PROSIDIG ISB : 978-979-6353-8-7 BEBERAPA REASI IKUSI PADA RUAG BARISA BAACH ATTICE A-6 Elvia Herawaty, Supama 2 ad Idah Emilia W 3 Departmet f Mathematic, FMIPA USU, 2,3 Departmet f Mathematic, FMIPA UGM herawaty.elv@gmail.cm, 2 maspm@yah.cm, 3 e-mail: id_wijayati@yah.cm Abstrak Diberika ruag Riesz E da uit uruta u pada E. Barisa x pada E dikataka kverge uruta ke x, ditulis x x, jika ada barisa turu y E sehigga y 0 utuk da x x y utuk setiap. Selajutya diberika Baach lattice, kleksi semua barisa berilai diyataka dega S. Pada paper ii, utuk sebarag fugsi- teritlak dari ke E, yag memeuhi kdisi- 2 diperkealka ruag barisa berilai Baach latiice l ϕ = x = x k S f E, ρ x f dega ρ x = ϕ x k. Aka diperlihatka bahwa l ϕ ruag BK terhadap rma x = if > 0 ρ x = sup ρ x u Selajutya dega megguaka barisa λ, diperkealka ruag barisa l ϕ λ = x = x k S Λ x l ϕ dega Λ x = λ k λ k λ x k Aka diperlihatka beberapa sifat tplgiya, ruag l ϕ λ da l ϕ ismetri ismrfik da beberapa relasi iklusi yag melibatka ruag barisa l ϕ λ. Kata kuci : Ruag Riesz, uit uruta, Baach lattice, fugsi- teritlak, kdisi- 2, ruag BK, rma, barisa λ, ismetri ismrfik. PEDAHUUA tasi S R berarti kleksi semua barisa berilai real. Sebarag subruag vektr di S R disebut ruag barisa. Diberika ruag barisa X, Y da matriks ifiit A = a k, dega a k bilaga real utuk setiap, k. Matriks ifiit A dikataka memetaka X ke Y jika utuk setiap x = x k X, barisa Ax = A x ada da mejadi aggta Y, dega A x = a k x k ( ) Kleksi semua matriks ifiit yag memetaka X ke Y ditasika dega (X : Y). Jadi A X Y jika da haya jika sisi kaa dari deret () kverge utuk setiap da utuk setiap x = x k X, da juga Ax Y utuk setiap x X. Utuk sebarag ruag barisa X da matriks ifiit A dapat dibetuk ruag barisa baru yag disebut dmai matriks, ditasika dega X A da didefiisika sebagai berikut X A = x S R Ax = A x X Semiar asial Matematika da Pedidika Matematika dega tema Ktribusi Pedidika Matematika da Matematika dalam Membagu Karakter Guru da Siswa pada taggal 0 vember 202 di jurusa Pedidika Matematika FMIPA UY
PROSIDIG ISB : 978-979-6353-8-7 Dari dmai matriks X A, utuk X l, c 0, c dapat diperlihatka iklusi X A X da da X X berlaku, dega A da merupaka matriks peratr. Mursalee da ma [8 da 9] medefiisika dmai matriks dari matriks ifiite Λ = λ k atas ruag barisa berrma X l, c 0, c, l p utuk p <. Mereka membahas beberapa sifat tplgiya da relasi iklusi X Λ X. Fugsi φ : [0, ) [0, ) dega sifat φ ktiu, aik, φ (0) = 0, φ (x) > 0 utuk x > 0 da φ (x) utuk x disebut fugsi Orlicz. Dega megguaka fugsi Orlicz φ, idestrauss da Tzafriri [6] memperkealka ruag barisa l φ = x = x k S R yag merupaka ruag Baach terhadap rma φ x k ρ, ρ > 0 x = if ρ > 0 φ x k ρ da ruag ii disebut ruag barisa Orlicz. Mereka memperlihatka bahwa setiap