PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI RAYLEIGH DENGAN METODE KUADRAT TERKECIL DAN METODE KEMUNGKINAN MAKSIMUM Skripsi Diajuka utuk Memeuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjaa Matematika Program Studi Matematika Oleh : Skolastika Augustia Sarasvati NIM: 3346 PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 7
THE PARAMETER ESTIMATION OF RAYLEIGH DISTRIBUTION USING LEAST SQUARE METHOD AND MAXIMUM LIKELIHOOD METHOD A Thesis Preseted as a Partial Fulfillmet of the Requiremets to Obtai the Degree of Sarjaa Sais Mathematics Study Program Writte by: Skolastika Augustia Sarasvati Studet Number: 3346 MATHEMATICS STUDY PROGRAM DEPARTMENT OF MATHEMATICS FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA 7
iii
iv
HALAMAN PERSEMBAHAN Karya ii saya persembahka utuk Tuha Yesus Kristus da Buda Maria yag selalu memberkati da memberika kemudaha lewat orag-orag baik hati yag berada di sekeliligku terutama dalam perjuagaku meyelesaika skripsi ii. Kedua oragtuaku Boavetura Saptoo Arko da Teresia Atik Solikhati Adik-adikku, yaitu Ao, Awgia, Sekal, Zita. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc, selaku dose pembimbig skripsi yag terbaik. Semua orag yag aka membaca skripsi saya. v
vi
vii
ABSTRAK Distribusi Rayleigh dega parameter tuggal memiliki satu parameter yaitu parameter b. Pedugaa parameter distribusi Rayleigh dapat dilakuka dega berbagai metode. Dalam skripsi ii dibahas pedugaa parameter distribusi Rayleigh dega megguaka dua metode yaitu Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method) da Metode Kemugkia Maksimum (Maximum Likelihood Method). Kosep dari Metode Kuadrat Terkecil adalah meduga parameter dega memilih garis regresi yag terdekat dega semua data yag memiimumka Jumlah Kuadrat Galat (Sum of Square Error). Sedagka, kosep dari Metode Kemugkia Maksimum adalah meduga parameter distribusi yag memaksimumka fugsi likelihood. Pedugaa parameter distribusi Rayleigh diterapka pada data tiggi gelombag terbesar tahua di Lepas Patai P. Kalukalukuag, Sulawesi Selata. Rata-Rata Kuadrat Galat (Mea Square Error) dipilih sebagai kriteria pembadig kedua metode peduga. Metode yag terbaik dalam meduga parameter distribusi Rayleigh adalah metode yag memiliki Rata-Rata Kuadrat Galat yag miimum. Dari hasil peerapa pada data tiggi gelombag terbesar tahua di Lepas Patai P. Kalukalukuag meujukka bahwa Metode Kemugkia Maksimum lebih baik dalam meduga parameter distribusi Rayleigh. Kata kuci: distribusi Rayleigh, pedugaa parameter, Metode Kuadrat Terkecil, Metode Kemugkia Maksimum, Rata-Rata Kuadrat Galat. viii
ABSTRACT Rayleigh distributio with sigle parameter has a parameter amely parameter b. The parameter of Rayleigh distributio ca be estimated usig several methods. I this fial assigmet, writter will estimated the parameter estimatio of Rayleigh distributio usig two methods which are Least Square Method ad Maximum Likelihood Method. I geeral, Least Square Method estimate the parameter by selectig the regressio lie that best fit amog all data which miimizes the Sum of Square Error. Meawhile the cocept of Maximum Likelihood Method is to estimate the parameter distributio that maximizes the likelihood fuctio. The parameter estimatio of Rayleigh distributio is implemeted o the data of the aual biggest wave s height i Kalukalukuag Islad s offshore, South Sulawesi. Mea Square Error is chose as the comparasm criteria for both methods. Method which has miimum Mea Square Error is the best oe. From our attempts o the aual biggest wave s height data i Kalukalukuag Islad s offshore shows that Maximum Likelihood Method is a better method to estimate the parameter of Rayleigh distributio. Keywords: Rayleigh distributio, parameter estimatio, Least Square Method, Maximum Likelihood Method, Mea Square Error ix
KATA PENGANTAR Puji syukur kepada Tuha Yag Maha Kuasa atas segala berkat da karuia- Nya sehigga peulis dapat meyelesaika skripsi ii. Skripsi yag berjudul Pedugaa Parameter Distribusi Rayleigh Dega Metode Kuadrat Terkecil Da Kemugkia Maksimum ii diajuka utuk memeuhi salah satu syarat utuk memperoleh gelar sarjaa Matematika pada Fakultas Sais da Tekologi Uiversitas Saata Dharma Yogyakarta. Peulis medapat bayak dukuga da batua dalam proses meyelesaika tugas akhir ii. Oleh karea itu, dega tulus hati peulis igi meyampaika terima kasih kepada:. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., selaku dose pembimbig tugas akhir yag dega peuh kesabara telah meluagka waktu, teaga, da pikira serta memberika masuka, araha, bimbiga, da asihat kepada peulis.. Bapak YG. Hartoo, S.Si., M.Sc., Ph.D., selaku Ketua Program Studi. 3. Ibu M. V. Ay Herawati, S.Si., M.Si., selaku wakil ketua program studi Matematika da Dose Pembimbig Akademik yag selalu memberika araha yag berkaita dega perkuliaha. 4. Bapak Sudi Mugkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D., selaku deka Fakultas Sais da Tekologi. 5. Romo Prof. Dr. Fras Susilo, S.J., Bapak Dr. rer. at. Herry P. Suryawa, S.Si., M.Si., Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., Bapak YG. Hartoo, S.Si., M.Sc., Ph.D., Ibu M. V. Ay Herawati, S.Si., M.Sc., da Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si., selaku dose program studi matematika yag telah membagika ilmu da pegalama selama masa perkuliaha. 6. Perpustakaa Uiversitas Saata Dharma da staf sekretariat Fakultas Sais da Tekologi yag telah bayak membatu dalam proses admiistrasi. 7. Kedua orag tuaku yag selalu memberika doa, semagat, dukuga, araha, da asihat sampai skripsi ii selesai. x
xi
DAFTAR ISI HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING... iii HALAMAN PENGESAHAN... iv HALAMAN PERSEMBAHAN... iv PERNYATAAN KEASLIAN KARYA... vi LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN... vii ABSTRAK... viii ABSTRACT... ix KATA PENGANTAR... x DAFTAR ISI... xii DAFTAR TABEL... xiv DAFTAR GAMBAR... xv BAB I PENDAHULUAN... A. Latar Belakag... B. Rumusa Masalah... C. Batasa Masalah... 3 D. Tujua Peulisa... 3 E. Mafaat peulisa... 3 F. Metode Peulisa... 4 G. Sistematika Peulisa... 4 BAB II LANDASAN TEORI... 6 A. Distribusi Probabilitas... 6 B. Distribusi Gamma da Sifat-sifatya... 3 C. Mome da Fugsi Pembagkit Mome... 8 D. Pedugaa Parameter... 3 xii
E. Selag Kepercayaa... 5 F. Ukura Peduga Yag Baik... 9 G. Metode Kuadrat Terkecil... 3 H. Metode Kemugkia Maksimum... 35 I. Uji Kolmogorov-Smirov... 39 J. Uji Distribusi Rayleigh megguaka Uji Kolmogorov-Smirov... 4 BAB III PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI RAYLEIGH DENGAN METODE KUADRAT TERKECIL DAN KEMUNGKINAN MAKSIMUM... 44 A. Distribusi Rayleigh... 44 B. Karakteristik Distribusi Rayleigh Satu Parameter... 47 C. Pedugaa Parameter Distribusi Rayleigh dega Metode Kuadrat Terkecil.. 49 D. Pedugaa Parameter Distribusi Rayleigh dega Metode Kemugkia Maksimum... 5 E. Fugsi Pembagkit Mome Distribusi Rayleigh... 53 Pedugaa Selag Distribusi Rayleigh... 58 BAB IV PENERAPAN PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI RAYLEGH 6 A. Peerapa pedugaa Parameter Distribusi Rayleigh dega Metode Kuadrat Terkecil (Least Squared Method) pada data tiggi gelombag terbesar tahua di Lepas Patai P.Kalukalukuag, Sulawesi Selata.... 6 B. Pedugaa parameter distribusi Rayleigh dega megguaka Metode Kemugkia Maksimum... 65 C. Uji Distribusi Rayleigh megguaka Uji Kolmogorov-Smirov... 69 D. Perbadiga Pedugaa parameter distribusi Rayleigh dega megguaka Metode Kuadrat Terkecil da Metode Kemugkia Maksimum... 7 BAB V PENUTUP... 73 A. Kesimpula... 73 B. Sara... 74 DAFTAR PUSTAKA... 75 LAMPIRAN... 756 xiii
DAFTAR TABEL Tabel. Data Cotoh.... 34 Tabel. Data Cotoh.3... 4 Tabel.3 Perhituga Uji Kolmogorov Cotoh.3... 4 Tabel 4. Tiggi gelombag sigifika maksimum per arah per tahu di laut... 6 Tabel 4. Perhituga Uji Kolmogorov-Smirov pada data tiggi gelombag laut. 69 xiv
