STATISTIKA-38 APROKSIMASI TABEL MORTALITA MENGGUNAKAN PERSAMAAN DUFRESNE Ley Jaze Siay 1 Neva Satyahadewi 2 1 PS Matematika FMIPA Uiversitas Pattimura Ambo 2 PS Statistika FMIPA Uiversitas Tajugpura Potiaak 1 leyjz@gmail.com 2 eva.satya@gmail.com Abstrak Persamaa Dufrese merupaka sebuah persamaa matematika yag diperkealka oleh Daiel Dufrese.Persamaa Dufrese dibagu dari poliomial Jacobi teralihka yag diterapka pada kompleme fugsi peluag.secara aalitis persamaa ii meghasilka sebuah barisa-barisa kombiasi ekspoesial. Dega demikia peulisa ii memberika suatu cara utuk megaproksimasi tabel mortalita dega meerapka persamaa Dufrese pada distribusi Makeham. Kata kuci: Aproksimasi Dufrese kompleme fugsi peluag distribusi Makeham kombiasi ekspoesial poliomial Jacobi teralihka tabel mortalita. PENDAHULUAN Pada umumya betuk ekspoesial serig ditemuka dalam model matematika ataupu statistika.secara umerik betuk ekpoesial memberika kemudaha dalam peghituga.oleh karea itu betuk ekspoesial diguaka serig diguaka dalam membetuk fugsi-fugsi khusus utuk meetuka suatu distribusi peluag.distribusi peluag yag megguaka betuk ekspoesial adalah distribusi ekspoesial. Kombiasi ekspoesial merupaka suatu betuk kombiasi dari fugsi kepadata peluag distribusi ekspoesial.secara umerik betuk kombiasi ekspoesial tersebut memiliki kemudaha utuk diterapka.hal ii dikareaka distribusi ekspoesial memberika suatu peghituga yag sagat sederhaa sehigga mudah utuk dapat diaplikasika ke berbagai bidag seperti teori resiko teori atria teori keuaga teori aktuaria da lai-lai. Salah satu sifat petig dari kombiasi ekspoesial adalah suatu betuk yag dese dalam himpua distribusi peluag atas. Ada berbagai metode yag dapat diguaka utuk meetuka da megaproksimasi sebuah distribusi peluag.pada tahu 26 Daiel Dufrese memberikasuatu metode aproksimasi distribusi peluag yag didasarka atas kombiasi ekspoesial dega megguaka sifat-sifat dari poliomial Jacobi.Aproksimasi iiadalahsebuahpersamaa yag terdiri atas barisa-barisa yag berbetuk kombiasi ekspoesial yag maa barisa-barisa tersebut merupaka barisa-barisa yag koverge.persamaa tersebutmerupaka sebuahformula yag kostruktif utuk megaproksimasi distribusi peluag.kemudia formula ii dikeal sebagai persamaa Dufrese. Dega demikia Peulisa ii memberika suatu cara utuk megaproksimasi sebuah tabel mortalita dega megguaka persamaa Dufrese yaitu degamegkostruksi suatu betuk aproksimasi distribusi waktu hidup yag aka datag (future lifetime) ke dalam betuk kombiasi ekspoesial da kemudia memperlihatka keakurata dari hasil-hasil aproksimasi tersebut secara umerik. Makalah dipresetasika dalam Semiar Nasioal Matematika da Statistika dega tema Peguata Pera Matematika da Statistika Dalam Percepata Pembagua Nasioal " pada taggal 27 Februari 214 di Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Tajugpura.
