Media Pembelajaran Integrasi Numerik Dengan Metode Kuadratur Gauss

Transkripsi

1 Media Pembelajaran Integrasi Numerik Dengan Metode Kuadratur Gauss Puji Catur Siswipraptini 1, Rifarhan 2 Jurusan Teknik Informatika Sekolah Tinggi Teknik PLN Jakarta JL. Lingkar Luar Barat, Menara PLN, Daerah Khusus Ibukota Jakarta pujicatur@yahoo.com, 2 rifarhan@yahoo.com ABSTRAK Persoalan integral banyak ditemukan dalam sains dan rekayasa. Untuk persoalan integral yang rumit, yang tidak bisa dipecahkan dengan cara analitis, dibutuhkan cara numerik untuk menyelesaikannya. Cara yang cukup terkenal adalah metode kuadratur Gauss. Namun selama ini Mahasiswa kesulitan untuk memahami pembelajaran materi ini dalam matakuliah Metode Numerik dikarenakan cara penyampaian materi yang sulit dipahami dan kurang menarik bagi para Mahasiswa. Penelitian ini ditujukan untuk merancang program komputer yang menghasilkan perangkat lunak berupa aplikasi simulasi. Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode pengembangan multimedia, yang selanjutnya diimplementasikan pada program komputer untuk penyelesaikan kasus-kasus integral dengan menggunakan integrasi numerik dengan metode kuadratur Gauss. Perancangan dan pembuatan program ini menggunakan bahasa pemrograman Microsoft Visual Studio Kata kunci: Integral, Metode Numerik, Metode Kuadratur Gauss. PENDAHULUAN Metode numerik adalah teknik- teknik yang digunakan untuk merumuskan masalah-masalah matematika agar dapat diselesaikan dengan operasi-operasi aritmatika (hitungan) biasa (tambah, kurang, kali, dan bagi). Secara harfiah metode numerik berarti cara berhitung dengan menggunakan angka-angka. Perhitungan ini melibatkan sejumlah besar operasi-operasi hitungan yang berulang-ulang, melelahkan, dan menjemukan. Ada beberapa alasan mengapa mempelajari metode numerik, yaitu: 1) Metode numerik merupakan alat untuk memecahkan masalah matematika yang sangat handal. Banyak permasalahan teknik yang mustahil dapat diselesaikan secara analitik, karena kita sering dihadapkan pada sistem-sistem persamaan yang besar, tidak linear dan cakupan yang kompleks, dapat diselesaikan dengan metode numerik. 2) Banyak masalah matematika yang tidak dapat diselesaikan dengan memakai program paket atau tidak tercakup dalam program paket. Oleh karena itu kita perlu belajar metode numerik untuk dapat membuat program paket (software) untuk masalah sendiri. 3) Metode numerik merupakan suatu sarana yang efisien untuk mempelajari penggunaan komputer. Belajar pemrograman secara efektif adalah menulis program komputer. Metode numerik mengandung bagian yang dirancang untuk diterapkan pada komputer, misalnya membuat algoritma. 4) Metode numerik merupakan suatu sarana untuk lebih memahami matematika. Karena fungsi metode numerik adalah menyederhanakan matematika yang lebih tinggi dengan operasioperasi hitungan dasar. Metode numerik sudah baku dan telah luas pemakaiannya. Metode numerik yang baru pada hakekatnya bertujuan menemukan cara perhitungan yang dapat membuat error sekecil mungkin. Dengan adanya komputer digital yang semakin lama semakin cepat dalam melakukan hitungan dan dengan adanya penemuan metode-metode baru dan beberapa modifikasi dari metode-metode lama, maka penggunaan metode numerik dalam menyelesaikan masalah-masalah matematika mengalami kenaikan secara drastis. Kemajuan yang cepat pada bidang metode numerik dikarenakan perkembangan komputer itu sendiri. Kita melihat perkembangan teknologi komputer tidak pernah berakhir. Keunggulan tiap generasi baru komputer dalam hal waktu, memori, ketelitian, dan kestabilan perhitungan menyebabkan pengembangan algoritma numerik yang lebih baik. Salah satu permasalahan yang sering dipecahkan dengan metode numerik adalah integrasi numerik. Persoalan integral merupakan persoalan yang sangat penting dalam perhitungan matematis. Hal ini karena integral mempunyai banyak terapan dalam bidang sains dan rekayasa. Namun dalam penerapannya dalam pembelajaran, metode ini lebih seringkali sulit untuk dipahami Mahasiswa. Oleh karena itu perlu dibuatkan perangkat lunak yang dapat mempermudah Puji Catur Siswipraptini, Rifarhan 43

