FI Mekanika B Sem. 7- Pekan #3 Osilasi Persamaan diferensial linear Misal kia memiliki sebuah fungsi berganung waku (. Persamaan diferensial linear dalam adalah persamaan yang mengandung variabel dan urunannya erhadap waku dalam benuk pangka sau. Conohnya, ẍ + ẋ + 3 =. Jika ruas kanan persamaan ersebu bernilai nol, maka kia sebu sebagai persamaan diferensial homogen, jika sebaliknya kia sebu persamaan diferensial akhomogen. Secara umum persamaan diferensial dapa memiliki lebih dari sau solusi. Pada persamaan diferensial linear, jumlah dari solusi-solusinya juga merupakan solusi. Misalnya, jika ( dan ( masing-masing adalah solusi dari persamaan diferensial ẍ + ẋ + 3 =, maka 3 = + juga merupakan solusi. Sebagai buki, kia subsiusikan 3 ke persamaan diferensial ersebu, = ẍ 3 + ẋ 3 + 3 3 = (ẍ + ẍ + (ẋ + ẋ + 3 ( + = (ẍ + ẋ + 3 + (ẍ }{{} + ẋ + 3 }{{} ( Osilasi harmonik sederhana Tinjau sebuah benda yang erika pada salah sau ujung pegas horizonal dan ujung lainnya menempel pada dinding. Posisi benda saa pegas dalam keadaan eregang maupun erekan kia andai sebagai posisi seimbang dan =. Jika kemudian benda disimpangkan sediki sejauh dari posisi seimbangnya, maka pegas akan memberikan gaya arik aau dorong F = k, dengan k konsana pegas. Menuru hukum kedua Newon, F = ma mẍ + k =. ( Baik fungsi sinus maupun cosinus memenuhi persamaan difernsial di aas. umumnya dapa berupa penjumlahan dari kedua fungsi ersebu. Sehingga solusi ( = A cos (ω + φ + B sin (ω + φ, (3 k dengan A dan B merupakan konsana yang berkaian dengan ampliudo osilasi, ω = m, dan konsana φ sudu fasa yang berganung pada posisi awal benda. Lebih lanju, jumlahan fungsi sinus dan cosinus dapa kia nyaakan dalam benuk fungsi sinus saja aau cosinus saja. Misalnya, jika kia ingin mengubah solusi di aas menjadi benuk cosinus, kia nyaakan A dan B sebagai A = C cos β dan B = C sin β, ( sehingga solusi di aas berubah menjadi 3 Osilasi eredam ( = C cos β cos (ω + φ + C sin β sin (ω + φ = C cos (ω + φ β. (5 Sekarang, mari kia injau pegas yang berosilasi di aas permukaan lanai yang daar dan kasar. Anggaplah besar gaya gesek anara benda dengan lanai sebanding dengan kecepaan benda, F gesek = bv = bẋ, ( updae: 5 Sepember 7 halaman
FI Mekanika B Sem. 7- dengan b suau konsana. Persamaan gerak benda menjadi aau dapa dibua lebih ringkas sebagai ΣF = k bv = ma mẍ + bẋ + k =, (7 ẍ + γẋ + ω =, ( dengan γ = b/m. Terliha bahwa persamaan gerak benda masih berupa persamaan diferensial linear. Fakor redaman diwakili oleh konsana γ, dengan semakin besar nilai γ berari semakin besar gesekan yang dialami benda. Semenara iu, cepa lambanya gerakan osilasi benda dienukan oleh seberapa besar nilai ω, semakin besar ω berari semakin cepa gerakan osilasi benda. Meliha benuk persamaan (, solusi yang paling mudah adalah jika, ẋ dan ẍ berupa fungsi yang sama benuknya. Sau-saunya fungsi yang berbenuk sama dengan urunan-urunannya