10 Persamaan Differensial Biasa (PDB) Dengan Nilai Batas
|
|
- Handoko Makmur
- 6 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 P.B. Kosasih PDB nilai batas 47 Persamaan Differensial Biasa (PDB) Dengan Nilai Batas. PENGENAAN TOPIK Pada persoalan enjineering lebih sering dijumpai PDB tingkat dengan kondisi batas ang diberikan pada dua titik. Umumna kedua titik ini ada pada batas-batas domain permasalahan. Karena solusi ang dicari berada pada dua batas ang tertutup, maka problem ini dikenal sebagai problem domain tertutup atau PDB dengan nilai batas. Bentuk umum dari PDB tingkat dengan nilai batas adalah d d + p(x, ) + q(x, ) = f(x) antara x x x n (-) dx dx Dengan nilai-nilai batas A d (x ) + B (x ) = α dx (-a) d A (x n ) + B (x n ) = β (-b) dx dimana A + B dan A + B (-3)
2 P.B. Kosasih PDB nilai batas 48 Dari kondisi batas (-) ada 3 kemungkinan jenis kondisi batas ang mungkin diterapkan pada PDB ini: (i) Nilai batas konstan (tipe Dirichlet) Nilai batas diberikan sebagai sebuah konstan, contoh jika A = dan B = maka (x ) = α (ii) Nilai batas derivatif (tipe Neumann) Nilai batas diberikan sebagai sebuah nilai derivatif, contoh jika A = dan B = maka (x ) = α (iii) Nilai batas campuran (tipe Robin) Nilai batas terdiri dari nilai konstan dan derivatif, contoh jika A = dan B = maka (x ) + (x ) = α Tergantung dari koeffisien-koeffisien p(x,) dan q(x,), PDB (-) dapat diklasifikasikan sebagai:. PDB inier, jika p(x,) dan q(x,) berupa fungsi dari x saja atau berupa sebuah bilangan konstan. p(x,) = p(x) (-4) atau p(x,) = konstan (-5). PDB Non-inier, jika p(x,) dan q(x,) merupakan fungsi dari x dan. Pada bab ini kita akan bahas beberapa teknik untuk memecahkan PDB linier maupun nonlinier ang dibatasi oleh kondisi batas tipe Dirichlet, tipe Neumann maupun tipe Robin.. METODE INIER TEMBAK Metode ini sangat effektif dan mudah digunakan untuk memecahkan PDB linier dengan kondisi batas tipe Dirichlet. Secara umum problem ang dapat dipecahkan dengan metode ini adalah d d + p(x) + q(x) = f(x) (-6) dx dx Dengan nilai batas (x ) = α (x n ) = β (-7a) (-7b) Tanpa mengurangi artina persamaan (-6) dapat juga dituliskan = p(x) + q(x) + f(x) (-8)
3 P.B. Kosasih PDB nilai batas 49 angkah utama dari metode tembak adalah merubah problem (-8) menjadi problem PDB dengan nilai awal. Dua PDB nilai awal akan didapat sebagai berikut = z (-9a) z = p(x)z + q(x) + f(x) (-9b) Sistim persamaan (-9) memerlukan nilai-nilai awal. Nilai awal untuk (.9a) adalah (x ) = α (-) Sedangkan nilai awal (.9b) tidak diketahui sehingga kita asumsikan (x ) = z(x ) = ξ (-) Dengan kedua nilai batas (-) dan (-) sistim PDB nilai awal (-9) dapat dipecahkan dengan salah satu teknik pemecahan PDB nilai awal ang telah dibahas pada bab 9 seperti Runge-Kutta. Dengan assumsi ξ,solusina (x) ang mempunai nilai (x n ) = β. Karena β masih berbeda dari nilai (x n ) sebenarna β, maka kita gunakan sebuah assumsi lain. (x ) = z(x ) = ξ (-) Dengan asumsi ini kita dapatkan solusi (x) dengan nilai (x n ) = β. Kedua solusi (x) dan (x) tidak menghasilkan (x n ) atau (x n ) = β. β β β α Gambar. Metode tembak linier Tetapi karena PDB linier maka solusi sebenarna, (x) dapat diberikan oleh superposisi dari (x) dan (x). (x) = C (x) + C (x) (-3) Nilai C dan C dapat dicari dengan menggunakan nilai-nilai batas (x ) = α dan (x n ) = β. Nilai (x ) dihitung dengan (-3) ang menghasilkan
4 P.B. Kosasih PDB nilai batas 4 α = C α + C α (-4) atau C + C = (-5) Sedangkan nilai (x n ) menghasilkan β = C β + C β (-6) Dengan mensubstitusikan nilai C ang diperoleh dari (-5) ke (-6). β = ( C ) β + C β (-7) Maka C diperoleh β β C = (-8) β β dan, β β C = (-9) β β Dengan mensubstitusikan (-8) dan (-9) ke (-3) didapat β β β β (x) = (x) + β β β β (-) Selanjutna dengan mendifferensiasikan (-) kita peroleh β β β β (x) = β β (x) + β β (-) Sekarang nilai (x ) dapat diperoleh β β β β (x ) = ξ + ξ β β β β (-) Setelah diatur kita bisa dapatkan ( ξ ξ) + ( β ) (-3) ( β β ) ξ = ξ β Setelah (x ) = ξ ang tepat didapat, selanjutna sistim PDB nilai awal (-9) kita pecahkan dengan z(x ) = ξ.
5 P.B. Kosasih PDB nilai batas CONTOH Pecahkan PDB nilai batas berikut = + xe x x Antara [,] dengan nilai-nilai batas () = dan () = -4. Gunakan metode Runge Kutta dengan h =, dan bandingkan hasilna dengan solusi analitik 3 x 5 x x (x) = x e xe + e x 6 3 Pemecahan contoh ini sama dengan pemecahan sistim PDB dengan nilai awal (-9), = z z = z - + xe x x Sekarang kita asumsikan suatu nilai ξ untuk persamaan (-). Tidak ada rumusan khusus untuk menghitungna tetapi perkiraan dapat kita mulai dengan, (x ) (x ) n 4 ξ = = = x x n Dengan nilai awal () = dan z() = -. Sistim PDB nilai awal pada contoh ini dipecahkan dengan metode Runge Kutta 4 dengan interval h =,. Dengan menggunakan program FOR9_9 kita peroleh () = -3,74. Dengan nilai awal z() = atau ξ =, kita peroleh () = 35,483, guna memperkirakan ξ ang tepat kita gunakan(-3) ( ξ ξ) ( ) ξ = ξ + ( β β) = + ( β β) ( 3.74) ( 4 ( 3.74)) ) = Dengan z() = -, kita peroleh () = -4,63 ang mendekati nilai batas () = - 4. Plot perbandingan antara hasil dengan ξ = -, ξ = dan ξ = -, diberikan pada gambar. di bawah ini.