DAFTAR GAMBAR Gambar. Grafik Distribusi Gamma... 7 Gambar. Grafik Distribusi Chi-Square... 8 Gambar. 3 Kurva Distribusi Ekspoesial degap(a U b) =.9... 8 Gambar. 4 Grafik peduga Kuadrat Terkecil... 35 Gambar. 5 Grafik F (x i ) da F (x i )... 43 Gambar 3. Grafik fugsi distribusi Rayleigh dega ilai b =.5,.8,,.5,, 3.... 45 Gambar 3. Grafik fugsi distribusi kumulatif distribusi Rayleigh... 46 Gambar 4. Grafik distribusi Rayleigh dega parameter skala b =.7563... 65 Gambar 4. Grafik fugsi probabilitas distribusi Rayeligh dega b =.75745 67 Gambar 4. 3 Grafik F (x i ) da F (x i )... 7 xv
BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakag Dalam teori probabilitas da statistika, distribusi Rayleigh adalah salah satu distribusi peluag kotiu yag biasa diguaka dalam pemodela data kelagsuga hidup. Distribusi Rayleigh diperkealka oleh Lord Rayleigh pada tahu 88. Distribusi Rayleigh dikeal secara luas di bidag oseaografi da dalam teori komuikasi utuk meggambarka pucak sesaat kekuata siyal radio yag diterima. Distribusi ii juga merupaka distribusi petig dalam statistik da diterapka di beberapa bidag seperti kesehata, pertaia, biologi, da ilmu-ilmu laiya. Variabel acak X dikataka mempuyai distribusi Reyleigh dega satu parameter b bila fugsi desitasya f(x; b) = x b e( x b ), x, b > Pedugaa parameter merupaka salah satu persoala yag petig dalam bidag statistika. Pedugaa adalah bidag dari statistika yag berhubuga dega meduga ilai-ilai karakteristik dari populasi (parameter) berdasarka data yag diukur atau data empiris yag memiliki kompoe acak. Pedugaa parameter adalah suatu metode utuk meduga ilai parameter populasi dega megguaka ilai-ilai dari sampel. Peduga dibagi mejadi dua bagia yaitu peduga titik (poit estimatio) da peduga selag (iterval estimatio).. Peduga titik (Poit Estimatio) Peduga titik adalah peetua suatu ilai tuggal yag dega sebaikbaikya meduga parameter yag sebearya.
. Peduga Selag (Iterval Estimatio) Peduga selag adalah suatu peetua selag ilai yag memiliki peluag yag besar aka memuat parameter sebearya. Dalam skripsi ii, pedugaa parameter distribusi Rayleigh dilakuka dega megguaka dua metode yaitu Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method) da Metode Kemugkia Maksimum (Maximum Likelihood Method). Kosep dari Metode Kuadrat Terkecil adalah meduga parameter dega memilih garis regresi yag terdekat dega semua data yag memiimumka Jumlah Kuadrat Galat (Sum of Square Error). Sedagka, kosep dari Metode Kemugkia Maksimum adalah meduga parameter distribusi yag memaksimumka fugsi likelihood. Selai itu, dalam skripsi ii juga aka dilakuka perbadiga Metode Kuadrat Terkecil da Metode Kemugkia Maksimum utuk meduga parameter distribusi Rayleigh. Utuk meetuka metode maa yag lebih baik dalam pedugaa parameter distribusi Rayleigh peulis aka megguaka Rata- Rata Kuadrat Galat (Mea Square Error) sebagai kriteria pembadig. Rata-Rata Kuadrat Galat adalah ukura keakurata dari peduga. Peduga (estimator) adalah suatu atura, yag diyataka dalam betuk rumus yag memberitahuka bagaimaa cara meghitug ilai suatu peduga berdasarka pegukura yag termuat di dalam sampel. Metode yag terbaik dalam meduga parameter distribusi Rayleigh adalah metode yag memiliki Rata-Rata Kuadrat Galat miimum. B. Rumusa Masalah Masalah yag aka dibicaraka pada skripsi ii adalah:. Bagaimaa sifat-sifat distribusi Rayleigh?. Bagaimaa pedugaa parameter distribusi Rayleigh dega Metode Kuadrat Terkecil?
3 3. Bagaimaa pedugaa parameter distribusi Rayleigh dega Metode Kemugkia Maksimum? 4. Bagaimaa memilih metode terbaik dalam pedugaa parameter distribusi Rayleigh? C. Batasa Masalah Skripsi ii dibatasi pada masalah-masalah sebagai berikut:. Dalam pedugaa parameter distribusi, peulis haya aka membahas peduga titik da peduga selag distribusi Rayleigh dega satu parameter.. Dalam pedugaa parameter distribusi, peulis haya aka membahas pedugaa parameter distribusi Rayleigh dega Metode Kuadrat Terkecil da Metode Kemugkia Maksimum. 3. Peulis tidak membahas perluasa dari distribusi Rayleigh. D. Tujua Peulisa Tujua dari peulisa skripsi ii adalah dapat meduga parameter distribusi Rayleigh satu parameter dega megguaka Metode Kuadrat Terkecil da Metode Kemugkia Maksimum. E. Mafaat peulisa Mafaat yag dapat diperoleh dari peulisa skripsi ii adalah:. Dapat mempelajari metode utuk pedugaa parameter distribusi Rayleigh yaitu dega Metode Kuadrat Terkecil da Metode Kemugkia Maksimum.. Dapat megetahui seberapa baik Metode Kuadrat Terkecil da Metode Kemugkia Maksimum dalam pedugaa parameter distribusi Rayleigh dega satu parameter.
4 F. Metode Peulisa Metode yag diguaka peulis dalam peulisa skripsi ii adalah metode studi pustaka, yaitu dega membaca da mempelajari buku-buku atau juraljural yag berkaita dega distribusi Rayleigh da metode-metode yag diguaka dalam pedugaa parameter. G. Sistematika Peulisa BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakag B. Rumusa Masalah C. Batasa Masalah D. Tujua Peulisa E. Mafaat Peulisa F. Metode Peulisa G. Sistematika Peulisa BAB II LANDASAN TEORI A. Distribusi Probabilitas B. Distribusi Gamma da Sifat-sifatya C. Mome da Fugsi Pembagkit Momet D. Peduga Parameter E. Selag Kepercayaa F. Ukura Peduga Yag Baik G. Metode Kuadrat Terkecil H. Metode Kemugkia Maksimum I. Uji Kolmogorov-Smirov J. Uji Distribusi Rayleigh megguaka Uji Kolmogorov-Smirov BAB III ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI RAYLEIGH DENGAN ME- TODE KUADRAT TERKECIL DAN KEMUNGKINAN MAKSIMUM A. Distribusi Rayleigh
5 B. Sifat-Sifat Distribusi Rayleigh C. Pedugaa Paramater Distribusi Rayleigh dega Metode Kuadrat Terkecil D. Pedugaa Paramater Distribusi Rayleigh dega Metode Kemugkia Maksimum BAB IV PENERAPAN PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI RAYLEIGH BAB V PENUTUP A. Kesimpula B. Sara DAFTAR PUSTAKA
BAB II LANDASAN TEORI Dalam proses pembuata skripsi ii diperluka beberapa kosep da teori yag medukug dalam ilmu statistika. Berikut aka dijelaska beberapa teori yag berkaita dega pedugaa parameter, atara lai distribusi probabilitas, distribusi Gamma da sifat-sifatya, mome da fugsi pembagkit mome, pedugaa parameter, selag kepercayaa da sebagaiya. A. Distribusi Probabilitas Distribusi probabilitas berkaita erat dega variabel radom, jeis distribusi probabilitas, fugsi distribusi kumulatif da karakteristik distribusi probabilitas yag aka dijelaska pada subbab ii.. Variabel Radom Defiisi. Variabel radom adalah fugsi yag berilai real yag domaiya adalah ruag sampel. Huruf kapital, misalya X, adalah otasi utuk variabel radom da huruf kecil x, meyataka ilaiya. Defiisi. Variabel X dikataka diskrit jika ilai-ilaiya berhigga atau tak berhigga terbilag. Jika tidak memeuhi hal tersebut maka variabel acak X dikataka kotiu. Cotoh: a. Bayakya mahasiswa matematika setiap tahu mulai dari tahu. b. Bayakya kecelakaa mobil di Kabupate Magelag setiap bula selama satu tahu. 6
7. Distribusi Probabilitas Distribusi probabilitas dibagi atas dua macam, yaitu distribusi probabilitas diskrit yag dilambagka dega p(x) da distribusi probabilitas kotiu (fugsi desitas) yag dilambagka dega f(x). a. Distribusi Probabilitas Diskrit Defiisi.3 Himpua pasaga terurut (x, p(x)) adalah distribusi probabilitas dari variabel radom diskrit X jika ) p(x) utuk setiap x ) p(x) = x Cotoh. Distribusi Geometrik p(x) = p( p) x, x =,, 3,... Aka ditujukka bahwa distribusi Geometrik memeuhi defiisi.3 ) Diketahui p(x) = p( p) x utuk x =,, 3,.. maka diperoleh p(x) positif utuk setiap x. Jadi terbukti p(x) utuk setiap x. ) Jumlah deret tak higga suatu deret geometri dega a merupaka suku pertama da r merupaka rasio atar suku adalah S = megguaka jumlah deret tak higga dari deret geometri S = diperoleh a = p da r = p sehigga p(x) = x p ( p) =. a r. Dega a r maka b. Distribusi Probabilitas Kotiu Dalam beberapa literatur istilah distribusi probabilitas kotiu disebut juga fugsi desitas (desity fuctio).