PEMBAHASAN Bagia ii membahas tetag teori-teori da studi kasus.teori-teori yag dimaksud merupaka beberapa defiisi dasar yag diguaka utuk memperoleh persamaa Dufrese da medukug studi kasus.semetara itu studi kasus yag diberika pada bagia ii merupaka implemetasi umerik dari aproksimasi distribusi waktu hidup (lifetime) dimaa hasil dari implemetasi umerik tersebut diguaka utuk meetuka tabel mortalita.tabel mortalita yag diperoleh pada bagia ii merupaka sebuah ilustrasi karea diperoleh dega membuat asumsi parameter distribusi waktu hidup. A. Distribusi Waktu Hidup Distribusi waktu hidup (lifetime) merupaka sebuah distribusi peluag dari usia hidup seseorag. Usia hidup yag dimaksud adalah usia sesorag dari kelahira sampai usia kematia. Bagia iiaka diberika beberapa defiisi petig megeai distribusi waktu hidup yag aka diguaka dalam pembahasa ii. Defiisi-defiisi yag diguaka pada bagia ii merupaka defiisi-defiisi dasar. 1. Fugsi Kelagsuga Hidup (Survival) Misal X adalah variabel radom kotiu yag megikuti usia hidup seseorag (dari kelahira sampai kematia). Misal F merupaka cdf dari X X P FX X R da ccdf didefiisika seperti berikut: S 1 FX PX R dega asumsi bahwa 1 S serig disebut juga sebagai fugsi kelagsuga hidup (survival). F yag berakibat S. Fugsi X 2. Percepata Mortalitas (Force of Mortality) Misal X adalah variabel radom kotiu yag megikuti usia hidup seseorag (dari kelahira sampai kematia) dega fugsi distribusiya adalah F. Dega demikia pdf dari X yag diotasika dega fx adalah X f df X R sehigga dapat didefiisika sebuah fugsi sebagai berikut: f X ds 1 F S X X R ekuivale dega S ep ydy R di maa S adalah fugsi survival dari variabel radom X. Dalam aktuaria da demografi fugsi mortalita.dalam teori reliabilitas fugsi atau tigkat resiko (hazard rate). disebut juga sebagai percepata disebut sebagai tigkat kegagala (failure rate) Semiar Nasioal Matematika da Statistika FMIPA UNTAN Potiaak 27 Februari 214 446
3. Fugsi-Fugsi pada Tabel Mortalita Jumlah idividu yag hidup dari suatu kelompok idividu-idividu berusia diotasika dega l merupaka suatu fugsi seperti berikut ii: l l S dimaa S merupaka fugsi survival da l merupaka suatu kostata yag serig disebut dega radi. Dega demikia peluag hidup seorag berusia adalah l 1 p. l Kemudia d merupaka jumlah orag yag meiggal dari suatu kelompok orag yag berusia diberika seperti berikut ii: d l l 1. Dega demikia peluag meiggal orag yag berusia adalah d q 1 p. l B. Distribusi Waktu Hidup yag didasarka atas Hukum Makeham Bagia ii merupaka peerapa lagsug dari distribusi waktu hidup yag dijelaska pada Bagia A di atas.bagia ii membahas tetag distribusi waktu hidup yag didasarka atas hukum Makeham.Distribusi tersebut serig disebut sebagai distribusi Makeham. Misal X adalah variabel radom kotiu yag megikuti usia hidup seseorag (dari kelahira sampai kematia). Utuk usia hidup diberika percepata mortalitas yag didasarka atas hukum Makeham seperti berikut A Bc R Betuk ii serig disebut sebagai hazard rate atau failure rate. Berdasarka percepata mortalitas hukum Makehammaka dapat diperoleh fugsi survival dari distribusi Makeham seperti berikut B S ep A mc 1 dega m (1) log c C. Peurua Persamaa Dufrese 1. Fugsi Hipergeometri Gauss seperti berikut seperti berikut dega 1 Simbol Pochhammer utuk suatu bilaga a diotasika dega a a 1 a aa 1 a 1 12. Fugsi hipergeometri Gauss yag diotasika dega F c 2 1 b c b z RecRe b. 1 cb1 a b1 F a b c; z 1 zt t 1 t dt 2 1 ; didefiisika dapat didefiisika c a b z! Semiar Nasioal Matematika da Statistika FMIPA UNTAN Potiaak 27 Februari 214 447
