BAB ESPONS FUNGSI STEP PADA ANGKAIAN DAN C. Persamaan Diferensial Orde Sau Adapun benuk yang sederhana dari suau persamaan ferensial orde sau adalah: 0 a.i a 0 (.) mana a o dan a konsana. Persamaan (.) ini sebu sebagai orde sau karena urunan/derivaive persamaan ini yang paling inggi adalah urunan perama, sehingga dapa kaakan bahwa besarnya orde dari suau persamaan ferensial nyaakan oleh urunan yang eringgi pada suau persamaan ferensial dan secara umum dapa uliskan dengan : n n d i d i a 0 a... a n a ni C n n (.) sehingga Persamaan (.) sebu persamaan ferensial orde n dengan sebagai variabel independen dan i sebagai variabel dependen. Persamaan ferensial inear dan Non inear Suau persamaan ferensial kaakan linear apabila variabel dependen dan semua urunannya adalah ber-orde sau, dan yang lainnya kaakan non linear. Persamaan ferensial biasa (ornary) Suau persamaan ferensial kaakan persamaan ferensial biasa kalau hanya mengandung urunan oal (oal derivaives) dan sebaliknya kalau persamaan ferensial ersebu juga mengandung urunan parsial maka persamaan ferensial ersebu kaakan persamaan ferensial parsial. 4
. Persamaan Diferensial Homogen Apabila suau persamaan ferensial nyaakan dengan benuk seperi Persamaan (.), maka persamaan ferensial ersebu kaakan homogen apabila harga dari C adalah nol dan kalau harga C idak nol maka persamaan ferensial kaakan idak homogen. Dalam rangkaian lisrik yang banyak pergunakan adalah persamaan ferensial biasa dengan koefisien konsan seperi bawah ini : n n d i d i a 0 a... a n a ni n n v (.3) Dengan v() sumber egangan fungsi waku yang sering sebu sebagai fungsi pemaksa (forcing funcion), mana v() ini akan menimbulkan respons i yang merupakan variabel dependen. Misalkan seperi rangkaian bawah ini : Gambar.. angkaian dengan sumber egangan Diasumsikan rangkaian ini elah dalam keadaan seady sae dan pada saa = 0 saklar akan pindahkan ke posisi, dan sebagai objek dalam penganalisaan misalnya unuk mencari arus, egangan dan lainnya, mana pengukuran waku ambil sebagai referensi adalah mulai dari = 0. Seelah pada = 0, maka dari rangkaian dapa uliskan persamaan egangan Kirchhoff sebagai beriku :.i 0 (.4) Persamaan ini memperlihakan persamaan ferensial linear orde sau yang homogen dengan koefisien konsan. Persamaan (9) ini dapa nyaakan dengan benuk : i. 5
Selanjunya bilamana persamaan ini inegralkan maka peroleh : eq. i mana : eq = + hasil dari inegral ini adalah : aau : n eq, i. k i eq, k eq., k Karena : k, k,maka persamaan menja : eq i k (.5) Persamaan (.5) ini sebu sebagai benuk umum dari penyelesaian Persamaan (.4) karena harga konsana k elah keahui dan subsiusikan ke Persamaan (.5) maka hasil penyelesaiannya sebu penyelesaian parikular (paricular soluion). Adapun konsana k dapa hiung dengan menggunakan konsi awal dari rangkaian yaiu konsi pada saa = 0-. Adapun rangkaian ekivalen saa saklar pada posisi ialah : Gambar. angkaian ekivalen dari Gambar.. pada saa = 0 Maka dari rangkaian ekivalen erliha bahwa : i(0-) = /, dan karena sifa dari yang idak bisa berubah dengan sekeika, maka arus pada saa saklar pindahkan keposisi, 6
