Baha Kuliah 03 Bab 3 Metode Iterpolasi Pedahulua Iterpolasi serig diartika sebagai mecari ilai variabel tergatug tertetu, misalya y, pada ilai variabel bebas, misalya, diatara dua atau lebih ilai yag diketahui ilai variabel tergatugya yaitu y seperti telihat pada Gambar 1 di bawah ii. y 3 y 1 y=? y 2 1 2 3 Gambar 1. Ilustrasi persoala iterpolasi. Dalam kasus yata masalah iterpolasi seperti: 1. memperkiraka kedalama muka air taah pada lokasi diatara sumur- sumur yag ada, 2. memperkiraka debit bajir pada jam atau waktu tertetu yag tidak ada data pegukuraya di tempat tersebut kecuali pada waktu sebelumya da sesudahya, 3. membuat garis kotur yag tidak melewati data elevasi yag ada, dll. Data yag ada dapat disebut data diskret. Variabel tergatug, misalya y, yag bervariasi pada yag berbeda- beda, disebut pula sebagai suatu fugsi y pada sumbu. Pada kasus yag dihadapi adalah betuk fugsi y pada tidak diketahui kecuali di 1, 2, da 3. Perlu diperhatika fugsi yata y pada ada baik dapat diugkapka dega persamaa hubuga matematika maupu tidak. Pada cotoh kasus yata omor 1, dapat difahami bahwa di dalam taah, di maapu temptya, di sekitar tempat tersebut, ada muka air taah yag mempuyau kedalama atau elevasi tertetu. Dapat diartika ada fugsi elevasi muka air taah pada variabel bebas misalya arah timur E da variabel bebas arah utara N (pada koordiat litag bujur). Memperhatika hal tersebut di atas, masalah iterpolasi dapat diselesaika (didekati agka fugsi yag sebearya) dega, pertama, memilih dugaa fugsi yag palig medekati fugsi yag sebearya ada atau memilih fugsi yag mudah dihitug utuk medekati ilai fugsi sebearya di tempat yag diigika. Dapat difahami bahwa masalah iterpolasi adalah bagia dari
masalah pedekata atau peghampira (approimatio problems). Pada saat seseorag megguaka garis lurus yag meghubugka dua titik yag sudah diketahui ilaiya utuk memperkiraka ilai iterpolasi sebearya yag dilakuka adalah megasumsika atau medekati fugsi yag sebearya dega fugsi liier. Pada iterpolasi diigika fugsi iterpolasi yag medekati fugsi sebearya tersebut yag diguaka utuk mecari ilai fugsi (variabel tergatug) pada titik (variabel bebas) yag diigika, melewati titik- titik yag sudah diketahui ilaiya. Pada aproksimasi hal itu tidak harus dipeuhi. y 3 y 1 y=? y 2 1 2 3 Gambar 2. Memilih atau medekati fugsi sebearya dega fugsi iterpolasi. Metode Iterpolasi Diatara bayak fugsi yag memugkika utuk diguaka sebagai fugsi iterpolasi, yag populer adalah fugsi poliomial aljabar (algebraic polyomial). Hal ii disebabka karea fugsi poliomial mempuyai karakter sbb: 1. dapat medekati fugsi meerus dega keseragama jarak pedekata yag lebih baik di daerah yag diperhitugka, 2. persamaa turua maupu itegralya mudah dirumuska da hasilya juga berupa persamaa poliomial. Betuk rumusa poliomial aljabar adalah sbb: P ( ) = a 0 0 + a 1 1 + a 2 2 + + a = a i i Variabel adalah derajat poliomial sedagka ai adalah koefisie da i adalah fugsi basis iterpolasi dalam betuk poliomial aljabar. Dapat dilihat bahwa fugsi iterpolasi Pmerupaka hasil pejumlaha dari fugsi basis iterpolasi sebayak derajat poliomial ditambah satu. Secara umum fugsi iterpolasi dapat ditulis sbb: P ( ) = a i N i i=0 ( ) i=0