6 P.B. Kosasih PDB nilai batas 4 (x) solusi analitik ξ = ξ = ξ = x Gambar. Perbandingan antara ξ = -, ξ =, ξ = -, dan solusi analitik METODE TEMBAK NON-INIER Untuk PDB non-linier, superposisi tidak dapat kita gunakan sehingga cara lain harus digunakan. angkah pertama disini sama dengan cara pemecahan PDB linier aitu merubah persoalan menjadi PDB nilai awal dan mengasumsikan (x ) = ξi. Dengan menggunakan ' (x ) = α dan (x ) = ξi akan diperoleh nilai (x n ) = β i. Jika nilai (x ) = ξ dapat kita tebak dengan benar maka (x n ) = β akan kita dapatkan dalam batas akurasi ang memungkinkan dalam teknik numerik. Jika tidak benar atau perbedaan terlalu jauh maka kita akan coba ξ ang baru, ξ i+. Jelas disini bahwa kita bereksperimen dengan nilai ξ sampai target (x n ) = β didekati dalam batas akurasi ang telah ditentukan. Problem mencari ξ ang tepat dapat diartikan secara matematika mencari akar dari persamaan non-linier berikut g(ξ) = x n (ξ) β = (-4) dimana x n (ξ) adalah nilai (x n ) dengan (x ) = ξ dan akar dari persamaan (-4) dapat dicari dengan salah satu metode pada bab 3. Metode ang umum dipakai adalah metode Secant ang diberikan oleh g( ξi )( ξi ξi- ) ξi+ = ξi (-5) g( ξi ) g( ξi- )
7 P.B. Kosasih PDB nilai batas 43 Contoh. di bawah memperjelas penerapan teknik ini CONTOH Pecahkan PDB nilai batas berikut = -( ) + ln(x) Antara [,] dengan nilai-nilai batas () = dan () = ln() dengan menggunakan metode Runge Kutta dengan h =, dan metode secant. Bandingkan hasilna dengan solusi analitik (x) = ln(x) Pemecahan contoh ini sama dengan memecahkan sistim PDB dengan nilai awal (-9), = z z = -z - + ln(x) Dengan nilai awal () = dan asumsi z() = ξ (sebagai aproksimasi pertama) dan ξ sebagai aproksimasi kedua. ξ ini didapat dengan ξ (x ) (x n = x x ) ln() = = n,69347 ξ kita assumsikan sedangkan ξ dihitung dengan menggunakan persamaan (-5). g( ξ)( ξ ξ ) g( ξ)(,69347) ξ = ξ = (C) g( ξ) g( ξ ) g( ξ) g( ξ ) g(ξ ) =, ln() = -, g(ξ ) =,69346 ln() = -,8 (C) (C3) Dengan mensubstitusikan (C) dan (C3) ke (C) kita peroleh, 8(, 69347) ξ = =,, 8 ( , ) Dalam iterasi β = ln(), dengan menggunakan program FOR_ konvergensi diperoleh dalam iterasi saja. Interval h =, dan konvergensi criteria =,. i ξ i ξ i+ xn (ξ i ) xn (ξ i+ ) g(ξ i ) = xn beta,69347,, , ,39499,,,69346, ,
8 P.B. Kosasih PDB nilai batas (x) analitik numerik x Gambar.3 Perbandingan antara solusi numerik dan analitik Hasil numerik dan analitik tidak berbeda jauh. Hal ini menunjukan bahwa dengan metode secant akurasi ang didapat cukup tinggi Program FOR_ memberikan program metode tembak non-linier secant Program FOR_ Program Fortran 9 metod tembak non-linier secant! FOR_ module VARIABE! DEKARASI MATRIK DAN VARIABE REA :: beta,h,t,tn,n_lama,n_baru,,,_,_, lama, baru,eps INTEGER :: n end module VARIABE program PDB_Tinggi_Secant USE VARIABE implicit none real :: _sementara integer :: iter! TENTUKAN TITIK-TITIK BATAS & NIAI AWA PRINT *,"MASUKAN TITIK-TITIK BATAS" READ *,t, tn PRINT *,"MASUKAN NIAI_NIAI BATAS" READ *,_,beta PRINT *,"MASUKAN NIAI-NIAI AWA" READ *, lama, baru! TENTUKAN JUMAH INTERVA PRINT *,"MASUKAN JUMAH INTERVA" READ *, n! TENTUKAN KRITERIA ERROR PRINT *, "MASUKAN KRITERIA ERROR UNTUK KONVERGENCE" READ *,eps h = (tn-t)/n do WHIE(ABS( baru - lama) >= eps) iter = iter +
9 P.B. Kosasih PDB nilai batas _sementara = baru _ = lama call runge n_lama = _ = baru call runge n_baru = print *,"n_lama =",n_lama,"n_baru =",n_baru baru = baru - (n_baru - beta)*( baru - lama) /& ((n_baru - beta) - (n_lama - beta)) lama = _sementara print *,"_lama=", lama,"_baru =", baru end do call Runge contains subroutine Runge INTEGER :: i REA :: K,K,K3,K4,,,3,4,t = _ = _ t = t do i=,n K = f(t,,) = g(t,,) K = f(t+.5*h,+.5*k*h,+.5**h) = g(t+.5*h,+.5*k*h,+.5**h) K3 = f(t+.5*h,+.5*k*h,+.5**h) 3 = g(t+.5*h,+.5*k*h,+.5**h) K4 = f(t+h,+k3*h,+3*h) 4 = g(t+h,+k3*h,+3*h) = + h * (K + *K + *K3 + K4) / 6. = + h * ( + * + *3 + 4) / 6. t = t + i * h print *,t, end do end subroutine Runge real function f(t,,) REA, INTENT(IN) :: t,, f = end function f real function g(t,,) REA, INTENT(IN) :: t,, g = -* - + log(t) end function g end program PDB_Tinggi_Secant.4 METODE PERBEDAAN HINGGA (FINITE DIFFERENCE METHOD) INIER Metode perbedaan hingga adalah metode ang sangat popular. Pada intina metode ini merubah problem PDB nilai batas dari sebuah problem kalkulus menjadi sebuah problem aljabar. Dengan metode ini dan pada (-6) kita aproksimasikan dengan menggunakan deret Talor sebagai berikut, (x+h) = (x) + h (x) + (x-h) = (x) - h (x) + h (x) + (-6) h (x) + (-7) Kalau kita kurangi (-6) dengan (-7) dan nilai setelah pangkat diabaikan akan didapat
10 P.B. Kosasih PDB nilai batas 46 (x + h) (x h) (x) = + O(h ) (-8) h Sedangkan kalau (-6) ditambah dengan (-7), kita akan peroleh (x + h) (x) + (x h) (x) = + O(h ) (-9) h Persamaan (-6) (-9) dapat diterapkan dengan membagi [x,x n ] (lihat gambar.) menjadi n bagian dengan interval h, x n x h = (-3) n x x x x n- x n i = i = i = i = n- i = n Gambar. Pembagian interval antara [x,x n ] Dengan metode perbedaan hingga, ang kita cari adalah nilai pada x tertentu, x i+ = x i + h (-3) Jika i =, maka x = x + h. Dengan menggunakan notasi ini (-8) dan (-9) dapat dituliskan (xi ) (x i- ) + (x i ) = h (-3) (xi+ ) (x i ) + (xi ) (x i ) = (-33) h Persamaan (-3) dan (-33) dikenal dengan aproksimasi perbedaan hingga tiga titik (central three points finite difference approximation, lihat bab 6). Selanjutna jika kita substitusikan (-3) dan (-33) ke (-6) maka kita dapatkan [ - h q(x )] (x ) + + hp(x ) (x ) h F(x ) hp(x i ) (xi ) i i i i+ = i atau biasa disederhanakan (-34) [ - h q(x )] + + hp(x ) h F(x ) hp(x i ) i i i i i+ = i (-35)
11 P.B. Kosasih PDB nilai batas 47 Persamaan (-35) diterapkan pada setiap titik diskretisasi aitu i =,,,n- sehingga terbentuk SP dengan bentuk tri-diagonal ang dapat dipecahkan dengan algoritma Thomas (lihat bab ) CONTOH Pecahkan PDB nilai batas berikut = antara [,] dengan nilai batas () = dan () =. Gunakan metode perbedaan hingga dengan h =,, pada soal ini p(x) = 7, q(x) = 3 dan f(x) =. Persamaan perbedaan hingga untuk contoh ini adalah (-45), ( 3,5h)i ( - 3h )i + ( + 3,5h)i+ = h dengan h =.,65 i-,97 i +,35 i+ =, Pembagian interval pada contoh ini adalah x x x x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x i = i = i = i = 3 i = 4 i = 5 i = 6 i = 7 i = 8 i = 9 i = Persamaan perbedaan dapat dibentuk hana pada i = 9, karena pada i = dan nilai adalah nilai batas. i =,97 i =,65 i = 3 i = 4 i = 5 i = 6 i = 7 i = 8 i = 9 +,35,97,65 +,353,97 3,653 +,354,97 4,654 +,355,97 5,655 +,356,97 6,656 +,357,97 7,657 +,358,97 8,658 +,359,97 9 =,,65 =, =, =, =, =, =, =, =,,35 Dalam bentuk matrik, vektor merupakan vektor solusi ang dapat dicari dengan menggunakan algoritma Thomas.
