Lecture 3. Function (A) A. Definition of Function Definisi. f adalah fungsi dari himpunan A ke himpunan B yang ditulis dengan f: A B, yaitu merupakan suatu aturan yang memetakan (mengawankan) setiap xεa tepat dengan satu elemen yεb, yang dapat disajikan dengan persamaan y = f(x). Himpunan A disebut daerah asal (domain) dari f yang ditulis D. Sedangkan himpunan B disebut daerah hasil/daerah nilai (range) dari f yang ditulis R, yaitu himpunan semua nilai f(x) yang mungkin. Nilai f(x) merupakan nilai dari f di titik x. Domain dan range fungsi f ditulis D = {x xεa, f(x)εb} dan R = y y = f(x), x D Variabel x disebut variabel bebas (independent variable), sedangkan y disebut variabel tak bebas (dependent variable). Suatu fungsi dapat dipandang sebagai sebuah mesin. Elemen-elemen x yang berada di domain dari fungsi f merupakan input yang masuk ke dalam mesin. Mesin tersebut kemudian memproses input dan menghasilkan output f(x), sesuai dengan aturan pada fungsi tersebut. Gambar 2.5 Diagram mesin suatu fungsi f Kalkulator merupakan contoh dari pendefinisian fungsi sebagai sebuah mesin. Misalnya, tombol (atau x) pada kalkulator bekerja sebagai sebagai fungsi, yaitu fungsi akar. Kita dapat menekan tombol tersebut dan memasukkan (enter) input x. Jika x <, maka x tidak berada dalam domain f, sehingga calculator akan menunjukkan suatu eror. Jika x, maka nilai pendekatan dari x akan ditampilkan pada layar calculator. Secara matematik, fungsi akar dapat ditulis f(x) = x. Catatan. Nilai pendekatan, artinya nilai x pada kalkulator tidak selalu sama dengan nilai eksak dari f(x) = x. Hal ini karena bilangan pada kalkulator hanya terbatas sampai sejumlah digit tertentu. Suatu fungsi dapat dinyatakan dalam berbagai cara, yaitu: (1) Deskripsi (verbally) (2) Fungsi matematik (algebraically) (3) Diagram Panah
(4) Tabel (numerically) (5) Grafik (visually) Dalam diagram panah (arrow diagram), setiap panah menghubungkan satu elemen di A dengan satu elemen di B. Dari definisi fungsi, panah tersebut menghubungkan x dengan f(x), a dengan f(a), dsb. Gambar 2.6 Diagram panah suatu fungsi f Question. Jika himpunan A dan B mempunyai elemen berhingga, dengan elemen di A lebih banyak daripada elemen di B, dapatkah kita membuat fungsi dari A ke B? Bagaimana jika salah satu atau kedua himpunan tersebut mempunyai elemen berhingga? Berikut merupakan contoh penulisan fungsi dalam bentuk tabel. Tabel 2.1 Petumbuhan populasi penduduk Tahun 19 191 192 193 194 195 196 197 198 199 2 Populasi (Juta) 165 175 186 27 23 256 34 371 445 528 68 Pada umumnya, suatu fungsi digambarkan ke dalam sebuah grafik (graph). Jika f suatu fungsi dengan domain A, maka grafik dari fungsi f merupakan himpunan dari pasangan berurutan {(x, f(x), xεa}. Dengan kata lain, grafik fungsi f memuat semua titik (x, y) pada sistem koordinat Kartesius, sedemikian sehingga y = f(x), dan x di domain f, dengan domain dari f pada sumbu-x dan range dari f pada sumbu-y.
Gambar 2.7 Grafik fungsi f Contoh: (1) Diberikan grafik fungsi f pada Gambar 2.8. (a) Tentukan nilai dari f(1) dan f(5). (b) Tetukan domain dan range dari fungsi f. Gambar 2.8 Grafik fungsi f (a) Dari gambar di atas, dapat dilihat bahwa titik (1,3) berada pada grafik f, sehingga nilai f di titik 1 adalah f(1) = 3. Sedangkan f(5).7, karena nilai f di titik 5 sekitar.7. (b) Dari grafik, fungsi f didefinisikan pada x 7, sehingga domain dari f adalah interval tertutup [,7], atau ditulis D = {x x 7}. Pada domain tersebut, f mempunyai nilai dari 2 sampai 4, sehingga range dari f adalah R = {y 2 y 4} = [ 2,4]. (2) Tentukan D dan R dari fungsi y = f(x) = 2x + 1.
