Bab V Prosedur Numerik

Bab V Prosedur Numerik Pada bab ini, metode numerik digunakan untuk menghitung medan kecepatan, yakni dengan menghitung batas dan domain integral. Tensor tegangan tak Newton melalui persamaan Maxwell Linear dan perubahan Evolution bentuk batas dari setiap permukaan S l, l,..., K melalui persamaan kinematik. V. Integral Batas Pada bab ini, kita akan membangun proses numerik dari persamaan integral batas melalui proses diskritisasi batas dan diskritisasi domain integral. Diskritisasi batas domain S yang mulus smooth boundary atau permukaan interface fluida menjadi Nb segmen S i, i,..., Nb sedemikian sehingga membentuk himpunan titik diskritisasi. Penghubung antar dua titik diskritisasi dinamakan elemen batas Boundary Elements dilambangkan dengan S i, i,..., Nb, dan titik-titik diskritisasi dinamakan titik-titik ekstrim Extreme Points atau node pada elemen batas. Pada daerah domain didiskritisasi menjadi Nr sel integral. Hasil jumlahan kecepatan u i pada masing-masing elemen batas menghampiri nilai kecepatan pada batas S dan hampiran batas S Nb S I i. Selisih antara nilai kecepatan pada batas S dengan nilai hampiran kecepatan S i dinamakan dengan error diskritisasi. Elemen batas dipilih sedemikian sehingga menghasilkan error dikritisasi yang minimum. Melalui persamaan integral batas pada bab V c l ik ul i dengan x K Ω l ijk ru l i yn l j ydω J η Ω l ik r j t τ l ij yds + η δ ij, x Ω; c ik x /2δ ij, x S dan mulus di x;, x Ω dan xdi luar domain S l J ik rπ l ij yn j l yds 5.

34 dari kondisi dinamik 5.23, diperoleh persamaan integral batas c l ik ul i x K Ω l ijk ru l i yn l j ydω J η Ω l ik r j t τ l ij yds σ J η S l ik r R + R 2 n l i yds 5.2 dan π l ij P δ ij + λ i u j + j u i. Tensor tegangan pada fluida Non-Newton τij d ditentukan dari persamaan Maxwell linear + De l t τ ij η i u l j + j u l i 5.3 Pada interface awal S diberi gangguan fx, x 2, t a d + ɛe ikx 5.4 dengan ɛ sebagai parameter kecil dan tensor tegangan Non-Newton awal, kita asumsikan sebagai distribusi tegangan isotropik. τ ij Qδ ij 5.5 Dari persamaan 4.34 dan persamaan 5., diperoleh bentuk benang yang baru pada waktu t l. Nilai kecepatan u l dari persamaan 5. digunakan pada persamaan 4.34 untuk mendapatkan tensor tegangan tak Newton baru pada waktu t l. Iterasi ini berulang hingga mencapai energi minimum, yakni benang sudah terdeformasi menjadi satu tetesan droplet. Algoritma 5. Proses iterasi ini dituliskan dalam algoritma berikut: Step Menentukan bentuk permukaan benang awal dengan menyelesaikan persamaan 5. dengan memanfaatkan posisi awal x dan tensor tegangan awal 5.4 Step 2 Menghitung tensor tegangan Non-Newton τ d ij pada t l dengan menyelesaikan persamaan 5.2 untuk interface S l Step 3 Menghitung kecepatan pada t i dengan menyelesaikan persamaan 5. Step 4 Mengulang step sampai step 3 Kecepatan untuk fluida Newton dapat ditentukan melalui kekontinuan kecepatan, yakni u d u c, dengan algoritma sebagai berikut: Algoritma 5.2 Proses iterasi ini dituliskan dalam algoritma berikut: Step Mengambil bentuk permukaan benang awal dengan menyelesaikan persamaan 5. dengan memanfaatkan kondisi awal 5.3 dan tensor tegangan awal 5.4 Step 2 Menghitung tensor tegangan Newton τij d pada t i dengan menyelesaikan persamaan τ c ij η i u l j + j u l i untuk interface S l t i