ruag barisa l φ memuat subruag barisa yag ismrfik dega l p ( p < ). Ruag barisa Orlicz merupaka kasus khusus dari ruag Orlicz dibahas cukup legkap pada [2]. Dega fugsi Orlicz φ, Tripathy ad Mahata [6] medefiisika da mempelajari ruag barisa berikut m φ,, φ = x = x k S R sup s,σ Ps φ s i σ φ x i ρ <, fr sme ρ > 0 Dalam hal ii P s merupaka himpua dari semua subhimpua, yag memuat tidak lebih dari s. φ = φ, merupaka barisa aik dari bilaga real psitif sehigga φ + + φ da φ s, utuk s. Selajutya, dega megguaka fugsi Orlicz φ da matriks ifiit A beberapa peeliti telah medefiisika da membahas ruag barisa berpararma yag mempuyai sifat lebih umum dari pada ruag barisa berrma. Sebagai cth Altu ad Bilgi [7] telah medefiisika ruag barisa m φ, A, φ, p. Braha [0] medefiisika da mempelajari ruag barisa m φ, φ, q, Λ, utuk matriks ifiit Λ = λ k. Karakaya ad Plat [4] mempelajari beberapa sifat da relasi iklusi dari dmai matriks atas ruag berpararma X λ, p utuk X l, c 0, c. Selajutya fugsi φ R R + dega sifat φ ktiu, φ, φ u = φ u da φ u = 0 jika da haya jika u = 0 disebut fugsi-φ (phy-variat). Dega megguaka fugsi-φ, Ra [3] mempeperkealka ruag barisa fugsi. Masalahya semua ruag barisa yag dibicaraka para peeliti masih berilai real. Semetara perkembaga ilmu pegetahua tidak sekedar sistem real (kmpleks). Salah satuya kearah struktur Riesz. Hal ii bayak diguaka dalam mekaika quatum. Pada tulisa ii, peulis memperkealka ruag barisa berilai Riesz atau khususya berilai Baach lattice da dega megguaka fugsi-φ teritlak yag didefiisika dari Baach lattice ke ruag Riesz. Selajutya aka diperlihatka beberapa sifat tplgiya, ismetri ismrfikya da relasi iklusiya. Semiar asial Matematika da Pedidika Matematika FMIPA UY Ygyakarta, 0 vember 202 MA - 42
PROSIDIG ISB : 978-979-6353-8-7. Frmulasi Dasar Diberika Baach lattice. Kleksi semua barisa berilai ditasika dega S. Dega kata lai S = x = x k x k, k. Subruag vektr X S disebut ruag -barisa. Ruag -barisa berrma X disebut ruag Baach apabila X bersifat legkap; yaitu setiap barisa Cauchy di dalamya kverge. Ruag Baach X disebut ruag BK jika fugsi krdiat p k X, ktiu k. Barisa x S disebut barisa berhigga jika ada sehigga x = x, x 2,, x, 0, 0,. Utuk setiap x S da didefiisika x = x k dega x k = x k,k 0, k > Ruag Baach X dikataka bersifat AK jika X memuat semua barisa berhigga da utuk setiap x X berlaku x x X 0 utuk. Selajutya diberika barisa λ = λ k, yaitu suatu barisa real psitif aik kuat da kverge ke. Dega kata lai 0 < λ < λ 2 < da λ k utuk k. Didefiisika matriks ifiit Λ = λ k dega λ k λ k ( k ) λ λ k = 0 (k > ) Diberika ruag Riesz E.Utuk dua eleme sebarag f, g E ditulis sup f, g = f g da if f, g = f g, didefiisika f + = f 0, f = f 0, f = f f. Terema : Diberika ruag Riesz E da f, g, E. Maka (i) f + g = f g + f g (ii) f g + = f + g + (iii) f g = f + g + f g 2 (iv) αf + βg f g utuk α, β R dega α + β =. Eleme u pada ruag Riesz E disebut uit uruta (uit), jika utuk setiap f E terdapat bilaga real α > 0 sehigga berlaku f αu. Barisa f pada E dikataka aik, ditasika dega f, jika f f 2, Jika f da f = sup { f } ada di dalam E, ditulis f f. Barisa g E dikataka turu, ditasika dega g, jika g g. Jika g da g = if { g } ada di dalam E, ditulis g g. Barisa f pada ruag Riesz E dikataka kverge uruta ke f, jika terdapat barisa turu y E dega y 0 da terdapat bilaga asli 0 sehigga berlaku f f y utuk setiap 0 Hal ii ditulis f k f. Beberapa sifat kverge uruta diberika pada terema berikut Terema 2 : (i) Jika f k f da bilaga real α > 0, maka αf k αf (ii) Jika f k f maka f k (iii) Jika f k da f k (iv) Jika f k f, g k f. f maka f k f. g da α, β R maka αf k + βg k αf + βg Semiar asial Matematika da Pedidika Matematika FMIPA UY Ygyakarta, 0 vember 202 MA - 43
PROSIDIG ISB : 978-979-6353-8-7 (v) Jika f k g k da g k g maka f k g. Pada sistem bilaga real, pegertia kverge da kverge uruta ekivale. Hal ii diyataka dalam terema berikut. Terema 3 : Barisa t R kverge uruta jika da haya jika t kverge. PEMBAHASA. Ruag Barisa Baach attice l φ Diberika Baach lattice da ruag Riesz E dega uit uruta u. Fugsi φ E dikataka fugsi-φ teritlak, jika memeuhi sifat berikut: φ t = 0 t = 0, φ t = φ t, φ da φ ktiu. Fugsi-φ teritlak, φ, dikataka memeuhi kdisi- 2 jika ada bilaga real M > 0 sehigga berlaku φ 2t Mφ t utuk setiap t +. Cth 4. Fugsi φ R R dega atura φ x = x. merupaka fugsi- φ teritlak yag memeuhi kdisi- 2 Cth 5. Fugsi φ R R dega atura φ u = e u u merupaka fugsi- φ teritlak yag tidak memeuhi kdisi- 2. Utuk sebarag da fugsi- φ teritlak, φ, yag memeuhi kdisi- 2 da bersifat kveks didefiisika fugsi ρ S E dega atura x ρ x = φ x k. Selajutya dibetuk himpua l φ = x S f E ρ x Relasi uruta pada l φ didefiisika dega uruta krdiat biasa, yaitu x y jika da haya jika x k y k utuk setiap k. Sifat dasar dari himpua l φ diberika di bawah ii. Terema 6 : (i) Himpua l φ bersifat kveks (ii) l φ merupaka ruag Riesz. Bukti : (ii) Diambil sebarag α R da x l φ. Keadaa trivial utuk α = 0. Apabila α 0 maka ada 0 sehigga α 2 0. Selajutya karea fugsi- φ teritlak, φ, memeuhi kdisi- 2, geap da aik maka φ αx k M 0 φ x k. Akibatya utuk setiap berlaku ρ αx M 0 ρ x. Karea x l φ maka ada f E sehigga berlaku M 0 ρ x f. Akibatya ρ αx f. Ii berarti αx l φ. Karea ρ bersifat geap, maka x l φ. Selajutya diambil sebarag x, y l φ, maka x, y l φ. Aka ditujukka utuk sebarag α, β R berlaku αx + βy l φ. Keadaa trivial utuk α = β = 0. Jika tidak demikia artiya salah satu tau keduaya tidak l, dibetuk α z = α + β x + α α + β y Karea l φ bersifat kveks maka z l φ. Selajutya dari prses bukti diperleh α + β z l φ. Hal ii berakibat α x + β y l φ. Karea ρ bersifat geap, maka ρ αx + βy = ρ α x + β y = ρ α + β z g utuk suatu g E da. f Semiar asial Matematika da Pedidika Matematika FMIPA UY Ygyakarta, 0 vember 202 MA - 44
