BAB 2 DISTRIBUSI INDUK DAN DISTRIBUSI SAMPEL

Transkripsi

1 BAB DISTRIBUSI IDUK DA DISTRIBUSI SAMEL.. EDAHULUA Jika suatu bsaran mmiliki nilai ssungguhnya sdangkan hasil ukurnya adalah maka kita mngharapkan hasil pngamatan mndkati, namun knyataannya tidak slalu dmikian. Jika dilakukan pngukuran brulang mungkin hasilnya brbda dari hasil ukur prtama. Jika pngukuran diulangi sampai banyak kali maka akan diprolh sbaran data. Ada data yang tlalu kcil, ada yang trlalu bsar. Walaupun dmikian kita brharap smua data hasil ukur masih brada di skitar nilai sbnarnya asalkan kita dapat mmprbaiki ralat sistmatis. Jika dilakukan pngukuran sampai tak hingga kali maka kita dapat mlukiskan distribusi data yang ssungguhnya. amun sayangnya hal ini tidak mungkin dilakukan dan bisanya hanya dalam hipotsis. Distribusi ini disbut distribusi induk. Untuk data yang diprolh dari pngukuran dalam umlah trbatas, maka distribusinya mrupakan distribusi sampl. Jika umlah pngukuran mndkati tak hingga maka distribusi sampl mndkati distribusi induk a kali b kali Gambar.. Distribusi data dngan kali pngukuran a, 3 kali pngukuran b

2 Gambar.. Histogram pngukuran panang balok. Kurva gaussian yaitu garis pnuh diprolh dari prhitungan dngan rata-rata =9,9 cm dan dviasi standar s =,5 cm. Kurva garis putus-putus mnyatakan distribusi induk dngan rata-rata =, cm dan dviasi standar =,5 cm. Contoh: Mahasiswa mngukur panang balok sbanyak kali. Hasil pngamatannya stlah dikorksi dngan ralat sistmatis brada diantara 8 cm dan bbrapa pngamatan hasilnya sama. Gambar mnyatakan histogram frkunsi pngukuran. Sumbu y mnyatakan umlah pngukuran. Jika hasil pngukuran brupa distribusi dngan ksalahan acak maka bntuknya mngikuti Gaussian atau distribusi ksalahan normal. Sumbu digambar mulai dari -d/ +d/. Jika kurva dinormalisasi shingga luas darah di bawah kurva samadngan maka disbut fungsi distribusi probabilitas. Untuk mnyatakan paramtr dari distribusi induk digunakan huruf Yunani sdangkan untuk mnyatakan paramtr distribusi sampl digunakan huruf latin. aramtr distribusi ksprimn sampl akan sama dngan paramtr distribusi induk ika umlah pngukuran mncapai batas tak hingga. Jika ksprimn dilakukan sbanyak kali maka paramtr induk = lim paramtr ksprimn Jika dilakukan pngukuran sbanyak dan masing-masing pngukuran dibri labl,...,,, 3 maka umlah dari sluruh pngukuran adalah: i i 3...

3 Untuk pnydrhanaan biasa ditulis dngan: i.. MEA, MEDIA DA MODUS Rata-rata untuk populasi sampl: i. Man untuk populasi induk: lim i. Man sama dngan nilai rata-rata dari. Gambar.3 Distribusi asimtrik yang mnggambarakan posisi man, mdian dan modus dari variabl. Mdian dari populasi induk / mrupakan nilai tngah dari populasi induk. Adanya / mmbuat sparoh dari data lbih kcil dari / dan sparoh data lbih bsar dari /. Jadi /.3 i / i / Modus adalah nilai yang paling sring muncul most probabl valu, ma..3. DEVIASI Dviasi.4 ma ma i dari smua pngukuran didfinisikan sbagai slisih antara i dan : i dngan nilai rata-rata distribusi induk 3

