BAB III PENGGUNAAN MEODE EMPIRICAL BES LINEAR UNBIASED PREDICION (EBLUP PADA GENERAL LINEAR MIXED MODEL Pada Bab III ii aka dibahas megeai taksira parameter pada Geeral Liear Mixed Model berdasarka asumsi b da e berdistribusi ormal di maa taksira parameter yag didapat teryata idetik dega taksira parameter tapa asumsi distribusi yag sebelumya telah diketahui. Kemudia, pembahasa dilajutka dega peaksira parameter dari variasi efek radom ( δ yag pada keyataaya tidak diketahui ilaiya. Metode yag diguaka utuk meaksir δ tersebut adalah Metode Maximum Likelihood (ML. Dega adaya peaksira δ ii, aka diperiksa kembali ketakbiasa dari peaksir yag baru pada Geeral Liear Mixed Model yag tergatug pada δ. 51 Pegguaa Metode..., ri Hadhika, FMIPA-UI, 008
5 3.1. Peaksira Parameter pada Geeral Liear Mixed Model dega Asumsi b da e Berdistribusi Normal Pada Bab sebelumya telah dijelaska megeai pegguaa Metode Best Liear Ubiased Predictio (BLUP dalam peaksira pada Geeral Liear Mixed Model tapa asumsi distribusi. Utuk sekadar megigat, betuk Geeral Liear Mixed Model adalah sebagai berikut: di maa y = Xα + Zb+ e y : vektor radom dari variabel respo yag terobservasi berukura 1 di maa ilai observasiya disebut vektor data. X : matriks full rak berukura kdari variabel prediktor yag eleme elemeya diketahui. α : vektor parameter bersifat fixed berukura k 1yag tidak diketahui da tidak terobservasi. Z : matriks full rak berukura hdari variabel prediktor yag eleme elemeya diketahui. b : vektor radom parameter yag tidak diketahui da tidak terobservasi berukura h 1. e : vektor radom error yag tidak terobservasi berukura 1. Pegguaa Metode..., ri Hadhika, FMIPA-UI, 008
53 dega asumsi E ( b = 0, e 0, Var ( b = E ( bb = G, Var E E = e = ee = R, di maa b da e idepedetly distributed sedagka G da R adalah matriks varias kovarias yag tergatug pada vektor parameter dari variasi efek radom, yaitu δ = ( δ1, δ,, δ q. Misalka pula ilai-ilai dari vektor radom b da e berturut-turut diotasika dega β da ε di maa β da ε berbetuk vektor. Oleh karea b da e idepede, maka ( be, E E corr = 0 sehigga cov be, = be = eb = 0. Berikut ii diberika betuk dari matriks G da R: G ( δ ( δ ( δ h ( δ ( δ ( δ ( δ g11 g1 g1 g g g gh1 gh ghh 1 h = ( δ ( δ ( δ R ( δ ( δ ( δ ( δ ( δ ( δ ( δ r11 r1 r1 r r r r1 r r 1 = ( δ ( δ ( δ Pada dasarya Metode EBLUP adalah suatu metode peaksira parameter pada Geeral Liear Mixed Model yag merupaka perluasa dari Metode BLUP dega megguaka taksira parameter dari variasi efek radom ( ˆδ yag pada keyataaya parameter tersebut tidak diketahui ilaiya. Metode peaksira δ yag diguaka pada ugas Akhir ii adalah Metode ML yag memerluka asumsi distribusi. Oleh sebab itu, diasumsika Pegguaa Metode..., ri Hadhika, FMIPA-UI, 008
54 bahwa b da e berdistribusi ormal. Dikareaka taksira parameter pada Geeral Liear Mixed Model yag telah didapat sebelumya ((.7.3.c da (.7.3.d, yaitu ˆα da ˆβ, didapat tapa asumsi distribusi maka harus dicari taksira parameter pada Geeral Liear Mixed Model dega asumsi b da e berdistribusi ormal yag diotasika dega α da β. Dega asumsi b da e berdistribusi ormal, parameter pada Geeral Liear Mixed Model, yaitu α da β dapat ditaksir megguaka Metode ML. Metode ii memerluka fugsi likelihood yag merupaka joit pdf dari y = ( y,y,,y da β (,,, 1 sebagai berikut: di maa = β1 β β h. Joit pdf tersebut dapat diyataka ( y, = ( y f β g β h β (3.1.1 g ( = g seperti telah dibuktika pada lampira 9. Oleh sebab itu, (3.1.1 dapat ditulis sebagai di maa Dari (.5.1.a didapat y β ε (3.1. ( y, β = ( ε ( β f g h 1 1 h( β = β β G ( π -1 exp. 1 G Pegguaa Metode..., ri Hadhika, FMIPA-UI, 008