8 Defiisi.4 Fugsi f(x) adalah distribusi probabilitas utuk variabel radom kotiu X, jika ) f(x),utuk setiap x R ) f(x) dx = Cotoh. a) Distribusi Normal f(x) = σ π exp [ ( σ ) ((x μ) )], < x < Aka ditujukka bahwa distribusi Normal memeuhi defiisi.4 ) Utuk setiap x R, terbukti bahwa f(x). ) σ π Misalka m = x μ σ misalka Q = Q = ( = exp [ ( σ ) ((x μ) )] dx = dx, dm = σ, σ dm = dx, σ π e ( )m σ dm π e ( )m dm ) ( π e ( )(m + ) dm d θ π, r m = r cosθ, Q = π = r siθ σ π e (x μ π e ( ) d π e ( )(r cos θ+ r si θ) J dr dθ m J = θ θ m r r si θ cos θ = r cos θ si θ r = ( r si θ)(si θ) (r cos θ)(cos θ) ) σ ) dx =.
9 Q = = r si θ r cos θ = r si θ + cos θ = r π π e ( )r (cos θ+ si θ) r dr dθ = π π e ( )r r dr dθ Misal w = r, dw = r dr, Jadi, π dw = [ e ( )w dw ] dθ π π = π e w dθ = π = = π ( )dθ π π ( )dθ π π dθ = π θ π = π (π ) = Q = Q = b) Distribusi Ekspoesial = r dr σ π e ( )m σ dm =. f(x) = λe λ x, λ >, x Aka ditujukka bahwa distribusi Ekspoesial memeuhi defiisi.4 ) utuk setiap x R, terbukti bahwa f(x). ) f(x) dx = λe λ x dx = λe λ x ( λ ) = ( e λ x ) = ( ) =.
3. Fugsi Ditribusi Kumulatif Defiisi.5 Fugsi distribusi kumulatif (cumulative distributio fuctio) dari sebuah variabel radom diskrit da kotiu X didefiisika sebagai berikut F(x) = P(X x) = { p(x) X x x f(t)dt, jika X diskrit, jika X kotiu 4. Karakteristik Distribusi Probabilitas Distribusi probabilitas dicirika oleh adaya kostata mea da variasi yag merupaka karakteristikya. a. Mea Defiisi.6 Mea atau ilai harapa (expected value) dari suatu variabel radom X diotasika sebagai μ atau E(X) didefiisika sebagai E(X) = { xp(x) x xf(x) dx,jika X diskrit, jika X kotiu b. Variasi Defiisi.7 Jika X adalah variabel radom, maka variasi dari X ditulis V(X) didefiisika sebagai V(X) = E[(X E(X)) ]. Teorema. V(X) = E(X ) (E(X))
Bukti: V(X) = E[(X E(X)) ] = E(X XE(X) + (E(X)) = E(X ) E(X)E(X) + (E(X)) V(X) = E(X ) (E(X)) Cotoh.3 a) Jika x berdistribusi Geometrik p(x) = p( p) x, x =,, 3,... Berdasarka defiisi.6, aka ditujukka mea dari distribusi Geometrik E(X) = xp(x) = x p( p) x = p x( p) x x x= x= E(X) = p[ + ( p) + 3( p) + 4( p) 3 +... ] ( p)e(x) = p[( p) + ( p) + 3( p) 3 + 4( p) 4 +... ] E(X)( ( p)) = p[ + ( p) + ( p) + ( p) 3 + ( p) 4 +... ]. Jumlah deret tak higga suatu deret geometri dega a merupaka suku pertama da r merupaka rasio atar suku adalah S = a r. Dega megguaka deret geometri tersebut diperoleh a = p da r = p sehigga jumlah deret tak higga dari p[ + ( p) + ( p) + ( p) 3 + ( p) 4 +... ] dapat ditulis kembali mejadi Jadi, E(X) = p. E(X)p = E(X)p =. p ( p) Berdasarka Teorema., aka ditujukka variasi dari distribusi Geometrik V(X) = E(X ) [E(X)]
Telah ditujukka pada cotoh di atas berdasarka defiisi.6 bahwa E(X) = p, maka utuk mecari V (X) yag perlu dihitug terlebih dahulu adalah E(X ) = x p(x) = x p( p) x = p x ( p) x x x= x= Misalka q = p, p = q, x (q) x = x= x= + q ( q) 3 = p x (q) x + q + p = p ( ( q) 3) = p ( p 3 ) = p p. Jadi, variasi distribusi Geometrik adalah V(X) = E(X ) [E(X)] = p p ( p ) = p p p = p p. b) Jika x berdistribusi Normal f(x) = σ π exp [ ( σ ) ((x μ) )], < x < Berdasarka defiisi.6, aka ditujukka mea dari distribusi Normal E(X) = xf(x) dx = σ π x e = σ π x e σ (x μ) dx Misalka y = x μ, dy = dx, x = y + μ E(X) = σ π (y + μ) e = μ + σ π y e σ (y) dy σ (y) dy = μ. (x μ σ ) dx Berdasarka Teorema., aka ditujukka variasi dari distribusi Normal V(X) = E[(x μ) ] = (x μ)f(x) dx
3 = σ π (x μ)e ( σ )((x μ) ) dx Misalka y = x μ, dy = dx, x = y + μ, = σ π (y )e ( σ )((y) ) dy Misal u = y, du = dy, dv = ye ( σ )((y)) dy, v = σ e ( σ )((y) ) = σ π y ( σ e ( = + σ. = σ. σ )((y) ) ) σ π σ e ( Jadi, variasi dari distribusi Normal adalah V(X) = σ. σ )(y ) dy B. Distribusi Gamma da Sifat-sifatya Defiisi.8 Fugsi Gamma didefiisika sebagai Γ(α) = x α e x dx Fugsi Gamma adalah salah satu fugsi yag petig dalam statistika karea dapat diguaka utuk meyelesaika itegral yag rumit dalam mecari fugsi pembagkit mome, variasi, rata-rata da mome. Teorema. Fugsi Gamma memiliki sifat. Γ(α) = (α )Γ(α ) utuk setiap α > Bukti: Berdasarka defiisi.8 Γ(α) = x α e x dx, misalka u = x α maka du = (α )x α da dv = e x maka v = e x
4 Γ(α) = uv v du = lim [ x α e x ] b (α )x α e x dx b = lim [ x α e x ] b + (α ) x α e x dx b = lim [ x α e x ] b + (α ) x (α ) e x dx b = lim b ( bα ) + (α )Γ(α ) eb exp ((α ) l b) = lim [ b e b ] + (α )Γ(α ) = lim b [exp ((α ) l b b)] + (α )Γ(α ) l b) = lim {exp [(α )b ( )]} + (α )Γ(α ) b b = (α )Γ(α ).. Γ() = ( )! Dega bilaga bulat positif. Bukti: Berdasarka sifat Gamma sehigga diperoleh Γ() = ( )Γ( ) = ( )( )Γ( ) Γ(α) = (α )Γ(α ), = ( )( )( 3)Γ( 3) = ( )( )( 3)( 4) (3)()()Γ() (.) Berdasarka defiisi.8 maka diperoleh Γ() = x e x dx
5 p = lim e x dx p = lim p [ e x ] p = Persamaa (.) mejadi Γ() = ( )( )( 3)( 4) (3)()()Γ() = ( )!. 3. Γ ( ) = π Bukti: Aka dibuktika bahwa Γ ( ) = π Berdasarka defiisi.8 misalka x = u, dx = u du Γ(α) = u α e u u du = u α e u u du = u α e u du ketika α = maka α =, sehigga diperoleh Γ ( ) = e u du [Γ ( )] = [Γ ( )] [Γ ( )] = ( e u du Γ(α) = x α e x dx, ) ( e v dv = 4 e (u +v ) du dv. )
6 Itegral tersebut dapat diselesaika dega megubah itegral kartesius mejadi itegral polar. Misalka u = r cos θ, v = r si θ maka u + v = r cos θ + r si θ = r (cos θ + si θ) = r π [Γ ( )] = 4 e r du dv π = 4 e r rdr dv π = 4 ( dθ misalka s = r, ds = r dr ) ( e r rdr = 4 ( π ) ( lim b e s ds) = π lim b [ e s ] b = π( ) = π. Defiisi.9 b ) Sebuah variabel radom X dikataka berdistribusi Gamma dega parameter α > da β > jika da haya jika fugsi desitas X adalah dega Γ(α) = x α e x β f(x) = { β α, Γ(α) x >, α >, β >, selaiya x α e x dx.
