ALJABAR LINTASAN LAVITT SMIPRIMA Ngrum Astrawat Program Stud Tekka, Akadem Martm Yogyakarta astramath@gmal.com ABSTRA. Suatu graf dapat drepresetaska sebaga aljabar ltasa da jka graf tersebut dperluas dapat ddefska suatu aljabar ltasa Leatt, yag pada keyataaya merupaka Z-aljabar bertgkat. Dalam tulsa aka dbahas megea sfat semprma pada aljabar ltasa da aljabar ltasa Leatt yag berlaku dalam sebarag graf. Serta meyeldk kata atara semprma pada aljabar ltasa dega semprma pada aljabar ltasa Leatt. ATA UNCI: Graf Berarah, Aljabar Ltasa, Aljabar Ltasa Leatt, Aljabar Lta-sa Leatt Semprma.. PNDAHULUAN Graf merupaka objek kombatoral yag terdr atas dua hmpua yatu hmpua ttk (ertex) da hmpua gars (edge) yag dlegkap dega suatu pemetaa. Pemetaa ds adalah pemetaa dar hmpua gars ke hmpua ttk, yag masgmasg daerah haslya dsebut sebaga sumber/asal (source) da ujug/target (rage) dar suatu gars dalam graf. Me-urut Assem (6)[] graf sepert dsebut sebaga graf berarah(quer). Selajutya dega medefska operas perkala sebaga operas kompo-ss pada hmpua semua ltasa dalam graf, hmpua mempuya struktur semgrup. Sehgga utuk sebarag lapaga da graf dapat ddefska suatu -aljabar yag dsebut dega aljabar ltasa (path algebra) atas lapaga pada yag memlk bass hmpua semua ltasa yag ada pada graf tersebut. Dega kata la, aljabar ltasa merupaka aljabar atas lapaga dega bass hmpua semua ltasa yag ada pada graf. Dalam hal graf buka sebaga objek kombatoral lag, aka tetap graf dpadag secara aljabar. Sela tu graf dapat dperluas seh-gga terbetuk graf baru yag dsebut sebaa graf perluasa (exteded graf). Ide perluasa dlakuka oleh Leatt yatu dega meambahka gars yag berlawaa arah dega gars yata (real edge) pada graf. 35
Aljabar Ltasa Leatt Semprma Ngrum Astrawat Setap gars yata pada graf aka berpasaga dega gars baru yag dbetuk, yag kemuda dsebut sebaga gars hatu (ghost edge). Aljabar ltasa yag dperumum oleh Leatt pada graf perluasa da memeuh relas Cutz-reger dsebut dega aljabar ltasa Leatt (Leatt path algebra). Dar s juga dapat dkataka bahwa aljabar ltasa merupaka sub-aljabar dar aljabar ltasa Leatt yag elemeya dbagu dar ltasa-ltasa yag haya memuat gars yata. Aljabar ltasa da aljabar ltasa Leatt mempuya beberapa sfat yag sama, dataraya keduaya merupaka -aljabar asosatf da merupaka aljabar bertgkat. Lebh khusus aljabar ltasa Leatt merupaka Z-aljabar bertgkat. Aka tetap, aljabar ltasa da aljabar ltasa Leatt juga mempuya beberapa perbedaa. Salah satu dataraya adalah tetag sfat semprma yag melekat pada keduaya. Utuk sebarag graf aljabar ltasa Leatt pada adalah semprma. Tetap hal tdak selalu berlaku utuk aljabar ltasa. D dalam tulsa juga dbahas megea sokel pada rg yag berkata erat dega sfat semprma pada aljabar ltasa Leatt. 