PROSIDIG ISB : 978-979-6353-8-7 Jadi αx + βy l φ. () Selajutya karea l φ liear, maka utuk setiap x, y l φ berakibat x + y l φ da x y l φ. Diperleh ρ x y 2 ρ x + y + 2 ρ x y f utuk suatu f E. Ii artiya x y l φ. Dega cara yag sama dapat diperlihatka bahwa x y l φ. Dega kata lai diperleh x y l φ da x y l φ (2) Dari hasil () da (2) dapat disimpulka bahwa l φ merupaka ruag Riesz. Utuk uit u pada ruag riesz E da ρ x di E didefiisika fugsi ρ da pada l φ sebagai berikut : ρ l φ E dega atura ρ x = Sup ρ x da l φ R dega atura x = if > 0 ρ x u 3 Terema 7 : Fugsi merupaka rma pada l φ. Hubuga atara fugsi ρ da diberika pada lemma dibawah ii emma 8 : Jika diberika x l φ, maka utuk setiap bilaga β > 0 terdapat α > 0 sehigga apabila x α berakibat ada v E sehigga ρ x v. emma 9 : Diberika x l φ, maka utuk setiap bilaga α, γ > 0 terdapat v E sehigga apabila ρ x v berakibat x α. Terema 0 : l φ merupaka ruag Baach lattice. Bukti : Dega megguaka terema 6 (ii) dapat diperlihatka bahwa l φ merupaka ruag Riesz berrma terhadap rma (3). Selajutya diambil sebarag barisa Cauchy x p l φ, berarti utuk setiap bilaga asli terdapat bilaga asli sehigga utuk setiap p, q berlaku x p x q maka <. Karea ρ fugsi aik da kveks, ρ x p x q Oleh karea itu utuk setiap berlaku Jadi utuk setiap k berlaku φ x p q k x k maka lim p,q φ x k p x k q ρ xp x q u. φ x p q k x k = ρ x p x q u. u. Karea fugsi- φ ktiu pada, = φ lim (x p p,q k x q k ) u. Karea berlaku utuk setiap maka φ lim p,q (x k p x k q ) = 0.Akibatya lim (x p p,q k x q p k ) = 0. Hal ii berarti x k merupaka barisa Cauchy di utuk Baach lattice, maka ada x k sehigga x p k x k utuk p. Dibetuk x = x k S. Aka ditujukka barisa x p kverge ke x da x l φ. Karea fugsi- φ ktiu pada, maka lim q ρ xp x q = lim q φ x p q k xk = φ x k p q lim q x k = ρ xp x. Semiar asial Matematika da Pedidika Matematika FMIPA UY Ygyakarta, 0 vember 202 MA - 45
PROSIDIG ISB : 978-979-6353-8-7 Karea lim p,q xp x q l φ = 0, berarti utuk setiap > 0 ada 0 sehigga utuk setiap p, q 0 berlaku x p x q l φ < atau ρ xp x q Akibatya lim p,q ρ xp x q u. u utuk setiap. Oleh karea itu lim ρ x p x = lim p p,q ρ xp x q u utuk setiap. Jadi lim x p x p lφ = 0, yaitu barisa barisa x p kverge ke x. Selajutya aka ditujukka x l φ. Karea fugsi- φ kveks da memeuhi kdisi- 2 maka ada bilaga real M > 0 sehigga berlaku ρ x = ρ 2 2 xp + 2 xp x M 2 ρ x p + ρ x p x Karea x p l φ maka ρ x p f utuk suatu f E. Akibatya M 2 ρ x p M utuk suatu M f E. 2 Karea ρ x p x di E da ρ x p x = Sup ρ x p x ada di E, maka ρ x