7.5.4.3 ß=,a= ß=,a= ß=3,a= ß=5,a= ß=9,a=.5 ß=7.5,a= ß=.5,a= f(x)... 5 5 x Gambar. Grafik Distribusi Gamma Grafik tersebut diproduksi dega program R pada lampira A. Defiisi. Misal v adalah sebuah bilaga bulat positif. Sebuah variabel radom X dikataka berdistribusi Chi-Square dega derajat bebas v jika da haya jika X merupaka variabel radom yag berdistribusi Gamma dega parameter α = v da β =. Fugsi desitasya adalah x v e x f(x) = α Γ ( v ), x > {, selaiya
8.5.4 v= v= v=3 v=4 v=6 v=9.3 f(x)... 4 6 8 x Gambar. Grafik Distribusi Chi-Square Grafik diatas diproduksi dega program R pada lampira A. C. Mome da Fugsi Pembagkit Mome Defiisi. Mome ke k dari variabel radom X di sekitar titik asal didefiisika sebagai E(X k ) da diotasika dega μ k. Cotoh.4 Tetuka mome saat k= da saat k=. Jawab:
9 Utuk k=, E(X) = μ = μ. Utuk k=, E(X ) = μ. Hal ii dapat bergua saat mecari variasi, berdasarka Teorema. V(X) = E(X ) (E(X)) = μ μ. Defiisi. Fugsi pembagkit mome m(t) utuk variabel radom X didefiisika sebagai m(t) = E(e tx ). Fugsi pembagkit mome dikataka ada jika ada sebuah kostata positif b berhigga utuk t b. Defiisi.3 Fugsi Pembagkit Mome dari variabel radom X adalah E(e tx ) da diyataka dega m x (t). Sehigga m x (t) = { e tx f(x), x e tx f(x), jika X diskrit jika X kotiu Cotoh.5. Fugsi Pembagkit Mome distribusi Normal m x (t) = e tx f(x) = e t(x μ) misalka u = x μ = e tu = σ π e (x μ) σ σ π e (u) σ σ π etu e (u) σ dx dx dx
= σ π (u) etu σ = σ π = σ π etσ = e tσ dx u tu e σ +σ σ dx e σ (u σ tu) σ π dx e σ (u σ tu) dx = σ π etσ e t σ e = σ π etσ e = e t σ = e t σ = e t σ σ (u σ tu) σ (u σ tu+σ 4 t ) e σ (u σ tu+σ 4 t ) σ π e σ π (u σ t) σ Jadi, fugsi pembagkit mome distribusi Normal adalah m x (t) = e tσ. dx dx dx dx. Fugsi Pembagkit Mome distribusi Gamma m x (t) = e tx f(x) = e tx x β α Γ(α) xα e β dx = β α Γ(α) xα e tx e = β α Γ(α) xα e tx x β x β dx dx
= β α Γ(α) xα e x β +tx dx = β α Γ(α) xα e x( β t) dx misalka s = β t = β α Γ(α) xα e x( s ) dx = β α Γ(α) [Γ(α)s(α)] = sα β α Igat s = β s β = β βt β βt β t =, maka s = β βt = β βt β = βt Jadi, fugsi pembagkit mome distribusi Gamma adalah m x (t) = sα β α = (s β ) α α = ( βt ) = ( βt) α. Teorema.3 Sifat-sifat Fugsi Pembagkit Mome. Jika X adalah variabel radom da c adalah sebuah kostata, maka m cx (t) = m X (ct).. Jika X adalah variabel radom da c adalah sebuah kostata, maka m X+c (t) = e ct m x (t). 3. Jika X adalah variabel radom da a & b adalah dua buah kostata, maka m (X+a) (t) = e at b m x ( t b b ).
Bukti:. m cx (t) = E(e (cx)t ) = E(e (ct)x ) = m X (ct).. m X+c (t) = E(e (X+c)t ) = E(e (tx) e (ct) ) = e ct m x (t). 3. m(x+a) b (t) = E (e ((X+a) b )t ) = E (e ((Xt+at)) ) = E (e ((Xt) b b ) e ((at) b ) ) = e at b m x ( t ). b Teorema.4 Teorema Ketuggala Misalka m x (t) da m y (t) adalah fugsi pembagkit mome dari variabel acak X da Y. Jika kedua fugsi pembagkit mome ada da m x (t) = m y (t) utuk semua ilai dari t, maka X da Y mempuyai distribusi probabilitas yag sama. Bukti: Julie, H. (999). Teorema Limit Pusat Lideberg da Terapaya. Skripsi. Pada skripsi tersebut, teorema ketuggala dibuktika secara umum dega megguaka defiisi fugsi karakteristik yaitu φ x (t) = E(e itx ), dega i adalah bilaga kompleks. Perhatika bahwa fugsi pembagkit mome (FPM) adalah betuk khusus dari fugsi karakteristik, bukti dilakuka dega meujuka bahwa bila F da G adalah fugsi distribusi kumulatif dega fugsi karakteristik yag sama, yaitu e itx df(x) maka F(x) = G(x). (Skripsi halama 54). = e itx dg(x) t R, Berdasarka teorema ketuggala terdapat korespodesi satu-satu atara fugsi pembagkit mome dega fugsi probabilitas
3 Teorema.5 Misalka X, X,, X adalah variabel acak yag salig bebas dega fugsi pembagkit mome m X (t), m X (t),, m X (t). Jika U = X + X + + X, maka m U (t) = m X (t) m X (t) m X (t). Bukti: m U (t) = E(e tu ) = E(e t(x +X + +X ) ) = E(e tx e tx e tx ) = E(e tx ) E(e tx ) E(e tx ) = m X (t) m X (t) m X (t) D. Pedugaa Parameter Pedugaa parameter adalah bidag dari statistika yag berhubuga dega meduga ilai-ilai parameter berdasarka data yag diukur atau data empiris yag memiliki kompoe radom. Pedugaa parameter adalah suatu metode utuk meduga ilai parameter populasi dega megguaka ilai-ilai dari sampel. Defiisi.5 Parameter adalah suatu kostata yag meggambarka (merupaka karakteristik) populasi. Sebuah keluarga parametrik fugsi desitas adalah kumpula fugsi desitas yag diideks oleh suatu kuatitas yag disebut parameter.