2. Kombiasi Ekspoesial dari Aproksimasi Distribusi Peluag a. Kombiasi Ekspoesial Berikut ii aka diberika betuk umum dari suatu kombiasi ekpoesial dega medefiisika sebuah fugsi yag berbetuk dimaa (a) j1 a j j a j 1; (b) j utuk setiap j; jt j j t f t a e 1 (2) j1 adalah kosta. Fugsi ii adalah fugsi desitas peluag (pdf) jika (c) f utuk setiap. Kodisi (a) da (b) meyataka bahwa fugsi f teritegral utuk 1 atas R amu tidak utuk kodisi (c). Jika a j utuk semua j maka persamaa (2) disebut sebuah miture of epoetials atau disebut juga sebagai distribusi hiper-ekspoesial. Teorema 1 memperlihatka kekovergea dari barisa variabel radom yag maa pdf dari variabel radom tersebut merupaka suatu kombiasi ekspoesial. Teorema 1 (a) Misal T variabel radom o egatif. Maka terdapat suatu barisa variabel radom T masig-masig dega suatu pdf yag diberika oleh suatu kombiasi ekspoesial da sedemikia sehigga T koverge dalam distribusi ke T. (b) Jika distribusi T tidak mempuyai atom maka t lim sup FT t FT t b. Poliomial Jacobi Teralihka Pada umumya betuk poliomial Jacobi dapat didefiisika seperti berikut 1 1 P 2F1 1 1; utuk 1! 2 da 1. Diketahui juga bahwa poliomial Jacobi ortogoal atas iterval 1 1 utuk fugsi bobot 1 1. Kemudia betuk poliomial Jacobi teralihka (shifted Jacobia polyomials) dapat dituruka seperti berikut: 1 R P 2 1 j 2F1 1 1;1 j! dimaa 2 F 1 adalah fugsi hipergeometri Gauss da j 1 1 1! j! j j j. j Semiar Nasioal Matematika da Statistika FMIPA UNTAN Potiaak 27 Februari 214 448
Dega demikia poliomial Jacobi teralihka ortogoal atas 1 dega fugsi bobotya adalah 1 w. Sifat-sifat dari poliomial Jacobi teralihka dapat diberika utuk suatu fugsi terdefiisi atas 1 (termasuk semua fugsi kotiu da terbatas) sedemika sehiga w 1 1 1 c 1 R d h yag 1 1 2 h R d 1 1 2! c. Persamaa Dufrese Berdasarka teori shifted Jacobi polyomials yag diberika pada bagia sebelumya maka teori tersebut dapat diterapka ke dalam suatu distribusi peluag atas R dega cara seperti berikut ii. Misal F t 1 F t T t Ft merupaka ccdf Ft adalah cdf da misal P. Ft serig disebut juga sebagai fugsi survival. Jika F 1da F 1 (kompleme cdf). utuk t. Misal T meyataka waktu dari kelahira sampai kematia dari usia hidup F t p. maka t Diketahui bahwa r 1 g F log r 1 g. Pemetaa yag terjadi dari betuk ii merupaka pemetaa pada 1 yag maa t berkorespodesi dega 1 da t berkorespodesi dega. Diketahui juga bahwa F maka dapat diperoleh sedemikia rupa sehigga g. Misal parameter-parameter p da b k diketahui sedemikia sehigga dega meerapka shifted Jacobi polyomials dapat diperoleh p g b R 1. k k k Ekuivale dega F t g e rt prt jrt jprt e bk kje bk kj e. k j j k Betuk di atas memiliki kesamaa dega persamaa (2) jika j j pr utuk j 1 2. Jika p suatu kombiasi ekspoesial dapat diperoleh dega cara pemotoga jumlaha dari deret di atas. Berdasarka betuk dari deret yag diberika di atas maka kostata b k dapat ditemuka seperti berikut: 1 1 p bk g Rk 1 d h (3) k Semiar Nasioal Matematika da Statistika FMIPA UNTAN Potiaak 27 Februari 214 449