p x ρ x p x, akibatya M ρ 2 x p x M ρ 2 xp x. Oleh karea itu ρ x p g utuk g = M f + M ρ 2 2 xp x E. Jadi x l φ. Jadi l φ merupaka ruag -barisa Baach. Karea l φ ruag Riesz berrma da bersifat legkap maka l φ merupaka ruag barisa Baach lattice. Terema : l φ merupaka ruag BK. Bukti : Telah diperlihatka bahwa l φ merupaka ruag Baach terhadap rma (3). Aka ditujukka fugsi krdiat p k l φ ktiu k. Diambil sebarag y l φ da barisa x l φ dega lim x = y. Berarti utuk setiap > 0, dega 0 < terdapat 0 sehigga utuk setiap 0 berlaku ρ x x ρ x x u utuk uit u E. Jadi utuk setiap k da 0, berlaku φ x k y k u. Karea fugsi φ ktiu maka φ lim x k y k u utuk setiap bilaga > 0. Akibatya φ lim x k y k = 0, Jadi lim x k = y k. Dega kata lai lim p k x = p k y, Jadi p k l φ ktiu l φ. Jadi l φ merupaka ruag BK. Terema 2 : Ruag l φ bersifat AK da utuk setiap x l φ da berlaku x x Bukti : Telah diperlihatka bahwa l φ merupaka ruag Baach terhadap rma (3). Selajutya diambil sebarag x l φ x x 0 utuk. Karea utuk setiap, x k = x k, k 0, k > Diambil sebarag M. Jika M maka da. Aka ditujukka x l φ 2 f da maka φ x k = φ x k k 0 k >. Semiar asial Matematika da Pedidika Matematika FMIPA UY Ygyakarta, 0 vember 202 MA - 46
PROSIDIG ISB : 978-979-6353-8-7 M ρ M x = φ x k = Selajutya jika M >, diperleh ρ M x = φ x k + M M k=+ φ x k = φ x k = φ x k = ρ x φ x k = ρ x Karea x l φ maka ada f E sehigga ρ M x f. Jadi x l φ (4) Selajutya diambil sebarag bilaga > 0, dega 0 <, maka meurut sifat Archimedea ada 0 sehigga 2 0. Akibatya utuk setiap 0 berlaku 2. Karea fugsi ρ M aik da memeuhi kdisi- 2 maka ada kstata M > 0 sehigga ρ x x M ρ x x. Karea ρ x x E dega E ruag Riesz yag memuat uit u maka dapat dipilih ρ x x u. Akibatya ρ x x u utuk setiap 0. Jadi x x 0 utuk. (5) Dari hasil (4) da (5) dapat disimpulka bahwa l φ bersifat AK. Terakhir, karea x x utuk setiap da fugsi φ geap da aik pada + maka ρ x. ρ x utuk setiap x l φ. Jadi x x utuk setiap 2. Dmai Matriks l φ λ Utuk sebarag x S, trasfrmasi matirks Λ = λ k pada x merupaka barisa Λ x = Λ x dega Λ x = λ λ k λ k x k ( ) Selajutya didefiisika ruag barisa berikut : l φ λ = x S Λ x = Λ x l φ da disebut dmai matriks dari matriks ifiit Λ pada l φ. Fugsi λ dari l φ λ ke R didefiisika dega atura sebagai berikut x λ = if > 0 ρ Λx u dega ρ Λx = Sup ρ Λx. Terema 3 : Fugsi λ merupaka rma pada l φ λ. Hubuga atara rma λ, diberika pada lemma berikut emma 4 : Diberika x l φ λ. Jika x 0 utuk maka utuk setiap λ k berlaku x k 0, emma berikut diguaka utuk memperlihatka bahwa l φ λ ruag BK. emma 5 : Diberika matriks ifiit A = a k, jika p ο A S ktiu utuk setiap dega fugsi krdiat p l φ maka trasfrmasi matriks A S l φ liear ktiu. Terema 6 : l φ λ merupaka ruag BK terhadap rma λ. M Semiar asial Matematika da Pedidika Matematika FMIPA UY Ygyakarta, 0 vember 202 MA - 47
