METODE ITERASI KELUARGA CHEBYSHEV-HALLEY UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR Yuli Syafti Purnama Mahasiswa Program Studi S Matmatika Fakultas Matmatika dan Ilmu Pngtahuan Alam Univrsitas Riau Kampus Binawidya Pkanbaru 893, Indonsia yulisyafti@gmail.com ABSTRACT This articl discusss th family of Chbyshv-Hally itrativ mthod with two paramtrs obtaind through a linar combination of th Nwton mthods with on paramtr. Analytically it is shown that this mthod of ordr thr for any valu of th two paramtrs. If th valu of th first paramtr is qual on and th valu of th scond paramtr can b dtrmind appropriatly, so that this mthod is of ordr four. Furthrmor, th computational tst shows that th discussd mthod is bttr than Chbyshv mthod, Hally mthod and Supr Hally mthod in trms of th rror producd in obtaining th stimatd root. Kywords: Nwton mthod, Chbyshv-Hally mthod, ordr of convrgnc, nonlinar quation. ABSTRAK Artikl ini mmbahas mtod itrasi kluarga Chbyshv-Hally dngan dua paramtr yang diprolh mlalui kombinasi linar dari dua mtod Nwton dngan satu paramtr. Scara analitik ditunjukkan bahwa mtod ini brord tiga untuk sbarang nilai dari kdua paramtr. Jika dipilih nilai pramtr prtama sama dngan satu dan nilai paramtr kdua ditntukan dngan tpat, maka mtod ini brord mpat. Slanjutnya dari uji komputasi trlihat bahwa mtod yang didiskusikan lbih baik dari pada mtod Chbyshv, mtod Hally dan mtod Supr Hally jika dilihat dari rror mtod dalam mndapatkan akar pndkatan. Kata kunci: Mtod Nwton, mtod Chbyshv-Hally, ord konvrgnsi, prsamaan nonlinar.. PENDAHULUAN Salah satu prsoalan matmatika yang sring dijumpai adalah bagaimana mnmukan akar dari prsamaan nonlinar yang dinyatakan dalam bntuk fx = 0. Tidak smua prsamaan nonlinar dapat dislsaikan mnggunakan mtod analitik, olh sbab itu pnylsaian dilakukan mnggunkan mtod numrik. Rpository FMIPA
Banyak mtod numrik yang dapat digunakan untuk mncari solusi dari prsamaan nonlinar, bbrapa diantaranya adalah sprti mtod Nwton [, h. 45] yang mmiliki ord konvrgnsi dua dngan bntuk itrasi x n+ = x n fx n, n = 0,,,..., f x n mtod Chbyshv [7, h.88] yang mmiliki ord konvrgnsi tiga dngan bntuk itrasi x n+ = x n fx n + L fx n, n = 0,,,, f x n mtod Hally [7, h.86] yang mmiliki ord konvrgnsi tiga dngan bntuk itrasi x n+ = x n fx n, n = 0,,,, f x n L f x n mtod Supr-Hally [5] yang mmiliki ord konvrgnsi tiga dngan bntuk itrasi +, n = 0,,,, x n+ = x n fx n f x n L f x n L f x n dngan L f x n = fx nf x n f x n, dan mtod Chbyshv-Hally [4]. Pada artikl ini akan dibahas mtod baru dngan mmodifikasi mtod Chbyshv-Hally dngan kkonvrgnan ord tiga yang diprolh dngan kombinasi linar dari dua mtod Nwton, yang brgantung pada paramtr β dimana β R dan dapat ditulis sbagai dimana dan G β x = β [N βx β N 0 x], N β x = x fx f x βl f x N 0 x = x fx f x. Shingga diprolh bntuk itrasi dari mtod Chbyshv-Hally dngan kkonvrgnan ord tiga trsbut adalah x n+ = x n fx n + L f x n, f x n βl f x n dngan L f x n = fx nf x n. Apabila dipilih paramtr trtntu pada prsamaan, yaitu β = 0, dan, akan diprolh bbrapa mtod yang f x n Rpository FMIPA,