12 P.B. Kosasih PDB nilai batas 48,97,65,35,97,65,35,97,65,35,97,65,35,97,65,35,97,65,35,97,65,35,97,65,, 3, 4, 5 =, 6, 7,,35, 8,97 9,34 Hasil ang diperoleh adalah T = [,64,,9443,,76,,33,,84,,3,,885,,598,,99] Pada contoh.4, nilai batas ang dipecahkan adalah tipe Dirichlet. Dengan tipe ini, terlihat bahwa persamaan diskretisasi (-35) pada i = dan i = n- mengalami sedikit modifikasi aitu - h q(x ) + + hp(x ) h F(x ) - hp(x ) = (-36) i = [ ] hp(x n- ) n- i = n [ ] n - h q(x n- ) n- = h F(x n- ) - + hp(x n- ) (-37) Program MAT_ memberikan program MATAB metode perbedaan hingga dengan nilai batas Dirichlet untuk contoh.4. Program MAT_ Program MATAB metode perbedaan hingga dengan nilai batas Dirichlet % MAT_ % PDB linier dengan Perbedaan Hingga % Program ini memecahkan PDB nilai batas linier dengan batas Dirichlet % Definisi problem x = ; xn = ; n = ; p = 7.*ones(,n-); q = 3.*ones(,n-); f = ones(,n-); % Kondisi batas =.; n =.; h = (xn - x)/n; h =.5*h; hh = h*h; x = linspace(x+h,xn,n); % Elemen-elemen dari matrik tri-diagonal a = zeros(,n-); b = a; c = a; a(:n-) = - p(,:n-)*h; d = -(. - hh*q); c(:n-) = + p(,:n-)*h;
13 P.B. Kosasih PDB nilai batas b() = hh*f() - ( - p()*h) * ; b(:n-) = hh*f(:n-); b(n-) = hh*f(n-) - ( + p(n-)*h) * n; = tri_diag(a,d,c,b); xx = [x x]; = [ n]; out = [xx' ']; plot(xx,).5 KONDISI BATAS DERIVATIF ( TIPE NEUMANN) Pada bagian.,.3 dan.4 baik metode tembak maupun metode perbedaan hingga, kondisi batas ang kita gunakan untuk memecahkan problem semuana adalah kondisi batas tipe Dirichlet. Pada bagian ini kita akan bahas bagaimana memecahkan problem dengan kondisi batas Neumann. Kita akan pecahkan persamaan (-6) dengan kondisi batas: (x ) = α (-38) (x n ) = β' (-39) Dengan menggunakan metode tembak linier (bagian.) target saja ang berubah. Kita tetap mulai dengan estimasi (x ) = ξ kemudian (x ) = ξ kemudian nilai ξ ang tepat ditentukan oleh ( ξ ξ ) ( β β ' ) ξ = ξ + β ' β ' (-4) ' ' ' Pada persamaan (-4), β dan β adalah (x n ) apabila (x ) = ξ dan ξ. Untuk PDB non-linier, kita gunakan suatu variable g(ξ) ang didefinisikan sebagai, g( ξ ) = ( ξ) β' (-4) x n Nilai ξ ang benar ditentukan dengan metode secant (-5). Kalau kita gunakan metode perbedaan hingga, persamaan (-33) perlu dimodifikasi pada i = n. (xn + h) (x n ) + (xn h) (x n ) = + O(h ) (-4) h Gambar.3 Titik n+ di luar domain Pada (-4) kita perlu menghitung (x n +h), tetapi karena titik ini berada diluar domain (lihat gambar.3) maka kita perlu mengaproksimasikan nilai (x n +h) atau n+. n+ kita gunakan informasi mengenai (x n ) = β'. Sesuai (-8)
14 P.B. Kosasih PDB nilai batas 43 n n + n = + O(h ) h (-43) Dari (-43) kita dapatkan n + = n + h + O(h ) n (-44) Dengan mensubstitusikan (-44) ke (-4) kita peroleh n + h n - n + n h n - n + n n = + O(h ) = + O(h) h h (-45) Dengan mensubstitusikan (-55) dan n = β ke (-6) didapat n - h q(x n ) n = h f(x n ) hβ h p(xn) β (-46) Karena diskretisasi n hana mempunai akurasi sampai O(h) maka ada kemungkinan terjadina penurunan akurasi dari metode ini jika dibandingkan dengan metode tembak CONTOH Gunakan metode perbedaan hingga untuk memecahkan PDB nilai batas berikut (diambil dari Hoffman, 99) =. Antara [,] dengan nilai-nilai batas () = dan () =. Untuk perbedaan hingga gunakan h =,, pada soal ini p(x) = 5, q(x) = 4 dan f(x) =,. Persamaan perbedaan hingga untuk contoh ini diperoleh dari (-35) (.5h)i ( - 4h )i + ( +.5h)i+ = h Dengan h =,,75 i-,96 i +,5 i+ =, Dengan distribusi interval sama dengan contoh.4. Persamaan perbedaan dapat dibentuk pada i =, karena pada i = nilai adalah nilai batas. Untuk i = 9 kita gunakan persamaan perbedaan di atas. Sedangkan untuk i = kita gunakan (-46) dengan =.96 9 =, Persamaan-persamaan perbedaan ang terbentuk adalah
15 P.B. Kosasih PDB nilai batas 43 i =,5 =,,75 i =,75,96,53 =, i = 3,75,96 3,54 =, i = 4,753,96 4,55 =, i = 5,754,96 5,56 =, i = 6,755,96 6,57 =, i = 7,756,96 7,58 =, i = 8,757,96 8,59 =, i = 9,758,96 9,5 =, i = 9,96 =, Dalam bentuk matrik vektor merupakan vektor solusi ang dapat dicari dengan menggunakan salah satu teknik ang telah kita pelajari pada bab.,75,5,75,5,75,5,75,5,75,5,75,5,75,5,75,5, =,74,,,,,,,,, Dengan menggunakan algoritma Thomas, hasil ang diperoleh, T =[,75,,536,,393,,38,,68,,39,,55,,6,,,,] Program MAT_ memberikan program MATAB metode perbedaan hingga dengan nilai batas Neumann untuk contoh.5 Program MAT_ Program MATAB metode perbedaan hingga dengan nilai batas Neumann % MAT_ % PDB linier dengan Perbedaan Hingga % Program ini memecahkan PDB nilai batas linier dengan batas Dirichlet % Definisi problem x = ; xn = ; n = ; p = 5.*ones(,n); q = 4.*ones(,n); f = ones(,n); % Kondisi batas =.; dashn =.; h = (xn - x)/n; h =.5*h; hh = h*h; x = linspace(x+h,xn,n); % Elemen-elemen dari matrik tri-diagonal a = zeros(,n); b = a;
16 P.B. Kosasih PDB nilai batas c = a; a(:n-) = - p(,:n-)*h; a(n) =.; d = -(. - hh*q); c(:n-) = + p(,:n-)*h; b() = hh*f() - ( - p()*h) * ; b(:n-) = hh*f(:n-); b(n) = hh*f(n) - *h*dashn - hh*p(n)*dashn; = tri_diag(a,d,c,b); xx = [x x]; = [ ]; out = [xx' ']; plot(xx,) Untuk mendapatkan akurasi ang lebih tinggi, kita gunakan formula perbedaan mundur 3 i = i + i + i + (-47) h 3 Dengan (-47) nilai i dengan akurasi tingkat berapapun dapat dicari. Berikut adalah formula perbedaan hingga mundur dengan akurasi O(h), O(h ) dan O(h 3 ). Dengan akurasi O(h), ( O(h )) i = i + = (i + i- ) + O(h) (-48) h h diperoleh i = - i- + h i (-49) Dengan akurasi O(h ), 3 i = i + i + O(h ) h = h i i + ( i i + i ) + O(h ) (-5) diperoleh i = (4 i- i- + h i ) (-5) 3 Dengan akurasi O(h 3 ), 3 4 i = i + i + i + O(h ) h 3
17 P.B. Kosasih PDB nilai batas 433 = h i i + ( i i + i ) + ( i 3 i + 3 i - 3 i 3 ) + O(h 3 ) (-5) diperoleh i = (8 i- 9 i- + i-3 + 6h i ) (-53) CONTOH Gunakan ekstrapolasi dari titik di dalam ke i = n tingkat, dan 3 untuk memecahkan problem pada contoh.5 Untuk i = 9 persamaan-persamaan ang didapat sama dengan contoh.5 sedangkan untuk i = persamaan ang didapat adalah Tingkat, O(h) i = = Sehingga SP ang harus dipecahkan adalah,75,5,75,5,75,5,75,5,75,5,75,5,75,5,75,5, =,74,,,,,,,,, Dengan menggunakan algoritma Thomas, hasil ang diperoleh T = [,6973,,54,,3758,,964,,473,,79,,3,,99,,897,,897] Tingkat, O(h ) i =, , = Sehingga SP ang harus dipecahkan adalah
18 P.B. Kosasih PDB nilai batas 434,75,5,75,5,75,5,75,5,75,5,75,5,75,5,75,333333,5,333333, =,74,,,,,,,,, Sistim ini dapat dijadikan tri-diagonal dengan mengurangi lajur dengan (,333333/,75)lajur 9.,75,5,75,5,75,5,75,5,75,5,75,5,75,5,75,5,463,74, 3, 4, 5 =, 6, 7,, 8,5 9,,444445,444 Dengan menggunakan algoritma Thomas, hasil ang diperoleh T = [,7,,54,,3995,,36,,75,,44,,45,,46,,98,,8] Tingkat 3, O(h 3 ) i = -, ,888 8, = Sehingga SP ang harus dipecahkan adalah
19 P.B. Kosasih PDB nilai batas 435,75,5,75,5,75,5,75,5,75,5,75,5,75,88,5,75,888,5,636364, =,74,,,,,,,,, Dengan menggunakan metode Gauss Jordan, hasil ang diperoleh T = [,747,,53,,3896,,3,,6,,3,,48,,55,,4,,5] Untuk O(h 3 ) matrik tidak diagonal tetapi bisa dijadikan tri-diagonal dengan operasi lajur KONDISI BATAS GABUNG (TIPE ROBIN) Jika kondisi batas pada batas sebelah kanan diberikan oleh (-b), maka kita bisa mengekspresikan dengan menggunakan formula perbedaan hingga mundur. Dengan menggunakan formula dengan akurasi O(h), persamaan (-b) pada i = n dapat dituliskan, A n + B n n = β (-54) h atau n βh + Bn = (Ah + B ) (-55) Dengan cara ang sama akurasi ang lebih baik dapat diperoleh jika kita menggunakan (- 5) atau (-5) CONTOH Pecahkan PDB dengan kondisi batas tipe Robin (diambil dari Hoffman, 99) = Antara [,] dengan kondisi batas, () = dan (),5 () =,5. Gunakan metode perbedaan hingga dengan h =,. Untuk i = 9 persamaan-persamaan ang didapat sama dengan contoh.5 untuk i = persamaan ang didapat dari (-55) dengan A =, B = -,5 dan β =,5. i = -,5 9 + = -,5
20 P.B. Kosasih PDB nilai batas 436 Sehingga SP ang harus dipecahkan adalah,,75,5,75,5,75,5,75,5,75,5,75,5,75,5,75,5,5,, 3, 4, 5 =, 6, 7,, 8,5 9,,5 Dengan menggunakan algoritma Thomas, hasil ang diperoleh, T = [,98,,3446,,465,,4543,,474,,473,,4675,,457,,4444,,435] METODE PERBEDAAN HINGGA NON-INIER Pemecahan PDB non-linier dengan menggunakan metode perbedaan hingga sama dengan metode untuk PDB linier, hana dalam hal ini proses iterasi harus dilakukan. Beberapa hal tentang PDB non-linier perlu kita ketahui: pertama keberadaan solusi untuk persoalan nonlinier tidak selalu ada, kedua pada persoalan non-linier ada kemungkinan terdapat solusi lebih dari satu. Pada problem non-linier karena p(x,) dan q(x,) merupakan fungsi dari x dan, maka pada setiap tahap iterasi k, p(x,) dan q(x,) dihitung dengan menggunakan nilai pada iterasi k- atau dengan kata lain PDB non-linier (-) diubah menjadi PDB linier, dengan bentuk (k) ( k ) (k) (k ) (k) p(x, ) + + q(x, ) = f(x) (-56) Jelas guna menerapkan persamaan (-56) kita memerlukan suatu nilai aproksimasi () awal. Aproksimasi awal menentukan cepatna konvergensi tercapai. Jika suatu aproksimasi awal ang buruk digunakan maka ada kemungkinan konvergensi tidak akan tercapai. Nilai aproksimasi awal ang baik dapat ditentukan dengan mengikuti bentuk fungsi linier atau kwadratik (x) antara [x,x n ].