4 Cotoh.6:. Populasi berdistribusi Normal dega fugsi desitasya adalah f(x) = σ π exp [ ( σ ) ((x μ) )], < x < memiliki parameter μ da σ, dega μ merupaka rata-rata populasi da σ merupaka variasi populasi.. Populasi berdistribusi Ekspoesial fugsi desitasya adalah f(x; λ) = λe λx, dega λ >. Maka utuk setiap λ >, f(x; λ) adalah fugsi desitas. Kumpula dari f(x; λ) adalah keluarga parametrik dari fugsi desitas. Defiisi.6 Peduga (estimator) adalah suatu atura, yag diyataka dalam suatu rumus yag diguaka utuk meghitug ilai dari pedugaa yag didasarka atas pegukura di dalam sampel. Peduga dibagi mejadi dua bagia yaitu peduga titik (poit estimatio) da peduga selag (iterval estimatio). Defiisi.7 Peduga Titik (Poit Estimatio) Peduga titik adalah peetua suatu ilai tuggal yag dega sebaik-baikya meduga parameter yag sebearya. Cotoh.7 Rata-rata sampel yag diyataka dalam suatu rumus x = x i merupaka salah satu peduga titik dari rata-rata populasi μ.
5 Defiisi.8 Peduga Selag (Iterval Estimatio) Peduga selag adalah suatu peetua selag ilai yag memiliki peluag yag besar aka memuat parameter sebearya. E. Selag Kepercayaa Peduga selag adalah metode yag diguaka utuk meghitug ilai yag aka membetuk titik-titik batas iterval. Idealya hasil dari iterval aka memiliki sifat. Pertama ia aka memuat parameter θ, kedua, itervalya aka relatif sempit. Kedua titik batas dari iterval merupaka fugsi dari pegukura sampel yag aka bervariasi secara acak dari sampel yag satu dega sampel yag lai. Jadi, pajag da letak dari iterval bersifat radom. Kita tidak dapat secara pasti megetahui letak dari parameter θ, tapi kita tahu bahwa letakya di dalam selag tersebut. Jadi tujua kita adalah igi meetuka iterval yag relatif sempit tetapi mempuyai peluag yag besar utuk memuat parameter θ. Peduga selag serig disebut dega Selag Kepercayaa (Cofidece Iterval). Titik batas atas da titik batas bawah dari selag kepercayaa disebut juga batas atas da batas bawah kepercayaa. Peluag bahwa selag kepercayaa aka memuat parameter θ disebut koefisie kepercayaa. Dari sudut padag praktis, koefisie kepercayaa megidetifikasi berapakah i dalam samplig berulag, selag yag terbetuk aka memuat parameter θ yag mejadi sasara. Cotoh, misal koefisie kepercayaya 95%, artiya jika ada samplig sebayak kali maka 95 selag yag terbetuk aka memuat θ. Jika diketahui bahwa koefisie kepercayaa yag terkait dega peduga itu tiggi, maka dapat dipercaya bahwa setiap selag kepercayaa yag dibagu dega megguaka hasil dari sampel tuggal aka memuat parameter θ. Misalka θ L da θ U secara berturut-turut merupaka batas atas da batas bawah selag kepercayaa radom utuk parameter θ.
6 Maka, jika P (θ L θ θ U) = α, peluag ( α) adalah koefisie kepercayaa. Iterval radom yag didefiisika dega [θ L, θ U] disebut selag kepercayaa dua sisi. Memugkika juga utuk membetuk selag kepercayaa satu sisi batas bawah yaitu P (θ L θ) = α, selag kepercayaaya adalah [θ L, ). Dega cara yag sama, dapat dibetuk selag kepercayaa satu sisi batas atas yaitu P (θ θ U) = α, selag kepercayaaya adalah (, θ U]. Metode yag serig diguaka utuk mecari selag kepercayaa disebut metode Pivot. Metode Pivot bergatug pada suatu ilai yag disebut kuatitas Pivot. Kuatitas Pivot memiliki ciri:. Merupaka fugsi dari pegukura sampel da parameter θ, dega θ adalah kuatitas yag tidak diketahui.. Distribusi probabilitas dari kuatitas Pivot tidak bergatug pada parameter θ. Jika distribusi probabilitas dari kuatitas Pivot diketahui, maka logika berikut dapat diguaka utuk betuk peduga selag. Jika Y merupaka variabel radom, c > adalah kosta, da P(a Y b) =.7; maka jelas bahwa P(ca cy cb) =.7. Dega cara yag sama utuk setiap kosta d, P(a + d Y + d b + d) =.7. Peluag kejadia P(a Y b) tidak dipegaruhi dega perubaha skala atau traslasi dari Y. Cotoh.8 Diberika suatu populasi, dega variabel radom Y, memiliki distribusi Ekspoesial dega mea θ. Dega megguaka Y, buatlah selag kepercayaa bagi θ dega koefisie kepercayaa.9.
7 Jawab: Fugsi desitas utuk Y adalah sebagai berikut f(y) = { ( θ ) y e θ, y, selaiya Dega megguaka metode Pivot, aka ditujukka bahwa U = Y θ memeuhi syarat sebagai kuatitas Pivot. F u (u) = P(U u) = P ( Y θ u) = P(Y θu) = F Y(θu) (.) F Y (y) = y y f(t)dt = e t θdt = e y θ (.3) θ Dari (.) da (.3) diperoleh F Y (θu) = e uθ θ = e u θ f u (u) = F u (u) = F Y (θu) = e u U = Y θ adalah kuatitas Pivot, karea. U merupaka fugsi dari pegukura sampel da parameter θ yag tidak diketahui.. f u (u) tidak bergatug pada θ. Karea aka dibuat peduga selag dega koefisie kepercayaa sama dega.9, aka dicari a da b utuk P(a U b) =.9
8 f(u).5.9.5 Gambar. 3 Kurva Distribusi Ekspoesial dega P(a U b) =.9 a P(U < a) = e u du =.5 da P(U > b) = e u b du =.5 Maka, e a =.5 e b =.5 e a =.5 l(e b ) = l(.5) e a =.95 b =.99573 l(e a ) = l(.95) b =.99573 a =.5 a =.5 Diperoleh a =.5 da b =.99573 sehigga P(a U b) =.9 mejadi a b P(.5 U.99573) =.9 P (.5 Y.99573) =.9 θ P (.5 Y Y P ( θ.99573 ) =.9 Y.5 θ Y.99573 ) =.9 Y Y P ( θ.99573.5 ) =.9 u
9 Jadi, selag kepercayaa bagi θ dega koefisie kepercayaa.9 adalah Y P (.99573 θ Y.5 ) =.9. F. Ukura Peduga Yag Baik Peduga yag baik adalah peduga yag medekati ilai parameter yag sebearya. Ciri-ciri peduga yag baik adalah peduga yag tak bias atau memiliki bias yag sekecil mugki. Bias da Rata-rata Galat dari Peduga Titik Defiisi.9 Misalka θ adalah peduga titik dari parameter θ, maka θ adalah peduga tak bias jika E(θ ) = θ. Jika E(θ ) θ, maka θ disebut bias. Defiisi. Bias dari peduga titik θ didefiisika sebagai B(θ ) = E(θ ) θ. Cotoh.9 Diberika y, y, y 3,, y merupaka sampel radom dari populasi memiliki fugsi desitas sebagai berikut f(y) = { ( θ + ) e y (θ+), y >, θ >, selaiya Tetuka peduga yag tak bias bagi θ. Apakah Y merupaka peduga yag tak bias bagi θ? Jawab: Aka dicoba Y sebagai peduga θ.
3 E(Y ) = E ( Jadi Y bias. Y i ) = E ( Y i Biasya dari Y adalah, maka E(Y ) = θ + E(Y ) = θ Jadi, Y adalah peduga tak bias dari θ. ) = E(Y i) = (θ + ) = θ +. Defiisi. Rata-rata Kuadrat Galat (Mea Square Error) dari peduga titik θ adalah MSE(θ ) = E [(θ θ ) ]. Rata-rata Kuadrat Galat dari sebuah peduga θ adalah fugsi dari variasi da biasya. Teorema.6 MSE(θ ) = V(θ ) + [B(θ ) ] Bukti: MSE(θ ) = E [(θ θ) ] = E [(θ E (θ )) + (E(θ ) θ) ] = E [(θ E (θ )) + (θ E (θ )) (E(θ ) θ) + (E(θ ) θ) ] = E [(θ E (θ )) ] + E [ (θ E (θ )) (E(θ ) θ)] + E [(E(θ ) θ) ] = V(θ ) + E [(θ E (θ )) B(θ )] + [B(θ )] = V(θ ) + B(θ )E [(θ E (θ ))] + [B(θ )] = V(θ ) + B(θ )E (θ ) E[E(θ )] + [B(θ )]
3 = V(θ ) + + [B(θ )] = V(θ ) + [B(θ )] G. Metode Kuadrat Terkecil Regresi liear adalah metode statistika yag diguaka utuk megetahui hubuga atara variabel terikat (depede;y) dega satu atau lebih variabel bebas (idepede;x). Defiisi. Model regresi liear sederhaa didefiisika sebagai Y i = β + β X i + u i, i =,,3,, dega Y i = pegamata ke- i variabel depede Y X i = pegamata ke- i variabel idepede x β = itersep (kostata) β = parameter regresi u i = galat (error) dari pegamata ke-i Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method) merupaka salah satu metode yag serig diguaka utuk medapatka ilai-ilai peduga parameter model regresi. Misalka (x i, y i ) pasaga sampel radom berukura pegamata dari suatu populasi, berdasarka defiisi. maka persamaa garis regresiya adalah Y i = β + β X i + u i. Metode Kuadrat Terkecil bertujua utuk meetuka peduga dari β da β, yaitu β da β. Dega asumsi E(u i ) = persamaa regresi aka diduga dega Y i = β + β X i. Tujua dari Metode Kuadrat Terkecil adalah meemuka dari β da β yag memiimumka Jumlah Kuadrat Galat (Sum of Square Error;SSE).
