Kurikulum 1 Kelas matematika PEMINATAN PERTIDAKSAMAAN RASIONAL Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami definisi pertidaksamaan rasional.. Memahami sifat-sifat pertidaksamaan rasional.. Dapat menyelesaikan pertidaksamaan rasional. A. Definisi Pertidaksamaan Rasional Perhatikan bentuk-bentuk pertidaksamaan berikut. ( a) ( b) Kedua pertidaksamaan tersebut memuat bentuk pecahan atau rasional. Namun, apakah keduanya termasuk pertidaksamaan rasional? Tidak, hanya (b) yang merupakan pertidaksamaan rasional, karena memuat variabel pada penyebutnya. Sementara (a) bukan pertidaksamaan rasional, karena penyebutnya tidak memuat variabel. Jadi, pertidaksamaan rasional adalah pertidaksamaan bentuk pecahan (rasional) yang penyebutnya memuat variabel. Pertidaksamaan rasional dapat dibedakan menjadi dua, yaitu pertidaksamaan rasional linear dan pertidaksamaan rasional kuadrat. Bentuk umum dari kedua pertidaksamaan tersebut adalah sebagai berikut.
1. Pertidaksamaan rasional linear: a b c d c c d <, dan Menggunakan salah satu tanda ketidaksamaan. Pertidaksamaan rasional kuadrat: a b c <, p q dan a Menggunakan salah satu tanda ketidaksamaan p q a b c p q r a p p q r <,,,dan Menggunakan salah satu tanda ketidaksamaan B. Sifat-Sifat Pertidaksamaan Rasional Masih ingatkah kamu tentang sifat-sifat pembagian pada bilangan bulat? Agar kamu ingat kembali, perhatikan sifat-sifat berikut ini. ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) = ( ) ; ;( ) = ( ); ( ) ( ) = ( ); ( ) ( ) = f( ) ; = tidak terdefinisi f Dari sifat-sifat pembagian tersebut, dapat diperoleh sifat-sifat pertidaksamaan rasional berikut. 1. f( ) f( ) > dan berkaitan dengan sifat g( ) g( ) ( ) ( ) = ( ) dan ( ) ( ) = ( ). Ini berarti, agar f( ) bernilai positif (> ), f () dan g() harus sama-sama positif atau sama-sama g( ) f( ) negatif. Selain itu, ingat bahwa = tidak terdefinisi, sehingga syarat f( ) g( ) terdefinisi adalah g( ). Dengan demikian, diperoleh sifat berikut. Jika f ( ) >, f () > dan g () > atau f () < dan g () <. g( ) Jika f ( ) g( ), f () dan g () > atau f () dan g () <.
. f( ) f( ) < dan berkaitan dengan sifat ( ) ( ) ( ) ( ) g( ) g( ) ( ) = dan ( ) =. Ini berarti, agar f( ) bernilai negatif (< ), f () dan g () harus memiliki tanda yang berbeda, g( ) maksudnya adalah salah satu harus positif dan yang lainnya harus negatif. Selain itu, ingat bahwa f( ) f( ) = tidak terdefinisi, sehingga syarat g( ) terdefinisi adalah g( ). Dengan demikian, diperoleh sifat berikut. Jika f ( ) g( ) <, f () > dan g () < atau f () < dan g () >. Jika f ( ) g( ), f () dan g () < atau f () dan g () >. Agar kamu memahami cara menyelesaikan pertidaksamaa rasional, mari perhatikan contoh soal berikut. Contoh Soal 1 Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan 9 1. Cara konsep: Mula-mula, nyatakan pertidaksamaan dalam bentuk umumnya. 9 1 9 1 9 ( ) 9 1
Oleh karena pertidaksamaan tersebut bernilai negatif atau sama dengan nol, maka berlaku: 1 dan > atau 1 dan { } { < } { 1 dan > } atau { 1 dan < } Dengan menentukan irisan pada daerah tersebut, diperoleh: atau -1 < 1 < akar = 1 bagian solusi 1 1 akar = bukan bagian solusi berganti-ganti 1 1 tempatkan selalu dikanan 1 Jadi, penyelesaian dari pertidaksamaan 9 1 adalah 1 <. Contoh Soal 1 < Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan 5 >. Cara konsep: Mula-mula, nyatakan pertidaksamaan dalam bentuk umumnya.