21 P.B. Kosasih PDB nilai batas 437 β α Gambar.4 Penentuan nilai aproksimasi awal Dengan teknik ini sistim persamaan linier ang berbeda-beda akan dipecahkan beberapa kali. Meskipun teknik ini mudah tetapi teknik iterasi eksplisit lebih sering diterapkan [Fausett, 999]. Dengan teknik ini persamaan (-) kita atur sehingga mempunai bentuk, = f(x) - p(x, ) q(x, ) (-57) Setelah dan diaproksimasikan dengan perbedaan hingga kita dapatkan i+ i + i h i+ i = f(x i ) p(x i, i ) q(x i, i )i h (-58) Dengan mengatur (-58) i dapat diekspresikan secara eksplisit i+ i i+ + i h f(x i ) + hp(x i, i ) + h q(x i, i )i i = (-59) Atau jika kita tambahkan ω i pada ke dua sisi [ + 4ω + h f(x ) + hp(x, )( ) h q(x, ] i = 4( + ω) i+ i i i i i i+ i + i i )i (-6) i baru dapat dihitung dari i lama pada sebelah kanan (-6), atau
22 P.B. Kosasih PDB nilai batas 438 (k) (k) (k) (k) (k) (k) (k) (k) [ + 4ω + h f(x i ) + hp(x i, )( ) h q(x i, ] (k+ ) i = i i i- i i i- + i ) 4( + ω) + + i (-6) Proses iterasi ini dilanjutkan sampai kriteria konvergensi tercapai. Salah satu kriteria konvergensi ang biasa digunakan adalah k + k i i < ε (-6) CONTOH Pecahkan PDB non-linier berikut(diambil dari Hoffman, 99) + ( + ) + ( + ) = Antara [,] dengan kondisi batas, () = dan () =. p(x,) = q(x,) = + dan f(x) =. Gunakan metode perbedaan hingga eksplisit dengan h =, dengan aproksimasi awal i untuk i = -9 ang didapat dalam bentuk linier = [,,,,,3,,4,,5,,6,,7,,8,,9]. secara eksplisit diberikan oleh (-58) ang untuk soal in mempunai bentuk (k) (k) (k) (k) (k) (k) (k) (k) [ + 4ω + h + h(+ )( ) + h ( ] (k+ ) i = i+ i i- i i+ i- + i )i 4( + ω) (k) (k) (k) (k) (k) (k) (k) (k) [ + 4ω +. +.( + )( ) +.( + ] = i + i i- i i+ i- i )i 4( + ω) Hasilna diberikan pada gambar.5.
23 P.B. Kosasih PDB nilai batas 439 Gambar.5 Solusi PDB non-linier dengan metode eksplisit contoh Program MAT_3 memberikan program MATAB metode perbedaan hingga non-linier eksplisit untuk contoh.8 Program MAT_3 Program MATAB metode perbedaan hingga non-linier eksplisit % MAT_3 % PDB non-linier dengan Perbedaan Hingga % Program ini memecahkan PDB nilai batas non-linier dengan batas Dirichlet % secara eksplisit % program untuk contoh.8 % p(x,) = + % q(x,) = + % Definisi problem x = ; xn = ; n = ; max_iter = ; omega =.; tol =.; f =.; % Kondisi batas =.; n =.; h = (xn - x)/n; hh = h*h; x = linspace(x+h,xn-h,n-); ww = /(4.*(+omega)); % Aproksimasi awal secara linier delta = (n - ) / n; lama() = ; lama(n+) = n; baru() = lama(); baru(n+) = lama(n+); for j = :n lama(j) = + delta * (j-); end iter = ; % Iterasi baru
24 P.B. Kosasih PDB nilai batas while (iter <= max_iter) for i = :n p = + lama(i); q = + lama(i); baru(i) = ww * (.*lama(i+) + 4*omega*lama(i) +.*lama(i-)-....*hh*f + h*p*(lama(i+) - lama(i-)) + *hh*q*lama(i)); end if norm(baru - lama) <= tol; disp('convergence has been reached'); xx = [x x xn]; = [baru]; plot(xx,); return; end lama = baru; iter = iter + ; end.8 CONTOH-CONTOH APPIKASI Beberapa contoh problem enjineering ang berupa PDB nilai batas akan kita bahas pada bagian ini CONTOH (Hoffman, 99) Distribusi suhu di dalam dinding pipa (gambar.6) ang dialiri oleh cairan panas dapat ditentukan dengan menggunakan PDB d T dt + = dr r dr Jika suhu pada T() = C dan T(5) = C tentukan distribusi suhu di dalam pipa dengan menggunakan h =. r = r = 5 cairan panas Gambar.6 Aliran cairan panas dalam sebuah pipa Pada contoh ini p(r) = /r, q(r) = dan f(r) =. Persamaan perbedaan hingga untuk problem ini adalah, ht i t i + + ht i+ = ri ri atau 5 5 t i t i + + t i+ = ri ri (C-)
25 P.B. Kosasih PDB nilai batas 44 penerapan (C-) pada i = 4 memberikan SP berikut i = i =,958 i = 3 i = 4,455,96,46,964 t 95,5 t =,385 t 3 t 4 Hasil temperatur diplot pada gambar.7. Gambar.7 Profil temperatur pada pipa CONTOH Besarna lengkungan balok ang tertopang secara sederhana (gambar.8) diberikan oleh PDB d EI dx = qx qx + Dimana q adalah besaran beban seragam, adalah panjang dari balok, I adalah besarna momen inertia penampang balok (untuk penampang persegi I = wh 3 / dimana w adalah lebar dan h tinggi balok) dan E adalah elastisitas modulus. Untuk balok dengan E = kn/m, = m, w = 5cm, h = cm dan beban q = 5N/m. I = 4,66x -6 m 4, tentukan distribusi besarna lengkungan (x). Jelas bahwa kondisi batas problem ini adalah kondisi batas Dirichlet () = () =. Dengan menggunakan data-data persamaan PDBna dapat dituliskan Vx = ( x - ) =,8x(x ) (C-) EI
26 P.B. Kosasih PDB nilai batas 44 Dari (C-) tampak bahwa p(x) =, q(x) = dan f(x) =,8 x (x.). Jika balok dibagi dalam interval maka h =,. Hasil ang diperoleh digambarkan pada.9. q w h Gambar.8 Balok tertopang sederhana Gambar.9 Defleksi balok contoh SOA-SOA ATIHAN. Gunakan metode tembak linier dan perbedaan hingga linier untuk memecahkan soalsoal nilai batas berikut (Faires & Burden, 993). PDB Batas Nilai batas solusi analitik h = 4 ( x) [,] () = e, x x () = (x) = (e e ) + x 4, e = + + cos x [,π/] () = -,3 (π/) = -, (x) = -(/) (sin x + 3 cos x) π/4 π/6 + = [,π/4] () = (x) = cos x + ( ) sin x π/ (π/4) = = - (x + ln x)/x [,] () = () = ln (x) = 4x - x - + ln x 3/,5 = + xe x -x [,] () = () = -4 (x) = 3 x 5 x x e xe e, + x 6 3
27 P.B. Kosasih PDB nilai batas 443. Gunakan metode non-linier tembak dan metode perbedaan hingga non-linier untuk memecahkan soal-soal nilai batas berikut (Faires & Burden, 993). PDB Batas Nilai batas solusi analitik h = 3 [,] () =, (x) = () = x + 3 = 3 6 x 3 [,] () =, () = 5 (x) = x + x = + ( ln x) 3 [,] () =, - x () =,5 + ln() (x) = + ln x x = ( ) + e + e x (cos x + sin x) [, π/] () = (π/) = π/ = 3 [,] () = 3 () = - (x) = ln(e x cos x + e x sin x) π/ (x) =,5 x Pecahkan PDB linier dengan kondisi batas derivatif (tpe Neumann) berikut (Hoffman, 99). PDB Batas Nilai batas h = [,] ( =, () = = -4 6,5 + [,] ()=, () = = e x [,] ()=, () = = -( + x) (+ x) + [, ] ()=, () = = -( + x) ( + x) + e x/ + + x [,] ()= () =,5.4 Pecahkan PDB linier dengan kondisi batas gabung (tpe Robin) berikut (Hoffman, 99). PDB Batas Nilai batas h = -4 6,5 + e x [,] ( =, (),5 () =,5 = [,] ()= (),5 () =,5,.5 Buat program MATAB untuk metode tembak linier dan non-linier.