2 Mahasiswa memahami metode kuadratur Gauss ini. Dari permasalahan tersebut, akhirnya penulis tertarik untuk mengusulkan pembuatan media pembelajaran sebagai bahan penelitian yang berjudul Media Pembelajaran Integrasi Numerik dengan Metode Kuadratur Gauss. Diharapkan dengan pembuatan aplikasi ini dapat memudahkan Mahasiswa dan dosen dalam 2.2 Integrasi Numerik pembelajaran metode numerik terutama dalam materi integrasi numerik dengan menggunakan metode kuadratur Gauss. Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang dan pemilihan judul diatas dapat dirumuskan beberapa masalah yang akan dibahas diantaranya: Bagaimana merancang aplikasi simulasi penyelesaian integrasi numerik dengan metode kuadratur Gauss agar dapat digunakan untuk mempermudah perhitungan yang melibatkan integral? Bagaimana rancangan simulasi perhitungan penyelesaian integrasi numerik dengan metode kuadratur Gauss dengan dilengkapi fitur multimedia agar lebih mudah dipahami pengguna? Tujuan Adapun tujuan adalah untuk membuat suatu aplikasi perangkat pembelajaran yang berbasis multimedia yang dapat membantu Mahasiswa dalam memahami materi melalui simulasi dan interaktif pada matakuliah metode numerik khususnya pada materi metode kuadratur Gauss dengan simulasi dan soal latihan. Batasan Masalah Perancangan aplikasi simulasi yang dirancang dan diimplementasikan berbasis desktop. Pembatasan metode kuadratur Gauss dengan 2 titik dan 3 titik. Tidak menggunakan database. Menggunakan bahasa pemrograman Microsoft Visual Studio LANDASAN TEORI Simulasi kemungkinan jangka panjang yang tidak dapat diperhitungkan dengan seksama adalah dengan simulasi. Atau bisa juga peniruan sesuatu yang nyata, keadaan sekelilingnya, atau proses. Aksi melakukansimulasi sesuatu secara umum mewakilkan suatu karakteristik kunci atau kelakuan dari sistem-sistem fisik atau abstrak. Di dalam kalkulus, terdapat dua hal penting yaitu integral dan turunan (derivative). Pengintegralan numerik merupakan alat atau cara yang digunakan oleh ilmuwan untuk memperoleh jawaban hampiran (aproksimasi) dari pengintegralan yang tidak dapat diselesaikan secara analitik. Integrasi numerik merupakan pendekatan dari integrasi analitis untuk mempermudah mendapatkan solusinya, dimana kadang- kadang suatu integral sulit diselesaikan dengan analitis. Integrasi numerik merupakan integral tertentu yang didasarkan pada perkiraan dengan membagi luasan dalam sejumlah pias kecil. Luas totalnya adalah jumlah dari luas pias semuanya. Metode integrasi numerik dapat dibedakan dalam dua kelompok, yaitu kelompok metode Newton-cotes dan kelompok metode Gauss. Yang termasuk Metode Newton-cotes diantaranya adalah metode Trapesium dan metode Simpson, sedangkan untuk kelompok metode Gauss contohnya adalah metode kuadratur Gauss. Metode Integrasi Gauss Metode integrasi Gauss merupakan metode yang tidak menggunakan pembagian area yang banyak, tetapi memanfaatkan titik berat dan pembobot integrasi. Metode kuadratur Gauss menghitung nilai integral dengan cara mengambil nilai fungsi di beberapa titik tertentu yang dapat mewakili perhitungan luas dengan menyeimbangkan galat positif dan negatif. Gambaran metode ini dapat dilihat pada gambar : Simulasi merupakan salah satu cara untuk memecahkan berbagai persoalan yang dihadapi di dunia nyata (real world). Banyak metode yang dibangun dalam Operations Research dan System Analyst untuk kepentingan pengambilan keputusan dengan menggunakan berbagai analisis data.pendekatan yang digunakan untuk memecahkan berbagai masalah yang tidak pasti dan Gambar 1. Integral dihampiri dengan kuadratur Gauss Gambar di atas menyatakan persamaan integral f(x) dari x=-1 hingga x=1. Metode Kuadratur Gauss menghampiri nilai integral dengan dua buah titik x1 Volume VI/ No. 1/Mei/ `