35 Step 3 Menghitung kecepatan pada t i dengan menyelesaikan persamaan 5. Step 4 Lakukan ulang step sampai step 3. Algoritma ini digambarkan sebagai berikut: Input : Q, eps, etac, etad,sigma, E, a, L, x_{}, y_{}, tau,tau2,tau2, tau22 Kecepatan pada batas {u_bts} Kecepatan pada domain {udom} Tensor tegangan baru melalui persamaan Maxwell Linear Penentuan posisi baru melalui kondisi kinematik Keluaran : u_bts, udom, tau,tau2,tau2,tau22,x_baru akhir V.2 Integral Domain Proses deformasi benang yang bergerak pada sistem koordinat Ox x 2 ditransformasi ke sistem koordinat polar. Daerah domain didiskritisasi menjadi N r internal sel. Masing-masing internal sel berbentuk segitiga. Hal-hal ini dapat terlihat pada gambar berikut: Tensor tegangan tak Newton pada tiap-tiap titik integrasi di daerah domain dihitung dengan menggunakan metode Gauss Legendre 7 titik. Tensor tegangan

36 untuk waktu t berikutnya diformulasikan τ l+ ij ηh t De u l j x l i + h t De n+ ul j n + u l n+ x l i n+ u l i n i n x l j n+ xl j n τ l ij 5.6 dan τ l+ x j i+ x j i ij ηh t 2 uj n+ u j n + u in+ u i n De 2 x j i+ x j i x i n+ x i n x j n+ x j n + h t De τ l x j i+ x j i ij 5.7 dan disubstitusi ke integral domain τ ij j J ik dω Ω Perhitungan numerik untuk persamaan integral batas 5.5 terbagi menjadi dua bagian: a. Elemen batas dan internal cell tidak mengandung titik asal x Elemen atau cell regular Pada kasus ini, jarak antara titik asal x dengan titik-titik hasil diskritisasi y lebih besar dari nol x y > sedemikian sehingga singularitas kernel berada di luar domain integral. Simulasi numerik untuk kasus ini menggunakan Quadratur Gauss. Pada elemen batas menggunakan Quadratur Gauss Legendre 2 titik. Pada inner domain menggunakan modifikasi Quadratur Gauss Legendre. b. Elemen batas dan internal cell mengandung titik asal x Elemen atau cell singular Pada kasus ini, jarak antara titik asal x dengan titik-titik hasil diskritisasi y sama dengan nol x y sedemikian sehingga elemen batas mengandung singularitas kernel J ik r. Kernel j J ik r juga pada r singular pada integral domain. Ambil sembarang internal sel pada domain, dengan titik masing-masing a u, v, b u 2, v 2, c u 3, v 3. Titik-titik ini ditransformasi ke internal sel baru x, y, y 2, x 2, y, y 2, x 3, y, y 2 sedemikian sehingga diperoleh y u 3 u y + u 2 u y 2 + u 5.8 y 2 v 3 v y + v 2 v y 2 + v 5.9 dengan Jacobian Jac x y x y

37 Selanjutnya, pada masing-masing titik-titik segitiga terdapat tensor tegangan A, B, C, yang masing-masing dinyatakan A A A 2 A 2 A 22 B B ; B 2 B 2 B 22 C C ; C 2 C 2 C 22 dan mengalami proses transformasi sedenikian sehingga ; y A + y 2 B + y y 2 C 5. yang mana x, x 2, x 3 menyatakan titik-titik segitiga vertices. Dengan demikian integral domain dinyatakan dengan Ω τ ij j J ik dω u u v τ ij j J ik dudv 5. dengan J ik 4π u v τ ij j δ ik ln r + r ir k dudv r 2 Misal f y, y 2 ; α, β ln y α 2 + y 2 β 2 dengan f f y α y α 2 + y 2 β 2 y 2 β y α 2 + y 2 β 2 dan g y, y 2 ; α, β g 2 y, y 2 ; α, β g 2 y, y 2 ; α, β g 22 y, y 2 ; α, β y α 2 y α 2 + y 2 β 2 y αy 2 β y α 2 + y 2 β 2 y αy 2 β y α 2 + y 2 β 2 y 2 β 2 y α 2 + y 2 β 2

