Buletn Ilmah ath. Stat. dan erapannya (Bmaster) Volume 5, No. 3 (6), hal 8. INVERS DRAZIN DARI SUAU ARIKS DENGAN ENGGUNAKAN BENUK KANNIK JRDAN Eo Sulstyono, Shanta artha, Ea Wulan Ramadhan INISARI Suatu matrs A beruuran nn dataan tda meml nvers atau dsebut dengan matrs sngular ja tda ada matrs B yang memenuh AB=I n dan BA=I n. Ja matrs A adalah matrs sngular maa dapat dtentuan suatu matrs B yang meml araterst dar sfat nvers matrs sehngga matrs B dsebut dengan nvers tergeneralsas dar matrs A. Invers Drazn merupaan salah satu nvers tergeneralsas dar suatu matrs beruuran nn. Peneltan n bertujuan untu menentuan nvers Drazn dar suatu matrs dengan menggunaan bentu anon Jordan. Invers Drazn dar matrs A yang dnotasan A D dperoleh dengan menentuan nla araterst dar matrs A dan multplstas aljabar dar masng-masng nla araterst. angah selanjutnya adalah menentuan blangan bulat postf terecl p yang memenuh dmens ruang araterst e-p sama dengan multplstas aljabar dar masng-masng nla araterst. Nla p dgunaan untu menentuan vetor araterst tergeneralsas dar matrs A. Selanjutnya menentuan matrs P dengan olom-olomnya merupaan vetor araterst tergeneralsas dar matrs A. Hasl peralan dar P - AP merupaan bentu anon Jordan yang dnotasan dengan J. atrs J emudan dparts menjad J dan J secara berturut-turut merupaan matrs blo dagonal utama dar J, dan matrs nol untu matrs blo lannya. Invers Drazn dperoleh dar PKP - dengan K merupaan matrs yang dbentu dar J - dan matrs nol secara berturutturut merupaan matrs blo dagonal utama dar K dan matrs nol untu matrs blo lannya. Kata Kunc: Invers Drazn, Bentu Kanon Jordan PENDAHUUAN atrs merupaan salah satu teor yang dpelajar d bdang matemata, hususnya pada lmu aljabar. atrs dapat dgunaan dalam penyelesaan sstem persamaan lnear, dengan penyelesaannya dapat menggunaan nvers. atrs beruuran atas C dataan meml nvers atau dsebut matrs non sngular ja terdapat matrs yang memenuh = dan =. Apabla tda ada matrs yang memenuh = dan = maa matrs dsebut matrs sngular. Walaupun matrs adalah matrs sngular, namun dapat dtentuan suatu matrs yang meml araterst dar sfat nvers matrs sehngga matrs dsebut nvers tergeneralsas dar matrs. Ada beberapa nvers tergeneralsas, dantaranya adalah nvers oore-penrose, nvers Grup, dan nvers Drazn. Invers Drazn merupaan salah satu nvers tergeneralsas dar matrs beruuran. Pada tahun 958, lmuwan asal Amera yang bernama chael P Drazn pertama al memperenalan nvers Drazn []. Beberapa metode yang dapat dgunaan dalam memperoleh nvers Drazn adalah bentu anon Jordan, metode everrer Faddeev, dan metode sem teratve tpe BI- CG. Invers Drazn dapat daplasan pada ranta arov, rptograf, dan sstem persamaan lnear. Peneltan n bertujuan untu menentuan nvers Drazn dar suatu matrs beruuran dengan menggunaan bentu anon Jordan. Adapun batasan masalah dalam peneltan n adalah matrs beruuran atas C. salan merupaan matrs beruuran atas C. Invers Drazn dar matrs dperoleh dengan menentuan nla araterst dar matrs dan multplstas aljabar dar yang dnotasan dengan ( ) untu setap =,,,. angah selanjutnya adalah menentuan blangan bulat postf terecl yang memenuh dm =( )