adalah fungsi eksponensial. Jadi sebagai ebakan awal, kia ambil solusi berbenuk ( = Ae α, dengan A dan α adalah konsana. Subsiusikan fungsi ersebu ke persamaan diferensial di aas, α Ae α + γαae α + ω Ae α = Persamaan di aas memberi kia nilai konsana α, α + γα + ω =. (9 α, = γ ± γ ω. ( Jadi, baik Ae α maupun Be α, dengan B konsana yang dapa berbeda dengan A, merupakan solusi. Karena persamaan diferensial kia linear, maka kedua solusi dapa dijumlahkan unuk membenuk solusi umum ( = e γ ( Ae Ω + Be Ω, ( dengan Ω γ ω. Terdapa iga kasus yang berkaian dengan nilai γ dan ω, yaiu kasus dengan γω (yang berari redaman mendominasi osilasi, γ < ω (osilasi mendominasi redaman, dan γ = ω. Mari kia injau sau per sau. Kasus : γ < ω (underdamping. Pada kasus ini, fakor redaman lebih kecil dibanding frekuensi osilasi. Secara maemais, nilai Ω menjadi imajiner sehingga fungsi ( menjadi berbenuk ( = e γ ( Ae iψ + Be iψ = e γ C cos (ψ + φ, ( dengan ψ = ω γ. Baris erakhir diperoleh dengan mengambil A = Ce φ / dan B = Ce φ / dan menginga bahwa cos θ = e iθ + e iθ. Terliha dari persamaan di aas bahwa ( berupa fungsi osilasi dengan frekuensi sudu ψ dan ampliudo yang meluruh erhadap. Semakin besar nilai fakor redaman γ, maka frekuensi osilasi semakin kecil dan ampliudo gearan meluruh lebih cepa. Grafik posisi benda erhadap waku diberikan pada Gambar. Kasus : γ > ω (overdamping. Pada kasus ini, fakor redaman mendominasi osilasi. Solusi ( menjadi berbenuk ( = Ae (γ Ω + Be (γ+ω. (3 Dengan demikian, simpangan benda meluruh anpa mengalami osilasi. updae: 5 Sepember 7 halaman
FI Mekanika B Sem. 7- e-γ cos(ψ e -γ.5.5.5 γ =,5 γ =, γ =,.5.5.5.5 Gambar : Posisi benda pada kasus underdamping (γ < ω. Pada gambar kiri, garis biru adalah posisi benda erhadap waku, sedangkan garis merah menggambarkan ampliudo osilasi yang selalu meluruh erhadap waku. Pada gambar kanan, erliha bahwa jika γ semakin besar, frekuensi osilasi (ψ semakin kecil dan ampliudo osilasi meluruh lebih cepa. Kasus 3: γ = ω. Pada kasus ini, konsana α, γ dan ω sama besar, α = γ = ω, ( sehingga solusi unuk ereduksi menjadi ( = Ae γ. (5 Namun marilah kia periksa apakah iu merupakan sau-saunya solusi. Unuk keperluan ini, kia perumum solusi ebakan kia Aeα dengan mengambil A sebagai fungsi waku A(, sehingga ( = A(e α. ( Subsiusikan persamaan ini ke persamaan (, diperoleh A + (γ + α A + ω + γα + α A =. (7 Karena α = γ = ω, maka persaman ersebu ereduksi menjadi A =. ( Dengan demikian, A haruslah berbenuk fungsi linear erhadap waku A = B aau konsan. Jadi, selain persamaan (5, fungsi ( = Be γ juga merupakan solusi. Dengan demikian, kia peroleh solusi umum unuk kasus ini yang merupakan jumlah dari kedua solusi ( = e γ (A + B. (9 Osilasi paksa Tinjau sebuah benda yang dipaksa mengalami berosilasi oleh gaya berbenuk C = C eiω. Jika benda juga mengalami gesekan (redaman yang sebanding dengan kecepaan, persamaan gerak unuk benda ini akan berbenuk + γ + ω = C eiω. updae: 5 Sepember 7.5 ( halaman 3