3 Defiisi.3 Jumlah Kuadrat Galat (Sum of Square Error;SSE) didefiisika sebagai berikut SSE = (y i y ) i = [y i ( β + β x i )]. Jumlah Kuadrat Galat (SSE) aka memiliki ilai miimum jika ilai β da β memeuhi persamaa SSE β = da SSE β parsial terhadap β da β, maka diperoleh SSE β = ( [y i ( β β + β x i )] = [y i ( β + β x i )] = ( y i ( β + β x i ) = ( y i β β x i y i = β + β x i da SSE β = ( [y i ( β β + β x i )] =. Dega megguaka turua = = ) = ) = = = [y i ( β + β x i )]x i = = ( x i y i β x i β x i ) = = ( x i y i β x i β x i ) = x i y i = β x i + β x i (.4) (.5)
33 Persamaa (.4) da (.5) dapat diselesaika dega metode Elimiasi maka aka diperoleh β da β sebagai berikut β = x i y i x i y i x i = ( x i) (Y i Y ) (x i x ) (x i x ) (.6) = x i y i x i + x i y i β = x i ( x i ) x i y i x i y i x i x i ( x i ) = y i ( x i ( x i) ) ( x i y i x i y i ) ( x i x i ( x i) = ) x i y i ( y i( x i ) ) x i y i x i + ( y i( x i x i ( x i ) = y i x i y i x i y i x i ( ( x i) x i) = y β x (.7) Peduga β da β pada persamaa (.6) da (.7) adalah peduga yag memiliki jumlah kuadrat galat yag palig miimum, maka β da β adalah titik miimum. ) ) Cotoh. Tetuka koefisie dari garis lurus dega model y i = β + β x i utuk = 5 titik data yag diberika dalam tabel di bawah ii dega megguaka Metode Kuadrat Terkecil.
34 Tabel. Data Cotoh. No Roe (x i ) Gaji (y i ) 4. 95.9 3 3.5 4 5.9 578 5 3.8 368 6. 45 7 6.4 78 8 6.3 94 9.5 37 6.3 833 5.9 567 6.8 933 3 4.8 339 4.3 937 5 56.3 Sumber data: Wooldridge, Jeffrey M. (9). Itroductio Ecoometrics (4 th Editio). South-Wester: Cegage Learig. Halama: 37. Jawab: Dega megguaka persamaa kuadrat terkecil yag dimiliki, maka diperoleh hasil β = x i y i x i y i 36935. x i = 5 (33.8)(6338) ( x i) 86.78 5 (33.8) = 5.884 β = y β x = 89. (5.884.5333) = 767.4784 Jadi, peyelesaiaya adalah y = 767.4784 + 5.884 x.
35 Y 5 5 3 4 5 6 X Gambar.4 Grafik peduga Kuadrat Terkecil Peyelesaia cotoh. da Grafik diproduksi dega program R dapat dilihat pada lampira A.3. H. Metode Kemugkia Maksimum Dasar pemikira dari Metode Kemugkia Maksimum diilustrasika dalam suatu cotoh berikut. Misalka terdapat sebuah kotak yag memuat tiga bola. Diketahui bahwa setiap bola mugki berwara merah atau putih, tetapi tidak diketahui bayakya bola utuk setiap wara. Dipilih sampel secara radom dua bola tapa pegembalia. Jika sampel radom meghasilka dua bola merah, dapat disimpulka bahwa jumlah bola merah pada kotak haruslah dua atau tiga (jika terdapat ol atau satu bola merah pada kotak, maka tidak mugki utuk memperoleh dua bola merah ketika megambil sampel tapa pegembalia). Jika terdapat dua bola merah da satu bola putih pada kotak, peluag terpilihya dua bola merah secara radom adalah
36 ( )( ) ( 3 ) = 3 Jika terdapat tiga bola merah di dalam kotak, peluag terpilihya tiga bola merah secara radom adalah ( 3 ) ( 3 ) = Oleh karea itu dipilih tiga sebagai perkiraa jumlah bola merah di dalam kotak, karea perkiraa ii memaksimumka peluag dari sampel yag diamati. Tetu saja, ada kemugkia bahwa kotak haya berisi dua bola merah, tetapi hasil yag diamati memberika kepercayaa lebih bahwa ada tiga bola merah di dalam kotak. Cotoh ii megilustrasika suatu metode utuk meemuka suatu peduga yag dapat diaplikasika di berbagai situasi. Metode ii disebut Metode Kemugkia Maksimum (Maximum Likelihood Method). Defiisi.4 Misalka x, x,..., x adalah variabel radom kotiu berukura dega fugsi desitas f(x; θ) da θ adalah parameter yag tidak diketahui. Fugsi likelihood dari sampel radom adalah fugsi desitas bersama dari variabel radom da merupaka fugsi dari parameter yag tidak diketahui. Fugsi likelihood diotasika dega L (x θ) da didefiisika sebagai L (x θ) = f(x i ; θ), dega f(x i ; θ) adalah otasi fugsi probabilitas dari x i dega parameter θ. Defiisi.5 Bila fugsi kemugkia L (θ) bergatug pada k buah parameter yaitu θ, θ,..., θ k maka tujua dari Metode Kemugkia Maksimum adalah meetuka peduga dari θ yag memaksimumka L (x θ) =
37 L (x, x,..., x θ, θ,..., θ k ) atau ekuivale dega memaksimumka fugsi log-likelihood l(x θ) dega l = l L (x θ). Nilai parameter θ dapat diperoleh dega memaksimumka fugsi loglikelihood. Hal tersebut dapat diperoleh dega mecari turua parsial pertama dari fugsi log-likelihood-ya terhadap setiap parameterya. Sehigga, MLE θ merupaka peyelesaia persamaa L = θ. Misalka terdapat k parameter yag θ tidak diketahui, maka pedugaa θ i dega Metode Kemugkia Maksimum L θ i = dega l = l(θ, θ,..., θ k ) da i =,,3,, k. Cotoh. Misalka x, x,..., x adalah sampel radom berdistribusi Normal dega ratarata μ da variasi σ. Tetuka μ da σ dega megguaka Metode Kemugkia Maksimum. Jawab: x, x,..., x adalah variabel radom kotiu berdistribusi Normal dega ratarata μ da variasi σ maka fugsi probabilitas desitasya didefiisika sebagai berikut f(x) = exp [ ( σ π σ ) ((x μ) )], Berdasarka defiisi.4 maka diperoleh L (μ σ ) = f(x i ; μ, σ ) = f(x, x,..., x ; μ, σ ) = f(x μ, σ ) f(x μ, σ ) f(x μ, σ ) = [ σ π exp ( ( σ ) ((x μ) ))] exp ( ( σ π σ ) ((x μ) )) < x <
38 = ( σ π ) exp [ ( σ ) (x i μ) ] Fugsi log-likelihood dari persamaa di atas adalah l[l (μ σ )] = l {( σ π ) exp [ ( σ ) (x i μ) ]} = [l ( σ π )] σ (x i μ) = l σ l π σ (x i μ) Peduga Kemugkia Maksimum dari μ da σ adalah peduga yag memaksimumka l[l (μ σ )], dega mecari ilai turua parsial terhadap μ da σ, maka diperoleh l[l (μ σ )] = μ σ (x i μ) l[l (μ σ )] σ = σ + σ 4 (x i μ) Jika persamaa (.6) diselesaika maka aka diperoleh σ (x i μ) = (x i μ) = x i μ = μ = x i = x (.6) (.7)
39 da jika persamaa (.7) diselesaika maka aka diperoleh σ + σ 4 (x i μ) σ 4 (x i μ) σ (x i μ) = = σ = σ = (x i μ) Dega substitusi hasil dari persamaa (.6) yaitu μ = x maka hasil dari persamaa (.7) mejadi σ = (x i x ). Jadi, peduga kemugkia maksimum utuk μ da σ adalah μ = x da σ = (x i x ). I. Uji Kolmogorov-Smirov Hal yag sagat petig dalam prosedur statistik adalah meetuka distribusi yag medasari suatu kumpula data. Uji kecocoka (goodess of fit test) biasaya megkaji sebuah variabel radom dari beberapa distribusi yag tidak diketahui, yaitu suatu fugsi tertetu. Pada dasarya uji ii mecakup perhituga distribusi frekuesi kumulatif yag aka terjadi dibawah distribusi teoritisya. Misalka variabel radom x, x,, x berasal dari distribusi yag tidak diketahui F(x), da dimisalka x () < x () <.. < x () adalah statistik terurut, aka diuji hipotesis bahwa F(x) adalah sama dega suatu distribusi tertetu F (x).
