Maeri XII Tujuan :. Mahasiswa dapa memahami menyelesiakan persamaan inegral yang lebih kompleks. Mahasiswa mampunyelesiakan persamaan yang lebih rumi 3. Mahasiswa mengimplemenasikan konsep inegral pada eknik lisrik. dz Tinjaulah inegral z a Dari pembahasan kia enang program inegrasi bagain, kia keahui bahwa penyebunya dapa difakorkan dan karena iu fugnsi ersebu dapa dinyaakan dalam pecahan parsialnya. P Q z (Z )( ) Z Z dimana P dan Q adalah konsana P( Z) Q( Z) mbillah Z P() Q(0) P mbillah Z - P(0) Q( ) Q.. Z Z Z Z... Z. dz.ln(z ).ln(z ) C Z 99
Z.ln. C Z ini dalah hasil perama dari sembilan hasil baku yang akan kia urunkan dalam program ini. da baiknya hal ini dihafalkan, supaya kia idak usah lagi mengulangi pekerjaan dalam iap conoh secara erperinci, seperi akan anda liha nani. Z Kia keahui ln C Z Z Z 4 ln C Z 6 Z 4 8 Z 4 dan ln 3 ( ) (inga, selalu dapa diuliskan sebagai kuadra dari akarnya). Jadi Z S ln C... (i) Z Z 3 C Z 3. Kia punyai ln C Z Z... Z Sehingga :... Z 7 4. Z Z ln. C Z 0 Z Z7 ln. Z 7 Z 7 Z 7 C 00
Sekarang bagaimanakah dengan yang ini? 4 Sekilas ampaknya benuk ini idak ada hubungannya dengan benuk baku aaupun conoh-conoh yang pernah kia kerjakan sampai saa ini, aapi cobalah kia uliskan penyebunya sebagai berikunya : 4 4 (idak ada salahnya diuliskan demikian!) Sekarang dua suku yang perama kia lengkapi agar menjadi benuk kuara, yaiu dengan menambahkan kuadra dari seengah koefisien 4 4 dan enu saja harus kia kurangi lagi dengan bilangan yang sama, yaiu 4, agar idenias ersebu eap beul. 4 4 4 ( ) jadi 4 dapa diuliskan sebagai.... 4 ( ) Kia boleh menuliskan konsana sebagai kuadar dari akhir dari akar, sehingga. 4 ( ) ( nda liha bahwa benuk inegral semula sekarang elah diubah menjadi benuk dz, dalam hal ini Z ( ) dan Z? Benuk baku menyaakan bahwa Z ln C Z Z Subsiusikan pernyaaan Z dan kedalam hasil ini memberikan. ) 0
4 ( ) ( ln C Sekali elah kia peroleh pernyaaan khusus unuk Z dan, selanjunya inggal mensubsiusi pernyaaan ini kedalam hasilnya bakunya. 6. Kia liha sebuah conoh lain. 6 4 Perama-ama lengkapilah dua suku perama penyebunya agar menjadi benuk kuadra dan kemudian kurangi dengan bilangan yang sama. 6 4 6 4 6 3 4 9 ( 3) ( 3) - ( ) Sehingga 6 4 ( 3) ( )... 3 7. ln. C 6 4 3 Yang ini unuk anda sendiri: Tenukanlah 0 8 ) 7 8. ln. C 0 8 7 7 Karena 0 8 0 8 0 8 ( ) 7 0
( ) ( 7 ) ln. 0 8 7 9. Sekarang bagaimana dengan yang ini? 4 gar dapa dijadikan kuadra seperi sebelumnya, koefisien harus sama dengan. Karena iu kia keluarkan fakor dari penyebunya supaya suku kuadarnya menjadi hanya 4 Selanjunya dapa kia eruskan seperi conoh-conoh sebelumnya. 4 4... 4. (Jangan lupa fakor / didepanya) 4 4 7 7 C 0. ln 4 Inilah penyelesaiannya secara erperinci : ikuilah! C 03