PROSIDIG ISB : 978-979-6353-8-7 Bukti : Diambil sebarag barisa Cauchy x p l φ λ, maka Λx p = Λ x p merupaka barisa Cauchy di l φ. Karea l φ ruag BK maka ada y l φ sehigga Λx p y utuk p da fugsi p ο Λ x = Λ x ktiu. Akibatya Λ S l φ dega x Λx ktiu. Oleh karea itu utuk setiap barisa x p S yag kverge ke x berakibat barisa Λx p kverge ke Λx. Jadi terdapat 0 sehigga Λx p Λx lφ < utuk setiap p 0. Artiya ρ Λxp Λx u utuk uit u E. Jadi x p x λ < utuk setiap p 0. Karea Λx = y l φ maka x l φ. Jadi l φ λ merupaka ruag Baach (6) Selajutya diambil sebarag barisa x p l φ λ dega x p x di l φ λ utuk p. Aka ditujukka barisa p (x p ) kverge ke p x. Karea x p x di l φ λ utuk p, berarti utuk setiap bilaga > 0 dega 0 < terdapat 0 sehigga x p x λ < utuk setiap p 0. Jadi ρ Λxp Λx u utuk setiap p 0. Maka φ Λ x p Λ x = ρ Λxp Λx u utuk setiap. Jadi utuk setiap berlaku φ Λ x p Λ x φ Λ x p Λ x u. Karea > 0 sebarag maka φ Λ x p Λx=0 utuk setiap. Jadi Λ x p Λ x = 0 utuk setiap. Akibatya x p x = 0 < utuk setiap p 0. Ii artiya p (x p ) p x di utuk p. Oleh karea itu fugsi p l φ λ ktiu (7) Dari hasil (6) da (7) dapat disimpulka bahwa l φ λ merupaka ruag BK. Berikut ii diperlihatka ismrfisma atara ruag l φ λ dega ruag l φ. Terema 7 : Ruag barisa Baach lattice l φ λ ismrfik secara ismetri dega ruag barisa l φ. Bukti : Didefiisika peratr T l φ λ l φ dega atura Tx = x. Jelas T merupaka peratr liear. Selajutya diperleh Ker T = x l φ λ Tx = 0 lφ = x l φ λ x = 0 lφ = 0. Dega kata lai Ker T = 0. Ii berarti T ijektif 8 Selajutya diambil sebarag y = y k l φ da didefiisika barisa x = x k λ dega k j =k x k λ = k j λ j y λ k λ j = y k y k λ k λ k, (k ) k maka x k λ utuk setiap k da x = λ k x k λ = y utuk setiap. Karea y = y k l φ maka ρ y = ρ x f utuk suatu f E. Akibatya x l φ. Jadi ada x l φ λ da x = y. Ii berarti T surjektif. 9 Selajutya diambil sebarag x, y l, diperleh φ λ x y = λ k x k y k = λ k x k λ k λ k y k Semiar asial Matematika da Pedidika Matematika FMIPA UY Ygyakarta, 0 vember 202 MA - 48
PROSIDIG ISB : 978-979-6353-8-7 Jadi x y = x y = x y. Dega cara yag sama dapat diperlihatka bahwa x y = x y. 0 Terakhir diperleh Tx λ = if > ρ x = x λ Meurut hasil yag diperleh dari (8) sampai dega () berarti l φ λ ismrfik secara ismetri dega l φ, jadi terema terbukti 3. Relasi Iklusi pada -Ruag Barisa emma 8 : [8] Utuk sebarag barisa x = x k S da berlaku x Λ x = λ λ k x k x k Terema 9 : Iklusi l φ λ l φ berlaku jika da haya jika S x l φ utuk setiap x l φ λ. Bukti : (Syarat cukup iklusi) Diambil sebarag barisa x l φ λ, maka meurut hiptesa x l φ. Jadi ρ x f utuk suatu f E. Perhatika bahwa S x = x Λ x = x Λ x = x Λx. Karea x l φ λ maka Λx l φ, leh karea itu ada f E sehigga ρ Λx Karea x l φ maka f 2 E