BAB 1 Konsep Dasar 1
BAB 1 Konsep Dasar 1 BAB Solusi Persamaan Fungsi Polinomial BAB 3 Interpolasi dan Aproksimasi Polinomial 3 BAB 4 Metoda Numeris untuk Sistem Nonlinier 4 BAB 5 Metoda Numeris Untuk Masalah Nilai Awal 5
Lebih terperinciModul 5. METODE BIDANG-PARUH (BISECTION) untuk Solusi Akar PERSAMAAN ALJABAR NON-LINIER TUNGGAL
Modul 5 METODE BIDANG-PARUH (BISECTION) untuk Solusi Akar PERSAMAAN ALJABAR NON-LINIER TUNGGAL A. Pendahuluan Persamaan Aljabar Non-Linier Tunggal atau PANLT merupakan sembarang fungsi atau persamaan aljabar
Lebih terperinciModul 8. METODE SECANT untuk Solusi Akar PERSAMAAN ALJABAR NON-LINIER TUNGGAL. A. Pendahuluan
Modul 8 METODE SECANT untuk Solusi Akar PERSAMAAN ALJABAR NON-LINIER TUNGGAL A. Pendahuluan Pada modul 7 terdahulu, telah dijelaskan tentang keunggulan komparatif Metode Newton-Raphson dibanding metode-metode
Lebih terperinciPERBANDINGAN BEBERAPA METODE NUMERIK DALAM MENGHITUNG NILAI PI
PERBANDINGAN BEBERAPA METODE NUMERIK DALAM MENGHITUNG NILAI PI Perbandingan Beberapa Metode Numerik dalam Menghitung Nilai Pi Aditya Agung Putra (13510010)1 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik
Lebih terperinciMETODE FINITE-DIFFERENCE UNTUK PROBLEM LINEAR
METODE FINITE-DIFFERENCE UNTUK PROBLEM LINEAR Dr. Eng. Supriyanto, M.Sc Lab. Komputer, Departemen Fisika, Universitas Indonesia email: supri@fisika.ui.ac.id atau supri92@gmail.com November 12, 2006 Suatu
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Persamaan diferensial adalah suatu persamaan diantara derivatif-derivatif yang dispesifikasikan pada suatu fungsi yang tidak diketahui nilainya dan diketahui jumlah
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
6 BAB LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dibahas beberapa konsep dasar ang akan digunakan sebagai landasan berpikir seperti beberapa teorema dan definisi ang berkaitan dengan penelitian ini. Dengan begitu
Lebih terperinciKuliah 07 Persamaan Diferensial Ordinari Problem Kondisi Batas (PDOPKB)
Kuliah 07 Persamaan Diferensial Ordinari Problem Kondisi Batas (PDOPKB) Persamaan diferensial satu variabel bebas (ordinari) orde dua disebut juga sebagai Problem Kondisi Batas. Hal ini disebabkan persamaan
Lebih terperinciPENGANTAR MATEMATIKA TEKNIK 1. By : Suthami A
PENGANTAR MATEMATIKA TEKNIK 1 By : Suthami A MATEMATIKA TEKNIK 1??? MATEMATIKA TEKNIK 1??? MATEMATIKA TEKNIK Matematika sebagai ilmu dasar yang digunakan sebagai alat pemecahan masalah di bidang keteknikan
Lebih terperinciMA1201 KALKULUS 2A Do maths and you see the world
Catatan Kuliah MA20 KALKULUS 2A Do maths and you see the world disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 203 Catatan kuliah ini ditulis
Lebih terperinciMODUL MATEMATIKA II. Oleh: Dr. Eng. LILYA SUSANTI
MODUL MATEMATIKA II Oleh: Dr. Eng. LILYA SUSANTI DEPARTEMEN RISET TEKNOLOGI DAN PENDIDIKAN TINGGI UNIVERSITAS BRAWIJAYA FAKULTAS TEKNIK JURUSAN TEKNIK SIPIL KATA PENGANTAR Puji sukur kehadirat Allah SWT
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Persamaan diferensial berperan penting dalam kehidupan, sebab banyak permasalahan pada dunia nyata dapat dimodelkan dengan bentuk persamaan diferensial. Ada dua jenis
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Metode Beda Hingga Metode perbedaan beda hingga adalah metode yang sangat popular. Pada intinya metode ini mengubah masalah Persamaan Differensial Biasa (PDB) nilai batas dari
Lebih terperinciPersamaan Poisson. Fisika Komputasi. Irwan Ary Dharmawan
(Pendahuluan) 1D untuk syarat batas Robin 2D dengan syarat batas Dirichlet Fisika Komputasi Jurusan Fisika Universitas Padjadjaran http://phys.unpad.ac.id/jurusan/staff/dharmawan email : dharmawan@phys.unpad.ac.id
Lebih terperinciAnalisa Numerik. Teknik Sipil. 1.1 Deret Taylor, Teorema Taylor dan Teorema Nilai Tengah. 3x 2 x 3 + 2x 2 x + 1, f (n) (c) = n!
Analisa Numerik Teknik Sipil 1 PENDAHULUAN 1.1 Deret Taylor, Teorema Taylor dan Teorema Nilai Tengah Dalam matematika, dikenal adanya fungsi transenden (fungsi eksponen, logaritma natural, invers dan sebagainya),
Lebih terperinciUJI KONVERGENSI. Januari Tim Dosen Kalkulus 2 TPB ITK
UJI KONVERGENSI Januari 208 Tim Dosen Kalkulus 2 TPB ITK Uji Integral Teorema 3 Jika + k= u k adalah deret dengan suku-suku tak negatif, dan jika ada suatu konstanta M sedemikian hingga s n = u + u 2 +
Lebih terperinciBAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
BAB TINJAUAN PUSTAKA.1 Model Aliran Dua-Fase Nonekulibrium pada Media Berpori Penelitian ini merupakan kajian ulang terhadap penelitian yang telah dilakukan oleh Juanes (008), dalam tulisannya yang berjudul
Lebih terperinciAPLIKASI METODE BEDA HINGGA PADA PERSAMAAN SCHRöDINGER MENGGUNAKAN MATLAB ABSTRAK
APLIKASI METODE BEDA HINGGA PADA PERSAMAAN SCHRöDINGER MENGGUNAKAN MATLAB Odaligo Ziduhu Lombu 1, Tua Raja Simbolon 2, Tenang Ginting 3 1 Mahasiswa FISIKA FMIPA USU 2,3 Dosen Pembimbing FISIKA FMIPA USU
Lebih terperinciBAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK
BAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK Tujuan Instruksional Setelah mempelajari bab ini pembaca diharapkan dapat: 1. Menjelaskan cara penyelesaian soal dengan
Lebih terperinciModul Praktikum Analisis Numerik
Modul Praktikum Analisis Numerik (Versi Beta 1.2) Mohammad Jamhuri UIN Malang December 2, 2013 Mohammad Jamhuri (UIN Malang) Modul Praktikum Analisis Numerik December 2, 2013 1 / 18 Praktikum 1: Deret
Lebih terperinciModul Praktikum Analisis Numerik
Modul Praktikum Analisis Numerik (Versi Beta 1.2) Mohammad Jamhuri UIN Malang September 27, 2013 Mohammad Jamhuri (UIN Malang) Modul Praktikum Analisis Numerik September 27, 2013 1 / 12 Praktikum 1: Deret
Lebih terperinciSEBUAH VARIASI BARU METODE NEWTON BERDASARKAN TRAPESIUM KOMPOSIT ABSTRACT
SEBUAH VARIASI BARU METODE NEWTON BERDASARKAN TRAPESIUM KOMPOSIT Vera Alvionita Harahap 1, Asmara Karma 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Lebih terperinciMODIFIKASI METODE RUNGE-KUTTA ORDE-4 KUTTA BERDASARKAN RATA-RATA HARMONIK TUGAS AKHIR. Oleh : EKA PUTRI ARDIANTI
MODIFIKASI METODE RUNGE-KUTTA ORDE-4 KUTTA BERDASARKAN RATA-RATA HARMONIK TUGAS AKHIR Diajukan sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains pada Jurusan Matematika Oleh : EKA PUTRI ARDIANTI
Lebih terperinciDIKTAT PRAKTIKUM METODE NUMERIK
DIKTAT PRAKTIKUM METODE NUMERIK LABORATORIUM KOMPUTER PROGRAM STUDI FISIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS PADJADJARAN 2014 KATA PENGANTAR Diktat ini disusun untuk pedoman dalam
Lebih terperinciMA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegral
MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegralan Do maths and you see the world Integral atau Anti-turunan? Integral atau pengintegral adalah salah satu konsep (penting) dalam matematika disamping
Lebih terperinciFungsi Peubah Banyak. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Fungsi Peubah Banak Prof. Dr. Bambang Soedijono PENDAHULUAN D alam modul ini dibahas masalah Fungsi Peubah Banak. Dengan sendirina para pengguna modul ini dituntut telah menguasai pengertian mengenai
Lebih terperinciMASALAH SYARAT BATAS (MSB)
Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Unmuh Ponorogo PENDAHULUAN MODEL KABEL MENGGANTUNG DEFINISI MSB Persamaan diferensial (PD) dikatakan berdimensi 1 jika domainnya berupa himpunan bagian pada R 1.
