Diktat Klia TK Matematika BAB TURUNAN Graien Garis Singgng Tinja seba krva = f() seperti iperliatkan paa Gambar Garis ang melali titik P(, f( )) an Q( +, f( + )) isebt tali bsr Graien tali bsr tersebt aala f ( ) f ( ) m PQ Jika titik Q igerakkan menj P, menekati Paa keaaan ini, jga menekati Akan tetapi, / menj nilai tertent an kenataan ini mengantarkan paa penggnaan konsep it (, f()) P Q = Gambar tali bsr (+, f(+)) garis singgng Graien garis singgng iifinisikan sebagai it / ketika menekati, akni m f ( ) f ( ) CONTOH Tentkan graien garis singgng paa krva f ( ) paa titik (, ) Tliskan persamaan garis singgngna Penelesaian Graien garis singgng paa titik (,) sebagai berikt m f ( ) f () {( ) } Aip Saripin Trnan - 57
Diktat Klia TK Matematika {( ) } ( ) Persamaan garis singgng engan graien m = an melali titik (, ) sebagai berikt m( ) ( ) Jai, persamaan garis singgng paa krva f ( ) paa titik (, ) aala Definisi an Lambang Trnan Trnan seba fngsi f aala fngsi lain f ang memiliki nilai paa sat bilangan iefinisikan sebagai f '( ) f ( ) f ( ) ang menjamin bawa it it aa an bkan ata Jika it it aa, ikatakan bawa fngsi tersebt teriferensialkan paa Pencarian trnan isebt peniferensialan Lambang trnan apat itliskan alam beberapa bentk Lambang-lambang ang ignakan ntk fngsi ang itrnkan teraap sebagai berikt f () D [f()] [ f ( )] Ketigana memiliki makna ang sama ata, engan kata lain, f '( ) D [ f ( )] [ f ( )] Aip Saripin Trnan - 58
Diktat Klia TK Matematika CONTOH Cari trnan ari f() = +5 Penelesaian f '( ) f ( [( ) ) f ( ) 5] [ 5] Jai, trnan ari f() = +5 aala f () = CONTOH Cari trnan ari f() = Penelesaian f '( ) f ( ) f ( ) ( ) ( ) Jai, trnan ari f() = aala f () = CONTOH Cari jika Penelesaian Ambil f ( ) maka f ( ) f ( ) ( ) Aip Saripin Trnan - 59
Diktat Klia TK Matematika ) Jai, maka Atran Pencarian Trnan Pencarian trnan menggnakan it merpakan pekerjaan ang slit an menjemkan Akan tetapi, ari a conto i atas, kita menapatkan metoe ang lebi singkat Teorema-teorema ang berkaitan engan atran pencarian trnan sebagai berikt Untk k konstanta, n real, = (), an v = v(): () f() = k maka f () = () f() = n maka f () = n n- () g() = k f() maka g () = k f () () f() = v maka f () = v (5) f() = v maka f () = v + v (6) ' v v' f ( ) maka f '( ) v v CONTOH Cari trnan ari f ( ) 5 Penelesaian Dengan menggnakan atran (), (), (), an () iperole f '( ) 6 CONTOH Cari trnan ari f ( ) ( 6) Penelesaian Fngsi i atas apat ianggap sebagai asil kali a ba fngsi sebagai berikt engan f ( ) Gnakan atran (6), v v f '( ) ' v 6 v', iperole Aip Saripin Trnan - 6
Diktat Klia TK Matematika f '( ) ( )( 6) ( 6)( ) ( )( 6) Untk mengji kebenaranna, gnakan cara lain f ( ) ( 6) 6 6 maka sesai atran (), (), (), (), an (5) iperole f '( ) CONTOH Penelesaian Cari trnan ari Misal = an v = + maka seingga engan atran asil bagi, f ( ) f ( ) ' v v' ( ) f '( ) v ( ) ( ) v Trnan Fngsi Komposisi: Atran Rantai Jika f() teriferensialkan paa = g() an g() teriferensialkan paa, fngsi komposisi ( f g)( ) f ( g( )) f ( ) teriferensialkan paa Trnan fngsi komposisi ini apat icari menggnakan rms berikt Rms i atas isebt atran rantai CONTOH Cari jika ( ) Penelesaian Dengan metoa biasa, ( ) maka ( ) Dengan atran rantai: misal maka ( ) Dengan emikian, Aip Saripin Trnan - 6
Diktat Klia TK Matematika ( ) CONTOH Penelesaian Cari trnan ari ( ) Misal maka ( ) Dengan emikian, ( ) 6( ) CONTOH Penelesaian Misal 5 maka Cari jika ( 5) ( 5) Dengan emikian, 6( 5) 6 ( 5) Ketika menerapkan atran rantai, akan ckp membant jika kita menggnakan taapan berikt: trnkan fngsi lar f an fngsi alam masing-masing, lal kalikan sat sama lain Peratikan conto berikt CONTOH Cari jika Penelesaian Uba bentk fngsi i atas menjai maka ( ) ( ) alam lar ( ) trnan" lar" ( ) trnan" alam" Aip Saripin Trnan - 6