4 i i.5 Dalam prhitungan, dviasi biasanya dihitung trhadap man dan bukan trhadap mdian atau modus. Rata-rata dviasi i harus sama dngan nol. lim lim lim i i.6 Rata-rata mutlak dviasi didfinisikan sbagai rata-rata dari harga mutlak dviasi: lim i.7 Dviasi rata-rata mrupakan ukuran pnybaran pngamatan yang diharapkan di skitar man. aramtr lain yang lbih mudah digunakan scara analitik dan lbih mncrminkan pnybaran pngamatan adalah dviasi standar. Varian didfinisikan sbagai limit rata-rata dari kuadrat dviasi trhadap nilai : lim i lim i.8 Dviasi standar adalah akar varian. Ruas kanan prs..8 sring diungkapkan dngan rata-rata dari kuadrat, minus kuadrat rata-rata. Dalam mkanika kuantum dituliskan. Dviasi standar mrupakan rms akar kuadrat rata-rata dari dviasi. Untuk populasi sampl, dviasi standar kuadrat dinyatakan dngan: atau dviasi standar s i.9 s i dimana faktor - pada pnybut untuk mnyatakan bahwa paramtr ditntukan dari data dan bukan paramtr bbas di luar data..4 MEA DA DEVIASI STADAR DARI DISTRIBUSI ROBABILITAS Dfinisi dan standar dviasi trkait dngan distribusi induk dari populasi induk. Fungsi probabilitas didfinisikan sdmikian rupa shingga pada batas umlah 4

5 pngamatan yang sangat bsar, proporsi mnghasilkan nilai antara dan +d dibrikan olh d = d. d pngamatan trhadap variabl yang ilai man mrupakan nilai harap dari atau ditulis, dan varian mrupakan nilai harap dari kuadrat dviasi dari trhadap, atau ditulis. ilai harap smbarang fungsi, f didfinisikan sbagai rata-rata brbobot dari f mliputi sluruh nilai yang mungkin dari variabl, dimana stiap nilai f dibri bobot dngan distribusi rapat probabilitas. Distribusi diskrit Jika fungsi probabilitas mrupakan fungsi diskrit dari nilai obsrvabl, maka umlah sluruh pngamatan individual i pada prs.. diganti dngan umlah sluruh nilai ROBABILITAS pngamatan, dikalikan dngan banyaknya pngamatan trsbut yang diharapkan tradi. Jika trdapat n kmungkinan nilai obsrvabl yang brbda dan ditulis sbagai dngan indk bralan dari sampai n tanpa nilai yang sama, maka dari pngamatan total dapat diprolh umlah pngamatan bagi stiap obsrvabl sbanyak. Slanutnya man dapat dinyatakan: lim lim i n n lim. Bandingkan dngan distribusi frkunsi: fi f i i fi i f i i Dngan cara yang sama, varian pada prs..8 dapat dinyatakan dalam bntuk fungsi probabilitas mnadi: n n lim lim i i. Umumnya nilai harap dari smbarang fungsi f dinyatakan dngan: f f. n 5

6 Contoh: Di dalam klas trdiri dari 4 orang dngan sbaran umur sbagai brikut: o, Umur, Jumlah, Jumlah 6 4 Ungkapan tsbut dapat dinyatakan dngan = 4 = = 5 = 3 = 6 = 3 4 = = 5 = 4 = 6 = 5 = 5 4 rtanyaan: Brapakah pluang ssorang brumur 5 tahun? Jawab: Ini mrupakan pluang individu. 5 4 rtanyaan: Brapakah pluang ssorang brumur 4 tahun? 4 4 Jika ditablkan maka pluang masing-masing umur adalah: 4 = /4 5 = /4 6 = 3/4 = /4 4 = /4 6

7 5 = 5/4 + = 4/4 = rtanyaan: Brapakah pluang mmprolh sorang brumur 4 atau 5 Jawab: adalah umlah dari kdua pluang individu. 4 atau Jumlah smua pluang individu adalah. total rtanyaan: Brapakah umur yang mmiliki pluang trbsar? Jawab: Adalah 5. Tampak bahwa 5 paling bsar dibandingkan yang lain. rtanyaan: Brapakah mdiannya? Jawab: 3 karna / / = 7 yaitu 7 orang lbih muda dan 7 orang lbih tua. Umumnya mdian adalah suatu nilai sdmikian rupa shingga pluang untuk mmprolh nilai lbih bsar sama dngan pluang untuk mmprolh nilai lbih kcil. rtanyaan: Brapakah umur rata-rata? Jawab: Umumnya harga rata-rata dari ada yang mnuliskan dngan notasi < > dibrikan olh: rtanyaan: brapakah umur kuadrat rata-rata? Jawab: = 459,57. ilai ini tidak sama dngan rata-rata kuadrat yang nilainya samadngan 44. 7