4 Defiisi.6 Misalka x, x,, x adalah variabel radom. Fugsi distribusi empiris F (x) didefiisika sebagai F (x) = (x i x) Cotoh. Diberika sampel radom yag memuat x =.6, x =.53, x 3 =.3, x 4 =.477, x 5 =.7, x 6 =.58, x 7 =.39, x 8 =.48, x 9 =.554, x =.38. Berdasarka defiisi.6 fugsi distribusi empirisya adalah F (x (i) ) = (x i x (i) ) Dega x (i) adalah statistik terurut dari x i,,,3,4,5,6,7,8,9,. Maka aka diperoleh x (i).3.39.38.477.48.53.554.58.6.7 F (x (i) )...3.4.5.6.7.8.9. Defiisi.7 Statistik Uji Kolmogorov-Smirov D didefiisika sebagai D = maks (D +, D ) D + = maks (F (x) F (x (i) )) D = maks (F (x (i) ) F (x i )) Dega i =,,,. Hipotesis uji Kolmogorov-Smirov adalah H : F(x) = F (x)
4 Utuk setiap x dega F (x) adalah fugsi distribusi kumulatif yag diketahui, da H : F(x) F (x) Jika D D α () yag diberika oleh tabel Kolmogorov-Smirov, maka H ditolak pada tigkat sigifikasi α. D α () adalah ilai kritis Kolmogorov-Smirov pada tigkat α da ukura sampel. Tabel D α () dapat dilihat pada lampira A.4. J. Uji Distribusi Rayleigh megguaka Uji Kolmogorov-Smirov Uji Kolmogorov-Smirov dapat juga diguaka utuk meguji apakah data berdistribusi Rayleigh atau tidak. Uji distribusi Rayleigh dega Kolmogorov- Smirov dilakuka setelah pedugaa parameter distribusi Rayleigh. Lagkah-lagkah uji Kolmogorov-Smirov utuk distribusi Rayleigh adalah sebagai berikut. H = data berdistribusi Rayleigh. H = data tidak berdistribusi Rayleigh 3. Tetuka tigkat sigifikasi α 4. Statistik Uji: D = max(d +, D ) 5. Wilayah kritis H ditolak jika D D α () 6. a) Data diurutka dari yag terkecil sampai yag terbesar b) Hituglah F (x) berdasarka fugsi distribusi kumulatif dari distribusi Rayleigh c) Berdasarka defiisi.6 hituglah fugsi distribusi empiris F (x) d) Berdasarka defiisi.7 hituglah ilai D + da D da tetuka maksimum dari D = max(d +, D ) 7. Kesimpula
4 Cotoh.3 Ujilah apakah data berikut berdistribusi Rayleigh dega parameter skala b = Tabel. Data Cotoh.3 No 3 4 5 6 7 8 9 x i..8.7 5 3.6.4 4.7.5 No 3 4 5 6 7 8 9 x i 4. 3..4 3. 4.8 3. 4..6 Jawab:. H = data berdistribusi Rayleigh dega parameter skala b =. H = data tidak berdistribusi Rayleigh 3. Tigkat sigifikasi α =.5 4. Statistik Uji: D = max(d +, D ) 5. Wilayah kritis H ditolak jika D D α () =.948 6. a) Data diurutka dari yag terkecil sampai yag terbesar b) Aka dihitug F (x) berdasarka defiisi fugsi distribusi kumulatif dari distribusi Rayleigh, yaitu F(x) = exp ( ( x b )) c) Aka dihitug fugsi distribusi empiris F (x) berdasarka defiisi.6 d) Aka dihitug ilai D + da D berdasarka defiisi.7 da meetuka maksimum dari D = max(d +, D ) Tabel.3 Perhituga Uji Kolmogorov Cotoh.3 i x (i) F (x (i) ) F (x (i) ) F (x (i) ) D + D..5.5..45.5..75..5 -.75.675 3.4.73.5. -.673.73 4.5.45..5 -.45.95 5.8.333.5. -.83.33 6..3935.3.5 -.935.435 7..438.35.3 -..738.38
43 8.4.53.4.35 -.3.63 9.6.574.45.4 -.4.74.7.598.5.45 -.98.48.8.647.55.5 -.747.47 3..6753.6.55 -.753.53 3 3..699.65.6 -.49.99 4 3..7.7.65 -..7 5 3.6.8.75.7 -.5. 6 4..8647.8.75 -.647.47 7 4..8777.85.8 -.77.777 8 4..8897.9.85.3.397 9 4.7.9368.95.9.3.368 5..956..95.439.6 Maksimum.45.74 D = max(d +, D ) =.74 F(xi) F(xi) F...4.6.8 3 4 5 Xi Gambar.5 Grafik F (x (i) ) da F (x (i) ) Grafik tersebut diproduksi dega program R pada lampira A.5. 7. Kesimpula H diterima sebab D =..8949 D α () =.948, maka data di atas berdistribusi Rayleigh dega parameter skala b =.
BAB III PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI RAYLEIGH DENGAN METODE KUADRAT TERKECIL DAN KEMUNGKINAN MAKSIMUM A. Distribusi Rayleigh Defiisi 3. Variabel radom X dikataka mempuyai distribusi Rayleigh dega satu parameter bila fugsi probabilitasya x f(x; b)= { b e( x b ), x, b >, selaiya dega b adalah parameter skala (scale parameter). Berdasarka defiisi.4, aka ditujukka bahwa fugsi probabilitas distribusi Rayleigh merupaka fugsi desitas. ) f(x, b),utuk setiap x R Jelas bahwa f(x) utuk setiap x R. ) f(x, b) dx = Selajutya aka ditujukka bahwa Misalka u = ( x b ) maka du = b x dx f(x) dx = x b x e ( b ) = lim e u du c c dx = lim c e c + e =. = lim c e u c Terbukti bahwa f(x) adalah fugsi desitas. f(x) dx = 44
45 Grafik fugsi probabilitas distribusi Rayleigh adalah sebagai berikut.4.. b=.5 b=.8 b= b=.5 b= b=3 f(x).8.6.4.. 4 6 8 x Gambar 3. Grafik fugsi distribusi Rayleigh dega ilai b =.5,.8,,.5,, 3. Grafik tersebut diproduksi dega program R pada lampira A.6 Defiisi 3.3 Jika diketahui bahwa fugsi probabilitas dari distribusi Rayleigh seperti yag diberika pada defiisi 3., maka fugsi distribusi kumulatif dari distribusi Rayleigh dapat ditetuka. Berdasarka defiisi.5 maka diperoleh x F (x) = f(t) = t dt x t b e ( b ) dt Misalka u = ( t b ) maka du = t dt b
46 F (x) = t x t b e ( b ) x = e u du x = exp( u) du = exp ( u) x dt x = exp ( ( x b )) = exp ( ( x b )). Jadi fugsi distribusi kumulatif dari distribusi Rayleigh adalah exp ( ( x b ))...8 F(x).6.4.. b=.5 b=.8 b= b=.5 b= b=3 4 6 8 x Gambar 3. Grafik fugsi distribusi kumulatif distribusi Rayleigh Grafik tersebut diproduksi dega program R pada lampira A.7
47 B. Karakteristik Distribusi Rayleigh Satu Parameter Karakteristik distribusi Rayleigh dicirika dega adaya kostata rata-rata (mea) da variasi. a. Rata-rata (Mea) Berdasarka defiisi.6, E(X) = x. f(x) dx c = lim x x c b e ( = x b ) b lim x. x e ( c c dx x b ) = x [x x e ( b ) dx b = b [ ( b lim e ( c = lim e ( c = πb πb c c x b ) dx dx c x lim c e ( b ) dx ] lim e ( c x b ) dx ] c x b ) dx Dega megigat cotoh. bahwa σ π e (x μ σ ) dx =, atau σ π e (x μ σ ) dx = σ π (σ π) =, maka x ( e b ) dx aka memiliki peyelesaia πb, sehigga = πb πb = b π. πb
48 = b π. Jadi, rata-rata distribusi Rayleigh adalah E(X) = b π, dega π = 3,4. b. Variasi Berdasarka teorema., V (X) = E(X ) [E(X)], diketahui E(X) = b π, maka utuk mecari V (X) aka dihitug terlebih dahulu E(X ) = x. f(x) dx c = lim x x c b e ( c c = x lim x b ) dx x x b e ( b ) dx = x ( b (b ) e ( x b ) = ( lim x e ( c = ( b ) = ( b ) = b sehigga diperoleh c x e ( b ) c lim x x c b e ( x b ) dx c ) lim x c b (b )e ( x x b ) dx ) b ) dx V (X) = E(X ) [E(X)] = b (b π ) = b b π = b ( π ). Jadi, variasi distribusi Rayleigh adalah V (X) = b ( π ), dega π = 3,4.