yaiu pada saa = 0 juga sebesar i(0) = / dan apabila Persamaan (.5) ambil harga = 0, maka persamaan menja : 0 i k. eq k maka peroleh :,dan apabila harga ini subsiusikan Persamaan (.5) akan peroleh : eq i (.6) Persamaan (.6) ini sebu sebagai penyelesaian parikular dari Persamaan (.4). 0.3 Penyelesaian Persamaan Diferensial Non Homogen Dengan Fakor Inegrasi Dimisalkan persamaan ferensial yang idak homogen seperi bawah ini : Pi Q Dimana P adalah konsana dan Q merupakan fungsi independen aaupun konsana. Misalkan kalikan ruas kiri dan kanan dari Persamaan (.7) dengan suau fakor (yang sebu sebagai fakor inegrasi), maka akan peroleh : P Pi. P Q. menginga : d(x.y) = xdy + ydx, dan misalkan ; x = i. dan y = menja : d P P P P i. i.p. (.7) (.8) P P, maka Persamaan (.8) dengan menyamakan Persamaan (.8) dengan Persamaan (.9) maka peroleh : d P P i. Q. bilamana Persamaan (.0) ini inegralkan, maka akan peroleh : (.9) (.0) P P i Q.. K (.) 7
P P P i Q.. K (.) Bila liha ke Persamaan (.), harga i erbagi dua : a). P Q. P. : sebu sebagai inegral parikular b). P K. : sebu sebagai fungsi komplemener Terliha bahwa inegral parikular idak mengandung konsana sembarang k, sedangkan fungsi komplemener idak erganung pada Q. Pada rangkaian, P berupa konsana posiif yang besarnya erganung dari komponen pasif, sedangkan Q merupakan fungsi sumber (komponen akif) rangkaian. imi fungsi komplemener unuk konsana posiif, sehingga : harus mencapai nol karena P adalah P lim K 0 (.3) oleh karena iu unuk harga arus i menja : P lim i lim Q i P (.4) dengan demikian bila dalam limi, fungsi komplemener mencapai nol, sedangkan inegral parukular idak mendekai nol, maka harga inegral parikular pada saa sebu sebagai harga seady sae dari variabel independen, akan eapi unuk ini bagian inegral parikular idak boleh mengandung fungsi eksponensial, karena kalau mengandung fungsi eksponensial maka inegral ini akan menja nol. Bila misalkan penyelesaian Persamaan (.) erri dari dua bagian, mana bagian inegral parikular noasikan dengan i p sedangkan bagian komplemener noasikan dengan i c maka Persamaan (.) ini dapa nyaakan dengan : i = i p + i c (.5) maka unuk selanjunya i p sebu sebagai bagian seady sae i ss sedangkan i c sebu bagian ransien i r sehingga Persamaan (.5) menja : i = i ss + i r (.6) 8
.4 espon Dari angkaian Seri Dengan Sumber Tegangan Searah/Uni Sep Perhaikan rangkaian bawah ini : Gambar.3 angkaian dengan sumber egangan searah Adapun persamaan egangan pada rangkaian seelah saklar uup adalah :.i (.7) Adapun Persamaan (.7) ini merupakan persamaan ferensial orde sau, yang dapa selesaikan dengan cara sebagai beriku : Persamaan (.7) ini dapa bua dalam benuk : i i i (.8) Bilamana Persamaan (.8) ini deferensialkan sau kali, maka peroleh: i ni K' 9
karena:ε K =K, maka peroleh : i i K K' K' i K. (.9) Caaan: inegrasi: Persamaan (.9) dapa juga peroleh dengan cara menggunakan facor Adapun Persamaan (.7) yang berbenuk:.i Bilamana ruas kiri dan kanan persamaan ini bagi dengan maka peroleh: Maka sni : P = dan Q = i, maka menuru Persamaan (.) yang berbenuk : i P Q P Dan apabila harga-harga P dan Q subiusikan ke persamaan ini, maka peroleh: P K i i _. : K. K i K Maka erliha bahwa persamaan ini idenik dengan Persamaan (.9). 30
