan Kurva

28 Polinom Interpolasi Lagrange Polinom Interpolasi (Beda Terbagi) Newton Polinom interpolasi Lagrange - algoritma 28 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Pencocokan Kurva

29 Polinom Interpolasi Lagrange Polinom Interpolasi (Beda Terbagi) Newton Seringkali kita memerlukan hampiran polinom yang derajatnya dibangun secara bertahap, yaitu p 1 (x),p 2 (x),...,p n (x). Pada metode polinom interpolasi Lagrange, perhitungan seperti ini tidak bisa dilakukan karena tidak ada hubungan antara p i 1 (x) dengan p i (x). Hal ini mengakibatkan proses komputasinya menjadi sangat besar. Sebagai contoh, gunakan polinom Lagrange untuk menginterpolasi empat titik data (1,1),(2,2),(3,3),(4,4). Solusinya? Metode polinom interpolasi (beda terbagi) Newton. 29 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Pencocokan Kurva

30 Polinom interpolasi Newton: konstruksi Polinom Interpolasi Lagrange Polinom Interpolasi (Beda Terbagi) Newton Polinom interpolasi Newton dibangun sebagai berikut: p 1 (x) = a 0 +a 1 (x x 0 ), p 2 (x) = a 0 +a 1 (x x 0 )+a 2 (x x0)(x x 1 ),. p n (x) = a 0 +a 1 (x x 0 )+a 2 (x x0)(x x 1 )+ +a n (x x0)(x x 1 ) (x x n 1 ). Dari hubungan di atas terlihat hubungan rekursif: p i (x) = p i 1 (x)+a i (x x 0 )(x x 1 ) (x x i 1 ). Permasalahan: Bagaimana menentukan koefisien a 0,a 1,...,a n? 30 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Pencocokan Kurva

31 Polinom Interpolasi Lagrange Polinom Interpolasi (Beda Terbagi) Newton Polinom interpolasi Newton: penentuan koefisien (1) Bentuk polinom interpolasi Newton derajat 1 yang melalui dua titik data (x 0,f(x 0 )) dan (x 1,f(x 1 )) adalah p 1 (x) = a 0 +a 1 (x x 0 ), dimana a 0 = f(x 0 ) dan a 1 = f(x 1) f(x 0 ). [tunjukkan!] x 1 x 0 Bentuk polinom interpolasi Newton derajat 2 yang melalui tiga titik data (x 0,f(x 0 )), (x 1,f(x 1 )), dan (x 2,f(x 2 )) adalah p 2 (x) = p 1 (x)+a 2 (x x 0 )(x x 1 ), dimana a 2 = f(x 2 ) f(x 1 ) x 2 x 1 f(x 1) f(x 0 ) x 1 x 0 x 2 x 0. [tunjukkan!] 31 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Pencocokan Kurva

32 Polinom Interpolasi Lagrange Polinom Interpolasi (Beda Terbagi) Newton Polinom interpolasi Newton: penentuan koefisien (2) Rumusan koefisien polinom Newton melibatkan ekspresi: f(x i ) f(x i 1 ) x i x i 1, yang dikenal dengan beda terbagi orde pertama antara x i 1 dan x i. Untuk perhitungan koefisien polinom Newton, secara umum diperlukan konsep beda terbagi orde ke-nol, pertama, kedua, sampai ke-j sebagai berikut: f[x k ] = f(x k ), f[x k,x k+1 ] = f[x k+1] f[x k ] x k+1 x k,. f[x k,x k+1,x k+2,...,x k+j ] = f[x k+1,...,x k+j ] f[x k,...,x k+j 1 ] x k+j x k, 32 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Pencocokan Kurva

33 Polinom Interpolasi Lagrange Polinom Interpolasi (Beda Terbagi) Newton Polinom interpolasi Newton: bentuk umum Bentuk umum polinom Newton derajat n yang melalui titik-titik data (x i,f(x i )),i = 0,1,2,...,n adalah sebagai berikut: p n (x) = f[x 0 ]+ f[x 0,x 1 ](x x 0 )+ f[x 0,x 1,x 2 ](x x 0 )(x x 1 )+. f[x 0,x 1,x 2,...,x i ](x x 0 )(x x 1 ) (x x i 1 )+. f[x 0,x 1,x 2,...,x n ](x x 0 )(x x 1 ) (x x n 1 ). 33 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Pencocokan Kurva

34 Polinom Interpolasi Lagrange Polinom Interpolasi (Beda Terbagi) Newton Polinom interpolasi Newton: contoh dan diskusi 1 Gunakan polinom Newton untuk menginterpolasi empat titik data (1,1),(2,2),(3,3),(4,4). Bandingkan dengan perhitungan polinom Lagrange. Apa kesimpulan Anda? 2 Aproksimasi nilai ln(2) dengan menggunakan polinom interpolasi Newton pada dua titik (1, ln(1)) dan (6, ln(6)). Lakukan hal yang sama namun sekarang dengan menginterpolasi titik (1, ln(1)) dan (4, ln(4)). Bandingkan hasil yang Anda peroleh dengan nilai eksak dari ln(2). Apa kesimpulan Anda? 3 Lakukan hal yang sama dengan soal no.2, namun dengan menginterpolasi ketiga titik (1, ln(1)), (4, ln(4)), dan (6, ln(6)). Bandingkan dengan hasil pada soal no.2. Apa kesimpulan Anda? 34 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Pencocokan Kurva

35 Polinom interpolasi Newton: catatan Polinom Interpolasi Lagrange Polinom Interpolasi (Beda Terbagi) Newton Secara analitik, hasil hampiran semakin baik jika polinom yang dibangun derajatnya semakin tinggi. Namun secara numerik, konstruksi polinom derajat tinggi akan semakin sensitif terhadap galat pembulatan. Untuk mendapatkan hasil hampiran yang optimal, polinom interpolasi Newton mengkonstruksi hampiran secara bertahap yaitu p 0 (x) = f(x 0 ),p 1 (x),p 2 (x),... Bila pada tahap ke-(k +1) sudah memenuhi p k+1 (x) p k (x) < ǫ, dimana ǫ galat yang ditetapkan, maka perhitungan dihentikan dan polinom hampirannya adalah p k+1 (x). 35 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Pencocokan Kurva

36 Polinom interpolasi Newton: algoritma Polinom Interpolasi Lagrange Polinom Interpolasi (Beda Terbagi) Newton Tugas: Diberikan data (x i,f(x i )),i = 1,2,...,n. Tuliskan algoritma polinom interpolasi Newton untuk menghampiri nilai f(z) dengan galat ǫ. 36 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Pencocokan Kurva