C 4. ln. C II. Dengan cara yang sama, marilah kia nemik hasil baku yang kedua dengan meninjau. Z Benuk ini mirip dengan yang adi, karena iu dapa dipecahkan lagi dengan menggunakan pecahan parsial. Kerjakanlah sendiri dan carilah hasil umumnya.. Z ln C Z Z Karena ; P Q Z ( Z)( Z) Z Z P ( Z) Q ( Z) mbillah Z P() Q(0) P mbillah Z - P(0) Q () Q - Z. Z dz Z.ln( Z) Z. (ii).ln( Z) C Z ln Z C 04
Salinlah benuk baku kedua ini kedalam buku caaan anda dan bandingkanlah dengan hasil yang perama. Keduanya sanga mirip benuknya. Z. Jadi kia memiliki ln C Z Z Z ln C Z Z Perhaikan berapa miripnya kedua hal ini. Sekarang marilah kia liha beberapa conoh unuk benuk baku kedua ini. 3 Conoh. ln C 9 3 6 3 Conoh..ln C ( ) Conoh 3.... 3 3 3..ln C 3 3 Conoh 4. 3 6 Kia lengkapi lagi penyebunya agar muncul benuk kuadra seperi sebelumnya, eapi kia harus berhai-hai dengan andanya - dan jangan lupa pula bahwa koefisien harus sama dengan. Jadi kia lakukan seperi beriku : 3 6 3 ( 6) Perhaikan, kia ulliskan suku dan suku dalam kurung dengan anda minus diluarnya; enu saja 6 menjadi 6 didalam kurung. Sekarang kia dapa melengkapi benuk kuadra di dalam kurung dan kia ambahkan bilangan yang sama di luarnya (karena semua yang di dalam kurung memiliki anda negaif didepannya). Jadi 3 6 3 ( 6 3 ) 9 0
( 3) ( 3 ) ( 3) dalam hal ini, 3 dan Z ( 3) 3 6 ( 3) ( 3)... 3 3 4. ln C 4 3 3 3 Conoh lain yang sejenis : Conoh. 9 4 Perama-ama kia lakukan dahulu langkah melengkapi benuk kuadra yang biasa. 9 4 9 ( 4 ) 9 ( 4 ) 4 3 ( ) ( 3 ) ( ) dalam hal ini 3 dan Z ( ) Z kia keahui bahwa ln C Z Z Sehingga dalam conoh ini 9 4 3. ln. C 3 3 Conoh 6. 4 Inga bahwa kia harus menyingkirkan dahulu fakor dari penyebunya agar koefisien menjadi. 06 4 Selanjunya kia garap seperi biasa
7 ( ) ( ) ( 3, ) ( ) ( )... 4 ( Jangan lupa fakor yang kia keluarkan dari penyebunya adi ). 3, 6. In c 4 3, 3, Benar! sekarang cobalah sau lagi. Conoh 7. enukanlah 6 6 pakah yang perama- ama harus kia lakukan? 7. Mengubah koefisien menjadi, Yaiu dengan mengeluarkan fakor dari penyebunya Tepa! Marilah kia melakukannya. 6 6 6 6 sekarang anda dapa melengkapi benuk kuadranya seperi biasa dan kemudian selesaikanlah. 39 3 8. In c 6 6 39 39 3 07
Karena: 3 39 3 39 9 3 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 Sehingga 3 danz 39 Sekarang c 3/ 39 / 3/ 39 / In 39. 6 6 c Z Z In Z c 3 39 3 39 In 39 9. Sebagai ulangan, uuplah caaan anda dan lengkapilah inegral yang beriku. Jangan melakukan langkah- langkahnya secara lengkap, cukup menuliskan hasilnya saja. 08
(i) Z... (ii)... Z. 0. Z In c Z Z Z In c Z Z III. Sekarang kia injau benuk baku yang keiga. Tinjaulah Z Di sini penyebunya idak dapa difakorkan, karena iu kia idak dapa menerapkan kaidah pecahan parsial. Unuk mengaasinya, kia akan melakukan subsiusi, yaiu kia mencoba mencari subiusi unuk Z agar inegralnya dapa diuliskan dalam benuk yang kia ahu bahwa kia dapa menanganinya. Misalnya kia cobakan Z an θ Maka Z an θ ( an θ) sec θ Dan juga sec θ yaiu sec θdθ dθ Sekarang inegralnya menjadi θ θ θ. sec d θ d Z sec. θ c benuk hasil ini baik dan sederhana, eapi kia idak dapa membiarkannya seperi iu, karena θ adalah variabel baru yang kia keengahkan diengah perjalanan penyelesaiannya. Kia harus menyaakan kembali θ ke dalam variabel Z semula. 09