8 8 Gambar. Dua histogram dngan mdian, rata-rata, pluang paling bsar sama namun simpangan baku brbda. Untuk mngtahui ukuran pnyimpangan suatu data individu trhadap nilai rata-ratanya digunakan. ilai bisa ngatif bisa positif. Jika diambil rata-ratanya maka sama dngan nol. Untuk mmunculkan adanya pnyimpangan data trhadap rata-ratanya digunakan kuadrat harga mutlak dari yang diknal dngan varians. =.a i X = - rat

9 rat= =9.33 X rat= ,33 Varians : 9, 89 n 6 9,33 Standar dviasi : = 4, 46 n 6 Jika dari prsamaan 7 Varians: 393,67 9,33 9, 89 Standar dviasi: 4, 46 Hasilnya sama Untuk varians sampl maka bilangan pmbaginya n- Distribusi kontinyu Jika fungsi probabilitas mrupakan fungsi yang brvariasi scara kontinyu dari nilai yaitu, maka tanda sumasi untuk sluruh pngamatan individu pada prs.. dapat diganti dngan intgral untuk sluruh nilai dikalikan dngan probabilitas. Rumusan dari man mnadi: d.3 dan varian mnadi: d d.4 ilai harap nilai rata-rata smbarang fungsi mnadi: f d.5 f 9

10 Bbrapa probabilitas pluang yang biasa digunakan untuk mnganalisis data adalah distribusi binomial, distribusi oisson dan distribusi Gaussian. Diantara ktiga nis trsbut yang paling sring digunakan dalam pnlitian fisika adalah distribusi Gaussian yaitu untuk mlukiskan distribusi pngamatan acak dari suatu ksprimn. Distribusi oisson digunakan untuk mnganalisis data acak ika itm atau pristiwa diamati dalam satuan intrval trtntu, sprti analisis pluruhan radioaktif, atau sbaran data yang tlah disortir dan diklompokkan pada stiap intrval angkau trtntu shingga dapat dibuat tabl frkunsi atau histogram. Distribusi binomial biasanya untuk mnggambarkan pristiwa dari sumlah kmungkinan pristiwa yang mungkin, sprti umlah gambar atau angka yang muncul pada plmparan mata uang, umlah partikl yang trhambur mnuu atau kmbali k arah brkas sinar datang. Distribusi oisson O = O = 4 O = Dalam tori probabilitas dan statistik, distribusi oisson mrupakan distribusi probabilitas diskrit yang mnyatakan probabilitas suatu pristiwa yang tradi pada angkau waktu trtntu dan mmiliki rata-rata harga harap tidak ada kaitannya dngan pristiwa sblumnya. Distribusi oisson uga dapat digunakan untuk nis intrval yang lain tidak harus waktu sprti arak dan volum, umlah dan lain-lain. Jika rata-rata kadian pada angkau waktu trsbut adalah maka probabilitas tradinya pristiwa adalah : ; B ; n, p.6! lim p

11 dngan ; probabilitas oisson untuk nilai yang mmiliki rata-rata dan, ; lim p n B p adalah limit probabilitas binomial ika p. Ingat bahwa ; tidak prnah untuk = karna! =. Dmikian pula tidak didfinisikan untuk ngatif. rs..6 mnyatakan fungsi probabilitas trnormalisasi, shingga umlah fungsi yang dihitung pada smua nilai variabl samadngan.!! ;.7 ingat drt taylor untuk 4 3!... 4! 3!!! n n n Man dan Standar dviasi Distribusi oisson sbagaimana distribusi binomial mrupakan distribusi diskrit. Distribusi oisson hanya didfinisikan pada nilai bulat, positif dan bilangan riil. Man distribusi oisson mrupakan paramtr pada prs. fungsi probabilitas ;.6.!! ;!!.8 Standar dviasi dicari dari varians.!!!!!!!!!. maka.9.