36. MTOD PNLITIAN Pertama-tama sebaga motas utuk mempelajar aljabar ltasa Leatt semprma dbutuhka pegerta dasar megea rg prma da semprma. Utuk mempelajarya dgu-aka buku Hugerfold (984)[]. Selajutya utuk mempelajar aljabar ltasa da aljabar ltasa Leatt dperluka pegetahua tetag aljabar secara umum. Utuk mempelajarya dguaka buku Fralegh ()[4], Wsbauer (996)[] da Adks (99)[]. Dalam pembahasa lebh lajut, aljabar ltasa da aljabar ltasa Leatt merupaka aljabar bertgkat. Utuk tu dperluka juga pegetahua tetag aljabar bertgkat yag dkaj dalam buku Dummt (4)[3], Wsbauer (99)[] da Rotma ()[9]. Dalam tulsa aka dbahas juga megea elemeeleme dar aljabar yag mempuya sfat khusus, atara la eleme dempote, dempote ortogoal, prmtf, eleme satua, da eleme ut lokal. Pegerta dar elemeeleme dega sfat khusus tersebut dpelajar dar buku Dummt (4)[3] da Assem (6)[]. Graf sebaga represetas aljabar da sfat-sfatya yag berhubuga dega sfat grafya dkaj dalam
Jural Derat Volume No. Desember 5 (ISSN: 47 379) Halama 35-47 Assem (6)[]. Hmpua ltasa dalam suatu graf, secara struktur merupaka semgrup terhadap perkala. Hal dpelajar dar Fralegh ()[4]. emuda megea graf perluasa yag dlakuka Leatt bayak dkaj dalam paper yag dsusu oleh Abrams da Arada Po (5,6)[8]. Sela tu Arada Po da Pardo (8)[7] juga membahas aljabar ltasa Leatt sebaga aljabar bertgkat. Pembahasa lebh lajut megea jumlaha dar deal kr mmal atau yag lebh dkeal dega sokel, yag dpelajar oleh Dagerfeld()[], Mart da Arada Po (8)[6], Sles Mola (8)[5]. Sedagka pembaha-sa megea sfat-sfat semprma pada aljabar ltasa da aljabar ltasa Leatt terdapat d paper Arada Po (8)[5]. 3. HASIL DAN PMBAHASAN 3. ALJABAR LINTASAN Dalam baga aka dperkealka megea aljabar ltasa, beserta cotoh da sfat-sfatya. Defs 3... Graf r s (,,, ) terdr atas dua hmpua-hmpua berhgga, da fugs-fugs r s, :. ttk-ttk da aggota-aggota dar damaka gars-gars. Graf dkataka row-fte graph (graf bars-berhgga) jka s ( ) hmpua berhgga utuk setap. Dar s tampak bahwa jka hmpua gars hmpua berhgga maka juga berhgga. Selajutya dkataka graf berhgga jka berhgga. Jad, yag dmaksud graf berhgga dalam paper adalah row-fte graph. Defs 3... Sebuah ltasa (path) dalam graf adalah barsa garsgars e... e e sedemka sehgga r( e ) s( e ) utuk,,..., -. Selajut-ya s( ) s( e ) damaka source (sumber/pagkal) dar, r( ) r( e ) damaka rage (bayaga/ujug) dar da adalah Pajag ltasa dar, dber smbol l( ). Dotaska sebaga hmpua dar semua ttk-ttk dega { s( e ), r( e );,,..., }. Hmpua dar semua ltasa-ltasa dalam graf dotaska sebaga. Aggota-aggota dar damaka 37