55 L ( αβ, ; y = f ( y, β = g( ε h( β 1 1-1 -1 = exp 1 ( ε R ε+ β G β. ( π ( GR Oleh karea igi dicari taksira dari α da β megguaka Metode ML, agar lebih mudah dalam hal perhitugaya aka diguaka fugsi loglikelihood, yaitu: 1-1 -1-1 -1-1 -1 l L( αβ, ; y = c ( y R y y R Xα y R Zβ α X R y+ α X R Xα+ α X R Zβ -1-1 -1-1 β ZRy+ β ZRXα+ β ZRZβ+ β Gβ (3.1.3 dega 1 c l π = GR suatu kostata (bukti dapat dilihat pada lampira 10. Selajutya, fugsi log-likelihood tersebut dituruka terhadap masig-masig α da β kemudia dicari peyelesaiaya sehigga didapat α β (3.1.4-1 -1-1 XRX + XRZ = XRy -1-1 -1 ZRX α+ ZRZ+ G β = ZRy -1. (3.1.5 (bukti dapat dilihat pada lampira 11. Selajutya, dega proses elimiasi didapat 1 ( ( 1 1-1 -1-1 -1-1 -1-1 -1-1 -1 α = X R RZZRZ+ G ZR X X R RZZRZ+ G ZR y (3.1.6 da Pegguaa Metode..., ri Hadhika, FMIPA-UI, 008
56 ( -1-1 1 ZRZ G ZR -1 ( y X β = + α. (3.1.7 (bukti dapat dilihat pada lampira 1. Jadi, selai ˆα da ˆβ yag didapat tapa asumsi distribusi, terdapat pula α da β yag merupaka taksira parameter pada Geeral Liear Mixed Model dega megasumsika b da e berdistribusi ormal. Selajutya, utuk peaksira δ megguaka Metode ML seharusya memerluka α da β yag didapat dega asumsi b da e berdistribusi ormal. Aka tetapi, pada SubBab berikutya aka dibuktika bahwa α da β yag didapat dega asumsi b da e berdistribusi ormal tersebut, teryata idetik dega ˆα da ˆβ yag diperoleh tapa asumsi distribusi. Oleh karea itu, utuk seterusya peaksira δ aka megguaka ˆα da ˆβ. 3.. Memeriksa bahwa aksira Parameter pada Geeral Liear Mixed Model yag didapat dega atau tapa Asumsi b da e Berdistribusi Normal adalah Idetik elah diketahui dari (.7.3.c da (.7.3.d bahwa taksira parameter pada Geeral Liear Mixed Model tapa asumsi distribusi adalah sebagai berikut: Pegguaa Metode..., ri Hadhika, FMIPA-UI, 008
57 ( 1 1 1 = αδ ˆ, y X Ω δx X Ω δ y da 1 (, y = G Z y X ˆ (, y βδ ˆ δ Ω δ αδ di maa = = R+ ZGZ. Ω δ Ω Sedagka, taksira parameter pada Geeral Liear Mixed Model dega asumsi b da e berdistribusi ormal diberika oleh (3.1.6 da (3.1.7. Dari (3.1.6, misalka: 1-1 -1-1 -1 W= R RZZRZ+ G ZR -1. (3..1 Jika terbukti bahwa = α = α. 1 W Ω maka ˆ Oleh karea terbukti pada lampira 13 bahwa Ω W = I, maka terbukti pula bahwa α = α ˆ. (3.. Sedagka, utuk membuktika bahwa β = β ˆ di maa (3.. terpeuhi adalah dega membuktika bahwa 1 + = -1-1 -1 1 ZRZ G ZR GZΩ. Berdasarka bukti pada lampira 14 dapat disimpulka bahwa β = β. ˆ (3..3 Berdasarka (3.. da (3..3 terbukti bahwa dega atau tapa asumsi b da e berdistribusi ormal kedua jeis taksira parameter pada Geeral Liear Mixed Model tersebut idetik sehigga taksira parameter yag Pegguaa Metode..., ri Hadhika, FMIPA-UI, 008