.4. Menenukan Konsana K Karena rangkaian (Gambar.3), saa = 0 arus yang mengalir pada rangkaian adalah nol dan pada saa saklar uup ( = 0), komponen bersifa erbuka, maka pada saa saklar uup arus pada rangkaian adalah nol, sehingga pada = 0 Persamaan (.9) menja: maka peroleh : K = - i 0 K.0 Harga K yang peroleh ini subiusikan ke Persamaan (.9), sehingga peroleh: i i (.0) Persamaan (.0) ini adalah merupakan penyelesaian parikular dari Persamaan (.7) dan persamaan ini merupakan benuk dari persamaan arus pada rangkaian (Gambar.3) bilamana saklar uup. Menuru Persamaan (.6) maka bagian seady sae dan ransien Persamaan (.0) ini dapa nyaakan dengan : i i ss i r (.) Kalau Persamaan (.) ini gambarkan adalah sebagai beriku : 3
i i ss i r ( ) i i r Gambar.4 Kurva dari Persamaan (.) Dari gambaran kurva ini seolah-olah dalam rangkaian ada dua besaran arus, akan eapi pembagian pada kurva ini hanyalah menggambarkan benuk maemais dan hanya unuk mempermudah penganalisaan..4. Konsana Waku (Time Consan) angkaian bawah ini sudah dalam keadaan seady sae dan pada saa = 0 saklar geser keposisi : Gambar.5 angkaian dengan sumber egangan Sebelum saklar pindahkan ke posisi pada rangkaian elah mengalir arus sebesar : I0 I0 Dan seelah saklar posisi maka persamaan arus pada rangkaian adalah : 3
aau dapa uliskan dengan : i i (.) I 0 (.3) Dimana I 0 harga awal arus saa = 0 yang besarnya adalah dan misalkan (sebu sebagai konsana waku yang sauannya dalam deik), maka Persamaan (.3) menja: i i I 0 I 0 (.4) Seandainya ambil = τ seelah saklar posisi aau selama sau konsana waku saklar posisi maka Persamaan (.4) menja: i I 0 0,367 36,7 % i = 36,7 %.I 0 maka erliha selama saklar posisi dalam waku konsana waku, arus yang mengalir pada rangkaian adalah sebesar 36,7% dari arus awal [I 0 ]. Selanjunya bila ambil waku selama = 4τ, maka arus yang mengalir pada rangkaian dalam empa konsana waku adalah : i 4.I 0,8 %.I Bila injau kembali Persamaan (.0), maka konsana waku unuk rangkaian Gambar. ersebu nyaakan dengan : 0 (.5) Dan seandainya unuk rangkaian pada Gambar. unuk sau konsana waku seelah saklar uup adalah sebesar: i 33
i I mana : I = adalah arus seady sae dari rangkaian, maka unuk selang waku sau konsana waku seelah saklar uup pada rangkaian ada arus sebesar: i I 0,63. I / ii( ) 63,% 3 4 Gambar.6 Kurva arus dalam sau konsana waku dari Persamaan (.0) Adapun ujuan dari keahui konsana waku adalah unuk dapa membedakan performan dari seiap rangkaian..4.3 Tegangan Transien Pada dan Tegangan ransien pada komponen dan dari rangkaian seri dapa enukan apabila arus dari rangkaian elah keahui, sehingga unuk egangan ransien: Pada : v.i. v (.6) 34
Pada : v d v (.7) Dari Persamaan (.6) dan (.7) erliha bahwa egangan ransien pada merupakan benuk eksponensial menaik sesuai dengan kenaikan τ, sedangkan pada merupakan fungsi eksponensial menurun. Kalau jumlahkan Persamaan (.6) dan (.7) hasilnya sesuai dengan hukum egangan Kirchoff pada rangkaian seri yaiu : v v ( ) (.8) Gambar.7 Kurva dan sebagai fungsi τ.4.4 Daya Sesaa Unuk menenukan daya sesaa (insananeous power) pada seiap elemen pada rangkaian seri ini dapa lakukan dengan mengalikan egangan dan arus yaiu: Pada : p v.i p 35