Diktat Klia TK Matematika 5 Trnan Fngsi Trigonometri Untk menrnkan fngsi sins an cosins, kita apat menggnakan konsep it an ientitas penjmlaan st: sin( ) sin cos cos sin cos( ) cos cos sin sin Trnan fngsi sins, f ( ) sin, sebagai berikt sin sin( ) sin sin cos cos sin sin sin (cos (cos ) sin ) cos sin sin cos sin cos cos sin sin cos cos Trnan fngsi cosins, f ( ) cos, sebagai berikt cos cos( ) cos cos cos sin sin cos cos (cos (cos ) cos ) sin sin sin sin cos cos sin sin cos sin sin Aip Saripin Trnan - 6
Diktat Klia TK Matematika Dari penrnan i atas iperole teorema sebagai berikt sin cos an cos sin Trnan fngsi trigonometri asar lainna apat iperole engan bantan teorema i atas CONTOH Cari trnan ari = tan Penelesaian tan maka, sesai atran asil bagi, sin cos v ' v v' cos cos ( sin ) sin cos sin sec v cos cos cos Jai, tan sec CONTOH Tentkan sec Penelesaian Dengan mengingat bawa Jai, ' v v' sec an trnan asil bagi: ', iperole cos v cos ( sin ) sec cos cos cos sin cos sectan sec sec tan Aip Saripin Trnan - 6
Diktat Klia TK Matematika CONTOH Cari trnan ari = sin Penelesaian Dengan menggnakan atran rantai, ( cos) cos CONTOH Cari trnan ari cos Dengan menggnakan atran rantai, ( cos) ( sin ) sin cos sin CONTOH 5 Penelesaian Cari trnan ari = sin () Dengan menggnakan atran rantai, ((sin ) ) (cos) () 6sin cos 6 Trnan Fngsi Logaritma an Eksponen Asli Trnan fngsi logaritma an eksponen natral sebagai berikt: ln, an e e CONTOH Cari jika ln( ) Penelesaian Misal ln maka an seingga sesai atran rantai iperole CONTOH Cari jika e Aip Saripin Trnan - 65
Diktat Klia TK Matematika Penelesaian Misal e maka an seingga iperole e e e ( ) CONTOH Cari jika e Penelesaian Misal an v e v seingga v v e e e ( ) 7 Trnan Ore Tinggi Trnan ari f aala f Jika f iiferensialkan lagi, iperole f f isebt trnan pertama an f trnan kea Jika iiferensialkan lagi an lagi, iperole trnan ketiga (f ), keempat (f () ), kea (f (5) ), an setersna Lambang trnan ari = f() ntk ore tinggi iberikan paa Tabel - Tabel - Lambang trnan ore tinggi Trnan Lambang f Lambang Lambang D Pertama f () D Kea f () D Ketiga f () D Keempat f () () () D Lambang Leibniz Aip Saripin Trnan - 66
Diktat Klia TK Matematika Kea f (5) () (5) 5 D Keenam f (6) () (6) 6 D Ke-n f (n) () (n) D n 5 5 6 6 n n CONTOH Cari trnan kea ari f ( ) 5 6 8 Penelesaian f '( ) 6 6 () f ( ) f ''( ) (5) f f '''( ) CONTOH Cari f () jika f ( ) ln, Penelesaian Gnakan atran trnan asil kali maka f '( ) f ''( ) ln ln ln ln f '''( ) 8 Peniferensialan Implisit Dalam beberapa kass, sebagai fngsi tiak apat inatakan secara eksplisit alam bentk = f(), misalna = Sebagai conto, persamaan tiak apat itlis menjai = f() secara eksplisit Fngsi seperti ini isebt fngsi implisit, engan kata lain merpakan fngsi implisit ari Akan tetapi, trnan ari teraap apat icari Metoe pencarian trnan fngsi implisit isebt peniferensialan implisit Berikt beberapa conto peniferensialan implisit Aip Saripin Trnan - 67
Diktat Klia TK Matematika CONTOH Cari ari persamaan berikt: Penelesaian Diferensialkan setiap sk i sema ras teraap seingga iperole [ ] [] [ ] [ ] CONTOH Cari ari persamaan berikt: 8 Penelesaian Diferensialkan setiap sk i setiap ras teraap, [ ] [] [ ] [8] [ ] [ ] seingga iperole [ ] [ ] CONTOH Tentkan persamaan garis singgng paa krva 8 i titik (, ) Penelesaian Paa CONTOH tela iperole bawa ari 8 aala Aip Saripin Trnan - 68