58 didapat dega asumsi b da e berdistribusi ormal juga memiliki sifat liear, ubiased, da best. 3.3. Peaksira Parameter dari Variasi Efek Radom ( δ Pada ugas Akhir ii, Metode ML diguaka utuk meaksir δ pada Geeral Liear Mixed Model. Oleh karea itu, dibutuhka fugsi likelihood yag merupaka joit pdf dari = y y,y,,y sehigga fugsi likelihoodya adalah sebagai berikut: 1 1 1-1 L( αδ, ; y = f ( y = exp 1 ( ( y Xα Ω δ y Xα ( π Ω( δ (3.3.1 (bukti diberika pada lampira 15. Sebagaimaa sebelumya, Metode ML megguaka fugsi loglikelihood, yaitu: -1 ( 1 l L( αδ, ; y = c l Ω( δ + y Xα Ω δ y Xα (3.3. = adalah suatu kostata. Selajutya, dega dega c l ( π megguaka (.3.3.a, (.3.6.d, da (.3.6.e fugsi log-likelihood tersebut dituruka terhadap δ, diotasika dega s( α, δ, sehigga utuk eleme ke-j didapat formula berikut ii: Pegguaa Metode..., ri Hadhika, FMIPA-UI, 008
59 s (, tr 1 1 αδ = Ω Ω + y Xα Ω Ω Ω y Xα (3.3.3-1 -1-1 j j j Ω δ dega Ω ( j = (bukti dapat dilihat pada lampira 16. δ j Sesuai dega Metode ML, berikutya (3.3.3 dicari solusiya mejadi ( ( -1 y X ˆ -1-1 ( y X ˆ j j tr Ω δ Ω = α Ω δ Ω Ω δ α (3.3.4 erlihat dari (3.3.4 δ tidak dapat diselesaika secara aalitik. Oleh karea itu, taksira δ dega Metode ML kemudia diselesaika secara umerik. Pada ugas Akhir ii, berdasarka (.5..a algoritma yag diguaka adalah Scorig Algorithm di maa iterasi ke- a + 1, yaitu secara iteratif megguaka formula sebagai berikut: dega s 1 ( ˆ, ˆ( + 1 ˆ ˆ ˆ ˆ δ = δ + ϒ δ s α δ δ a a a a a ˆ ( a+1 δ, ( αδ ˆ, ˆ = s1( αδ ˆ, ˆ, s( αδ ˆ, ˆ,, s ( ˆ, ˆ q αδ da ( ˆ ( ˆ 1 ( ˆ ϒ δ = ϒ δ, ϒ δ,, ϒ ( ˆ q δ di maa ( αδy l L, ; 1-1 -1 ϒ jk ( δ = E = tr( Ω Ω( j Ω Ω ( k (3.3.5 δk δ j seperti telah dibuktika pada lampira 17. Berdasarka pejabara di atas, didapatka taksira parameter dari variasi efek radom ( ˆδ secara umerik yag selajutya aka diguaka Pegguaa Metode..., ri Hadhika, FMIPA-UI, 008
60 dalam peaksira parameter pada Geeral Liear Mixed Model sesuai dega Metode EBLUP. 3.4. Peaksira Parameter pada Geeral Liear Mixed Model dega Metode EBLUP Pada Subbab 3.1 telah dijelaska bahwa Metode EBLUP adalah suatu metode peaksira parameter pada Geeral Liear Mixed Model yag merupaka perluasa dari metode BLUP dega megguaka taksira parameter dari variasi efek radom ( ˆδ yag pada keyataaya parameter tersebut tidak diketahui ilaiya. Pada Subbab 3.3 telah didapatka taksira δ, diotasika dega δ ˆ ( y, secara umerik dega megguaka Metode ML. aksira parameter pada Geeral Liear Mixed Model dega megguaka Metode EBLUP didapat dega mesubstitusika δ ˆ ( y ke ˆα da ˆβ, yaitu: 1 1 1 ( = αδ ˆ ˆ y, y X Ω δˆ X X Ω δ ˆ y da ( 1 ( = ˆ βδ ˆ ˆ y, y G δˆ Z Ω δˆ y Xαδˆ y, y Berdasarka (.7.3.e taksira kombiasi liier yag baru adalah sebagai berikut: Pegguaa Metode..., ri Hadhika, FMIPA-UI, 008
61 ( ˆ ( ˆ τ δˆ y, y = λ α δˆ y, y + ω βˆ δ ˆ y, y. (3.4.1 Oleh karea ˆ τ δ ˆ ( y, y tersebut didapat dega mesubstitusika ˆ ( y δ ke ˆα da ˆβ, maka perlu dibuktika ketakbiasa dari taksira tersebut. Sebelumya diketahui lemma berikut ii: Lemma 3.1 Jika z adalah vektor radom berdistribusi simetris di sekitar ol sedemikia sehigga z da z idetically distributed, da f ( z adalah variabel radom yag merupaka fugsi gajil dari z sehigga f ( z = f ( z, maka f ( z berdistribusi simetris di sekitar ol. ( Sebelumya diketahui bahwa E ˆ τ δ ˆ ( y, y berhigga da δ ˆ ( y merupaka fugsi geap serta traslatio-ivariat dari y sehigga didapat ( y = ( y X = ( Zb+ e = ( Zb+ e δ ˆ δ ˆ α δ ˆ δ ˆ (3.4. Utuk membuktika ketakbiasa dari ˆ ˆ ( ˆ ( ( y y τ δ y, y, harus dibuktika bahwa E ˆ τ δ, t = 0. Oleh karea hal tersebut telah terbukti pada lampira 18, maka dapat disimpulka bahwa ˆ ˆ megestimasi τ = λα+ ωβ. τ δ y, y tetap ubiased utuk Pegguaa Metode..., ri Hadhika, FMIPA-UI, 008