49 C. Pedugaa Parameter Distribusi Rayleigh dega Metode Kuadrat Terkecil Pedugaa parameter distribusi Rayleigh yaitu meduga parameter skala b, pedugaa parameter dapat dilakuka dega berbagai metode, salah satuya adalah Metode Kuadrat Terkecil. Metode Kuadrat Terkecil adalah metode utuk meduga parameter dari sebuah model liear. Diketahui fugsi kumulatif distribusi Rayleigh adalah F(x) = exp ( ( x b )). Fugsi distribusi kumulatif dari distribusi Rayleigh merupaka fugsi oliear. Agar Metode Kuadrat Terkecil dapat diguaka utuk meduga parameter distribusi Rayleigh maka persamaa tersebut harus diubah mejadi persamaa liear dega megguaka trasformasi logaritma sebagai berikut F(x i ) = exp ( ( x b )) exp ( ( x b )) = F(x i) l (exp ( ( x b ))) = l( F(x i)) ( x b ) = l( F(x i)) x = b l( F(x i )) x i = b l( F(x i )) (3.).
5 Persamaa 3. tersebut dapat diubah mejadi persamaa Y i = β + β X i dega Y i = x i, β =, β = b, da X i = l( F(x i )), dega i =,,,. Dalam skripsi ii peulis haya meduga satu parameter saja maka berdasarka persamaa.4 da persamaa.5 yaitu y i = β + β x i x i y i = β x i + β x i da diketahui utuk β yag merupaka peduga dari β = maka β tidak aka dihitug, sehigga diperoleh persamaa berikut x i y i = x i + β x i x i y i = + β x i β = x iy i x i (3.) Karea β merupaka peduga dari β = b, maka β = b kemudia ilai Y i = x i, β =, β = b, da X i = l( F(x i )) disubstitusika ke persamaa (3.)
5 b = ( l( F(x i ))) x i ( l( F(x i ))) = ( l( F(x i ))) x i ( l( F(x i ))) (3.3) F(x i ) pada persamaa (3.3) tidak diketahui maka aka diduga dega F (x i ). Karea F(x i ) > maka F(x i ) < dega demikia F(x i ) diduga dega i F (x i ) =, buka dega (x + i x) sebagaimaa defiisi.6. D. Pedugaa Parameter Distribusi Rayleigh dega Metode Kemugkia Maksimum Metode Kemugkia Maksimum merupaka salah satu metode yag diguaka utuk meduga paramater. Prisip dasar metode ii adalah meetuka peduga parameter θ, yag memaksimumka fugsi likelihood. Pedugaa parameter distribusi Rayleigh adalah meduga parameter skala b. Meurut defiisi 3., fugsi distribusi probabilitas distribusi Rayleigh satu parameter adalah x f(x; b)= { b e( x b ), x, b >, selaiya Meurut defiisi.4, fugsi likelihood adalah L (x θ) = f(x i ; θ) Oleh karea itu, fugsi likelihood utuk distribusi Rayleigh adalah L (x, x,..., x b ) = f (x i ; b ) Utuk selajutya L (x, x,..., x b ) aka ditulis dega L. Misalka x, x,..., x merupaka sampel radom dari observasi dari populasi Rayleigh, maka fugsi kemugkia maksimum utuk sampel tersebut yaitu
5 L = x i = b e ( x i xi b e b ) = b x i x xi i b e b (3.3) Peduga parameter b dapat diperoleh dega memaksimumka fugsi loglikelihood-ya. Utuk meduga b aka dilakuka pedugaa terhadap b terlebih dahulu, yaitu b. Hal tersebut dapat diperoleh dega mecari turua parsial pertama dari fugsi log-likelihood-ya. Sebelum dicari turua parsial pertamaya, guaka logaritma pada kedua ruas agar persamaa (3.3) tersebut mejadi persamaa liear l L = l ( xi b e b x i ) l L = l(b ) + l (e x i b ) + l ( x i ) l L = l b + x i b + l x i l L = l b x i b + l x i (3.4) Setelah diperoleh persamaa liearya, kemudia persamaa 3.4 aka dicari turua parsial pertamaya terhadap b da ilai dari turuaya disama degaka ol, maka aka diperoleh d(l L) db = d db ( l b x i b + l x i) = = d db ( l b ) + = b + x i d db ( x i b ) + d db ( l x i) = b 4 = (3.5) Persamaa 3.5 tersebut mempuyai peyelesaia
53 b + x i b 4 = b = x i b 4 b = x i b 4 b = x i Karea b merupaka peduga dari b = x i, maka peduga bagi b adalah b = x i. (3.6) E. Fugsi Pembagkit Mome Distribusi Rayleigh Aka dicari fugsi pembagkit mome dari distribusi Rayleigh karea aka bergua utuk mecari fugsi desitas dari b. Berdasarka defiisi.3, maka diperoleh m x (t) = e tx = e tx x c c = lim f(x)dx e x b b dx b x etx e x b = b lim x c etx = b lim x e c = b lim x ( c e x Misalka w = b t c c c x b x b +tx dx dx dx b t) dx
54 = b lim x ( c e x c w ) Misalka u = x, x = u, du = xdx, dx = du x = du u = b lim u e u( c = b lim c w ) dx c c e u( w ) du = b Γ()w w = b du u Igat w = b t = b t b, sehigga, w = b b t. w b = b b t b = b b t b = b t = ( b t) Jadi, fugsi pembagkit mome dari distribusi Rayleigh adalah m x (t) = ( b t) (3.7) Teorema 3. Distribusi probabilitas atau fugsi desitas dari b adalah sebagai berikut f(b ) = b (b ) e b ( b ) ( )! b { b < Bukti: Aka dicari fugsi pembagkit momet dari b = x i. Terlebih dahulu aka dicari fugsi pembagkit mome dari X i, dega X i merupaka sampel radom dari distribusi Rayleigh. Jika X i diasumsika idepede, maka m Xi (t) dapat dicari berdasarka teorema.4 yaitu fugsi pembagkit mome dari
55 jumlaha variabel radom yag idepede sama dega perkalia fugsi pembagit mome dari masig-masig suku jumlah, m U (t) = m X (t) m X (t) m X (t). Dari persamaa (3.7) diketahui fugsi pembagkit mome dari X i yag merupaka sampel radom distribusi Rayleigh yaitu maka m x (t) = ( b t) m Xi (t) = m X (t) m X (t) m X (t) = ( b t) ( b t) ( b t) = ( b θ) Dega megguaka teorema.3 sifat dari fugsi pembagkit mome, yaitu m cg(x) (t) = m g(x) (ct) dega g(x) merupaka fugsi dari x da c adalah sebuah kostata, akhirya diperoleh fugsi pembagkit mome dari b = x i sebagai berikut (t) = m xi (t) m b = m xi ( t ) = ( b t ) Berdasarka fugsi pembagkit mome dari b di atas dapat diidetifikasi bahwa itu adalah fugsi pembagkit mome dari distribusi Gamma dega ilai tertetu. Aka dicari ilai tertetu dari distribusi Gamma yag aka meghasilka fugsi pembagkit mome yag idetik dega fugsi pembagkit mome dari b. Pertama berdasarka defiisi.9 fugsi desitas dari distribusi Gamma adalah x f(x) = { xα e β β α x Γ(α) x <