Z an θ Z Z an θ θ an Z an C Z (iii) Tambahkanlah hasil ini kedalam dafar baku yang elah anda miliki Z. an C Z Conoh. an C 6 4 4 4 Conoh. 0 30 Seperi biasa, kia lengkapi benuk kuadra dalam penyebuny. 0 30 0 30 0 30 ( )... ( ) ( ) 0 30 ( )..an. ( Sekali anda elah mengenal benuk bakunya, anda inggal mencari pernyaaan unuk Z dan dalam suau conoh dan kemudian mensubsiusikannya ke dalam hasil baku ersebu. Nah, demikianlah! Sekarang cobalah anda kerjakan sendiri yang beriku ini. Conoh 3. Tenukanlah 3 mbillah waku secukupnya. Ingalah akan auran-auran yang elah kia gunakan, enu anda idak akan ersesa. ) 0
3 3. an C 3 7 7 Periksalah pekerjaan anda. 3 6 6 6 6 6 6 6 3 6 9 ( 3) 7 Sehingga Z ( 3) dan 7 Z an. 3 Z C an 7 ( 3) ( 7 ) 3 7 C 4. IV. Sekarang marilah kia bahas inegral yang lain ( Z ) Jelaslah kia dapa menggunakan pecahan parsial karena adanya anda akar. Karena iu kia harus mencari subsiusi yang sesuai. mbillah Z sin θ Maka Z sin θ ( sin θ) cos θ ( Z ) cos θ dan juga cos θ cos θ.dθ dθ sehingga inegralnya sekarang menjadi ( ). cos θ.dθ dθ θ Z cos θ Nyaakan kembali θ dalam variabel semula. C
Z sin θ ( Z ) sin θ sin Z Z C θ sin Ini adalah benuk baku yang berikunya, karena iu ambahkanlah hasil ini. Z. ( Z ) sin Z C Conoh. sin C Conoh. ( ) ( ) ( ) 3 Seperi biasa 3 3 ( ) 3 ( ) 4 ( ) ( ) Jadi dalam hal ini dan Z ( ) ( ) ( ) 3 ( ) Serupa sin C Conoh 3.... 4 ( ) 6. ( 4 ) sin C 3 Karena : 4 ( 4 ) ( 4 ) 4
Sekarang cobalah yang ini. Conoh 4. Tenukanlah ( 4 ) 9 ( ) 3 ( ) sin C 3 ( ) 4 Sebelum kia lengkapi benuk kuadranya, harus kia ubah dahulu koefisien menjadi, yaiu kia harus mengeluarkan fakor dari pernyaaan 4, eapi inga, bila dipisahkan dari anda akar fakor ini menjadi ( ) ( ) 4 7 6 Selesaikanlah soal ini seperi conoh sebelumnya. 7. ( 4 ) sin 3 C 4 ( ) ( ) 4 7 6 7 6-7 ( 6 ) 7 ( 6 3 ) 9 6 ( 3) 4 ( 3) Sehingga 4 dan Z ( 3) ( Z ) sin ( 4 ) Z C sin 3 C 4 8. V. Sekarang marilah kia liha inegral baku selanjunya dengan cara yang sama. 3
9. Menenukan ( Z ) sekali lagi kia cari subsiusi yang sesuai unu kz. Ternyaa idak ada subsiusi rigonomeri yang dapa mengubah benuknya menjdai benuk yang dapa kia angani. Barangkali kia harus beralih ke idenias hiperbolik. Kia coba Z sinh θ. Maka Z sinh θ (sinh θ ) Menginga cosh θ - sinh θ cosh θ sinh θ Z cosh θ Juga Sehingga Teapi (Z ) cosh θ ( Z ) cosh θ dθ cosh Z sinh θ sinh θ Z θ sinh Z. cosh θ.dθ θ ( Z ) cosh θ.dθ dθ θ C Z sinh C.(v) Salinlah hasil ini ke dalam buku caaan anda unuk rujukan nai. Jadi... 4 ( ) ( 4) sinh C Sekali lagi, yang harus kia lakukan hanyalah mencari pernyaaan unuk Z dan dalam suau conoh dan kemudian mensubsiusikanya ke dalam benuk baku. Ssekarang cobalah anda kerjakan sendiri yang beriku ini. 4