36 Pada : i v p p (.9) Sedangkan oal daya : T p p p (.30) Kalau keiga daya gambarkan gambaran kurvanya adalah : Gambar.8 Kurva P, P dan P r Terliha bahwa p dan p T memiliki harga seady sae / aau I. mana I adalah arus seady sae, sedangkan daya ransien pada memiliki harga awal dan akhir yaiu nol, dan ini adalah merupakan energi yang ersimpan pada kumparan dalam benuk medan magne, unuk membukikan hal ini maka inegralkanlah Persamaan (.30) dalam baas inegrasi dari 0 seperi bawah ini: 0 W 0 W I W (.3)
Conoh: Perhaikan rangkaian bawah ini: Carilah: a. Benuk persamaan arus seelah saklar uup. b. Benuk persamaan egangan pada dan seelah saklar uup. c. Berapa besar arus pada rangkaian seelah saklar uup selama 0,5 de. d.berapa besar arus pada rangkaian seelah saklar uup selama sau konsaana waku rangkaian. Jawab: Seelah saklar uup, maka persamaan egangan pada rangkaian adalah :.i 50.i 5 00 i i 0, i 0, 0 Kalau persamaan ini inegralkan maka peroleh: n(i-) = - 0 + K i- = ε -0.ε K karena: ε K =K, maka persamaan menja: i- = K.ε -0 37
i = K.ε -0 + (a) karena sifa dari yang idak dapa subiusikan ke persamaan (a), perolehlah benuk persamaan arus yang mengalir pada rangkaian seelah saklar uup : 0 a. i Amp b. Benuk persamaan egangan seelah saklar uup adalah: v v 0 0 50.i. 00(- vol Benuk persamaan egangan seelah saklar uup adalah : v v d 5 00. 0 0 ( ) 5(0 ) vol c. Besar arus pada rangkaian seelah saklar uup selama 0,5 deik adalah: i (0,5 de) = (-ε -0.0,5 ) i (0,5 de),98 Amp d. Besar arus selama konsana waku seelah saklar uup : Sau konsana waku rangkaian adalah: 0,.de. 0 Maka besar arus pada saa sau konsana waku adalah : i (τ=0,.de) = (-ε -0.0, ) i (τ-0,.de) =,6.Amp. Conoh: angkaian bawah ini sudah dalam keadaan seady sae. 38
Carilah berapa besar : Jawab : a. Besar arus yang mengalir pada rangkaian seelah uup selama 5 milideik. b. Besar egangan pada seelah saklar uup selama 5 milideik. c. Besar egangan seelah saklar uup selama 5 milideik Dalam keadaan seady sae ( = 0-) pada rangkaian elah ada arus sebesar : I (0-) = 0 0,05Amp. 00 00 Seelah saklar uup, persamaan egangan pada rangkaian adalah : i + 0,0 =.i + 0 = 00.i +. 0, i 0, = -0,0 i 0, kalau inegralkan: i 0, 00 00 n(i 0,) = -00 + K (i 0,) = ε -00+K = ε -00.ε K aau : i = Kε -00 + 0, (a) Pada (0-), elah ada arus pada rangkaian sebesar 0,05 Amp., dan karena sifa yang idak dapa berubah dengan sekeika, maka pada = 0, pada rangkaian juga mengalir arus sebesar 0,05 Amp., maka bilamana pada Persamaan (a) bua unuk = 0 sehingga: i (0) = 0,05 = Kε -00.0 + 0, maka peroleh : K = -0,05. Kemuan harga K yang peroleh ini subiusikan ke Persamaan (a). sehingga dapa benuk persamaan arus pada rangkaian seelah saklar uup adalah : i = 0,05( ε -00 ) maka besar arus pada rangkaian seelah saklar uup selama 5 milideik adalah : 39
a. i 0,05 00.5.0 3 (5.0-3.de) 0,06967 Amp b.benuk persamaan egangan pada adalah : unuk = 5.0-3 de.maka : v.i 00 0,05 v 5( - v 5 3 00.5.0 c. Benuk persamaan egangan pada adalah : Unuk = 5.0-3 maka : v d 00 6,967.vol 00 00 0, 0,05 5 v 5 3 00.5.0 3,03.vol Conoh : angkaian seperi bawah ini : Pada saa = 0, saklar empakan pada posisi dan seelah 500 µde pada posisi, maka saklar pindahkan ke posisi. Carilah : a. Benuk persamaan arus pada rangkaian saa saklar posisi b. Benuk persamaan arus pada rangkaian saa saklar posisi Jawab: Disaa saklar posisi maka persamaan egangan pada rangkaian adalah : 40