Fungsi f terdefinisi untuk semua bilangan real, sehingga D = R = (, ). Karena f fungsi garis lurus dengan D = R, maka range f juga merupakan himpunan semua bilangan real, R = R = (, ). 25 2 15 1 5-5 -1-15 -2-1 -8-6 -4-2 2 4 6 8 1 Gambar 2.9 Grafik fungsi y = f(x) = 2x + 1 pada interval [ 1,1] (3) Tentukan D dan R dari fungsi y = f(x) = x + 2x + 4. Fungsi f terdefinisi untuk semua bilangan real, sehingga D = R = (, ). Selanjutnya, diperoleh f(x) = x + 2x + 4 = (x + 1) + 3. Karena (x + 1), maka R = {y y 3} = [3, ). 5.5 5 4.5 4 3.5 3 2.5 2-2.5-2 -1.5-1 -.5.5 1 Gambar 2.1 Grafik fungsi y = f(x) = x + 2x + 4 pada interval [ 3,1] (4) Tentukan D dan R dari fungsi y = f(x) = x + 2. Karena akar dari bilangan negatif tidak terdefinisi, sehingga domain dari f memuat semua nilai x yang memenuhi x + 2 x 2 Jadi, D = {x x 2} = [ 2, ). Sedangkan range dari f adalah R = {y y } = [, ].
11 1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Gambar 2.11 Grafik fungsi y = f(x) = x + 2 pada interval [,1] (5) Tentukan D dan R dari fungsi y = f(x) =. Karena y = = ( ), dan pecahan dengan penyebut tidak terdefinisi, maka y tidak terdefinisi untuk x = atau x = 1. Jadi, D = {x x, x 1} = (, ) (,1) (1, ). Sedangkan range fungsi f adalah R = {y y } = (, ) (, ). 2 15 1 5-5 -1-15 -2-25 -3-5 -4-3 -2-1 1 2 3 4 5 Gambar 2.12 Grafik fungsi y = f(x) = pada interval [ 5,5] Uji garis vertikal (the vertical line test). Suatu kurva di bidang-xy merupakan grafik suatu fungsi f dari x jika dan hanya jika tidak ada garis vertikal yang memotong kurva di lebih dari 1 titik.
(a) (b) Gambar 2.13 Grafik (a) fungsi, (b) bukan fungsi Contoh. Grafik parabola x = y 2 bukan suatu fungsi dari x, karena ada banyak garis vertikal yang memotong kurva di lebih dari 1 titik. Perhatikan bahwa x = y 2 y = x + 2. Sehingga, y = ± x + 2. Dengan demikian, grafik x = y 2 merupakan gabungan dari grafik setengah parabola y = x + 2 dan y = x + 2. Gambar 2.14 Grafik (a) x = y 2, (b) y = x + 2, dan (c) y = x + 2 Catatan. Pada fungsi x = y 2, y merupakan variabel bebas, sedangkan x sebagai variabel tak bebas. B. Piecewise Defined Function Pada ilustrasi berikut, suatu fungsi didefinisikan oleh lebih dari satu persamaan. Definisi ini diperbolehkan asal untuk setiap bilangan x pada daerah definisinya terdapat suatu nilai fungsi yang tunggal pada daerah nilainya. Contoh. (1) Misalkan f adalah fungsi yang didefinisikan oleh 1 x jika x 1 y = f(x) = x jika x > 1 Tentukan nilai f(), f(1), dan f(2).
Karena 1, maka f() = 1 = 1. Karena 1 1, maka f(1) = 1 1 =. Karena 2 > 1, maka f(2) = 2 = 4. Domain f adalah D = R = (, ) dan range f adalah R = {y y } = [, ). Grafik f terdiri dari 2 bagian, yaitu garis lurus y = 1 x untuk x 1 dan parabola y = x untuk x > 1. Titik padat (solid dot) menunjukkan bahwa titik (1,) termasuk dalam grafik y = 1 x, sedangkan titik terbuka (open dot) menunjukkan bahwa titik tersebut bukan bagian dari grafik y = x. 16 14 12 1 8 6 4 2-2 -1 1 2 3 4 Gambar 2.15 Grafik f (2) Fungsi nilai mutlak didefinisikan sebagai x jika x y = f(x) = x, dengan x = x jika x < Ingat bahwa jika x negatif, maka x positif. Tentukan domain, range, dan grafik dari f. Domain f adalah D = R = (, ) dan range f adalah R = {y y } = [, ). Sketsa grafiknya ditunjukkan pada Gambar 2.16. Grafik f terdiri dari 2 bagian, yaitu grafik y = x di sebelah kanan sumbu-y dan grafik y = x di sebelah kiri sumbu-y.