Tenukanlah ( ) 30. ( ) sinh Inilah penyelesaiannya secara erperinci. Sehingga Z dan Cobalah sau lagi ( ) - ( ) 3 C 3 3 4 4 3 sinh C 3 3 sin C 3 ( 8 )... ( ) 3. sinh C 7 Inilah pengerjaannya :
( ) ( ) 8 4 4 4 Sehingga Z ( ) dan 4-4 ( ) 7 ( ) 7 ( 8 ) sinh 7 C 7 ( ) sinh C 7 3. Sekarang kia akan menurunkan hasil baku yang lain. IV. Tinjaulah Z ( ) Subsiusi yang sesuai di sini adalah Z cosh θ Z cosh θ - (cosh θ -) sinh θ ( Z ) sinh θ Juga Z cosh θ sinh θ dθ ( Z ).sinh θ.sinh θ.dθ dθ θ C 6
Z cosh θ cosh θ Z θ cosh - 33. Z C Z cosh C ( Z )..(vi) Ini adalah hasil baku keenam yang elah kia peroleh. Tambahkanlah ini ke dalam dafar anda. Conoh. Conoh. Z cosh C ( Z ) ( 9) ( 6 ) cosh C 3... nda dapa menyelesaikannya sendiri. Caranya sama seperi sebelumnya lengkapilah benuk kuadranya dan lihalah apa Z dan dalam hal ini dan kemudian subsiusikanlah ke dalam benuk bakunya. 34. ( 6 ) cosh 3 C Inilah penyelesaiaannya : 6 6 6 3 9 ( 3) 8 ( 3) ( ) Sehingga Z ( 3) dan 6 3 { } ( ) ( ) ( ) 7
3 cosh C Sekarang marilah kia kumpulkan dahulu hasil-hasil yang elah kia peroleh sampai saa ini supaya kia dapa membandingkannya. 3. Inilah benuk-benuk baku yang elah kia peroleh sampai saa ini. Unuk masing-masing jenis dicanumkan juga cara memperolehnya.. Z ln C Z Z Pecahan Parsial. Z ln C Z Z Pecahan parsial 3. Z an C Z Subsiusikan Z an θ Z sin Z 4. C Subsiusikan Z sin θ Z sinh Z. C Subsiusikan Z sinh θ Z cosh Z 6. C Subsiusikan Z cosh θ Perhaikan bahwa iga yang perama membenuk sau kelompok (anpa akar) dan iga kelompok erakhir membenuk kelompok lain (dengan akar pada penyebunya) nda harus berupaya unuk menghafalkan keenam hasil ini karena anda perlu mengeahuinya, perlu dapa menguipnya, dan perlu dapa menggunakannya dalam berbagai conoh persoalan. 36. Barangkali anda masih inga bahwa dalam program mengenai fungsi 8 { } hiperbolik kia berjumpa dengan hasil sinh - ln ( )
Serupa dengan iu Z Z Z sinh ln Z Z ln sinh ( Z ) Z Z ln Z Z cosh ln ( Z ) Hal ini berari bahwa hasil inegral baku da 6 dapa dinyaakan baik dalam benuk invers fungsi hiperbolik maupun dalam benuk logarima, berganung kepada kebuuhannya. 37. Keiga benuk inegral baku lain yang belum kia bahas adalah : Z Z 7. ( Z ). 8. ( ). 9. ( ). Subsiusikan yang sesuai unuk masing-masing benuk sama dengan subsiusi yang digunakan keika benuk ersebu muncul sebagai penyebu. Yaiu unuk ( Z ). sin θ sinh θ Subsiusikan Z ( Z ). Subsiusikan Z ( Z ). Subsiusikan Z cosh θ dengan melakukan subsiusi ersebu, kia peroleh hasil ; 9