r p 1 rt rt 1 rt e e Rk e F tdt h. k Dega demikia betuk (3) merupaka kombiasi dari betuk p j 1rt rt e 1 e F tdt j 1 k Jika maka dapat diperoleh 1 st st 1 1 st e F t dt F t d e e E dega s s s Hal ii berarti kostata b k dapat diperoleh dega megguaka trasformasi Laplace dari distribusi T. Teorema 2. Misal 1 F kotiu atas da diberika fugsi berikut ii. prt e F t yag memiliki sebuah limit yag berhigga utuk t meuju tak higga utuk beberapa pr (hal ii selalu bear di maa p ). Maka berlaku Utuk setiap prt k (4) k rt k F t e b R e t da koverge seragam atas setiap iterval ab utuk ab. Tidak semua distribusi terkodisi dalam Teorema 2.Hasil dalam teorema berikut tidak membutuhka asumsi ii. Teorema 3. Misal 1da utuk beberapa pr da r 1 2 prt rt 2 e 1 e F t dt 1 (ii selalu bear jika p ). Maka 2 2 N prt lim rt 1 2 p rt rt F t e bkrk e e 1 e dt N k Selajutya persamaa (4) lebih dikeal sebagai persamaa Dufrese.Pemotoga jumlaha dari deret yag diperoleh dari persamaaa Dufrese bukalah fugsi distribusi yag sebearya. Hasil pemotoga deret pada persamaa Dufrese merupaka suatu aproksimasi dari betuk ccdf distribusi T. Nilai fugsi yag diperoleh dari persamaa Dufrese bisa lebih kecil dari atau lebih besar dari 1 atau fugsi tersebut mugki saja turu pada beberapa iterval. D. Studi Kasus Bagia ii memuat tetag implemetasi umerik dari persamaa Dufrese utuk megaproksimasi distribusi waktu hidup yag bertujua utuk meghasilka sebuah tabel Semiar Nasioal Matematika da Statistika FMIPA UNTAN Potiaak 27 Februari 214 45
mortalita.hasil aproksimasi pada bagia ii diperoleh dega cara mesubtitusi parameterparameter = = p = 1 9 r =.15 ke dalam persamaa (4). Lagkah awal yag perlu dilakuka adalah megaproksimasi distribusi waktu hidup.dalam peulisa ii distribusi yag diguaka adalah distribusi Makeham. a. Aproksimasi Distribusi Waktu Hidup Bagia ii merupaka peerapa lagsug dari bagia-bagia sebelumya.hasil-hasil yag diperoleh pada bagia ii didasarka atas hukum Makeham seperti yag diberika pada persamaa (1) dega megguaka asumsi parameter-parameter seperti berikut 5.4 A.7 ; B 5 1 ; c 1 (5) megikuti Bowers et al (1997). Misalka X meyataka usia hidup dari seseorag berarti X. Kemudia subtitusi parameter-parameter (5) ke dalam persamaa (1) maka diperoleh fugsi survival dari Xseperti berikut.54 1.9648 1.54.7 S e Kemudia hasil ii dapat diterapka pada persamaa Dufrese.Secara visual hasil aproksimasi distribusi waktu hidup utuk N 7 da N 2 dapat dilihat pada Gambar 1. Dega demikia tigkat ketelitia aproksimasi pada saat N 2 lebih baik dibadigka N 7. Berdasarka Gambar 1 aproksimasi yag diperoleh pada saat N 2 sagat akurat karea hampir keseluruha grafikya berimipita dega grafik eksak. ccdf 1 ccdf Eksak.8.6 Aproks 7 bagia Aproks 2 bagia.4.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 11.2 Gambar 1. Distribusi waktu hidup yag aka datag Utuk melihat lebih jelas megeai tigkat ketelitia (keakurata) hasil aproksimasi utuk masig-masig N maka diberika pada Tabel 1. Tabel 1 Hasil Estimasi tigkat ketelitia dari N-bagia aproksimasi F t 3.32373 7.142532 1.796111 15.37354 2.14698 Semiar Nasioal Matematika da Statistika FMIPA UNTAN Potiaak 27 Februari 214 451