E. SUISYN, S. ARHA, E.W. RAADHANI dengan dm merupaan dmens ruang araterst e- dar untu setap =,,,. Nla dgunaan untu menentuan vetor araterst tergeneralsas dar matrs. Selanjutnya menentuan matrs dengan olom-olomnya merupaan vetor araterst tergeneralsas dar matrs. Hasl peralan dar merupaan bentu anon Jordan dar matrs yang dnotasan dengan. atrs dparts menjad dan secara berturut-turut merupaan matrs blo dagonal utama dar dan matrs nol untu blo lannya dengan merupaan matrs blo Jordan yang bersesuaan dengan dan merupaan matrs blo Jordan yang bersesuaan dengan =. Selanjutnya menentuan nvers Drazn dar matrs yatu dengan menentuan peralan antara matrs, matrs yang dparts menjad dan matrs nol berturut-turut merupaan matrs blo dagonal utama serta matrs nol untu blo lannya, dan nvers dar matrs. BENUK KANNIK JRDAN salan merupaan matrs beruuran atas C maa bentu anon Jordan dar matrs yang dnotasan dengan ddefnsan sebaga berut []: J p ( ) J p ( ) J = J p ( m ) m dengan ( ) merupaan matrs blo Jordan yang bersesuaan dengan, merupaan uuran dar matrs blo Jordan, uuran dtentuan dar ( ), dan merupaan matrs nol untu setap =,,..,. Bentu matrs blo Jordan ( ) adalah sebaga berut: J p ( = ). Suatu matrs dataan meml bentu anon Jordan ja dapat dnyataan e dalam bentu =, dengan merupaan suatu matrs non sngular. atrs dapat dperoleh dengan menentuan vetor araterst tergeneralsas dar matrs. Berut n dberan defns vetor araterst tergeneralsas dar suatu matrs. Defns [3] Dmsalan matrs beruuran atas C dan merupaan nla araterst dar matrs. Vetor dsebut vetor araterst tergeneralsas ja dan hanya ja dengan Z. ( ) = dan ( ) Dmsalan merupaan vetor araterst tergeneralsas dengan tngat yang bersesuaan dengan, maa vetor araterst tergeneralsas dapat dtentuan dar persamaan sebaga berut: ( ) = ( ) = () ( ) =
Invers Drazn dar Suatu atrs dengan 3 Selanjutnya Persamaan () dapat dtulsan sebaga berut: =( ) =( ) =( ) =( ) =( ) () dengan Z. Dmens ruang araterst e- yang bersesuaan dengan nla araterst dnotasan dengan dm. Dmens dar dperoleh dengan menentuan banyanya vetorvetor pada suatu bass untu ruang araterst e- yatu: ( ) = Banyanya vetor araterst tergeneralsas dperoleh dengan menentuan blangan bulat postf terecl yang memenuh dm =( ) untu setap =,,,. Berut n dberan contoh menentuan bentu anon Jordan dar suatu matrs. Contoh Dberan matrs 3 3 3 A = 4 6 3 Nla araterst dar matrs adalah = =3 dengan (3)=, = dengan ( )= dan = dengan ()=. Untu = dperoleh dm( )= sedangan (3)=, sehngga dm( ) (3). Untu = dperoleh dm( )==(3), abatnya dengan menggunaan Defns untu = dperoleh vetor araterst tergeneralsas sebaga berut: 3 6 6 = + 5 5 5 5 dan dengan menggunaan Persamaan () dperoleh vetor araterst tergeneralsas sebaga berut: 3 6 = ( A 3I ) = +. 5 5 4 Dengan = untu = dperoleh vetor araterst tergeneralsas y = + 5 dan dengan = untu = dperoleh vetor araterst tergeneralsas = + 3 Kemudan membentu P= maa z.