( Z ). sinh Z Z ( Z ) ( Z ) ( Z ) Z Z. sinh ( Z ). cosh Z Z ( Z ) Benuk lebih rumi dan sediki suli dihafalkan, eapi cara penggunaannya eap sama dengan yang sebelumnya. Salinlah keiganya. 38. Sekarang marilah kia liha bagaimana cara memperoleh keiga hasil diaas ( Z ). Subsiusikan Z sin Z sin. ( Z ) cosθ θ (- sin θ) cos θ ( Z ) cosθ. cosθdθ Sekarang sin θ Z Z θ sin θ C 4 Z dan cosθ cos ( ) juga cos θ dθ cos θdθ sinθ θ C θ - ( Z ) sin Z Z. ( Z ) 0
( Z ) Z Sin C Z Dua yang lain dibukikan dengan cara yang samas. 39. Inilah salah sau conoh penerapannya. ( 4 3. ) Perama-ama lengkapi dahulu benuk kuadranya dan carilah benuk Z dan seperi sebelumnya. Baik, lakukanlah iu! 40. 4 3 ( ) 3 Sehingga dalam hal ini Z dan 3 4. { 3 } ( 4 3. ) ( ) Ini ermsauk dalam benuk ( Z ) Z Z ( ) 4 3. sinh C Jadi, dengan mensubsiusikan pernyaaaan Z dan diaas, kia dapakan ( 3)... ( ) 3 9 sinh 3 9 ( ) ( 4 3) C Kia liha bahwa unuk menggunakan benuk-benuk baku ini kia hanya harus melengkapi benuk kuadranya sepero yang elah kia lakukan dalam banyak conoh, mencari pernyaaan unuk Z dan, mensubsiusikannya keduanya kedalam hasil baku yang sesuai. Dengan demikian sakarang anda elah dapa menangani sejumlah
besar inegral yang barangakali masih diluar jangakauan anda sebelum anda mengikui program ini. Sebagai ulangan, lengakapilah inegral-ingral yang beriku anpa meliha kedalam buku caaan anda (i) Z... (ii) Z... (iii) Z... Z 4..ln C Z Z Z.ln C Z Z Z.an C Z Sekarang kelompok yang kedua ( Z ) ( Z ) ( Z )......... 43. Z sin C ( Z ) Z sinh Z C
Z cosh C Z Barangkali anda belum menghafal dengan kelompok yang keiga, aapi baiklah kia uliskan lagi dan lihalah kembali. Z Z Z ( Z ). sin ( ) ( ). ( Z ) Z Z sinh Z ( Z ). Z ( Z ) cosh Z Perhaikan bahwa bagian dibawah anda akar dalam hasilnya selalu sama dengan bagian bawah anda akar dalam masing-masing inegralnya. Ini adalah bagian khusus dalam program ini, aapi masih ada jenis inegral lain yang membuuhkan subsiusi erenu. Kia akan membahas sau aau dua macam inegral ini sekarang. 44. Inegral dalam benuk a bsin cos Conoh. Tinjaulah, benuk ini berbeda dari semua 3 cos inegral yang elah kia bahas sebelumnya. Jelas inegral ini idak ermasuk kedalam salah sau benuk baku yang sudah kia kenal. Kunci unuk benuk ini adalah mensubsiusikan an ke dalam inegralnya. Memang an idak muncul dalam inegral ersebu eapi jika an, kia segera dapa mencari pernyaaaan unuk an dan cos z. kia gambarkan diagramnya, yaiu : 3
sin cos ( ) ( ) an d juga, karena an, sec an d d 3 3 3 4 3 maka 3 cos jadi sekarang inegralnya menjadi 3 cos d 4 3 3 4 3 4 3 d. Dan menuru apa yang elah kia bahas dalam bagian sebelumnya, hasil inegral ini adalah 4. 3 3 4 d. an C 3 3 / 3 3 3. an C 3 khirnya kia harus mengembalikannya ke dalam variable semula dan, karena an, kia peroleh : 3 cos an 3 3.an C 4