FI Mekanika B Sem. 7-.5.5.5 e -γ (e - Ω + e Ω e -γ (A + B.5 Gambar : Grafik posisi benda pada kasus overdamping (merah dan criical damping (biru. Pada kasus criical damping, benda sempa bergerak ke sau sisi, kemudian berbalik arah dan akhirnya simpangannya meluruh seiring waku. Semeara pada kasus overdamping, simpangan benda langsung meluruh menuju iik seimbang di =. Keika C =, yang berari gaya bernilai nol, persamaan di aas akan menjadi persamaan homogen yang menggambarkan kasus osilasi eredam yang elah dibahas di bagian sebelumnya. Karena osilasi dipaksa oleh gaya C dengan dengan frekuensi osilasi ω, maka kia dapa berharap benda akan berosilasi dengan frekuensi yang sama dengan gaya yang memaksanya. Sehingga kia dapa berharap solusi kia akan berbenuk ( = Ae iω. Subsiusikan fungsi ini ke persamaan gerak, menghasilkan ( ω A + γ (iω A + ω A = C, ( yang menghasilkan Sehingga solusi kia menjadi C A = ω ω + iγω. ( ( C ( = ω ω + iγω e iω (3 Solusi umum diperoleh dari solusi di aas diambah dengan solusi homogen pada persamaan (, ( ( = e γ Ae iψ + Be iψ ( C + ω ω + iγω e iω. ( Karena posisi adalah besaran riil, maka kia memilih bagian riil dari solusi di aas. Mula-mula kia uraikan persamaan di aas menjadi ( = e γ [(A + B cos ψ + i(a B sin ψ] [ ( C ω ω iγω ] + ( ω ω + γ ω (cos ω + i sin ω. (5 updae: 5 Sepember 7 halaman
FI Mekanika B Sem. 7- ω = 3, γ =, ω = 3, γ =,5 ω = 7, γ =,.5 /.5.5.5 ω Gambar 3: Pengarus frekuensi alamiah ω dan dan fakor redaman γ erhadap frekuensi resonansi dan ampliudo osilasi /. Terliha bahwa nila γ yang besar membua ampliudo osilasi berkurang dan frekuensi resonansi sama dengan frekuensi ω alamiah ω. Kemudian ambil bagian riilnya, e( = e γ (A + B cos ψ + C ω ω cos ω + γω sin ω. ω ω + γ ω ( Unuk menyederhanakan, kia definisikan A + B C, ω ω cos φ, dan γω sin φ, sehingga persamaan di aas ereduksi menjadi C (cos ω cos φ + sin ω sin φ C = Ce γ cos ψ + cos (ω φ. e( = Ce γ cos ψ + (7 Suku perama p berupa fungsi osilasi dengan ampliudo meluruh seiring waku, dan frekuensi osilasi ψ = ω γ yang nilainya berganung pada konsana pegas, massa benda, dan fakor redaman. Semenara iu, suku kedua adalah fungsi osilasi dengan frekuensi sama dengan frekuensi gaya pemaksa ω. Terliha bahwa pada waku yang cukup lama,, suku perama akan menuju nol dan suku kedua akan menjamin benda benda berosilasi murni, C cos (ω φ. ( q Ampliudo osilasi ini akan maksimum jika nilai = ω ω + γ ω minimum. Kondisi ini disebu resonansi dan erjadi jika r k ω = ω =. (9 m lim e( = Dengan kaa lain, p jika gaya pemaksa memiliki frekuensi yang sama dengan frekuensi alamiah sisem (yaiu k/m, maka ampliudo osilasi akan maksimum. Gambar 3 menggambarkan pengaruh frekuensi alamiah ω dan fakor redaman γ erhadap frekuensi resonansi dan ampliudo osilasi /. updae: 5 Sepember 7 halaman 5