12 Maka distribusi poisson hanya mmiliki paramtr tunggal yaitu. Contoh : Dua ratus pnumpang tlah mmsan tikt untuk sbuah pnrbangan luar ngri. Jika probabilitas pnumpang yang tlah mmpunyai tikt tidak akan datang adalah. maka brapakah pluang ada 3 orang yang tidak datang. Jawab : Ungkapan orang tlah mmsan tikt dan probabilitas tidak brangkat,, artinya rata-rata pmsan tikt yang tidak brangkat adalah, =. adi =. Slanutnya untuk = 3 maka 3,.84 atau 8.4 %! 3! Contoh : Rata rata sorang skrtaris baru mlakukan lima ksalahan mngtik pr halaman. Brapakah pluang bahwa pada halaman brikut ia :. Tidak ada ksalahan =. Tidak lbih dari tiga ksalahan 3 atau,,,3 3. Lbih dari tiga ksalahan > 3 atau 4,,5 Diktahui: rata-rata µ = a. untuk = maka,5. 67! b. untuk 3 ; 3; 5 ;5 ;5 ;5 3;5 = =.65 atau 6.5 % c. untuk > 3 maka 3;5 3;5.65, 735 atau 73,5% Contoh 3: Dua siswa mngukur cacah latar dari radiasi sinar kosmis di lab. Fisika sbagai tugas untuk mnntukan umur isotop radioaktif prak. Data dirkam olh dtktor pada stiap dtik sbanyak data dan diprolh umlah cacahnya,69 cacah / dt. Dari rumus kduanya mmprkirakan standar dviasinya,69, 3 dan dari

13 prhitungan diprolh s =,9 dg rumus n / n s. Slanutnya kdua siswa mngulangi ksprimn, skarang dtktor mrkam data stiap 5 dt sbanyak 6 data. Diprolh man,48 cacah/5dtik dan standar dviasi,48 3, 7. Standar dviasi yang dihitung dari data dngan prs..9 adalah s = 3,39. rincian kdua prcobaan adalah sbagai brikut: rcobaan rcobaan Intrval waktu dtik 5 dtik Jumlah data 6 Man,69 cacah/ dt,48 cacah/5 dt Standar dviasi =,3 = 3,7 S =,9 s = 3,39 Gb..3 Gb..4. Histogram kdua st data ditunukkan pada Gambar.3 dan.4 bukan gambar distribusi probabilitas, namun langsung diklompokkan intrval cacah trhadap frkunsi atau umlah kadian. Dari Gambar.3 tampak bahwa kurva tidak simtri, shingga posisi tidak brsama-sama dngan modus puncak kurva. Gambar.4 hampir simtris pada nilai rrata. Jika naik maka tingkat simtri distribusi oisson uga brtambah sampai tidak bisa dibdakan dngan distribusi Gaussian. rubahan intrval Distribusi oisson dapat diimplmntasikan dalam kasus yang lbih spsifik ika pada kasus yang lbih umum tidak mmbrikan cukup arti. Misalnya rata-rata pristiwa dalam intrval tiap am sama, maka tidak ada artinya kita mnghitung probabilitas pristiwa dalam suatu am trtntu. Ada kmungkinan ika intrval waktunya diprsmpit maka umlah pristiwa mnadi brbda. Misalnya umlah pristiwa pada mnit prtama, brbda dngan umlah pristiwa pada mnit kdua. Maka distribusi poisson mnadi lbih brmakna. Hal trsbut dapat dilakukan ika pristiwa kdua tidak brgantung pada pristiwa prtama. Dalam intrval nis kdua ttap harus tramin tidak ada ksamaan umlah pristiwa untuk intrval waktu brikutnya. Jika masih tradi ksamaan maka pnggunaan distribusi poisson gagal. Dalam kasus prubahan intrval pristiwa ini maka brlaku: 3

14 ; ; t t t! Dngan = umah pristiwa prsatuan waktu t = umlah satuan waktu Contoh soal : Jika rata rata kdatangan bis di suatu trminal λ = 7 stiap am, brapakah pluang dari = 4 kdatangan dalam t = 3 mnit? Jawab: Dalam kasus ini λ = 7 kdatangan stiap am namun yang ditanyakan adalah 4 kdatangan pr 3 mnit. Olh karna itu = 7/am diubah mnadi 7/6 mnit = 7/3 mnit = 7//3 mnit = 3,6 kndaraan / 3mnit. 4 3,6 3,6 4;3,6,9 atau 9, % 4!,5, robabilitas,5,, Jum lah kndaraan Jumlah robailitas Jika diinginkan mnntukan umlah probabilitas sampl mulai dari sampai dngan pada kurva distribusi oisson dngan man, maka S, ; ;. Jika diinginkan mnntukan umlah probabilitas sampl dngan kadian sbanyak n atau lbih dan man maka : n n S n, ; ;.! 4