.i 00.i 0, 00 i Bila inegralkan hasilnya adalah : 0,00 500 (i ) n(i -) - 500 ' K Karena : K ' K, maka : i - i - ' 500K 500. ' K i = K ε -500.0 + (*) Dari rangkaian keahui bahwa arus pada = 0-, adalah nol dan karena sifa dari yang idak bias berubah dengan sekeika maka pada = 0 arus pada rangkaian juga nol, sehingga bila = 0 masukkan ke persamaan (*) maka peroleh : i(0) = 0 = K ε -500.0 + sehingga peroleh K = -, dan bila harga ini subiusikan ke persamaan (*) maka peroleh: a. Persamaan arus saa saklar posisi adalah : i = ε -500.Amp. Saklar berada posisi selama 500 µde, maka pada saa ini pada rangkaian elah ada arus sebesar : i 6 500(500.0 ) 6 0,.Amp. 500.0.de Maka pada saa arus pada rangkaian sebesar 0, Amp. Saklar pindahkan ke posisi 4
Bilamana saklar posisi maka persamaan egangan pada rangkaian adalah :.i 00.i 0, 50 i 0,00 0,5 (i 0,5) - 0,00 500 (i 0,5) Kalau inegralkan maka hasilnya adalah : Karena K ' K n(i - 0,5) - 500 ' 500K ' K 500 (i - 0,5)., maka persamaan aas menja : ' K aau : Pada Persamaan (**) ini misalkan : = 500 (i 0,5) = K i = K ε -500 + 0,5 (**) = 500 µde = 5.0-4 de. maka Persamaan (**) menja : i = K ε -500(- ) + 0,5 (***) Selama saklar posisi.l, pada rangkaian elah ada arus sebesar 0, Amp., dan saa saklar pindahkan ke posisi. (saa ) arus masih eap sebesar 0, Amp. hal
ini sebabkan sifa dari yang idak bisa berubah sekeika, maka unuk = Persamaan (***) menja : I( ) = 0, = K ε -500( - ) + 0,5 maka peroleh : K = -0,79, kemuan harga ini subsiusikan kepersamaan (***), maka peroleh : b. Persamaan arus saa saklar posisi. adalah : kalau gambarkan kurvanya : i = -0,79ε -500(- ) + 0,5.Amp. Conoh : angkaian bawah ini adalah rangkaian ekivalen suau relay. elay akan bekerja bilamana rangkaian aliri oleh arus sebesar 7 ma, bilamana saklar uup pada saa = 0, maka unuk mencapai arus sebesar 7 ma perlukan waku 0, deik, maka carilah : a. Besar indukansi dari relay. b. Benuk persamaan arus i Jawab: Kalau saklar uup maka persamaan egangan pada rangkaian relay adalah :
aau :.i + = 5000.i + aau : i + 5000 = 50 = 0,0. aau : i 0,0 = - 5000 5000 aau : (i 0,0) = - kalau inegralkan : n(i 5000 0,0) K 5000 K aau : ( i 0,0). karena : K = ε K, maka : 5000 i K 0,0 (*) Dikeahui sebelum saklar uup ( = 0-), arus pada rangkaian relay adalah nol dan karena sifa dari yang idak bisa berubah sekeika maka arus pada saa saklar uup ( = 0) juga akan nol, sehingga persamaan (*) aas unuk = 0 menja : maka peroleh : K = -0,0 5000.0 i(0) 0 K 0,0 Apabila harga K ini subsiusikan kepersamaan (*) maka peroleh : 5000 i 0,0 (**) karena relay akan bekerja bila rangkaian aliri oleh arus 7mA, dan arus ini peroleh bilamana saklar elah eruup selama 0,.deik, dan apabila harga-harga ini subsiusikan kepersamaan (**) maka peroleh : i(0,.de) 7.0-3 0,0 5000.0, aau : 0,7 000 44