Aljabar Ltasa Leatt Semprma Ngrum Astrawat Msalka ada suatu graf berarah r s (,,, ) da ltasa e.... e e Jka s( ) s( e ) da r( ) r( e ) w utuk setap, maka dsebut emt (memacarka) da w meerma. Ttk dsebut teggelam (sk) jka tdak memacarka sebarag gars, atau bsa dkataka: ( teggelam s( e), e ). Setap ttk, dasosaska dega ltasa dega pajag, sedagka sebarag gars e, dasosaska dega ltasa dega pajag. Utuk selajutya yag dmaksud sebarag graf dalam paper adalah row-fte graph. yag dmaksud e Berkut adalah cotoh graf u e 3 u 3 e 4 s( e ) u, r( e ) u, s( e ) u, 4 r( e ) u, da seterusya. Ttku 4 ada-lah sk, karea u4 s( e), e. Cotoh-cotoh ltasa (path) dar graf d atas adalah uu u3, uu 4, e, ee3, e4, e4e4, ee4e 4 da seterusya, sejumlah tak berhgga bayak ltasa. Utuk ltasa 3 ee3e maka 4 { u, u, u3}. D dalam juga ddefska suatu perkala dua ltasa sebaga berkut. Defs 3..3. Dberka Graf berarah r s (,,, ) da ltasa e... e em, f... f f. Operas perkala sebarag dua ltasa e... e em da f... f f Ddefska sebaga e... e em f... f f jka r( ) s( ) da jka r( ) s( ). u e Graf terdr dar hmpua: ) { u, u, u, u } Dapat dlhat bahwa 38 u 4 (,,, ) r s 3 4 ) { e, e, e, e } 3 4 d atas Dar defs perkala lah dapat dguaka utuk medefska aljabar ltasa Leatt. Dalam medefska aljabar ltasa dar suatu graf dperluka operas perkala ltasa sepert defs datas, sebaga berkut: Defs 3..4. Dberka lapaga da graf. Ddefska aljabar ltasa pada graf atas lapaga
Jural Derat Volume No. Desember 5 (ISSN: 47 379) Halama 35-47 sebaga -aljabar yag bebas (free) dalam ltasa dega bass hmpua ltasa-ltasa dalam da memeuh syarat : j =δ j utuk, j da e =e r(e )=s(e ) e dega { axx, ax }, dmaa graf dapat x dpadag sebaga semgrup multplkas, sehgga merupaka -aljabar. Cotoh graf yag merupaka aljabar ltasa adalah sebaga berkut e u e u 3 (exteded graphof ) sebaga graf baru yag dtuls (, ( ), r ', s ') dega ( ) e e da fugs r ' da s ' yag ddefska : r r s s r e s e ', ', '( ) ( ), da s' ( e ) r( ) e Selajutya dberka cotoh utuk memperjelas perluasa pada graf, sebaga berkut. Cotoh 3... Dberka perluasa graf sebaga berkut u f Gambar graf datas adalah graf yag terdr dar hmpua-hmpua {,,..., }, 3. ALJABAR LINTASAN LAVITT Aljabar ltasa pada graf, belumlah cukup utuk medefska aljabar ltasa Leatt. Defs aljabar ltasa Leatt membutuhka graf yag dperluas atau perluasa graf (exteded graph), yag ddefska sebaga berkut: Defs 3... Dberka graf, ddefska perluasa graf e e e {,,..., } { e, e,..., e }, yag dsebut gars yata adalah { e, e,..., e }, sedagka gars-gars hatu adalah { e, e,..., e } dega s( e ) r( e ), s( e ) r( e ) da seterusya. Selajutya aka dberka defs aljabar ltasa Leatt beserta 39
Aljabar Ltasa Leatt Semprma Ngrum Astrawat beberapa cotoh sebaga lustras utuk megupas sfat-sfatya Defs 3..3. Dberka lapaga da graf berhgga ( row-fte graph). Aljabar ltasa Leatt dar dega koefse dalam lapaga ddefska sebaga aljabar ltasa pada graf perluasa, yag memeuh relas : ((C)) ((C)) e, f e f r( e) utuk setap ef ee e ; s( e) utuk setap sk. dega buka Aljabar ltasa Leatt, selajutya dotaska dega L ( ) atau lebh umum dega L( ). ods ((C)) da ((C)) damaka relas Cutz-reager. Secara khusus, kods ((C)) adalah syarat Cutz-reager