Lebih terperinciBANK SOAL METODE KOMPUTASI
BANK SOAL METODE KOMPUTASI 006 iv DAFTAR ISI Halaman Bio Data Singkat Penulis.. Kata Pengantar Daftar Isi i iii iv Pengantar... Kesalahan Bilangan Pendekatan... 6 Akar-akar Persamaan Tidak Linier.....
Lebih terperinciPAM 252 Metode Numerik Bab 4 Pencocokan Kurva
PAM 252 Metode Numerik Bab 4 Pencocokan Kurva Mahdhivan Syafwan Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas Semester Genap 2013/2014 1 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Pencocokan Kurva Permasalahan dan
Lebih terperinciPerbandingan Skema Numerik Metode Finite Difference dan Spectral
Jurnal Ilmiah Teknologi dan Informasia ASIA (JITIKA) Vol.10, No.2, Agustus 2016 ISSN: 0852-730X Perbandingan Skema Numerik Metode Finite Difference dan Spectral Lukman Hakim 1, Azwar Riza Habibi 2 STMIK
Lebih terperinciMA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegral
MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegralan Do maths and you see the world Integral atau Anti-turunan? Integral atau pengintegral adalah salah satu konsep (penting) dalam matematika disamping
Lebih terperinciIlustrasi Persoalan Matematika
Pendahuluan Persoalan yang melibatkan model matematika banyak muncul dalam berbagai disiplin ilmu pengetahuan, seperti dalam bidang fisika, kimia, ekonomi, atau pada persoalan rekayasa (engineering), seperti
Lebih terperinciBAB 1 Konsep Dasar 1
BAB 1 Konsep Dasar 1 BAB 2 Solusi Persamaan Fungsi Polinomial 2 BAB 3 Interpolasi dan Aproksimasi Polinomial 3 BAB 4 Metoda Numeris untuk Sistem Nonlinier 4 BAB 5 Metoda Numeris Untuk Masalah Nilai Awal
Lebih terperinciKunci Jawaban Quis 1 (Bab 1,2 dan 3) tipe 1
Kunci Jawaban Quis (Bab,2 dan 3) tipe. Tentukan representasi deret Taylor dari f(x) = ln( + x) di sekitar a =. Tuliskan sampai turunan ke 5. Kemudian estimasilah ln(.2) dengan menggunakan deret Taylor
Lebih terperinciPENDAHULUAN METODE NUMERIK
PENDAHULUAN METODE NUMERIK TATA TERTIB KULIAH 1. Bobot Kuliah 3 SKS 2. Keterlambatan masuk kuliah maksimal 30 menit dari jam masuk kuliah 3. Selama kuliah tertib dan taat aturan 4. Dilarang makan dan minum
Lebih terperinciBAB PDB Linier Order Satu
BAB 1 Konsep Dasar 1 BAB PDB Linier Order Satu BAB 3 Aplikasi PDB Order Satu 3 BAB 4 PDB Linier Order Dua Untuk memulai pembahasan ini terlebih dahulu akan ditinjau beberapa teorema tentang konsep umum
Lebih terperinciBAB I ARTI PENTING ANALISIS NUMERIK
BAB I ARTI PENTING ANALISIS NUMERIK Pendahuluan Di dalam proses penyelesaian masalah yang berhubungan dengan bidang sains, teknik, ekonomi dan bidang lainnya, sebuah gejala fisis pertama-tama harus digambarkan
Lebih terperinciBAB III HASIL DAN PEMBAHASAN. analitik dengan metode variabel terpisah. Selanjutnya penyelesaian analitik dari
BAB III HASIL DAN PEMBAHASAN Pada bab ini akan dibahas penurunan model persamaan panas dimensi satu. Setelah itu akan ditentukan penyelesaian persamaan panas dimensi satu secara analitik dengan metode
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Didunia nyata banyak soal matematika yang harus dimodelkan terlebih dahulu untuk mempermudah mencari solusinya. Di antara model-model tersebut dapat berbentuk sistem
Lebih terperinciPertemuan 1 dan 2 KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL
Pertemuan 1 dan 2 KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL A. PENGERTIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL Dalam pelajaran kalkulus, kita telah berkenalan dan mengkaji berbagai macam metode untuk mendiferensialkan suatu
Lebih terperinciFakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya Pekanbaru (28293), Indonesia.
METODE SIMPSON-LIKE TERKOREKSI Ilis Suryani, M. Imran, Asmara Karma Mahasiswa Program Studi S Matematika Laboratorium Matematika Terapan, Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Lebih terperinciPENERAPAN METODE ELEMEN HINGGA UNTUK SOLUSI PERSAMAAN STURM-LIOUVILLE
PENERAPAN METODE ELEMEN HINGGA UNTUK SOLUSI PERSAMAAN STURM-LIOUVILLE Viska Noviantri Mathematics & Statistics Department, School of Computer Science, Binus University Jln. K.H. Syahdan No. 9, Palmerah,
Lebih terperinciFungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran.