15 Dari contoh di atas cacah trkam rata-rata untuk intrval 5 dtik adalah =,48. Dalam intrval prtama maka diprolh nilai 3. robabilitas untuk mmprolh nilai 3 atau lbih adalah ~,8. ada kasus umlah kndaraan di atas, Jumlah probabilitas,8,6,4, Jumlah kndaraan Jumlah ; 3,6,734,5689,3747 3,556 4, ,8449 6,9677 7,969 8, ,995976,99879,99963,9999 3, , , Vrifikasi nilai rata-rata distribusi oisson ;3,6 ;3,6,734,98365,

16 ,7758,3545 3,469, ,9, ,3768,6884 6,868, ,4484, ,98,5943 9,7647,6884,753,753,9,99,7, ,49E-5,973 4,9E-5,69 5 4,6E-6 6,93E-5 6,4E-6,66E-5 Jumlah 3,6 Dari kolom ktiga bawah, maka ssuai dngan prsamaan.8 diprolh ; 3,6 BELUM.3 DISTRIBUSI ORMAL ATAU GAUSSIA Distribusi Gaussian mrupakan kadaan khusus dari pndkatan distribusi binomial ika umlah pngamatan brbda yang mungkin n mnadi tak brhingga bsar dan probabilitas brhasil untuk stiap pngamatan cukup bsar shingga np >>. Kadaan ini mnadi distribusi oisson ika mnadi bsar. Karaktristik Fungsi probabilitas Gaussian didfinisikan: G ;, p.3 Bntuk trsbut mrupakan fungsi kontinyu yang mlukiskan probabilitas untuk mmprolh nilai, hasil pngamatan scara acak dari distribusi induk dngan paramtr dan yaitu man dan dviasi standar. Karna distribusinya kontinyu maka prlu mndifinisikan intrval dimana nilai hasil pngamatan dari akan brada. Fungsi probabilitas didfinisikan sdmikian rupa shingga probabilitas dq G ;, nilai suatu pngamatan scara acak akan brada dalam intrval d di skitar dibrikan olh: dq ;, ;, d.4 G G dngan d mrupakan nilai yang kcil skali. Maka fungsi probabilitas trnormalisasi mnadi: 6

17 dq G, dq G ;, G.5 ; d Bukti: Lbar kurva ditntukan dngan nilai sdmikian rupa shingga untuk tinggi kurva brkurang mnadi -/ dari nilai puncaknya. G / G maka ;, ;,.6 Bntuk distribusi Gaussian ditunukkan pada Gambar.5. Kurva brbntuk sprti loncng dan simtri di man. Gambar.5 robabiltas Gaussian yang mnggambarkan hubungan,, dan.e. trhadap kurva. Kurva mmiliki luas Karaktrisasi yang lain adalah pada lbar stngah puncak maksimum, yang sring dinyatakan dngan lbar stngah half-width, didfinisikan dngan angkau yang mnghasilkan probabilitas stngah dari nilai maksimumnya. G ;, ;, G.7 karna G ma. Dngan dfinisi ini maka dari prs..3 dapat diprolh: = ada gambar tampak bahwa bagian kurva yang paling tral brada pada ktinggian -/ brssuaian dngan absis =. Kurva ini ika dilanutkan akan brpotongan dngan sumbu =. Contoh: Cacah radioaktif Cs-37 slama dtik sbanyak kali pncacahan di lab fisika modrn UAD. 7

18

19 Langkah-langkah prtama adalah mngurutkan data mnsortir data dngan mnolak data mnggunakan dngan kritria. Ada sbanyak data yang trtolak. ma min Mnntukan panang intrval dngan rumus: panang intrval k dngan k adalah umlah pmbagi pada sumbu : k 3,3log =,86 dibulatkan mnadi, dngan umlah data ditrima dalam hal ini = 978 intrval frkunsi m m