sudah diknal sblumnya. Slanjutnya dngan mmodifikasi prsamaan untuk mmprcpat itrasi mnuju akar atau mmprkcil tingkat ksalahannya rror dngan dua paramtr β yang brbda yaitu β dan β shingga diprolh mtod Chbyshv-Hally dua paramatr yang mmiliki kkonvrgnan paling sdikit ord tiga dan jika dipilih nilai β dan β yang tpat maka mtod ini mmiliki kkonvrgnan ord mpat. Artikl ini mrupakan rviw dari artikl yang brjudul On th Chbyshv- Hally Family of Itration Function and th n-th Root Computation Problm [4]. Pmbahasan diawali dngan pndahuluan, dibagian kdua pmbahasan tntang mtod Chbyshv-Hally satu paramtr, kmudian dibagian ktiga pmbahasan tntang mtod Chbyshv-Hally dua paramtr bsrta analisa kkonvrgnannya dan dibagian mpat mlakukan uji komputasi.. METODE CHEBYSHEV-HALLEY SATU PARAMETER Salah satu mtod itrasi yang dapat digunakan untuk mnylsaikan prsamaan nonlinar fx = 0 adalah mtod Chbyshv-Hally yang mmiliki ord konvrgnsi tiga. Mtod Chbyshv-Hally diprolh dngan kombinasi linar dari dua mtod Nwton Nx = x fx f x. 3 Misalkan β 0 dan dibrikan G β x sprti pada prsamaan. Slanjutnya ganti fx pada prsamaan 3 dngan fx dngan β R, shingga diprolh f x β fx f N β x = x x β, 4 fx f x β kmudian dngan mnggunakan turunan u v diprolh fx f x β = f x βfx f x. 5 β f β+ x Slanjutnya dngan mnsubstitusikan prsamaan 5 k prsamaan 4, diprolh N β x = x fx. 6 f x βl f x Brdasarkan prsamaan 4 dngan mngganti nilai β mnjadi 0 diprolh N 0 x = x fx f x. 7 Rpository FMIPA 3
Kmudian dngan mnsubstitusikan prsamaan 6 dan 7 k dalam prsamaan shingga diprolh G β x = x fx + L f x. 8 f x βl f x Brdasarkan prsamaan 8 diprolh bntuk itrasi dari mtod Chbyshv-Hally adalah sbagai brikut x n+ = x n fx n + L f x n, 9 f x n βl f x n dngan L f x n = fx nf x n f x n. Mtod Chbyshv-Hally pada prsamaan 9 mmiliki ord konvrgnsi tiga [4]. Slanjutnya prhatikan kmbali prsamaan 9. Jika diambil tiga variasi nilai yang brbda untuk paramtr β, misalkan β = 0, β =, dan β = maka akan diprolh mtod itrasi lainnya sbagai brikut: untuk β = 0, maka akan dipolh mtod Chbyshv, untuk β =, maka akan dipolh mtod mtod Hally, untuk β =, maka akan dipolh mtod mtod Supr Hally. 3. METODE CHEBYSHEV-HALLEY DUA PARAMETER Slanjutnya prhatikan kmbali prsamaan. Jika diambil dua nilai brbda dari paramtr β, misalkan β dan β dimana β, β R\{0}, β β dan brdasarkan kombinasi linar G β,β x = β β β N β x β N β x 0 dimana N β dan N β adalah mtod Nwton dngan paramtr β dan β sprti pada prsamaan 6, yaitu N β x = x fx, f x β L f x dan N β x = x fx f x β L f x. Kmudian dngan mnsubstitusikan prsamaan dan k prsamaan 0 diprolh G β,β x = x fx β + β L f x f x β + β L f x + β β L f x. 3 Rpository FMIPA 4