b. Ilustrasi Tabel Mortalita Berdasarka keakurata hasil aproksimasi distribusi waktu hidup di atas maka dipilih hasil aproksimasidega N 2. Kemudia hasil tersebut diterapka pada fugsi-fugsi tabel mortalita maka diperoleh tabel mortalita sebagai berikut: Tabel 2 Ilustrasi Tabel Mortalita Usia l Eksak Aproksimasi (N = 2) 13 96.88 96.897 14 96.724 96.835 15 96.638 96.73 16 96.55 96.59 17 96.46 96.432 18 96.369 96.279 19 96.275 96.147 KESIMPULAN Dari hasil yag diperoleh dapat disimpulka bahwa: 1. Persamaa Dufrese berbetuk seperti berikut ii Semiar Nasioal Matematika da Statistika FMIPA UNTAN Potiaak 27 Februari 214 prt k k rt k F t e b R e merupakabetuk aproksimasi ccdf (fugsi survival) dari sebuahdistribusi peluag (distribusi waktu hidup) yaitu dega melakuka pemotoga terhadap jumlaha dari deret tersebut. Jika pemotoga deret tersebut dalam N bagia maka hasil dari aproksimasi tersebut dapat diyataka dalam betuk j 1 N. dega j j pr F t N c je j 2. Pegguaa persamaa Dufrese dalam megaproksimasi tabel mortalita cukup akurat. Keakurata aproksimasi tersebut bergatug pada pemiliha parameter-parameter yag terdapat pada persamaa Dufrese. DAFTAR PUSTAKA Abramowitz M. da Stegu I. A. 1972Hadbook of Mathematical Fuctioal(cetaka kesepuluh) Dover New York. Bai L. J. da Egelhardt M. 1992Itroductio to Probability ad Mathematical Statistics edisi keduaduburry Press Califoria. Billigsley P. 1986Probability ad Measureedisi keduajoh Wiley & Sos Ic. New York. Bowers N. L. Jr. Gerber H. U. Hickma J. C. Joes D. A. da Nesbitt C. J. 1997Actuarial Mathematics. edisi keduasociety of Actuaries Schaumburg IL. Dufrese D. 26Fittig Combiatios of Epoetials to Probability DistributiosTo appear i Applied Stochastic Models i Busiess ad Idustry. Dufrese D. 27Stochastic Life Auities North America Actuarial Joural. Feller W. 1971A Itroductio to Probability Theory ad its Applicatios II Edisi keduajoh Wiley & Sos Ic. New York. Gut A. 25Probability: A Graduate Course Spriger New York. jt 452
Higgis J. R.1977 Completeess ad Basis Properties of Sets of Special Fuctios Cambridge Uiversity PressLodo. Hogg R. H. da Craig A. T.1991.Itroductio to Mathematical Statistics edisi kelima.higher Educatio Press. Khuri A. I. 23 Advaced Calculus with Applicatios i Statistics edisi kedua Joh Willey & Sos Ic. New Jersey. Lebedev N. N. 1972Special Fuctios ad Their Applicatios Dover New York. Luke Y. L. 1969TheSpecial Fuctios ad Their Applicatios Academic PressNew York. Siay L. J. 21 Auitas Hidup yag didasarka atas Kombiasi Ekspoesial dari Aproksimasi Distribusi Waktu Hidup Yag Aka Datag Tesis pada Program Studi S2 Matematika Fakultas MIPA Uiversitas Gadjah Mada Yogyakarta. Stahl S. 1999Real Aalysis: A Historical ApproachJoh Wiley & Sos Ic. New York. Stoll M.21Itroductio to Real AalysisEdisi kedua Addiso Wesley Logma Ic. Semiar Nasioal Matematika da Statistika FMIPA UNTAN Potiaak 27 Februari 214 453