5 > 5 > 5 ( ) > 5 1 > 5 8 > 5 Oleh karena pertidaksamaan tersebut bernilai positif, maka berlaku: { 8> dan 5> } atau { 8< dan 5< } { } { < < } { dan 5} atau { > dan <5} > 8 dan > 5 atau 8 dan 5 < > 5< < atau 5< < akar = bukan bagian solusi 8 > 5 akar = 5 bukan bagian solusi 5 berganti ganti 8 > 5 5 tempatkan selalu di kanan 5 5 < < Jadi, penyelesaian dari pertidaksamaan > 5 adalah 5 < <. 5
Contoh Soal Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan Cara konsep: 1 > 1 >. Oleh karena pertidaksamaan tersebut bernilai positif, maka: { 1> dan > } atau { 1< dan < } {( 5) ( ) > dan > } atau {( 5) ( )< dan < } {{ < 5 atau > } dan > } atau { 5< < dan < } > atau 5< < 1 > ( 5) ( ) > = 5 akar bukan solusi = akar bukan solusi ( 5)( ) > 5 = akar bukan solusi ( 5)( ) = > berganti ganti 5 ( 5)( ) > daerah 5 5< < atau > Jadi, penyelesaian dari pertidaksamaan 6 1 > adalah 5< < atau >.
Contoh Soal Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan Cara konsep: Oleh karena pertidaksamaan tersebut bernilai positif atau sama dengan nol, maka berlaku: { dan > } atau { dan < } { ( ) ( ) dan ( ) ( 1)> } atau {( ) ( ) dan ( ) ( 1)< } { { } dan { < 1atau > } } atau {{ atau } dan 1< < } <1atau < ( )( ) ( ) ( 1) akar = salah satu solusi = solusi ( ) 1 ( ) ( )( ) 1 = 1 akar bukan solusi = akar bukan solusi = ( ) ( ) 1 ( ) ( ) berganti ganti 1 ( ) 1 ( ) ( )( ) daerah dan 1 < 1 atau < Jadi, penyelesaian dari pertidaksamaan adalah < 1 atau <. 7
Contoh Soal 5 Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan 6 1 < 1 Mula-mula, nyatakan pertidaksamaan dalam bentuk umumnya. 61 < 1 6 1 1< 6 1 ( ) < 6 1 < 1 < ( 7 ) < = ( ) berganti ganti ( 7) ( ) < 7 = akar bukan solusi abaikan ( ) = 7 akar bukan solusi Solusi: < atau < < 7 Jadi, penyelesaian dari pertidaksamaan 61 < 1 adalah < atau < < 7. Penyelesaian tersebut juga dapat dinyatakan dengan < 7,. 8
Contoh Soal 6 Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan 1 6 Diketahui: 1 6 Pertidaksamaan tersebut memiliki penyebut dan pembilang yang tidak bisa difaktorkan. Oleh karena itu, mari kita analisis melalui nilai diskriminannya. 1. 1 memiliki nilai disriminan D = (1) 1 1 =. Oleh karena nilai diskriminannya negatif, maka 1 tidak memiliki akar. Oleh karena nilai a = 1 >, maka nilai 1 selalu positif untuk setiap є R.. 6 memiliki nilai diskriminan D = (6) 1 () =. Oleh karena diskriminannya positif, maka 6 memiliki akar yang dapat ditentukan dengan rumus kuadratis berikut. b b ac 6 1, = ± = ± = ± 11 a 1. Agar 1 6, nilai 6 haruslah positif, karena nilai 1 selalu positif. Dengan demikian, diperoleh: 6 > < 11atau > 11 Jadi, penyelesaian dari pertidaksamaan 1 6 adalah < 11 atau > 11. 9