000 aau : 0, 3 maka peroleh : a. = 830,58.H b. Selanjunya harga ini subsiusikan ke Persamaan (**), maka peroleh persamaan arus rangkaian : i 0,0 000 830,58 6,0 i 0,0 Amp aau : Conoh : Sebuah generaor DC mensuplai arus kerangkaian yang paralel dengan kumparan k yang memiliki k dan indukansi k. rangkaian aas elah dalam keadaan seady sae, carilah besar arus yanlg mengalir pada kumparan i k seelah circui breaker erbuka selama deik. Jawab : Dalam keadaan seady sae rangkaian ekivalen adalah : maka sebelum circui breaker erbuka ( = 0-) dalam rangkaian elah ada arus yang melalui kumparan sebesar :
i k (0-) k 40 300 0,8 A Apabila circui breaker erbuka maka rangkaian ekivalen berbenuk : sehingga persamaan egangan pada rangkaian ini adalah :.i k + k i k + k k = 0 k aau : ( + k ) i k + k = 0 aau : k (600 + 300) i k + 00 = 0 aau : k 900.i k + 00 = 0 aau : k 9i k + = 0 aau : kalau inegralkan : aau : k = -4,5 n(i k ) = -4,5 + K i k = ε -4,5+K = ε K ε -4,5 karena ε K = K, maka : i k = Kε -4,5 (*) Sebelum circui breaker erbuka ( = 0-) arus pada rangkaian sebesar 0,8.Amp. dan karena sifa yang ak dapa berubah dengan sekeika maka pada = 0, juga arus i k (0) = 0,8 Amp., sehingga kalau harga-harga ini subsiusikan ke Persamaan (*) akan peroleh : i k (0) = 0,8 = Kε -4,5.0 dari sini peroleh : K = 0,8. dan kemuan harga K ini subsiusikan ke Persamaan (*), sehingga peroleh persamaan arus pada rangkaian seelah circui breaker erbuka adalah i k = 0,8.ε -4,5
maka besar arus pada rangkaian seelah circui breaker erbuka selama.deik adalah : i k(.deik) 0,8. Amp..5 espons Dari angkaian Seri C Dengan Sumber Tegangan Searah/Uni Sep Pada saa = 0 saklar pada rangkaian bawah ini uup. Gambar.9 angkaian C seri dengan sumber searah maka menuru hokum egangan Kirchoff persamaan egangan pada rangkaian adalah :.i i C (.3) bilamana Persamaan (.3) aas deferensiasikan sau kali, maka benuknya menja: dan seerusnya bua : kalau inegralkan : aau : i i + C = - C i = - C = 0 (.33)
aau : aau : karena : K = ε K maka : n(i) = - C i C K i i K K C C + K (.34) persamaan ini merupakan penyelesaian umum (general soluion) dari Persamaan (.3)..5. Menenukan Konsana K Unuk mencari konsana K pada Persamaan (.34), bua Persamaan (.3) unuk = 0 sehingga dapa : i 0 + C i 0 d.0 = maka peroleh : i 0 selanjunya i 0 ini subsiusikan ke Persamaan (3.34) dengan = 0, maka peroleh : maka peroleh : K i0 i 0 K 0 C dan kemuan harga K yang peroleh ini subsiusikan ke Persamaan (.34) sehingga dapa persamaan arus aau Persamaan (.34) menja : i = ε C (.35) bilamana C = π yang merupakan konsana waku rangkaian, maka Persamaan (.35) menja : i (.36) bilamana Persamaan (.36) ini gambarkan kurvanya adalah sebagai beriku : 48
Gambar.0 Kurva arus dari Persamaan (.36) Terliha bahwa i merupakan fungsi menurun dari eksponensial, hal ini memperlihakan bahwa saa saklar uup erja pengisian muaan pada C (mana = 0-, kapasior idak bermuaan) dan seelah muaan pada kapasior penuh maka arus akan menja nol..5. Tegangan Transien Pada dan C Tegangan ransien pada dan C dari rangkaian C seri dapa apabila arus pada rangkaian elah keahui, sehingga unuk egangan ransien : Pada. aau : aau :.i.. (.37) C (.38) kalau Persamaan (.37) dan (.38) gambarkan, maka kurvanya adalah sebagai beriku :
Gambar. Kurva dan C.5.3 Daya Sesaa Unuk mendapakan daya sesaa pada dan C dapa cari dengan mengalikan egangan pada dan C dengan arus. Pada. p =.i =. = (.39) Pada C. p C = C.i = = (.40) dan : C T p p p (.4) kalau gambarkan keiga daya ini adalah : Gambar. Kurva P, P C dan P r