pada yag buka sk, artya ada e sedemka sehgga s( e). Dega kata la, jka skmakatdak memlk relas ((C)) pada. Cotoh 3..4. Dberka graf yag terdr atas { }, { e}, artya graf yag terdr dar satu ttk da satu gars, sebagamaa graf yag dperlhatka dalam gambar berkut: Lemma 3..5. Setap moomal dalam aljabar ltasa Leatt L( ) berbetuk : () k dega k da ; atau () ke e e j e j dmaa k ;,, ; e da e ( ) s t utuk s, t Lemma 3..6. Dberka graf, lapaga daaljabar ltasa Leatt L( ) atas lapaga.. L( ) merupaka Z-aljabar bertgkat (Zgraded algebra), dega derajat yag dyataka oleh: deg( ) utuk setap ;deg( e) da e utuk setap e Hal berart bahwa L( ) deg( ). L ( ), dmaa Z L( ) A da L( ) A utuk,dega A ke e :, e j e j e, e, k, s jt atau ekuale L( ) spa{ pq p, q, e l( p) l( q), Z}. 4
Jural Derat Volume No. Desember 5 (ISSN: 47 379) Halama 35-47 3.3. SIFAT SMIPRIMA PADA ALJA-BAR LAVITT LINTASAN Aljabar ltasa da aljabar ltasa Leatt mempuya beberapa sfat yag sama, dataraya keduaya merupaka -aljabar asosatf da merupaka aljabar bertgkat. Lebh khusus aljabar ltasa Leatt merupaka Z-aljabar bertgkat. Aka tetap, Aljabar ltasa da aljabar ltasa Leattjuga mempuya beberapa perbedaa. Salah satu dataraya adalah tetag sfat semprma yag melekat pada keduaya. Utuk sebarag graf aljabar ltasa Leatt pada adalah semprma.tetap hal tdak selalu berlaku utuk aljabar ltasa. Sebelum membahas sfat tersebut, terlebh dahulu dbahas megea teor sokel pada rg yag berkata erat dega sfat semprma pada aljabar ltasa Leatt. 3.3a. SOL PADA RING Dalam mempelajar sokel pada rg dbutuhka pegerta megea deal mmal yag ddefska sebaga berkut. Defs 3.3a.. Dberka rg R. Hmpua mmal dar R jka L dkataka deal kr L da utuk setap deal kr d R, jka L maka atau L. Sedagka hmpua L dkataka deal kaa mmal dar R jka L da utuk setap deal kaa d R, jka L maka atau L. Jka memeuh deal kr mmal da deal kaa mmal dsebut sebaga deal mmal. Dar defs datas jelas bahwa suatu deal dkataka deal mmal jka deal tersebut buka deal ol da tdak memuat deal o-tral sela drya sedr. Utuk lebh jelasya, dberka cotoh sebaga berkut. Cotoh 3.3a.. Jka rg R merupaka lapaga, maka deal mmal dar rg R adalah R tu sedr. Hal dkareaka deal-deal d lapaga R haya {}da R tu sedr, dega deal otralya adalah R. Selajutya ddefska tetag jumlaha dar keluarga deal kr atau deal kaa mmal, sebaga berkut. Defs 3.3a.3. Dberka rg R. Sokel kr dar R (dotaska sebaga Socl ( R ) ) adalah jumlaha dar keluarga deal kr mmal d R (deal ol jka R buka deal kr mmal). Sokel kaa dar R (dotaska sebaga Socr ( R ) ) adalah jumlaha dar keluarga dealkaa mmal d R 4