Prsamaan 3 disbut mtod Chbyshv-Hally dua paramtr. Bntuk itrasi dari prsamaan 3 adalah sbagai brikut β + β L f x n x n+ = x n fx n f x n β + β L f x n + β β L f x n dngan L f x n = fx nf x n f x n, β, β R\{0}, β β., 4 Analisa Kkonvrgnan Mtod Chbyshv-Hally Dua Paramtr Torma Misalkan α I adalah akar sdrhana dari fungsi f : I R yang trdifrnsialkan scukupnya untuk intrval buka I. Jika x 0 cukup dkat k α, maka ord konvrgnsi dari mtod Chbyshv-Hally dua paramtr yang didfinisikan olh prsamaan 4 mmpunyai ord konvrgnsi tiga. Apabila dipilih nilai β = c 3 dan β = maka mtod Chbyshv-Hally dua paramtr mmpunyai ord c konvrgnsi mpat. Bukti: Misalkan α adalah akar sdrhana dari fx = 0 maka fα = 0, dan f α 0. Kmudian dngan mlakukan kspansi Taylor, untuk fx n diskitar x n = α sampai ord k mpat diprolh fx n = fα + f α x n α + f α x n α + f α x n α 3!! 3! + f α x n α 4 + O 5 4! n. 5 Karna fα = 0 dan n = x n α, maka prsamaan 5 dapat ditulis mnjadi atau fx n = f α n + f α n! + f α 3 n 3! + f α 4 n 4! + O5 n, fx n = f α n + f α!f α n + f α 3!f α 3 n + f α 4!f α 4 n + O 5 n, 6 dngan mmisalkan c k = f k α, k =, 3,..., maka prsamaan 6 mnjadi k!f α fx n = f α n + c n + c 3 3 n + c 4 4 n + O 5 n. 7 Slanjutnya dngan mnggunakan kspansi Taylor untuk f x n diskitar x n = α, stlah dilakukan pnydrhanaan maka diprolh f x n = f α + c n + 3c 3 n + 4c 4 3 n + O 4 n, 8 Rpository FMIPA 5
dan f x n = f α + 4c n + 4c + 6c 3 n + c c 3 + 8c 4 3 n + 6c c 4 + 9c 3 4 n + O 4 n. 9 Kmudian dngan cara yang sama digunakan kspansi Taylor untuk f x n diskitar x n = α, diprolh f x n = f α c + 6c 3 n + c 4 n + O 3 n. 0 Slanjutnya dari prsamaan 7 dan 8 diprolh fx n f x n = n + c n + c 3 3 n + c 4 4 n + O 5 n + c n + 3c 3 n + 4c 4 3 n + O 4 n. Kmudian dngan mnggunakan drt gomtri, untuk r = c n + 3c 3 n + 4c 4 3 n + O 4 n, shingga stlah disdrhanakan prsamaan mnjadi, fx n f x n = n c n + c c 3 3 n + 4c 3 + 7c c 3 3c 4 + O 5 n. Maka L f x n yang ditunjukkan olh prsamaan 4 dapat ditulis dalam bntuk dan L f x n = c n + 6c 3 6c n + 6c 3 8c c 3 + c 4 3 n + 40c 4 + 00c c 3 30c 3 50c c 4 4 n + O 5 n, 3 L fx n = 4c n + +4c c 3 4c 3 3 n + 36c 3 + 00c 4 84c c 3 + 48c c 4 4 n + O 5 n. 4 Shingga β + β L f x n = + β c β c + c n + 6β c 6β c 3 6β c 3 + 6β c 3c + 8β c c 3 + 3c 3 n + 6c 4 6β c 3 + 8c 3 6β c 3 β c 4 β c 4 4c c 3 + 8β c c 3 3 n + 30β c 3 + 40β c 4 + 50β c c 4 5c c 4 + 30β c 3 00β c c 3 + 40β c 4 + 50β c c 4 0c 4 5c 3 00β c c 3 + 50c c 3 4 n + O 5 n. 5 Slanjutnya mnghitung β + β L f x n + β β L f x n mnggunakan prsamaan 3 dan 4, diprolh β + β L f x n + β β L fx n = + β c β c n + 6β c + 6β c 6β c 3 6β c 3 + 4β β c n + 4β β c 3 6β c 3 β c 4 β c 4 6β c 3 + 4β β c c 3 + 8β c c 3 + 8β c c 3 3 n + 30β c 3 + 40β c 4 + 50β c c 4 + 50β c c 4 + 40β c 4 + 36β β c 3 + 00β β c 4 00β c c 3 00β c c 3 84β β c c 3 + 48β β c c 4 + 30β c 3 4 n + O 5 n. 6 Rpository FMIPA 6