20 = dtik.5 3 dtik dtik m..5 4 m 6 8 Tamilan running program Igor Display wav vs wav ModifyGraph mod=3 CurvFit gauss wav /X=wav /D Fit convrgd proprly fit_wav= W_cof[]+W_cof[]*p--W_cof[]/W_cof[3]^ W_cof={.33,.7995,4.745,3.} V_chisq=.5994; V_npnts= ; V_numas= ; V_numIFs= ; W_sigma={.6,.,.758,.45} Cofficint valus ± on standard dviation y =.33 ±.6 A =.7995 ±. = ±.758 width = 3. ±.45 Hasil fitting data mngikuti profil gaussian mnunukkan bahwa pada t = dtik prsamaan brbntuk:

21 y Distribusi Gaussian standar Bntuk standar dari prsamaan Gaussian dibntuk dngan mndfinisikan variabl tak brdimnsi z = -/, shingga: z G z dz p dz.9 Jadi dari tabl nilai G z maka dapat diprolh fungsi distribusi Gaussian G ;, untuk smua nilai paramtr dan dngan mngubah variabl dan mmbuat skala fungsi dngan /. Man dan Dviasi Standar aramtr dan pada prs..3 untuk distribusi rapat probabilitas Gaussian brhubungan dngan man dan dviasi standar fungsi. Ekuivalnsi ini dapat dibuktikan dngan mnghitung dan dari prs..3 dan.4 sbagai nilai harap untuk fungsi Gaussian dan -. Untuk sampl data trbatas, yang diharapkan mngikuti distribusi rapat probabilitas Gaussian, man dan dviasi standar dapat dihitung scara langsung dngan prs.. dan.9. hasilnya dan s mrupakan stimasi dari man dan dviasi standar. robabilitas Intgral robabilitas intgral mrupakan probabilitas pngukuran mnyimpang dari harga man sbsar. Bsarnya dapat diturunkan dngan mnghitung intgral scara numrik: AG ;, p d.3 yang artinya probabilitas bahwa smbarang nilai mnyimpang dari man kurang dari. Karna fungsi probabilitas G ;, trnormalisasi mnadi, maka probabilitas bahwa suatu pngukuran akan mnyimpang dari man lbih dari hanya A G ;,. Yang mnarik adalah probabilitas yang brhubungan dngan dviasi,,.. trhadap man trkait dngan,,.. pada dviasi standar. Eror trbolh adi probabl rror,.e. mrupakan harga absolut dviasi sdmikian rupa shingga probabilitas dviasi dari smbarang pngamatan yang dilakukan scara acak kurang dari ½ atau 5%. Jadi sparoh dari obsrvasi dalam ksprimn diharapkan turun pada batas.e. Jika digunakan bntuk distribusi gaussian standar sbagaimana prs..9 maka dapat dihitung probabilitas intgral A G z dalam variabl tak brdimnsi z = -/, i

22 z z / AG z dz dz.3 z dimana z = / mngukur dviasi dari man dalam satuan dviasi standar. Intgral pada prs..3 tidak dapat dihitung scara analitik shingga untuk mnntukan A G ;, maka fungsi Gaussian arus dikspansikan mnurut drt Taylor dan mngintgrasikan suku dmi suku atau mngintgrasikan scara numrik. Tabl dan Grafik Fungsi probabilitas Gaussian G z dan probabilitas intgral A G z tlah ditablkan. Dari tabl probabilitas intgral diprolh bahwa probabilitas pngukuran mnghasilkan dviasi dari man dan skitar 68% dan 95%. Dngan cara yang sama, dngan mmisalkan batas probabilitas 5% maka dapat dilihat nilai ror trbolhadi.e = Kmncngan kurva Skwnss Kmncngan kbalikan dari simtri. ada drt simtris modus, mdian, rata-rata idntik. Kofisin kmncngan = man modus standar dviasi Kurtosis kmnonolan Mrupakan ukuran tingkat kmnonolan distribusi. Ukuran kurtosis dinyataka dngan, dan dngan, 4 o Jika = 3 maka kurva normal msokurtik o Jika > 3 maka kurva mngrucut lptokurtik o Jika < 3 maka kurva mndatar platikurtik

23 3

24 4

25 5