Aljabar Ltasa Leatt Semprma Ngrum Astrawat (deal ol jka R buka deal kaa mmal).. Dar defs datas, jka s Soc ( R) maka dapat dtuls l s l, l L utuk berhgga bayak da R. L deal kr mmal dar Proposs 3.3a.4. Jka R adalah rg semprma, maka Soc ( R) Soc ( R). 3.3b. SIFAT SMIPRIMA PADA ALJABAR LINTASAN DAN ALJA- BAR LINTASAN LAVITT l Dalam baga, aka dbahas megea aljabar ltasa semprma da aljabar ltasa leatt semprma serta sfat-sfat yag berlaku d dalamya. Dsertaka pula beberapa cotoh sebaga pedukug teor yag dsajka. Defs 3.3b.. Dberka graf da lapaga. Aljabar ltasa dsebut semprma jka utuk setap dega maka emuda dberka proposs yag berkata dega sfat semprma pada aljabar ltasa, sebaga berkut: Proposs 3.3b.. Dberka graf da lapaga. Aljabar ltasa dsebut semprma jka da haya jka utuk setap ltasa ada r sebuah ltasa ' sedemka sehgga r( '). s( ') r( ) da s( ) Setelah membahas semprma aljabar ltasa, aka dbadgka sfat semprma d aljabar ltasa dega aljabar ltasa Leatt sebaga berkut: Aka dtujukka bahwa tdak sepert d aljabar ltasa, bahwa utuk sebarag graf pada d aljabar ltasa Leatt L ( ) adalah semprma. Utuk meujukkaya, kta perlu beberapa defs sebaga berkut. Defs 3.3b.3. Gars e dsebut gars keluar (ext) utuk suatu ltasa e... e e, jka ada sedemka sehgga s( e) s( e ) da e e. Gars e dsebut gars masuk (resp. etrace) utuk suatu ltasa e... e e, jka ada sedemka sehgga r( e) r( e ) da e e. Jka c merupaka ltasa yag memuat skel dega s( c) r( c) maka c dsebut bass (based ) d. Utuk memperjelas defs datas dberka cotoh sebaga berkut. Cotoh 3.3b.4. Dberka graf sepert gambar dbawah 4
Jural Derat Volume No. Desember 5 (ISSN: 47 379) Halama 35-47 u f e 4 g w T ( ) w. Sedagka poho dar ttk { w,, u }. adalah 4 Jka dberka ltasa c e e e e, 3 4 maka c merupaka skel d dega bass d. Gars g merupaka gars keluar dar ltasa c da gars f merupaka gars masuk dar ltasa c. Selajutya dberka yag berkata dega relas yag ada d dalam ltasa suatu graf, sebaga berkut Defs 3.3b.5. Dberka Graf berarah r s (,,, ) da ltasa e.... e e Ddefska suatu relas d ada ltasa, jka w dega s( ) maka da r( ) w. Suatu poho dar ttk e ddefska sebaga T w w ( ) { }. Cotoh 3.3b.6.Dberka graf sepert gambar dbawah : e u Pedefsa semprma pada aljabar ltasa memotas utuk medefska semprma pada aljabar ltasa Leatt, sebaga berkut. Defs 3.3b.7. Dberka graf da lapaga. Aljabar ltasa leatt L dsebut semprma jka utuk setap L dega. L maka Sebelum membuktka bahwa setap aljabar ltasa Leatt L ( ) merupaka semprma terlebh dahulu dbuktka beberapa lemma da proposs yag medukug pembukta tersebut, dataraya: Proposs3.3b.8. Dberka graf da lapaga. Aljabar ltasa Leatt L ( ) semprma jka da haya jka utuk setap ltasa L ( ) sebuah ltasa ' L ( ) ada sedemka sehgga s( ') r( ) da s( ) r( ') 3 4 Selajutya dberka suatu lemma yag berkata somorfsma dar w suatu -aljabar, sebaga berkut: Dar graf datas yag dsebut sebaga poho dar ttk adalah Lemma 3.3b.9. Dberka sebarag graf. Jka dberka gars 43