4 E. SUISYN, S. ARHA, E.W. RAADHANI 3 6 + P = 5 5 Bentu anon Jordan dar matrs adalah INVERS DRAZIN 3 6 5 5 6 + 5 5 + 5 + 3. J = P AP sehngga dperoleh 3 3 J =. Dberan matrs dan beruuran atas C. atrs dataan nvers tergeneralsas dar ja dapat dnyataan e dalam bentu = []. Salah satu nvers tergeneralsas adalah nvers Drazn. Invers Drazn dar suatu matrs beruuran atas C dnotasan dengan. Sebelum dberan defns nvers Drazn, terlebh dahulu dberan defns mengena ndes dar suatu matrs. Defns 3 [4] Dberan matrs sngular beruuran atas C, blangan bulat postf terecl yang memenuh ran =ran dsebut ndes matrs yang dnotasan ()=. Berdasaran Defns 3 dberan contoh menentuan ndes dar suatu matrs sngular. Contoh 4 Dberan matrs dar Contoh. Ran dar matrs adalah 3 dan ran dar matrs adalah 3, abatnya ndes dar matrs adalah. Selanjutnya dberan defns mengena nvers Drazn dar suatu matrs beruuran atas C. Defns 5 [] salan matrs beruuran atas C. atrs beruuran atas C dataan nvers Drazn dar, ja memenuh () = () = () = dengan merupaan ndes dar matrs. Defns 3 hanya berlau untu matrs sngular beruuran atas C. Berut n dberan teorema yang menjelasan ndes dar suatu matrs non sngular beruuran atas C. eorema 6 [4] Dberan matrs beruuran atas C. Ja matrs merupaan matrs non sngular maa ()=. But: salan merupaan matrs non sngular beruuran atas C. atrs ja dbentu e dalam eselon bars teredus aan menghaslan matrs denttas sehngga ran()=( )=. atrs merupaan matrs, abatnya ran( )=ran( ). Karena = mengabatan ran( )=ran( ) maa ()=. Selanjutnya dberan teorema mengena nvers Drazn dar suatu matrs non sngular beruuran atas C.
Invers Drazn dar Suatu atrs dengan 5 eorema 7 Dberan matrs merupaan matrs non sngular beruuran atas C. atrs dataan nvers Drazn dar ja dan hanya ja matrs merupaan nvers dar. But: salan merupaan matrs non sngular beruuran atas C, merupaan suatu matrs beruuran atas C. Invers Drazn dar matrs non sngular dapat dnyataan sebaga berut: merupaan nvers dar merupaan nvers Drazn dar a) merupaan nvers dar merupaan nvers Drazn dar Dengan yang telah detahu bahwa merupaan nvers dar yatu = dan =, maa aan dtunjuan bahwa merupaan nvers Drazn dar yatu memenuh Defns 5. = =. = =. = = Karena dan memenuh Defns 5, maa merupaan nvers Drazn dar. b) merupaan nvers Drazn dar merupaan nvers dar Dengan yang telah detahu bahwa merupaan nvers Drazn dar maa aan dtunjuan bahwa merupaan nvers dar yatu memenuh = dan =. = = = = Karena dan memenuh = dan = maa merupaan nvers dar. Berdasaran (a) dan (b), terbut bahwa matrs merupaan nvers Drazn dar ja dan hanya ja matrs merupaan nvers Drazn dar. salan merupaan matrs beruuran atas C, ( ), ( ),, ( ) merupaan matrs blo Jordan yang bersesuaan dengan, dan () merupaan matrs blo Jordan yang bersesuaan dengan =. Bentu anon Jordan dar matrs dapat dparts menjad J p ( ) J = J p ( n ) n J p () m atrs dapat dtulsan dalam bentu sederhana sebaga berut: = dengan merupaan matrs blo Jordan yang bersesuaan dengan dan merupaan matrs blo Jordan yang bersesuaan dengan =. Selanjutnya dberan teorema yang menjelasan bentu nvers Drazn dar suatu matrs dengan menggunaan bentu anon Jordan namun sebelumnya dberan lemma yang dapat menduung dalam membutan teorema yang aan djelasan. emma 8 [] Ja dberan matrs beruuran atas C maa terdapat matrs non sngular sedeman sehngga = dengan merupaan bentu anon Jordan dar matrs. ebh lanjut merupaan matrs yang olom-olomnya merupaan vetor araterst tergeneralsas dar matrs. But: salan matrs beruuran atas C dan,..,,,.., merupaan nla araterst dar matrs, = =, sehngga dapat dbentu J = J ( ) + n