erliha bahwa p C memiliki harga awalan akhir nol, hal ini merupakan energi yang ersimpan pada kapasior sebagai medan lisrik pada egangan konsan, unuk membukikan hal ini maka inegralkan Persamaan (.40) unuk baas inegrasi 0. E = = C (.4) Conoh : Perhaikan rangkaian bawah ini : pada saa = 0 saklar pada rangkaian uup, maka carilah benuk persamaan arus yang mengalir pada rangkaian. Jawab : Persamaan egangan pada rangkaian seelah saklar uup adalah :.i + aau : 500.i + i. C 0,5.0 i 0 6 aau : i + 4000 i = 0,04 (*) bila deferensialkan : aau : inegralkan : aau : aau : i = 4000.i 0 4000 i 4000 i n(i) = -4000 + K 4000K K 4000
karena : K = K, maka : 4000 i = K (**) bilamana Persamaan (*) bua pada = 0, akan peroleh : aau : i 0 0, 04 i 0 + 4000 i.d0 0, 04 harga i 0 ini subsiusikan ke Persamaan (**) unuk = 0 sehingga peroleh : i 0 = 0,04 = K 4000.0 maka peroleh K = 0,04 dan kemuan harga ini subsiusikan ke Persamaan (**) maka peroleh benuk persamaan arus pada rangkaian adalah : i 0,04. 4000 Amp. Conoh : Perhaikan rangkaian bawah ini : Pada saa = 0 saklar pada rangkaian uup, carilah benuk persamaan arus pada rangkaian seelah saklar uup. Jawab:
Persamaan egangan pada rangkaian seelah saklar uup adalah :.i + aau : 000.i + i C 0.0 aau : i + 50 i 0, 05 i 50 6 deferensialkan : aau : aau : inegralkan : aau : 50.i 0 i = -0,0 50 i 50 i n(i) = -50 + K aau : i = 50 K K 50. karena : K = K, maka : 50 i = K (*) Pada saa = 0- kapasior elah memiliki muaan sebesar q C (0-) = 500.µC = sehingga pada saa = 0-, pada erminal kapasior elah ada egangan sebesar : 5.0-4.C, C (0-) = 4 qc (0) 5.0 C 0.0 6 5.ol karena sifa dari C ak bisa berubah dengan sekeika maka rangkaian ekivalen pada saa = 0 adalah : sehingga pada saa = 0 elah mengalir arus pada rangkaian sebesar :
i(0) = C (0) 50 5 0,075.Amp. 000 maka kalau Persamaan (*) bua pada = 0 akan peroleh : i(0) = 0,075 = K maka peroleh : K = 0,075, kemuan harga K ini subsiusikan ke dalam Persamaan (*) sehingga peroleh persamaan arus pada rangkaian apabila saklar uup pada = 0 adalah : i 0,075 50 Amp 50.0 Conoh : Perhaikan rangkaian bawah ini : pada saa = 0 saklar uup, carilah benuk persamaan arus yang mengalir pada rangkaian. Jawab : Persamaan egangan pada rangkaian seelah saklar uup adalah :.i + i C aau : 0.i + 4.0 6 i 00. aau : i + 5000 i 0 deferensialkan : aau : inegralkan : n(i) 5000.i 0 5000 i 5000 K'
aau : i 5000K' K'. 5000 karena : K = K, maka : 5000 i = K (*) Sebelum saklar uup pada C elah ada muaan sebesar q C (0-) = 800.µF, karena sifa C yang idak dapa berubah sekeika, maka pada saa = 0 pada C erdapa juga masih erdapa muaan sebesar q C (0) = 800 µf, sehingga pada saa = 0 pada erminal C ada egangan sebesar : C (0) = qc (0) 800.0 C 4.0 6 6 00 ol sehingga rangkaian ekivalen saa saklar uup adalah : maka erliha bahwa pada = 0, arus pada rangkaian adalah : i 0 = C (0) 00 00 0 Amp. 0 sehingga Persamaan (*) pada = 0 adalah : 5000. i 0 = -0 = K.Amp. sehingga peroleh K = -0, kemuan harga K ini subsiusikan ke Persamaan (*), maka peroleh persamaan arus pada rangkaian seelah penuupan saklar adalah : i -0. 5000. Amp. Conoh : angkaian bawah ini elah dalam keadaan seady sae.