Kmudian dari prsamaan 5 dan 6, dngan mnggunakan drt gomtri dan stlah dilakukan pnydrhanaan maka diprolh β + β L f x n β + β L f x n + β β L f x n = + c n + 3c + β c + β c 4β β c + 3c 3 n + 8β β c 3 β c 3 + 8c 3 + 4β c 3 β c 3 4c c 3 8β c 3 β + β c c 3 + 4β c 3 4β β c c 3 + β c c 3 + 6c 4 8β c 3 β 3 n + 4β c c 4 9β c c 3 + 4β c c 4 9β c c 3 36β β c 3 36β β c 4 + 0β β c c 3 48β β c c 4 + 8β c 3 + 50β c 4 + 8β c 3 + 50β c 4 36β c 4 36β c 4 + 8β 3 c 4 + 8β 3 c 4 5c 3 5c c 4 0c 4 + 50c c 3 7β c 3 β c 7β c 3 β c + 36β c 3 c + 36βc 3 c + 80βc 4 β + 80βc 4 β 6ββ c 4 6βc 3 4 β 6βc 3 4 β 4 n + O 5 n. 7 Jika prsamaan 7 disubstitusikan k prsamaan 4 maka diprolh x n+ = α + β c c 3 β c + c + 4β β c 3 n + β c c 3 + 4β c 3 9c 3 3c 4 + 8β c 3 β + 4β c 3 + c c 3 + 4β β c c 3 + 8β c 3 β 4β c 3 β c c 3 3β β c 3 4β c 3 4 n + O 5 n, 8 karna n+ = x n+ α maka n+ = β c c 3 β c + c + 4β β c 3 n + β c c 3 + 4β c 3 9c 3 3c 4 + 8β c 3 β + 4β c 3 + c c 3 + 4β β c c 3 + 8β c 3 β 4β c 3 β c c 3 3β β c 3 4β c 3 4 n + O 5 n. 9 Brdasarkan Dfinisi ord konvrgnsi dan prsamaan tingkat ksalahan [6] maka pada prsamaan 9 mnujukkan bahwa mtod itrasi Chbyshv-Hally dua paramtr mmiliki ord konvrgnsi tiga. Apabila diambil nilai β = dan mmilih β = c 3 c maka kofisin 3 n sama dngan nol shingga prsamaan 9 mnjadi n+ = 7c 3 c 3 3c 4 + 5c c 3 4 n + O 5 c n. 30 Brdasarkan Dfinisi ord konvrgnsi dan prsamaan tingkat ksalahan [6] maka prsamaan 30 mnunjukkan bahwa mtod itrasi Chbyshv-Hally dua paramtr mmiliki ord konvrgnsi mpat. Rpository FMIPA 7
4. UJI KOMPUTASI Pada bagian ini dilakukan uji komputasi untuk mmbandingkan kcpatan dalam mnmukan akar hampiran dari prsamaan nonlinar antara mtod Chbyshv MC, mtod Hally MH, mtod Supr-Hally MSH, mtod Chbyshv-Hally MCH, dan mtod Chbyshv-Hally dua paramtr MCHDP. Brikut ini adalah bbrapa contoh fungsi [3],[] dan nilai tbakan awal bsrta akar yang digunakan untuk mmbandingkan mtod-mtod trsbut. f x = sin x x + x 0 =.3 α =.40449648534 f x = x 5x + 6 x 0 =.0 α =.0000000000000000 f 3 x = x x x 0 =.0 α =.0083898764 Untuk mlakukan uji komputasi dari ktiga contoh fungsi prsamaan nonlinar di atas, digunakan program Mapl3. Untuk mndapatkan solusi numrik dari ktiga contoh fungsi di atas, trlbih dahulu ditntukan kritria pmbrhntian jalannya program komputasi yang sama untuk smua mtod, yaitu jika nilai mutlak fungsi lbih kcil dari tolransi yang dibrikan, atau jika slisih nilai mutlak antara dua akar hampiran yang brdkatan brnilai lbih kcil dari tolransi yang dibrikan, atau jika jumlah itrasi mncapai maksimum itrasi. Tabl mrupakan tabl prbandingan