6 E. SUISYN, S. ARHA, E.W. RAADHANI dengan ( ) merupaan matrs blo Jordan yang bersesuaan dengan = =. salan,,, merupaan vetor araterst tergeneralsas yang bersesuaan dengan sehngga dengan menggunaan Defns maa vetor araterst tergeneralsas dapat dtentuan dar persamaan sebaga berut: ( ) = ( ) = ( ) = dperoleh =( ) =( ) =( ) (3) Berdasaran Persamaan (3) maa,,, memenuh persamaan berut: = = + = + (4) Kemudan,,, merupaan vetor araterst yang bersesuaan dengan nla araterst,,, sehngga dperoleh ( ) = ( ) = ( ) = (5) Berdasaran Persamaan (5) maa,,, memenuh persamaan berut: = = = (6) Persamaan (4) dan (6) dapat dbentu menjad = + + + n A n n (7) pada Persamaan (7), matrs + n
Invers Drazn dar Suatu atrs dengan 7 merupaan bentu anon Jordan dar matrs. Selanjutnya vetor-vetor araterst yang terdapat pada Persamaan (7) dapat dtuls menjad n P = [ ] sehngga Persamaan (7) dapat dnyataan sebaga =. Berut n dberan teorema mengena bentu nvers Drazn dar suatu matrs dengan menggunaan bentu anon Jordan. eorema 9 [] Dberan matrs A beruuran atas C meml bentu anon Jordan = dengan dan yang masng-masng merupaan matrs blo Jordan yang bersesuaan dengan = dan, maa =. But: salan matrs beruuran atas C dapat dnyataan e dalam bentu anon Jordan yatu: = (8) untu suatu merupaan matrs yang olom-olomnya merupaan vetor araterst tergeneralsas yang bersesuaan dengan nla araterst dar matrs, dan merupaan bentu anon Jordan dar matrs. salan merupaan nvers Drazn dar matrs yang dapat dtuls sebaga berut: = (9) dengan merupaan bentu anon Jordan dar matrs, merupaan matrs blo Jordan yang meml uuran yang sama dengan, merupaan matrs blo Jordan yang meml uuran yang sama dengan. Karena merupaan nvers Drazn dar, maa dan memenuh = () = () dengan merupaan ndes dar matrs. Selanjutnya dengan mensubsttusan Persamaan (8) dan (9) e Persamaan () dperoleh = arena merupaan matrs blo Jordan yang bersesuaan dengan abatnya meml nvers sehngga berdasaran esamaan dua matrs dperoleh = =. Dengan mensubsttusan Persamaan (8) dan (9) e Persamaan () dperoleh =. () atrs = dengan merupaan ndes dar matrs maa =. Karena = dan = maa = = dan = = emudan dtentuan hngga dperoleh =. (3) Berdasaran Persamaan () dan (3) maa dperoleh =. Kemudan dengan mensubsttusan matrs =, = e Persamaan (9) dperoleh
8 E. SUISYN, S. ARHA, E.W. RAADHANI =. Berut n dberan contoh dalam menentuan nvers Drazn dar suatu matrs sngular. Contoh Dberan matrs dar Contoh. atrs blo Jordan dan adalah sebaga berut: 3 = 3 dan = Selanjutnya menentuan nvers Drazn dar matrs dengan menggunaan eorema 9 yatu: = dperoleh D A 4 7 5 + = 8 36 3 8 + 7 36 4 4 4 + 3 PENUUP Invers Drazn dar matrs beruuran atas C dperoleh dengan menentuan nla araterst dar matrs dan multplstas aljabar dar masng-masng nla araterst. angah selanjutnya menentuan blangan bulat postf terecl yang memenuh dm =( ). Nla dgunaan untu menentuan vetor araterst tergeneralsas dar matrs. Selanjutnya membentu dengan olom-olomnya merupaan vetor araterst tergeneralsas dar matrs. Hasl peralan dar merupaan bentu anon Jordan dar matrs yang dnotasan dengan. atrs dparts menjad dan secara berturut-turut merupaan matrs blo dagonal utama dan matrs nol untu blo lannya. Invers Drazn dar matrs dperoleh dengan melauan peralan antara matrs, matrs yang dparts menjad dan matrs nol merupaan matrs blo dagonal utama serta matrs nol untu blo lannya, dan nvers dar matrs. DAFAR PUSAKA []. Campbell S, eyer CD. Generalze Inverses of near ransformaton. ondon: Sam; 9. []. Ben-Israel A, Grevlle NE. Generalzed Inverse : heory and Applcaton, Second Edton. New Yor: Sprnger; 3. [3]. Bronson R, Costa GB. near Algebra : An Introducton, Second Edton. ondon: Elsever; 7. [4]. Nue. Some Result About he Inde of atr and Drazn Inverse. athematcal Scence. ; 4(3):83-94. EK SUISYN : Jurusan atemata FIPA Untan, Pontana, sulstyono.eo5@gmal.com SHANIKA ARHA : Jurusan atemata FIPA Untan, Pontana, shanta.martha@gmal.com EKA WUAN RAADHANI : Jurusan atemata FIPA Untan, Pontana, wulan89@gmal.com