4 INTEGRAL Definisi 4.0. Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika untuk setiap D. F () f() Fungsi integral tak tentu f dinotasikan dengan f ( ) d dan f () dinamakan
Lebih terperinciUNNES Journal of Mathematics
UJM (1) 2017 UNNES Journal of Mathematics http://journal.unnes.ac.id/sju/index.php/ujm PENERAPAN METODE NEWTON-COTES OPEN FORM 5 TITIK UNTUK MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN NONLINIER M Ziaul Arif, Yasmin
Lebih terperinci1 Penyelesaian Persamaan Nonlinear
1 Penyelesaian Persamaan Nonlinear Diberikan fungsi kontinu f (x). Setiap bilangan c pada domain f yang memenuhi f (c) = 0 disebut akar persamaan f (x) = 0, atau disebut juga pembuat nol fungsi f. Dalam
Lebih terperinciBagian Pertama: Pengantar Metode Numerik BAB I PENDAHULUAN KOMPETENSI LULUSAN KU-1 KU-2 KU-3 KP-1 KP-2 KP-3
Bagian Pertama: Pengantar Metode Numerik TUJUAN PEMBELAJARAN : BAB I PENDAHULUAN KOMPETENSI LULUSAN KU-1 KU- KU- KP-1 KP- KP- Setelah membaca bagian ini, mahasiswa dapat memiliki kemampuan untuk : 1. Memahami
Lebih terperinciTeknik pengintegralan: Integral fungsi pecah rasional (bagian 1)
Teknik pengintegralan: Integral fungsi pecah rasional (bagian 1) Kalkulus 2 Nanang Susyanto Departemen Matematika FMIPA UGM 07 Februari 2017 NS (FMIPA UGM) Teknik pengintegralan 07/02/2017 1 / 8 Pemeran-pemeran
Lebih terperinciPDP linear orde 2 Agus Yodi Gunawan
PDP linear orde 2 Agus Yodi Gunawan Pada bagian ini akan dipelajari tiga jenis persamaan diferensial parsial (PDP) linear orde dua yang biasa dijumpai pada masalah-masalah dunia nyata, yaitu persamaan
Lebih terperinciBAB III PEMODELAN DENGAN METODE VOLUME HINGGA
A III PEMODELAN DENGAN METODE VOLUME HINGGA 3.1 Teori Dasar Metode Volume Hingga Computational fluid dnamic atau CFD merupakan ilmu ang mempelajari tentang analisa aliran fluida, perpindahan panas dan
Lebih terperinciKONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL
KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL A. PENGERTIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL Dalam pelajaran kalkulus, kita telah berkenalan dan mengkaji berbagai macam metode untuk mendiferensialkan suatu fungsi (dasar). Sebagai
Lebih terperinciMETODA NUMERIK (3 SKS)
METODA NUMERIK (3 SKS) Dosen Dr. Julan HERNADI Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Unmuh Ponorogo Masa Perkuliahan Semester Ganjil 2013/2014 Deskripsi dan Tujuan Perkuliahan Mata kuliah ini berisi
Lebih terperinciCONTOH SOLUSI UTS ANUM
CONTOH SOLUSI UTS ANUM 0 Propagasi eror adalah kejadian di mana eror dari operan suatu komputasi sederhana memberikan eror yang lebih besar pada hasil komputasi tersebut. Misalnya, eror awal suatu representasi
Lebih terperinciPAM 252 Metode Numerik Bab 5 Turunan Numerik
Pendahuluan PAM 252 Metode Numerik Bab 5 Turunan Numerik Mahdhivan Syafwan Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas Semester Genap 2013/2014 1 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Turunan Numerik Permasalahan
Lebih terperinciPERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER NON HOMOGEN
LINIER NON HOMOGEN Contoh PD linier non homogen orde 2. Bentuk umum persamaan PD Linier Non Homogen Orde 2, adalah sebagai berikut : y + f(x) y + g(x) y = r(x) ( 2-35) Solusi umum y(x) akan didapatkan
Lebih terperinciBAB III KONDUKSI ALIRAN STEDI - DIMENSI BANYAK
BAB III KONDUKSI ALIRAN SEDI - DIMENSI BANYAK Untuk aliran stedi tanpa pembangkitan panas, persamaan Laplacenya adalah: + y 0 (6-) Aliran kalor pada arah dan y bisa dihitung dengan persamaan Fourier: q
Lebih terperinciPertemuan I Mencari Akar dari Fungsi Transendental
Pertemuan I Mencari Akar dari Fungsi Transendental Daftar Isi: 1.1 Tujuan Perkuliahan 1. Pendahuluan 1.3 Metoda Bisection 1.3.1 Definisi 1.3. Komputasi mencari akar 1.3.3 Ilustrasi 1.4 Metoda Newton-Raphson
Lebih terperinciBAB II ISI ( ) (sumber:
BAB II ISI A. Permasalahan yang Diberikan Soal saudara dalam UTS ini harus terus digunakan untuk mengerjakan tugas proyek ini, yaitu: prediksi sifat-sifat tekanan uap murni suatu fluida hidrokarbon sebagai
Lebih terperinciProgram Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA. 10 Maret 2010
Metode Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA 10 Maret 2010 (Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA) Metode 10 Maret 2010 1 / 16 Ekspansi Taylor Misalkan f 2 C [a, b] dan x 0 2 [a, b], maka untuk
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Matematika merupakan suatu ilmu pengetahuan yang sering disebut sebagai induk dari ilmu-ilmu pengetahuan yang lain. Hal ini karena, matematika banyak diterapkan
Lebih terperinciEFEK DISKRITASI METODE GALERKIN SEMI DISKRET TERHADAP AKURASI DARI SOLUSI MODEL RAMBATAN PANAS TANPA SUKU KONVEKSI
JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER EFEK DISKRITASI METODE GALERKIN SEMI DISKRET TERHADAP AKURASI DARI SOLUSI MODEL RAMBATAN PANAS TANPA SUKU KONVEKSI Kushartantya dan Awalina Kurniastuti Jurusan Matematika
Lebih terperinciBAB 1 PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDER SATU
BAB PERSAAA DIFERESIAL ORDER SATU PEDAHULUA Persamaan Diferensial adalah salah satu cabang ilmu matematika ang banak digunakan dalam memahami permasalahan-permasalahan di bidang fisika dan teknik Persamaan
Lebih terperinciMETODE ITERASI BARU BERTIPE SECANT DENGAN KEKONVERGENAN SUPER-LINEAR. Rino Martino 1 ABSTRACT
METODE ITERASI BARU BERTIPE SECANT DENGAN KEKONVERGENAN SUPER-LINEAR Rino Martino 1 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya
Lebih terperinciBab 9 DEFLEKSI ELASTIS BALOK
Bab 9 DEFLEKSI ELASTIS BALOK Tinjauan Instruksional Khusus: Mahasiswa diharapkan mampu memahami konsep dasar defleksi (lendutan) pada balok, memahami metode-metode penentuan defleksi dan dapat menerapkan
Lebih terperinciSimulasi Perpindahan Panas pada Lapisan Tengah Pelat Menggunakan Metode Elemen Hingga
JURNAL SAINS DAN SENI ITS Vol. 4, No.2, (2015) 2337-3520 (2301-928X Print) A-13 Simulasi Perpindahan Panas pada Lapisan Tengah Pelat Menggunakan Metode Elemen Hingga Vimala Rachmawati dan Kamiran Jurusan
Lebih terperinciFUNGSI-FUNGSI INVERS
FUNGSI-FUNGSI INVERS Logaritma, Eksponen, Trigonometri Invers Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 202 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 202 / 49 Topik Bahasan Fungsi Satu ke Satu 2
Lebih terperinciKalkulus Diferensial week 09. W. Rofianto, ST, MSi
Kalkulus Diferensial week 09 W. Rofianto, ST, MSi Tingkat Perubahan Rata-rata Jakarta Km 0 jam Bandung Km 140 Kecepatan rata-rata s t 140Km jam 70Km / jam Konsep Diferensiasi Bentuk y/ disebut difference
Lebih terperinciFIsika KTSP & K-13 KESEIMBANGAN BENDA TEGAR. K e l a s. A. Syarat Keseimbangan Benda Tegar
KTSP & K-1 FIsika K e l a s XI KESEIMNGN END TEG Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami sarat keseimbangan benda tegar.. Memahami macam-macam
Lebih terperinciBAB 1. KONSEP DASAR. d y ; 3x = d3 y ; y = 3 d y ; x = @u @z 5 6. d y = 7 y x Dalam bahan ajar ini pemba
BAB 1 Konsep Dasar 1.1 Klasikasi Persamaan Difrensial Pada umumnya dikenal dua jenis persamaan difrensial yaitu Persamaan Difrensial Biasa (PDB) dan Persamaan Difrensial Parsial (PDP). Untuk mengetahui
Lebih terperinciBAB III PERSAMAAN DIFUSI, PERSAMAAN KONVEKSI DIFUSI, DAN METODE PEMISAHAN VARIABEL
BAB III PERSAMAAN DIFUSI, PERSAMAAN KONVEKSI DIFUSI, DAN METODE PEMISAHAN VARIABEL Dalam menyelesaikan persamaan pada tugas akhir ini terdapat beberapa teori dasar yang digunakan. Oleh karena itu, pada
Lebih terperinciBAB IV MENGHITUNG AKAR-AKAR PERSAMAAN
1 BAB IV MENGHITUNG AKAR-AKAR PERSAMAAN Dalam banyak usaha pemecahan permasalahan, seringkali harus diselesaikan dengan menggunakan persamaan-persamaan matematis, baik persamaan linier, persamaan kuadrat,
Lebih terperinciNurdinintya Athari PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 2
Nurdininta Athari PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 2 2 PDB ORDE II Bentuk umum : + p() + g() = r() p(), g() disebut koefisien jika r() = 0, maka Persamaan Differensial diatas disebut homogen, sebalikna disebut
Lebih terperinciBAB I KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL
BAB I KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL Tujuan Instruksional: Mampu memahami definisi Persamaan Diferensial Mampu memahami klasifikasi Persamaan Diferensial Mampu memahami bentuk bentuk solusi Persamaan
Lebih terperinciRingkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1
Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB Deret Tak Hingga Pada bagian ini akan dibicarakan penjumlahan berbentuk a +a 2 + +a n + dengan a n R Sebelumnya akan dibahas terlebih dahulu pengertian barisan
Lebih terperinciTEKNIK ITERASI VARIASIONAL UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR ABSTRACT
TEKNIK ITERASI VARIASIONAL UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR Koko Saputra 1, Supriadi Putra 2, Zulkarnain 2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Laboratorium Matematika Terapan, Jurusan Matematika
Lebih terperinciPecahan Parsial (Partial Fractions)
oki neswan (fmipa-itb) Pecahan Parsial (Partial Fractions) Diberikan fungsi rasional f (x) p(x) q(x) f (x) r(x) : Jika deg p deg q; maka r (x) ^p (x) q(x) ; dengan deg r < deg q: p (x) q (x) r (x) ^p (x)
Lebih terperinciBAB 2 PENYELESAIAN PERSAMAAN TAKLINIER
BAB 2 PENYELESAIAN PERSAMAAN TAKLINIER Persamaan taklinier sudah diperkenalkan sejak di sekolah menengah, diataranya persamaan kuadrat, persamaan trigonometri dan persamaan yang memuat logaritma atau eksponen.