sehigga ρ x f 2. Selajutya karea fugsi φ teritlak memeuhi kdisi-δ 2, aik da bersifat kveks, maka ada bilaga M > 0 sehigga Akibatya ρ S x ρ S x ρ 2 2 x + Λx M 2 ρ x + ρ Λx g utuk g = M 2 f + f 2 E. Jadi S x l φ, x l φ λ. (Syarat perlu). Diambil sebarag barisa x l φ λ, maka Λx l φ hiptesa S x l φ. Akibatya ada f E da f 2 E sehigga ρ Λx f. da meurut f da S x f 2. Karea x = S x + Λx da fugsi φ teritlak memeuhi kdisi-δ 2, aik da bersifat kveks, maka Akibatya ρ x ρ x ρ 2 2 S(x) + Λx M 2 ρ S(x ) + ρ Λx. berlaku iklusi l φ λ l φ g utuk g = M 2 f + f 2 E. Ii artiya x l φ λ. Jadi Utuk barisa bilaga real λ = λ k dega 0 < λ < λ 2 < da λ k utuk k, berakibat > > da 0 utuk k. Berarti = λ λ 2 λ k λ λ merupaka barisa bilaga real turu da utuk setiap > 0 terdapat k 0 sehigga utuk setiap k k 0 berlaku <. λ k Didefiisika barisa v S dega v = v, 0, 0,, maka ρ λ v = k 0 φ v k = φ v φ v λ βu k 0 utuk suatu kstata β > 0 da u uit di E. Semiar asial Matematika da Pedidika Matematika FMIPA UY Ygyakarta, 0 vember 202 MA - 49
PROSIDIG ISB : 978-979-6353-8-7 Jika k 0 < maka k 0, 2,, da <. Jadi ada barisa turu y di E λ ; y = βu, βu,, βu,. λ λ 2 λ y di E da βu λ 0 utuk. Karea ρ v βu < utuk setiap > 0 maka utuk λ 0 = λ k0 k 0 λ Jadi ρ v βu < βu. λ k0 = βu λ Jadi v l φ. Jika k 0 > maka k 0 +, + 2, da berlaku βu > maka ada y λ 0 di E da ρ v βu Akibatya ρ v Karea utuk setiap da < λ k0 λ. λ = y utuk setiap. Akibatya ρ v 0 E. Jadi v l φ. λ φ Λ v φ = = x λ = λ da φ geap da aik, maka < λ. Karea βu λ 0 E. > βu λ 2 > > < βu λ = y utuk setiap. φ x λ + φ x 2 λ 2 + + φ x λ ρ Λv = = φ Λ v λ φ x λ + φ x 2 λ 2 + + φ x λ = λ φ x λ βu = β u λ utuk kstata β = λ β. Dega prses yag sama dibetuk y = βu, βu,, βu,. Jadi ada y λ λ 2 λ 0 di E da ρ Λv y utuk setiap. Berarti ρ Λv 0 E. Akibatya Λv l φ. Oleh karea itu diperleh kesimpula v l φ da v l φ λ. emma 20 : Jika v = v, 0, 0, S λ maka l φ l φ λ. k 0 Utuk x S dibetuk y = x x 2 x, maka y > y 2 >. Kataka λ λ 2 z = y, da diperleh terema berikut λ Terema 2 : Jika z l φ maka iklusi l φ l φ λ tidak berlaku. Bukti : Jika z l φ berarti ρ z tidak kverge kesetiap f E. Jadi utuk setiap g di E dega g 0 utuk, ada 0 sehigga ρ 0 z f > g 0. Karea v = v, 0, 0, l λ φ maka v = λ k 0 v λ, 0, 0, l φ. Kataka q = v, 0, 0,, maka φ Λ λ q = φ v φ y. Oleh karea itu λ λ ρ Λq ρ z utuk setiap. Akibatya Λq l φ atau q l φ λ. Jadi barisa q = x λ, 0, 0, di l φ tetapi tidak di l φ λ. Dega kata lai iklusi l φ l φ λ tidak berlaku. Terema 22 : Jika iklusi l φ l φ λ berlaku maka z l φ Semiar asial Matematika da Pedidika Matematika FMIPA UY Ygyakarta, 0 vember 202 MA - 50