hasil komputasi dari lima mtod yang brbda. Fungsi f n mnyatakan fungsi prsamaan nonlinar, x 0 mrupa-kan tbakan awal itrasi, n mrupakan banyaknya itrasi, x n mrupakan akar hampiran yang diprolh dari stiap mtod, fx n mrupakan nilai mutlak dari fungsi untuk akar hampiran k-n dan x n x n mrupakan slisih nilai mutlak antara dua akar hampiran yang brdkatan. Brdasarkan Tabl smua mtod yang dibandingkan brhasil mnmukan akar yang diharapkan dari smua contoh fungsi yang dibrikan. Pada smua contoh tampak bahwa mtod Chbyshv-Hally MCH, mtod Chbyshv-Hally dua paramtr dngan konvrgnsi ord tiga MCHDP, mmrlukan itrasi yang rlatif sdikit atau sama jika dibandingkan dngan mtod Chbyshv MC, mtod Hally MH dan mtod Supr-Hally MSH. Olh karna itu mtod Chbyshv-Hally dua paramtr dngan konvrgnsi ord tiga dapat dikatakan sbanding dngan mtod brord tiga lainnya atau dapat dijadikan mtod altrnatif untuk mnylsaikan prsamaan nonlinar brord tiga. Rpository FMIPA 8
Tabl : Prbandingan hasil komputasi dari bbrapa mtod itrasi Mtod n x n fx n x n x n f x, x 0 =.3 MC 5.40449648534.340 7.679494 4 MH 9.40449648534.47 6.9539 3 MSH 6.40449648534 5.36809 35 7.4938 8 MCH 5.40449648534 8.3478 74 3.04809 5 MCHDP 4.40449648534.5737 4 5.0564 4 f x, x 0 =.0 MC 5.0000000000000000.497743 56.30096 9 MH 0.0000000000000000.656053 54 7.49790 8 MSH 7.0000000000000000 6.0086 54 3.46494 7 MCH 5.0000000000000000 7.547073 59 3.474044 0 MCHDP 4.0000000000000000.3370 39.88380 3 f 3 x, x 0 =.0 MC 3.0083898764.4584 50.793 6 MH 5.0083898764 3.694783 54 4.530093 7 MSH 4.0083898764 8.50759 39 5.34657 9 MCH 3.0083898764 4.8443 50.50499 6 MCHDP 3.0083898764 4.98 48 5.96978 6 Ucapan Trimakasih Pnulis mngucapkan trimakasih kpada dosn Pmbimbing Bapak Supriadi Putra, M.Si, dan Bapak Khozin Mu tamar, M.Si yang tlah mmbrikan arahan dan bimbingan dalam pnulisan skripsi pnulis yang mnjadi acuan artikl ini. DAFTAR PUSTAKA [] Basto, M., Smiao, V., & Calhiros, F. L. 006. A Nw Itrativ Mthod to Comput Nonlinar Equations. Applid Mathmatics and Computation. 73: 468 483. [] Burdn, R. & Fairs, J. D. 0. Numrical Mthods, 3 th Ed. Brooks Col, Blmont. [3] Chun, C. 007. Som Scond-Drivativ-Fr Variants of Chbyshv-Hally Mthods. Applid Mathmatics and Computation. 9: 40 44. [4] Dubau, F. & Gnang, C. 03. On th Chbyshv-Hally Family of Itration Functions and th n-th Root Computation Problm. Intrnational Journal of Pur and Applid Mathmatics. 85: 05 059. Rpository FMIPA 9
[5] Gutirrz, J. M. & Hrnandz, M. A. 997. A Family of Chbyshv-Hally Typ Mthods in Banach Spacs. Bull. Austral. Math. Soc. 9: 3 30. [6] Sharma, J. R. & Guha. R.K. 0. Som Modifid Nwton Mthods with Fourth-Ordr Convrgnc. Advanc in Scinc Rsarch. : 40 47. [7] Wait, R. 979. Th Numrical Solution of Algbraic Equations. John Wily & Sons, Inc., Chicstr. Rpository FMIPA 0