Lebih terperinciMetode Beda Hingga untuk Penyelesaian Persamaan Diferensial Parsial
Metode Beda Hingga untuk Penyelesaian Persamaan Diferensial Parsial Ikhsan Maulidi Jurusan Matematika,Universitas Syiah Kuala, ikhsanmaulidi@rocketmail.com Abstract Artikel ini membahas tentang salah satu
Lebih terperinciPenentuan Distribusi Suhu pada Permukaan Geometri Tak Tentu Menggunakan Metode Random Walk Balduyanus Yosep Godja a), Andi Ihwan a)*, Apriansyah b)
POSITRON, Vol. VI, No. 1 (1), Hal. 17 - ISSN : 1-9 Penentuan Distribusi Suhu pada Permukaan Geometri Tak Tentu Menggunakan Metode Random Walk Balduanus Yosep Godja a), Andi Ihwan a)*, Apriansah b) a Jurusan
Lebih terperinciHUBUNGAN ANTARA DIFFERENSIAL DAN INTEGRAL
HUBUNGAN ANTARA DIFFERENSIAL DAN INTEGRAL Dra.Sri Rejeki Dwi Putranti, M.Kes. Fakultas Teknik - Universitaas Yos Soedarso Surabaya Email : riccayusticia@gmail.com Abstrak Hubungan antara Differensial dan
Lebih terperinciBab 10 BALOK ELASTIS STATIS TAK TENTU
ab 1 OK ESTIS STTIS TK TENTU Tinjauan Instruksional Khusus ahasiswa diharapkan mampu memahami dan melakukan analisis gaa-gaa pada sistem konstruksi balok elastis dimana jumlah reaksi-reaksi ang tidak diketahui
Lebih terperinciDERET FOURIER. n = bilangan asli (1,2,3,4,5,.) L = pertemuan titik. Bilangan-bilangan untuk,,,, disebut koefisien fourier dari f(x) dalam (-L,L)
DERET FOURIER Bila f adalah fungsi periodic yang berperioda p, maka f adalah fungsi periodic. Berperiode n, dimana n adalah bilangan asli positif (+). Untuk setiap bilangan asli positif fungsi yang didefinisikan
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Pengantar Pada bab ini akan diuraikan beberapa landasan teori untuk menunjang penulisan skripsi ini. Uraian ini terdiri dari beberapa bagian yang akan dipaparkan secara terperinci
Lebih terperinciBarisan dan Deret Agus Yodi Gunawan
Barisan dan Deret Agus Yodi Gunawan Barisan. Definisi. Barisan tak hingga adalah suatu fungsi dengan daerah asalnya himpunan bilangan bulat positif dan daerah kawannya himpunan bilangan real. Notasi untuk
Lebih terperinciRespect, Professionalism, & Entrepreneurship. Mata Kuliah : Mekanika Bahan Kode : TSP 205. Analisis Penampang. Pertemuan 4, 5, 6
Mata Kuliah : Mekanika Bahan Kode : TSP 05 SKS : SKS nalisis Penampang Pertemuan 4, 5, 6 TU : Mahasiswa dapat menghitung properti dasar penampang, seperti luas, momen statis, momen inersia TK : Mahasiswa
Lebih terperinciMETODE NUMERIK. Akar Persamaan (1) Pertemuan ke - 3. Rinci Kembang Hapsari, S.Si, M.Kom
METODE NUMERIK Pertemuan ke - 3 Akar Persamaan (1) Metode Akar Persamaan Metode Grafik Metode Tabulasi Metode Setengah Interval Metode Regula Falsi Metode Newton Rephson Metode Iterasi bentuk x = g(x)
Lebih terperinciBAB 5 TEOREMA SISA. Menggunakan aturan sukubanyak dalam penyelesaian masalah. Kompetensi Dasar
Standar Kompetensi BAB 5 TEOREMA SISA Menggunakan aturan sukubanyak dalam penyelesaian masalah. Kompetensi Dasar Menggunakan algoritma pembagian sukubanyak untuk menentukan hasil bagi dan sisa pembagian
Lebih terperinciSOLUSI PENYEBARAN PANAS PADA BATANG KONDUKTOR MENGGUNAKAN METODE CRANK-NICHOLSON
SOLUSI PENYEBARAN PANAS PADA BATANG KONDUKTOR MENGGUNAKAN METODE CRANK-NICHOLSON Viska Noviantri Mathematics & Statistics Department, School of Computer Science, Binus University Jl. K.H. Syahdan No. 9,
Lebih terperinciBAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Umum Perpindahan panas adalah perpindahan energi yang terjadi pada benda atau material yang bersuhu tinggi ke benda atau material yang bersuhu rendah, hingga tercapainya kesetimbangan
Lebih terperinciKAJIAN DISKRETISASI DENGAN METODE GALERKIN SEMI DISKRET TERHADAP EFISIENSI SOLUSI MODEL RAMBATAN PANAS TANPA SUKU KONVEKSI
KAJIAN DISKRETISASI DENGAN METODE GALERKIN SEMI DISKRET TERHADAP EFISIENSI SOLUSI MODEL RAMBATAN PANAS TANPA SUKU KONVEKSI Suhartono dan Solikhin Zaki Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Abstrak Penelitian
Lebih terperinciPendahuluan Metode Numerik Secara Umum
Pendahuluan Metode Numerik Secara Umum Pendahuluan Persoalan yang melibatkan model matematika banyak muncul dalam berbagai disiplin ilmu pengetahuan (bidang fisika, kimia, Teknik Sipil, Teknik Mesin, Elektro
Lebih terperinciPersamaan Diferensial Orde Satu
Modul Persamaan Diferensial Orde Satu P PENDAHULUAN Prof. SM. Nababan, Ph. ersamaan Diferensial (PD) adalah salah satu cabang matematika ang banak digunakan untuk menjelaskan masalah-masalah fisis. Masalahmasalah
Lebih terperinciBab 1. Pendahuluan Metode Numerik Secara Umum
Bab 1. Pendahuluan Metode Numerik Secara Umum Yuliana Setiowati Politeknik Elektronika Negeri Surabaya 2007 1 Topik Pendahuluan Persoalan matematika Metode Analitik vs Metode Numerik Contoh Penyelesaian
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Transformasi Laplace Salah satu cara untuk menganalisis gejala peralihan (transien) adalah menggunakan transformasi Laplace, yaitu pengubahan suatu fungsi waktu f(t) menjadi
Lebih terperinciCNH2B4 / KOMPUTASI NUMERIK
CNH2B4 / KOMPUTASI NUMERIK TIM DOSEN KK MODELING AND COMPUTATIONAL EXPERIMENT 1 REVIEW KALKULUS & KONSEP ERROR Fungsi Misalkan A adalah himpunan bilangan. Fungsi f dengan domain A adalah sebuah aturan
Lebih terperinciRingkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 36
Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 36 Irisan Kerucut animation 1 animation 2 Irisan kerucut adalah kurva ang terbentuk dari perpotongan antara sebuah kerucut dengan bidang datar. Kurva irisan ini
Lebih terperinciInterpolasi dan Ekstrapolasi
Interpolasi dan Ekstrapolasi JURNAL 01 Didalam pengertian matematika dasar, interpolasi adalah perkiran suatu nilai tengah dari satu set nilai yang diketahui. Interpoloasi dalam arti luas merupakan upaya
Lebih terperinciSistem Persamaan Linier FTI-UY
BAB V Sistem Persamaan Linier Salah satu hal penting dalam aljabar linear dan dalam banak masalah matematika terapan adalah menelesaikan suatu sistem persamaan linear. Representasi Sistem Persamaan Linear
Lebih terperinciPendahuluan Metode Numerik Secara Umum
Pendahuluan Metode Numerik Secara Umum Umi Sa adah Politeknik Elektronika Negeri Surabaya 2012 Pendahuluan Persoalan yang melibatkan model matematika banyak muncul dalam berbagai disiplin ilmu pengetahuan
Lebih terperinciPENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 1 - I
PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 1 - I 1. Pendahuluan Pengertian Persamaan Diferensial Metoda Penyelesaian -contoh Aplikasi 1 1.1. Pengertian Persamaan Differensial Secara Garis Besar Persamaan
Lebih terperinciMOTIVASI. Secara umum permasalahan dalam sains dan teknologi digambarkan dalam persamaan matematika Solusi persamaan : 1. analitis 2.
KOMPUTASI NUMERIS Teknik dan cara menyelesaikan masalah matematika dengan pengoperasian hitungan Mencakup sejumlah besar perhitungan aritmatika yang sangat banyak dan menjemukan Diperlukan komputer MOTIVASI
Lebih terperinci