3 dan x2 sedemikian sehingga luas daerah yang diarsir dapat dinyatakan dengan : kita mempunyai integral: dengan c1, c2, x1, dan x2 adalah sembarang nilai yang dapat mewakili. Persamaan di atas dinamakan persamaan kuadratur Gauss dua titik. Persamaan ini dapat diperluas menjadi 3 titik, 4 titik, dan seterusnya. Persamaan di atas memiliki empat buah variabel yang tidak diketahui. Variabel-variabel tersebut harus diisi sedemikian sehingga galat yang dihasilkan minimum. Oleh karena itu dicari empat persamaan simultan yang mengandung c1, c2, x1, dan x2. Dengan mengambil fungsi yang memiliki galat = 0 jika dihitung dengan aturan trapezium, dalam hal ini adalah f(x) = 1 dan f(x) = x, maka kita dapatkan : Kemudian ditambahkan lagi dua persamaan dengan asumsi f(x) = x2 dan f(x) = x3 juga menghasilkan nilai yang sejati (galat = 0) jika dihitung dengan metode trapesium. Sehingga diperoleh 4 persamaan, yaitu : Maka kita harus melakukan transformasi menjadi bentuk umum kuadratur Gauss, dalam hal ini yang harus ditransformasikan adalah selang [a,b] menjadi [- 1,1], variabel x menjadi variabel t, serta dx menjadi dt. Dengan melakukan perbandingan garis, maka diperoleh: sehingga diperoleh persamaan differensialnya: Maka setiap persamaan integrasi dapat ditransformasi ke dalam bentuk kuadratur Gauss dengan mengganti selang [a,b] menjadi [-1,1] serta menggunakan dua persamaan di atas untuk mengganti variabelnya. Untuk kuadratur Gauss n titik dapat diturunkan dengan cara yang sama dengan asumsi bahwa kuadratur Gauss bernilai sejati untuk f(x) =, sesuai jumlah variabel yang diperlukan untuk diketahui. Untuk menentukan nilai variabel pada kuadratur Gauss hingga 6 titik dapat dilihat pada tabel berikut: Tabel 1. Daftar koefisien kuadratur Gauss yang apabila dipecahkankan menghasilkan: jadi diperoleh persamaan: Persamaan di atas dinamakan metode kuadratur Gauss 2 titik. Dengan metode ini menghitung integral f(x) dalam selang [-1.1] cukup hanya dengan mengevaluasi fungsi f di x= dan di x= Untuk menghitung integral secaraumummisalnya: Puji Catur Siswipraptini, Rifarhan 45