PROSIDIG ISB : 978-979-6353-8-7 Bukti : Dari prses bukti lemma 2 telah diperlihatka bahwa q = x λ, 0, 0, l φ. Meurut hiptesa l φ l φ λ, maka Karea ρ Λp KESIMPUA ρ Λq = φ Λ q = φ x = φ x = = = ρ z. λ f utuk suatu f E, maka ρ z λ f. Jadi z l φ Utuk ruag -barisa l φ berhasil diperlihatka beberapa sifat tplgiya, atara lai l φ merupaka ruag BK terhadap rma da l φ x = if > 0 ρ x = sup ρ x bersifat AK. Dega megguaka sifat tplgi tersebut dapat dituruka bahwa l φ ruag Baach lattice. Selajutya dega megguaka matriks ifiit Λ = λ k da ruag -barisa l φ dibetuk dmai matriks l φ λ. Pada dmai matriks ii berhasil diperlihatka beberapa sifat tplgiya da juga (i) l φ l φ λ da ismetri (ii) Syarat perlu da cukup berlakuya relasi iklusi l φ l φ λ. (iii)l φ l φ λ. (iv) Memperleh fakta bahwa terdapat barisa berilai Baach lattice sehigga iklusi l φ l φ λ tidak berlaku. u DAFTAR PUSTAKA [] Adriaa C.Zaae, 997, Itrducti t Operatr Thery i Riesz Spaces, Spriger Verlag. [2] Demiriz, S da Caka, C., 200, O Sme ew pararmed Euler Sequece spaces ad Euler Cre, Acta. Math. Si. Eg. Ser., 26(7), 207-222. [3] Demiriz, S da Caka, C., 200, O Sme ew pararmed, Gearal Math te, Vl,.2, 26-42. [4] Karakaya, V Simsek, da Plat, H., 200, Sme ew Pararmed Sequece Spaces f -Abslute Type Operatrs, Acta Sci.Math (Szeged),76, 87-00. [5] Klk, E., 994, Iclusi therems fr sme sequece spaces defied by a sequece f mduli, Tartu Ül. Timetised, 960, 65 72. [6] idestrauss, J. da Tzafriri,., 979, Classical Baach Space II, Spriger- Verlag Berli Heidelberg. [7] Meyer, P. ad ierberg, 99 : Baach attice, Spriger-Verlag. Semiar asial Matematika da Pedidika Matematika FMIPA UY Ygyakarta, 0 vember 202 MA - 5
PROSIDIG ISB : 978-979-6353-8-7 [8] Mursalee, M da ma, A. K., 200, O The Spaces f λ-cverget ad Buded Sequeces, Thai J. Math., 8(2), 3-329. [9] Mursalee, M da ma, A.K., 20, O Sme ew Sequece Spaces f - Abslute Type Related t The Spaces l p ad l І, Filmat 25:2, 33-5. [0] aim..braha., 20, A ew Class Of Sequeces Related t the l p spaces defied by Sequeces f Orlicz Fuctis, Jural f Iequality ad Applicati, article ID 539745. [] Pehliva, S. da Fisher, B., 995, Sme Sequece Spaces Defied By A Mdulus, Math. Slvaca, 45. 3, 275-280. [2] Ra, M.M. da Re, Z.D., 99, Thery f Orlicz Spaces, Marcell Dekker, Ic,.Y. [3] Ra, M.M. da Re, Z.D., 2002, Applicatis f Orlicz Spaces, Marcell Dekker, Ic, Y. [4] Şegöül, M. da Basar F., 2005, Sme ew Cesàr sequece spaces f abslute type which iclude the spaces c0 ad c, Schw J. Math., 3(), 07 9. [5] Wilasky, A., 984, Summability thrugh Fuctial Aalysis, rth-hllad Mathematics. [6] Tripathy, B.C ad Mahata, S., 2003, O Class sequeces related t the l p space defied by Orlicz fuctis, Schw J. Math., 4, 379-39. [7] Yimaz A. da Tuay B., 2009, O a ew class f sequeces related t the l p space defied by Orlicz fucti., Taiwaese. J. Math.Vl 3, 4, 89-96. Semiar asial Matematika da Pedidika Matematika FMIPA UY Ygyakarta, 0 vember 202 MA - 52