38 dan turunan dari fungsi g, yakni: g g g 2 g 2 g 2 g 2 g 22 g 22 2y α y α 2 + y 2 β 2y α 3 2 y α 2 + y 2 β 2 2 2y α 2 y 2 β y α 2 + y 2 β 2 2 y 2 β y α 2 + y 2 β 2y α 2 y 2 β 2 y α 2 + y 2 β 2 2 y α y α 2 + y 2 β 2y 2 β 2 y α 2 y α 2 + y 2 β 2 2 y 2 β y α 2 + y 2 β 2y α 2 y 2 β 2 y α 2 + y 2 β 2 2 y α y α 2 + y 2 β 2y 2 β 2 y α 2 y α 2 + y 2 β 2 2 2y α 2 y 2 β y α 2 + y 2 β 2 2 2y 2 β y α 2 + y 2 β 2y 2 β 3 2 y α 2 + y 2 β 2 2 Jika u, v α, β, maka y α 2 u 3 u y + u 2 u y 2 2 y 2 β 2 v 3 v y + v 2 v y 2 2 Misal : u 3 u a; u 2 u b; v 3 v c; v 2 v d; Dengan demikian penentuan integral domain τ ij j J ik dudv u y A + y 2 B + y y 2 C ay + by 2 ay + by 2 2 + cy + dy 2 + 2ay + by 2 2 y A + y 2 B + y y 2 C V.3 Integral Waktu ay + by 2 2 + cy + dy 2 2 2ay + by 2 3 ay + by 2 2 + cy + dy 2 2 2 dy dy 2 Pada bagian ini, kita akan menentukan tensor tegangan tak Newton dan bentuk permukaan domain interface S l untuk waktu t berikutnya. Bentuk permukaan domain S l baru ditentukan melalui perhitungan posisi titik-titik diskritisasi batas domain S l, yakni perhitungan integral waktu pada kondisi kinematik 2.24 dengan menggunakan metode skema Euler Forward. x nm j t i+ x nm j t i + t u nm n n n j, n, 2,..., Nb 5.2

39 V.4 Hasil Numerik Telah diperoleh persamaan Stokes nonhomogen η jj u l i i P l De j t τ l ij dalam Ω dengan kondisi awal x 2 ; x 2 a d a d + ɛe ikx x ; x L L; dan kondisi batas [ τ ij t j ] kondisi dinamik pada batass [ τ ij n j ] σ + n i kondisi dinamik pada S R R 2 dx i u i kondisi kinematik padas dt Berdasarkan persamaan integral batas pada bab 4, diperoleh c ik u i x K ijk ru i yn j yds J ik rκn i yds S λ S τ ij r j Jik NN ydω λ Melalui hasil numerik dari persamaan integral batas, proses deformasi fluida tak Newton menjadi droplet dinyatakan sebagai perubahan bentuk permukaan interface perubahan x 2 pada setiap iterasi waktu t Berdasarkan gambar di atas, pembentukan tetesan droplet terjadi pada iterasi terakhir. Tetesan droplet terlihat pada saat bentuk interface mancapai nilai minimum. Namun, proses numerik pada subbab V.2 dan subbab V.3 memiliki kekurangan, yakni adanya kernel j J ik r pada integral domain yang mengandung singularitas r. Oleh karen itu, kita tidak memperoleh hasil yang maksimal. Perubahan bentuk yang telah diperoleh yang digambarkan sebagai berikut Pada gambar di atas nmpak jelas adanya singularitas pada titik x L. Ω

4.6 Profil interface fluida, dt.5.55.5.45.4.35.3.25.2.4.6.8 2 3 4 5 6 7 8 9.2 Profil interface fluida, De, dt 6.5..5..95.9.5..5.2

4 T a b e l d a ta : P o sisi y b a ru e ta d. E 4 Q. -9 7.8 5-5 8.4 2 5-2.4 7 8-8 9. 7 7-5 4. 3 8-2.2 6 2-8.8 3-4 9.9 5-2. 6 3-7 4.8 4 8-4 6.9 2 4 -.9 2 4-7 2.6 5-4 5.8 2 5 -.8 8 4-7 3. 9 5-4 6. 4 7 -.9 4-7 6.4 4-4 7.7 2-2. 8-8 3.6 6-5.3 3-2.2 2 4-9 4. 2 4-5 6.5 6 2-2.5 2 - -6 4.4 9-2.9 3 7-4 3.9 5-3.4 5 2 -. 5 4 7.8 7 5 3 5.4 3 7. 9 3 8 5.6 5.2 3 3.4 9 8 3 5.4 7 7.2 5 3.5 4 3.2 7 7 5. 3 4 3.3 6 4 8. 2 8 3.5 5 8 3.7 4 5 7 6.6 9 9 7.8 4 7 4.5 9 2 2. 5.5 5 7 5.4 6 9 2 5 3.2 6 3.6 3 6.5 7 8 2 9 3.4 9 5.6 2 4.7 6 6 3 2 5.4 2 7.2 2 8.5 8 3 3 8.5 3 7.8 7 6 8.8 2 4 6 6.6 3 4 4 2.8 7.5 5 3-5.6 8 -.7 8 4 2 3 Iterasi ke, De 4, t.2 2 2 3.5.6.7.8.9