pada saa = 0 saklar pindahkan ke posisi.. Carilah : a. Benuk persamaan egangan b. Berapa besar egangan seelah saklar posisi.. selama.deik dan 4 deik. Jawab : Sebelum saklar pindahkan ke posisi.. rangkaian sudah dalam keadaan seady sae, berari pada erminal C elah ada egangan sebesar egangan pada, sedangkan egangan pada sewaku = 0- adalah : maka erliha bahwa : I(0-) = dan egangan pada adalah : I(0)x 4 0,003Amp. 3000 5000 0,003x5000 5ol. sehingga saa saklar pindahkan ke posisi, pada kapasior elah ada egangan sebesar (0) 5 ol C Bilamana saklar berada pada posisi :
sehingga persamaan egangan pada saa saklar posisi dua adalah : aau : aau : ferensialkan : aau : aau : inegralkan : aau : v C (0) i 3.i C 30 5 i 4000.i 3 0,5.0 5 000 i 4000.i 0 000.i i 0 i i n (i) 0,5 K' 4000. 0,5 0,5 K' 0,5 K' 0,5 i K (*) karena sifa yang berubah dengan sekeika, maka pada = 0, pada rangkaian ada arus sebesar : i(0) v sehingga Persamaan (*) pada = 0 adalah : C 3 (0) 30 5 0,0037 Amp 4000 i(0) 0,00375 K 0,5.0 57
aau peroleh : K = 0,00375, dan kemuan harga K ini sribusikan ke dalam Persamaan (*). Sehingga peroleh persamaan arus pada rangkaian saa saklar posisi : dan persamaan egangan C adalah : v C i 0,00375 0,5 0,5 C i 0,00375, 5 3 0,5.0 sehingga persamaan egangan v adalah : 0,5 aau : v v C v 30 5. 0,5 sehingga besar egangan v seelah saklar posisi : a. selama deik : b. selama 4 deik : 0,5. v( de) 30 5 0,90vol 0,5.4 v( 4de) 30 5 7,969vol.6 Transien Dari Muaan q Pada angkaian C Seri Adakalanya pada rangkaian C seri perlukan persamaan yang menyaakan ransien dari muaan q. Kalau rangkaian pada Gambar.8, pada saa = 0 saklar uup, maka dapa uliskan persamaan egangan pada rangkaian : karena : aau : aau :.i i C dq i, maka persamaan egangan aas dapa uliskan dalam benuk : dq. C dq. dq q C 58
aau : q dq C. dq q C kalau inegralkan maka akan peroleh : aau : n q C C C C q C K' C K' K' C karena : K' K, maka : aau : q C K C q K C C (.43) karena pada = 0- muaan pada C adalah nol dan karena sifa C yang idak dapa berubah dengan sekeika maka muaan C pada = 0 yaiu q (0) = 0 dan kalau harga-harga ini subsiusikan ke dalam persamaan (.73) akan peroleh :.0 q 0 K C ( 0) C (.44) dan peroleh : K = -C. Kemuan kalau harga K subsiusikan ke dalam Persamaan (.43), maka dapa persamaan muaan q pada rangkaian bila saklar uup pada saa = 0 adalah : q C C Maka menuru benuk Persamaan (.6) dapa uliskan : (.45) mana : q = q ss + q r dan kalau gambarkan kurvanya : q ss C dan q r C C 59
Gambar.3 Kurva muaan ransien C seri bagian ransien dari muaan q r akan menarik dengan perubahan waku dan nol pada saa =, maka oal muaan yang pada C adalah nol-nol pada mulanya dan sebesar C pada saa =..7 Soal aihan. Perhaikan rangkaian bawah ini elah dalam keadaan seady sae. Carilah benuk persamaan egangan pada dan seelah = 0.. angkaian bawah ini sudah dalam keadaan seady sae. 60
Seelah saklar uup selama 5 milideik, carilah : a. Besar arus yang mengalir pada rangkaian b. Besar egangan pada c. Besar egangan pada 3. angkaian seperi bawah ini : = 0 i = 00 Ω = 0 = 40 + - C = 0,5 µf q C(0-) = 0 Pada saa = 0 saklar geser ke posisi dan seelah konsana waku rangkaian saklar geser ke posisi. Carilah benuk persamaan arus seelah saklar posisi. 4. angkaian seperi bawah ini : Carilah persamaan arus i dan q muaan pada rangkaian seelah saklar uup. 6