Diktat Klia TK Matematika [ ] Graien garis singgng paa krva tersebt i titik (, ) aala ( ) m, Persamaan garis singgngna i titik (, ) aala m( ) ( ) Jai, garis singgng paa krva 8 i titik (, ) aala ata apat itlis sebagai 6 9 Laj ang Berkaitan Jika variabel bergantng paa wakt t, trnanna, /, isebt laj perbaan teraap wakt Secara mm, setiap variabel ang bergantng wakt, trnanna isebt laj CONTOH Penelesaian Seba partikel bergerak sepanjang smb- an posisina sebagai fngsi wakt berba menrt persamaan: = t + 5t, engan alam meter an t alam sekon Cari laj perbaan posisi teraap wakt (ata ikenal sebagai kecepatan) paa saat t = sekon Trnan ari posisi teraap wakt, v ( t) t Paa t = sekon, v() 5 5 9m/s CONTOH Penelesaian Setiap sisi kbs bertamba engan laj cm per sekon Tentkan laj perbaan volme kbs saat panjang sisina cm Misalna sisi kbs inatakan ole s maka volme kbs V = s Laj pertambaan sisi s kbs cm/s, ini berarti cm/s Laj perbaan volme teraap wakt, Aip Saripin Trnan - 69
Diktat Klia TK Matematika V s [ s ] s Dengan emikian, paa s = cm, V () 96 cm /s CONTOH Penelesaian Seorang anak meneot minman ari seba cangkir berbentk kerct engan laj cm /s Smb cangkir vertikal an tinggi cangkir cm engan iameter bagian terbka 6 cm Tentkan laj penrnan tinggi cairan alam cangkir ketika kealamanna 5 cm Kealaman cairan an jari-jari cangkir r maka volme cangkir (kerct), V r Dari gambar iperole bngan maka r V r Laj perbaan volme teraap wakt, V seingga laj perbaan kealaman teraap wakt, 9 V Karena cairan berkrang (iseot) engan laj cm /s, ini berarti V Dengan emikian paa = 5 cm iperole cm /s [tana negatif mennjkkan berkrang] 9 V 9 5 cm/s Jai, laj penrnan kealaman cairan aala cm tiap sekon r cm cm Aip Saripin Trnan - 7
Diktat Klia TK Matematika CONTOH Penelesaian Sepea motor A bergerak lrs engan kelajan konstan 6 km/jam menj ke Timr an melintasi perempatan jalan tepat paa pkl Sepea motor B bergerak lrs ke Utara engan kelajan konstan 8 km/jam an melintasi perempatan jalan ang sama paa pkl 5 Tentkan laj perbaan jarak kea motor paa pkl Misalna titik O aala titik ang tepat i perempatan jalan Paa sat saat tertent, jarak motor A ke O sebt saja, jarak motor B ke O aala, an jarak A an B aala r Keaaan ini iilstrasikan paa gambar Sesai engan alil Ptagoras iperoe bngan r Laj perbaan jarak A an B (r/) iperole melali peniferensialan implisit paa persamaan i atas sebagai berikt r seingga iperole ata ( r r r r r r r r ) r engan = 6 km/jam an = 8 km/jam Jarak ang itemp motor A selama jam (ari pkl s ) aala t 6 6 km, seangkan jarak ang itemp motor B selama 5 menit ata ¾ jam (ari pkl 5 s ) aala t 8 6 km Maskkan nilai-nilai i atas paa (*) iperole r r Utara B O r A Timr (*) Aip Saripin Trnan - 7
Diktat Klia TK Matematika r 6 6 6 6 8 6 6(6 6 8) 7 km/jam Jai, laj perbaan jarak kea motor paa pkl aala 7 km/jam Diferensial an Hampiran Misalna = f() teriferensialkan paa setiap Dalam notasi Leibniz, trnan fngsi tersebt itliskan sebagai f '( ) Seja ini, kita belm memberikan makna apa pn paa notasi /, selain sebagai lambang trnan ang tak terpisakan Paa bagian ini, kita akan memberikan makna paa an Dari efinisi trnan, ntk fngsi = f() ang teriferensialkan berlak Jika kecil, ata f ( f ( ) ) f ( ) f ( ) f '( ) f '( ) f ( ) f ( ) f '( ) Karena =, persamaan i atas apat itlis f ( ) f ( ) f '( ) Ras kanan paa persamaan ini iefinisikan sebagai iferensial ari, ilambangkan ole, akni f '( ) Besaran isebt iferensial variabel bebas an isebt iferensial variabel terikat Secara grafis, tafsiran iferensial iperliatkan paa Gambar Besaran menatakan perbaan alam garis singgng paa P ketika berba sebesar = Jika sangat kecil, menjai ampiran ang ckp baik paa an ma ntk icari Gamba Aip Saripin Trnan - 7
Diktat Klia TK Matematika CONTOH Cari jika (a), (b) Penelesaian, (c) sin Untk menapatkan iferensialna, terlebi al cari trnanna lal kalikan engan (a) (b) (c) ( ) cos CONTOH Gnakan iferensial ntk mengampiri nilai, Penelesaian Nilai ang akan kita cari aala, Karena it, ambil fngsi f ( ) an kita akan mencari/mengampiri nilai f (,) Trnan ari f ( ) aala f '( ) maka perbaanna alam aala ata f '( ) f ( ) f ( ) f '( ) Sekarang, ambil = an =, maka f ( ) f ( ) f '( ),,,,5 Jai,,, 5 Aip Saripin Trnan - 7