dega Ni() adalah fugsi basis iterpolasi yag jika dipilih fugsi poliomial aljabar Ni() = i. Fugsi basis iterpolasi dapat dipili dari fugsi yag lai seperti yag aka dijelaska pada bagia selajutya. Iterpolasi Poliomial Aljabar Seperti yag telah dijelaska di atas, iterpolasi mesyaratka fugsi pedekat yaitu fugsi iterpolasi melalui titik- titik yag diketahui. Oleh karea itu berapa bayak titik tersebut diperhitugka terkait dega pemiliha derajat fugsi iterpolasiya. Iterpolasi Liier Utuk poliomial aljabar, jika kita memiliki dua titik yag diketahui, maka derajat poliomial yag dapat diguaka adalah dua dikuragi satu. Jadi dega haya dua titik poliomial iterpolasi aka berupa persamaa garis sbb: Jumlah titik 2, maka =1, poliomial derajat 1 atau garis lurus Gambar 3. Iterpolasi liier. Lagkah hituga, jika diketahui ilai fugsi y pada sbb: No Titik y 1 1 1.2 2 5 4.2 Dicari ilai y pada = 3.0 Lagkah pertama adalah meetuka persamaa poliomial aljabar dega =1 yaitu: y = a0 0 + a1 1 atau y = a0 + a1. Lagkah kedua adalah meghitug koefisie poliomial dega megguaka syarat bahwa poliomial melalui titik- titik yag diketahui. Dega syarat ii dapat ditulis dua persamaa. y = a0 + a1melalui titik 1, maka diperoleh persamaa 1.2 = a0 + a1 1 y = a0 + a1melalui titik 2, maka diperoleh persamaa 4.2 = a0 + a1 5 dega substitusi a0 pada persamaa melalui titik 2 dega a0 pada persamaa melalui titik 1, diperoleh 4.2 = (1.2 a1) + a1 5 atau a1 = 0.75
selajutya dega salah satu persamaa garis melalui titik tersebut di atas dapat dihitug a0 sbb: 1.2 = a0 + 0.75, maka a0 = 0.45 Lagkah ketiga adalah meghitug y pada = 3.0 dega persama iterpolasi yag telah diperoleh yaitu y = 0.45 + 0.75 atau Iterpolasi Kuadratik y = 2.7 Utuk iterpolasi dega poliomial aljabar derajad 2 atau = 2 diperluka 3 titik diketahui. Lagkah- lagkah hituga sama dega pada iterpolasi liier sbb: Diketahui titik ketiga = 8, y = 3.4 1. Betuk persamaa iterpolasi y = a0 0 + a1 1 + a2 2 atau y = a0+ a1 + a2 2 2. Persamaa garis melalui titik- titik 1, 2 da 3 1.2 = a0+ a11+ a21 2! 1 1 1 # 4.2 = a0+ a15+ a25 2 1 5 25 # 3.4 = a0+ a18+ a28 2 1 8 64 # " utuk medapatka ilai koefisie tersebut dapat dilakuka dega metode peyelesaia himpua atau set persamaa liier atau persamaa matriks da vektor yag aka dijelaska kemudia. a0 = - 0.276, a1 = 1.621, a2 = - 0.145 3. = 3.0, y = - 0.276 + 1.621-0.145 2, atau y = 3.281 a 0 a 1 a 2 $! & # & = # & # % " 1.2 4.2 3.4 $ & & & % Jumlah titik 3, maka =2, poliomial derajat 2 atau kurva parabolik Iterpolasi Poliomial Lagrage Iterpolasi Poliomial Lagrage mempuyai kelebiha khusus dibadig poliomial laiya. Salah satuya yaitu koefisie persamaa iterpolasi yag dicari merupaka ilai fugsi pada titik- titik yag telah diketahui. Sehigga ilai koefisie tersebut telah tersedia. Oleh karea itu tidak diperluka lagi hituga peyelesaia persamaa matriks seperti pada pegguaa poliomial aljabar. Betuk persamaa iterpolasi Poliomial Lagrage adalah sbb:
P ( ) = a i N i ( ) ; N i i=0 ( ) = L,i ( ) = j=0 j i j i j Fugsi basis iterpolasi dega Poliomial Lagrage dapat dijelaska sbb: L,i ( ) ( ) ( 1 ) 1 ) ( i 1) i 1 ) ( i+1 ) i+1 ) ( 1) 1 ) ( ) ) ( ) = 0 i 0 Sebagai cotoh utuk = 1 atau poliomial derajat 1, seperti pada poliomial aljabar jumlah titik adalah + 1 atau 2, sehigga persamaa pada titik- titik 0 da 1 adalah sbb: Titik 0 atau i= 0 L ( ) 1,0 1 = Titik 1 atau i = 1 L 1,1 ( ) = 0 1 0 0 1 Sedagka utuk = 2, persamaa Poliomial Lagrage pada titik- titik 0, 1 da 2 adalah sbb: Titik 0 atau i= 0 L 2,0 Titik 1 atau i= 1 L 2,1 Titik 2 atau i= 2 L 2,2 Cotoh hituga: Utuk = 1 ( ( ) = 1) ( 2 ) ( 0 1 ) ( 0 2 ) ( ( ) = 0) ( 2 ) ( 1 0 ) ( 1 2 ) ( ( ) = 0) ( 1 ) ( 2 0 ) ( 2 1 ) 0 = 2, y0 = 0.5, 1 = 3, y1 = 0.333, cari ilai iterpolasi y di = 2.3 Fugsi iterpolasi Poliomial Lagrage titik- titik 0 da 1 adalah sbb: Titik 0 atau i= 0 L ( ) 1,0 3 = 2 3 Utuk = 2.3, maka L1,0() = 0.7 Titik 1 atau i = 1 L ( ) 1,1 2 = 3 2 Utuk = 2.3, maka L1,1() = 0.3 Nilai iterpolasi y pada = 2.3 dihitug dega megalika koefisie yaitu ilai y yag diketahui di titik 0 da 1 sbb: y = (0.5) (0.7) + (0.333) (0.3) atau y = 0.435