4 METODOLOGI PENELITIAN Kerangka Pemikiran Secara umum, metodologi penelitian tersusun dalam diagram alir penelitian sebagai berikut : akan didapat hasil dan kesimpulan yang menjadi bahan pembuatan laporan. Media Penelitian 1. Perangkat Keras Notebook FUJITSU LLH532 dengan spesifikasi : Intel(R) Core(TM) i3-3110m 2.40GHz Installed RAM 2.00 GB HDD 640 GB Printer Alat tulis 2. Perangkat Lunak: Windows 7 Starter Microsoft Office Word 2007 Microsoft Office Visio 2007 Microsoft Visual Basic 2008 Adobe Photosop PERANCANGAN State Transition Diagram (STD) Form Utama Gambar 3. STD Menu Utama State transision diagram(std) SIMULASI Gambar 2. Metodologi Penelitian Penelitian dilakukan sebagaimana terlihat pada gambar 3.1 di atas. Langkah pertama adalah identifikasi masalah dari pembuatan aplikasi ini. Setelah menemukan permasalahan barulah dilakukan tinjauan pustaka tentang aplikasi yang akan dibuat. Dilanjutkan dengan pengumpulan data melalui wawancara, studi pustaka dan menganalasis data yang didapat. Lalu menganalisa apa saja kebutuhan sistem yang dibutuhkan. Setelah semua tercapai maka tahap perancangan dimulai. Setelah perancangan tampilan dan pengkodingan selesai dilakukan pengujian sistem, jika sesuai maka akan diteruskan ke tahap implementasi sistem. Dari implementasi Gambar 4. STD Simulasi Volume VI/ No. 1/Mei/ `

5 Transition Diagram (STD) Latihan Tampilan Materi Berisi materi dan teori tentang metode integrase numerik, kuadratur Gauss Gambar 5. STD Latihan Tampilan Menu Utama HASIL DAN UJI COBA Tampilan pada menu utama terdapat beberapa pilihan fitur yang tercakup dalam aplikasi ini, diantaranya materi, simulasi, latihan, help dan profil. Tampilan Simulasi Gambar 8. Tampilan Materi Layar simulasi menampilkan langkah-langkah menghitung integral dengan menggunakan Integrasi Numerik dengan Metode Kuadratur Gauss, dilengkapi dengan suara dan animasi yang menampilkan langkah-langkah perhitungan Tampilan Menu Utama Gambar 6. Tampilan Menu Tampilan pada menu utama terdapat beberapa pilihan fitur yang tercakup dalam aplikasi ini, diantaranya materi, simulasi, latihan, help dan profil. Gambar 9. Tampilan Simulasi, sebelum proses simulasi. Gambar 7. Tampilan Menu Utama Gambar 10. Tampilan Simulasi, setelah proses simulasi selesai. Puji Catur Siswipraptini, Rifarhan 47

6 Tampilan Latihan Berisi beberapa soal latihan yang harus diselesaikan dengan metode kuadratur Gauss, berkonsep seperti game yang mana apabila user menjawab pertanyaan dengan benar akan menampilkan efek animasi tertentu. Gambar 11. Tampilan Latihan KESIMPULAN Aplikasi simulasi ini menampilkan langkah per langkah cara penyelesaian integrasi numerik dengan menggunakan metode kuadratur Gauss, sehingga dapat digunakan untuk membantu menyelesaikan soal-soal integral. DAFTAR PUSTAKA [1] H.S., D., Suryani. Pengantar Metode Numerik (seri diktat kuliah). Jakarta: Gunadarma. [2] Halvorson, Michael Microsoft Visual Basic 2008 Step by Step. Washington: Microsoft Press. [3] Malatista, Benazer Rahmarani dan Eko Sediyono Model Pembelajaran Matematika Untuk Siswa Kelas IV SDLB Penyandang Tunarungu dan Wicara Dengan Metode Komtal Berbantuan Komputer. Jurnal Informatika. Vol. 7, No. 1. [4] Rinaldi, Munir Metode Numerik (edisi revisi). Jurusan Teknik Informatika ITB. [5] Sugiarti, Yuni [6] [7] [8] Volume VI/ No. 1/Mei/ `