Aljabar Ltasa Leatt Semprma Ngrum Astrawat sedemka sehgga ada skel tapa gars keluar c dega bass d, maka: L ( ) { k c k ; m, N} m x x [, ]. Dmaa meyataka somorfsma dar -aljabar da memeuh c t t da c ( c) utuk setap t. w Selajutya dberka suatu proposs megea komposs atara suatu eleme d dalam aljabar ltasa Leatt graf. dega ltasa dalam suatu Proposs 3.3b.. Dberka sebarag graf. Utuk setap eleme tak ol x L ( ), ada ltasa sedemka sehgga:... r... s ( ). r x...... adalah eleme s tak ol d, utuk suatu, atau. Ada sebuah ttk w da skel tapa gars keluar dega bass d w sedemka sehgga... x... adalah eleme r tak ol d wl ( ) w. asus keduaya tdak salg terpsah. s Selajutya aka dbuktka bahwa sebarag graf merupaka aljabar ltasa Leatt, yatu sebaga berkut: Proposs 3.3b.. Utuk sebarag graf maka L ( ) adalah semprma. Bukt: Ambl sebarag deal tak ol I : { k,, r( ) r( ), k } yag merupaka deal d L ( ) sedemka sehgga I. Aka dbuktka bahwa I. Jka I haya terdr dar sebuah ttk maka I, bukt selesa. Tetap jka ada eleme tak ol p( c, c) I sedemka sehgga p( c, c), maka p( c, c ) dapat dtuls sebaga p( c, c) k. Adaka I maka ada p( c, c) sedemka sehgga k p( c, c) dega, pastlah dperoleh k. Tmbul kotradks dega p( c, c), jad yag bear I. Dapat dbuktka juga dega megambl o xl ( ) dega xl ( ) x aka dbuktka x. Jka x merupaka kombas lear dar 44
Jural Derat Volume No. Desember 5 (ISSN: 47 379) Halama 35-47 hmpua gars-gars, maka x k utuk setap. Akbatya x L ( ), utuk tu x adalah kombas lear dar gars-gars da merupaka moomal ab dega a da b adalah ltasa-ltasa dega derajat postf yag sama( l( a) l( b) ). Dega megguaka C, maka utuk setap gars w yag tdak teggelamda memuculka x, dapat dtuls dega e e. { e s( e ) w} Sehgga x dapat dtuls sebaga peujmlaha dar moomal-moomal berderajat sedemka seh-gga haya ada satu gars yag merupaka ttk teggelam. Dega kata la, x x x, dega x adalah kombas lear dar gars-gars dega derajat da x adalah kombas lear dar teggelam. Sekarag, aggap bahwa satu dar moomal-moomal ab merupaka kombas lear dar x dega derajat maksmum d a. Dapat dtuls sebaga a fa', b gb' dega f, g da a', b ' merupaka ltasa-ltasa dega derajat sama. Akbatya x dapat dtuls sebaga x fx ' g z dega x ' L( ) \{}, z L( ) da f zg, hal karea x haya terdr atas eleme-eleme dega derajat yag buka gars. Da karea x haya terdr dar ttk teggelamsehgga kta puya: f xg f x g f x g f fx ' g z g f x g f fx ' g f zg f x g x ' x ' yag merupaka eleme tak ol d L ( ). Akbatya L ( ) terdr atas kombas lear tak ol dar gars-gars. Adaka L ( ) tdak terdr atas eleme-eleme homoge dega derajat l da aka dbuktka bahwa L ( ) tdak terdr atas eleme-eleme homoge dega derajat l. Aggap bahwa x L ( ) L ( ). Utuk setap f l berlaku f x L ( ) yag merupaka eleme homoge dega derajat l. Maka f x utuk setap f. Dega megguaka C berakbat ff x x utuk setap sedemka sehgga s ( ). Dega kata la jka dega s ( ) maka utuk setap g kta puya g s( g) g dega s( g). sehgga x utuk setap 45