46. a bsin cos Dalam prakeknya, beberapa koefisiennya mungkin sama dengan nol, sehingga suku yang bersangkuan idak muncul dalam fungsi, eapi penyelesaaanya eap sama. sin... cos... 47. sin cos ( ) ( ) kia juga harus mengubah variabelnya ; an d sec an ;da... d d 48. ] Dengan Perlengkapannya subsiusikan ini kia akan dapa menyelesaikan sembarang inegral jenis ini. Cara ini idak memberikan hasil baku, eapi memperlengkapi kia dengan suau dara baku. mailah fungsi beriku Sin
Cos. 49. sin cos ( ) ( ) Baik sekarang kia mulai dengan cononhnya. Conoh. Tenukanlah sin 4 cos Dengan menggunakan subsiusi di aas, dan dengan mengiga bahwa d, kia peroleh; sin 4 cos d... sin 4 cos 4 4 d. 4 0. an C Dan karena an kia dapa kembali ke variable semula, sehingga sin 4 cos an an C yang beriku ini unuk anda kerjakan sendiri. Ingalah subsiusinya : an 6
sin cos ( ) d ( ) ( ) baiklah, inilah soalnya : conoh 3.... cos an cos 3 3. an C Inilah jalannya. d 3 an 3 3 d. cos 3 cos an 3 an C 3 C 3 Jadi seriap kia berjumpa dengan inegral semacam ini, dengan sin dan aau cos dalam penyebunya, kecuali penyelesaiannya adalah melakukan subsiusikan.. an 7
Sekarang injaulah inegral 4cos Jelas ini bukan inegral jenis yang lalu karena fungsi rigonomeri dalam penyebunya adalah cos, bukan cos Sesungguhnya ini adalah conoh kelompok inegral lain yang akan kia bahas sekarang. Benuk semuanya adalah, yaiu sinus dan cosinus dalam a bsin ccos penyebunya, eapi idak berbenuk kuadar. 3. Inegral dalam benuk a bsin ccos Kali ini kuncinya adalah mensubsiusi an Dari sini kia dapa mmeperoleh pernyaaan yang sesuai seperi sebelumnya unuk sin dan cos dengan banuan diagram sederhana seperi sebelumnya. Teapi ini juga berari bahwa kia harus menyaakan sin dan cos dalam perbandingan rigonomeri seengah sudu jadi akan ada ambahan pekerjaan sediki, eapi hanya sediki, jangan menyerah dahulu. Pelaksanaannya ernyaa jauh lebih mudah dari pada kedengarannya. Perama-ama marilah kia benuk dahulu subsiusinya secara erperinci. sin an cos ( ) ( ) 8
sin sin ( ) ( ) cos cos - sin d juga, karena an, sec an jadi kia dapakan jika an d sin cos d cos d. da baiknya subsiusikan ini dihafalkan unuk pemakiaan dalam conoh-conoh nani. Karena iu salinlah ke dalam buku caaan anda unuk rujukan nani. Sekarang kia elah siap menggunakan nya. 4. Conoh. 4cos Dengan menggunakan subsiusi an, kia dapakan 4 cos 4 ( ) 9
4 4 9 Q 4cos 9 d..... d 9. an C 3 3 an / an C 3 3 conoh lain : conoh. 3sin 4cos Dengan mengguakan subsiusi an ( ) 6 4 3 sin 4 cos 4 6 4 3sin 4cos 4 6 4 d 3 3 d. Lengkapilah benuk kuadra dalam penyebunya seperi yang kia lakukan sebelumnya dan kemudian selesaikanlah. an / 6..ln C 4 an / 30
3 3 Karena - ( - inegral ( - r 6 4 3 3 9 [ ] ) 6 3 4 3 r 4 4 3 r 4 an /.ln C ln C 4 4 an / dan sekarang sau lagi unuk anda seluruhnya anda kerjakan sendiri. Kerjakankanlah sampai selesai kemudian periksalah pekerjaan anda apakah sesuai dengan jawaban. Conoh 3.... sin cos an / 7. ln C an / Inilah hasil pernyelesaiannya. I ) d ( ) sin co d. ( ) d 3
C an / an / ln C ln d 3