5 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1.5-5 -4-3 -2-1 1 2 3 4 5 Gambar 2.16 Grafik f = x (3) Selanjutnya adalah contoh fungsi tangga (step function). Misalkan.37 jika < w 1.6 jika 1 < w 2 y = C(w) =.83 jika 2 < w 3 1.6 jika 3 < w 4 1.45 jika 5 < w 6 Domain f adalah D = {w < w 6} = (,6], sedangkan range f adalah R = {.37,.6,.83, 1.6, 1.45}. Sketsa grafiknya ditunjukkan pada Gambar berikut. Gambar 2.17 Grafik f (4) Tentukan rumus fungsi f dari grafik pada Gambar 2.18. Garis yang melalui titik (,) dan (1,1) mempunyai gradien m = 1, sehingga persamaan garis tersebut adalah y y = m(x x ) y = 1(x ) y = x Jadi, diperoleh f(x) = x, jika x 1.
Gambar 2.18 Grafik f Garis yang melalui titik (1,1) dan (2,) mempunyai gradien m = 1, sehingga persamaan garis tersebut adalah y = 1(x 2) atau y = 2 x Jadi, diperoleh f(x) = 2 x, jika 1 < x 2. Terdapat juga garis sepanjang sumbu-x atau y = untuk x > 2. Dengan menggabungkan ketiga persamaan tersebut, diperoleh x jika x 1 f(x) = 2 x jika 1 < x 2 jika x > 2 C. Even and Odd Functions Fungsi y = f(x) disebut fungsi genap (even function) jika memenuhi f( x) = f(x), x D. Grafik dari fungsi genap simetri terhadap sumbu-y. Fungsi y = f(x) disebut fungsi ganjil (odd function) jika memenuhi f( x) = f(x), x D. Grafiknya simetri terhadap titik asal (titik pusat koordinat). (a) (b) Gambar 2.19 Grafik (a) fungsi genap dan (b) fungsi ganjil Contoh (1) Jika f(x) = 3x 2x + 7, maka
f( x) = 3( x) 2( x) + 7 = 3x 2x + 7 = f(x) Karena itu f adalah suatu fungsi genap. 2 18 16 14 12 1 8 6 4 2-5 -4-3 -2-1 1 2 3 4 5 Gambar 2.2 Grafik f(x) = 3x 2x + 7 (2) Jika f(x) = 3x 4x 9x, maka f( x) = 3( x) 4( x) 9( x) = 3x + 4x + 9x = (3x 4x 9x) = f(x) Karena itu, f adalah suatu fungsi ganjil. 8 x 17 6 4 2-2 -4-6 -8-1 -8-6 -4-2 2 4 6 8 1 Gambar 2.21 Grafik f(x) = 3x 4x 9x (3) Jika f(x) = 2x x, maka f( x) = 2( x) ( x) = 2x x Karena f( x) f(x) dan f( x) f(x), maka f bukan fungsi genap dan fungsi ganjil.
2-2 -4-6 -8-1 -12-1 -8-6 -4-2 2 4 6 8 1 Gambar 2.22 Grafik f(x) = 2x x D. Increasing and Decreasing Functions Suatu fungsi dikatakan naik (increasing) pada interval I jika f(x ) < f(x ) untuk setiap x < x di I. Sebaliknya, dikatakan turun (decreasing) pada I jika f(x ) > f(x ) untuk setiap x < x di I. Gambar 2.23 Grafik f pada interval [a, d] Dari Gambar 2.23, fungsi f naik pada interval [a, b], turun pada interval [b, c], dan naik lagi pada interval [c, d]. Contoh. Fungsi f(x) = x turun pada interval (, ] dan naik pada interval [, ). Gambar 2.24 Grafik f(x) = x