Aljabar Ltasa Leatt Semprma Ngrum Astrawat berakbat x. Da karea (L ()=L k () -, N, meujukka bahwa L ( ) tdak terdr dar eleme-eleme homoge dega derajat egatf. 46 Syarat perlu da cukup suatu graf dkataka aljabar ltasa semprma adalah utuk setap ltasa L ( ) ada sebuah ltasa ' L ( ) sedemka sehgga s( ') r( ) da s( ) r( '). emuda dberka suatu akbat dar Proposs 3.3b., sebaga berkut. Akbat 3.3b.. Utuk sebarag graf maka Soc ( L ( )) Soc ( L ( )). l r Dar s membuktka bahwa utuk sebarag graf maka aljabar ltasa Leatt bersfat semprma. Dmaa sokel kr dar aljabar ltasa leat sama dega sokel kaa dar aljabar ltasa Leattya 4. SIMPULAN Berdasarka pembahasa datas dapat dsmpulka bahwa aljabar ltasa da aljabar ltasa Leatt mempuya beberapa sfat yag sama, dataraya:. eduaya merupaka -aljabar asosatf.. eduaya merupaka aljabar bertgkat. Lebh khusus aljabar ltasa Leatt merupaka Z-aljabar bertgkat. 3. Hmpua ltasa-ltasa yag berbeda membetuk hmpua yag bebas ler. 4. Aljabar ltasa merupaka sub-aljabar dar aljabar ltasa Leatt yag elemeya dbagu dar ltasa-ltasa yag haya memuat gars yata. Sela mempuya kesamaa sfat, aljabar ltasa da aljabar ltasa Leatt mempuya perbedaa sfat, salah satu dataraya megea sfat semprma yag melekat pada keduaya. Utuk sebarag graf maka aljabar ltasa Leatt bersfat semprma. Aka tetap hal tdak selalu berlaku pada sebarag graf d aljabar ltasa. area alasa semprma lah, dapat dsmpulka bahwa utuk sebarag graf pada aljabar ltasa Leatt berlaku jumlaha dar setap deal kr mmal sama dega jumlaha dar deal kaa mmal. 5. RFRNSI []. I.Assem, D. Smso, A. Skowrosk, lemes of the Repre-setato Theory of AssocateAlgebras, Lodo
Jural Derat Volume No. Desember 5 (ISSN: 47 379) Halama 35-47 Math. Soc. Studet Text 65, Cambrdge Uersty Press, 5. []. D. Ia, Leatt path algebra, a thess submtted for the degree of master scece, Otago Uersty, New Zealad,. [3]. D. S. Dummt, R. M. Foote, Abstract Algebra, Uted Stated Thrd dto, Uersty of Vermot, 4. [4]. Fralegh, Joh. B,, A Frst Course Abstract Algebra,Sxth dto, Addto-Wesley Puplsg Compey, Ic, [5]. G. Arada Po, D. Mart Barquero, C. Mart Gozalez, M, Sles Mola, Socle theory for Leatt path algebras of arbtrary graphs Re. Mat. Iberoamercaa (to appear)(8). [8]. M. Sles Mola, Algebras of quotets of path algebras, J. Algebra 39 () (8), 39-348. [9].Rotma J., 3, Adaced Moder Algebra, Pretce Hall, New York. []. Wsbauer, Robert, 99, Foudato of Module ad Rg Theory, Uersty of Dusseldorf, Dusseldorf []. Hugerford, T. W, Graduete Text Mathematcs Algebra, Sprger Verlag, New York, Hedelberg Berl, 984. []. Adks, Algebra A Approach a Module Theory, Sprger Verlag, 99 [6].G. Arada Po, D. Mart Barquero, C. Mart Gozalez, M, Sles Mola, The socle of a Leatt path algebra, J. Pure Appl. Algebra (3) (8), 5-59. [7]. G. Arada Po, Pardo,., 8, Stable rak of Leatt path algebras, Proc. Amer. Math. Soc., 36 o. 7, 375-386. 47