BAB 3 METODE PENELITIAN

Transkripsi

1 BAB 3 METODE PENELITIAN 3.1 Stdi Pendahlan Langkah aal dalam enelitian ini adalah mencari dan mengmlkan smbersmber seerti: bk, jrnal ata enelitian sebelmna ang mendkng enelitian ini. 3. Tahaan Analisis Pada taha analisis ini dilihat bagaimana roses engelolahan air bersih secara menelrh dan melihat bagaimana sedimentasi it terjadi ada adah sedimentasi kemdian dimodelkan ada sat gambar ntik menrnkan ersamaan na Menentkan faktor-faktor ang akan dignakan dalam enelitian ini Pada taha ini akan ditentkan faktor-faktor ang akan dignakan dalam enelitian ini. 3.. Menentkan kondisi aal dan batas Untk ersoalan Sedimentasi dalam enelitian ini diasmsikan sebagai berikt: 1. Diasmsikan sedimentasi adalah lmr,. Efek-efek iskos diabaikan (flida iniscid/tana gesekan), 3. Diasmsikan air mengalir dan tidak bertar, aliran mam-mamat, dan aliran laminar, 4. Untk sifat kohesi dan adhesi tidak dierhatikan Memodelkan ersoalan tersebt ke dalam bentk model Matematika Persoalan sedimentasi tersebt akan dimodelkan dengan model Matematika khssna dengan menggnakan Persamaan Diferensial. Uniersitas Smatera Utara

2 3.3 Membat Kesimlan dan Mensn Laoran Penelitian Setelah ersoalan tersebt dimodelkan ke dalam bentk Matematika, maka didaatlah sat ersamaan ang menjelaskan model sedimentasi ada air. Uniersitas Smatera Utara

3 BAB 4 HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Sedimentasi Sedimentasi adalah emisahan solid-liqid menggnakan egendaan secara graitasi ntk menisihkan ssended-solid. Banak faktor-faktor ang memengarhi sedimentasi ada air ang nanti na akan menjadi ariabelariabel ang akan membant terbentkna sat model matematika dalam bentk ersamaan diferensial arsial. Dinamika flida (hidrodinamik) memberi gambaran tentang gerak flida dalam bahas rang tertent. Untk daat menjelaskan tentang gerak flida maka gerak ini lebih dahl hars daat ditamilkan dalam sat set ersamaan diferensial ang daat diselesaikan secara analitik man nmerik. 4. Pemodelan Aliran Da Fase dari Ssensi Padat Ssensi ata camran adat-cair enting di berbagai bidang indstri, seerti enemrnaan minak dan gas, embatan kertas, engolahan makanan, transortasi lmr, dan engolahan air limbah. Ssensi adalah camran artikel adat dan cairan. Dinamika ssensi daat dimodelkan dengan ersamaan transort momentm ntk camran. Model camran dengan aliran laminar secara otomatis mengatr ersamaan ang akan didaatkan (ersamaan 4.6). 4.3 Persamaan Diferensial Untk meelesaikan sat ersamaan diferensial arsial ntk sat ariabel deenden, kondisi-kondisi tertent dierlkan ang berarti ariabel indeendenna hars ditentkan ada nilai-nilai tertent dari indeendenindeenden ariabel. Jika ariabel-ariabel indeendenna bera koordinatkoordinat rang akni keceatan, kondisi-kondisina disebt kondisi-kondisi batas. Jika ariabel indeendenna adalah akt, kondisi-kondisina disebt kondisi-kondisi aal. Uniersitas Smatera Utara

4 Kondisi batas na adalah komonen keceatan ke tegak lrs dalam aliran tak-kental. Dalam aliran tak-kental di mana iskositas diabaikan, ektor keceatan memiliki arah tangensial terhada erbatasan. Persamaan-ersamaan diferensial ini nanti na akan ditrnkan dengan menggnakan koordinat-koordinat kartesian. 4.4 Persamaan Kontinitas Diferensial Untk menrnkan ersamaan kontinitas differensial dignakan elemen infinitesinal. Elemen ini adalah olme kontrol ang kecil di mana aliran flida mask dan kelar. Elemen ini ditnjkkan ada bidang dengan kedalaman d. Diasmsikan baha aliranna hana ada bidang sehingga tidak terjadi aliran flida ke arah. Karna massa daat berbah di dalam elemen tersebt. Ini dieksresikan sebagai ( ) dd ddd dd ( ) ddd = ( ddd) t (4.1) di mana diijinkan ntk berbah di seanjang elemen tersebt. Jika ersamaan di atas disederhanakan, dengan mengangga baha olme kontrol elental tersebt tidak bergerak, dieroleh : ( ) ( ) (4.) = t Uniersitas Smatera Utara

5 Gambar 4.1 Volme Kontrol Infinitesimal Diferensiasikan rodk-rodkna dan maskan ariasi ke arah. Maka ersamaan kontinitas diferensialna daat ditliskan dalam bentk = 0 t (4.3) Keemat sk ertama membentk deriatif material, akni t D = (4.4) Sehingga ersamaan menjadi : = 0 D (4.5) ang merakan bentk aling mm dari ersamaan kontinitas diferensial dalam koordinat kartesian. d d d d d d d d ) ( d d ) ( Uniersitas Smatera Utara

6 Persamaan kontinitas diferensial ini seringkali ditliskan dengan menggnakan oerator ektor = i j k (4.6) Sehingga ersamaan mengambil bentk D. = 0 (4.7) Di mana ektor keceatanna adalah V = i j k Skalar disebt diergens dari ektor keceatan. Untk aliran inkomresibel, densitas artikel flida teta konstan, artina, D = = 0 t (4.8) Jadi densitas tidak hars konstan. Jika densitas na memang konstan, maka setia sk dalam ersamaan bernilai 0. Untk aliran inkomresibel mengharskan = 0 ata V. = 0 (4.9) 4.5 Persamaan Momentm Diferensial Persamaan diferensial ang ditrnkan dari ersamaan kontinitas diferensial memiliki tiga komonen keceatan sebagai ariabel-ariabel deenden ntk aliran inkomresibel. Jika ada aliran di mana medan keceatan dan medan tekananna tidak diketahi, ersamaan momentm diferensial memberikan tiga ersamaan tambahan karna merakan ersamaan keceatan ang memiliki tiga komonen. Keemat ariabel ang dicari adalah,, dan jika menggnakan sistem koordinat kartesian. Keemat ersamaan akan memberikan ersamaan-ersamaan ang dierlkan dan selanjtna kondisi-kondisi aal dan batas memngkinkan enelesaian ermasalahan. Uniersitas Smatera Utara

7 Untk mendaatkan sat ersamaan ata model bar dalam ermasalahan ini, ang akan dierhatikan adalah : Pertama-tama, tegangan eksis di ermkaan-ermkaan sat elemen flida infinitesimal berbentk ersegi seerti ditnjkkan ada gambar (4.) ntk bidang. Komonen-komonen tegangan ang sama jga bekerja ke arah. Tegangan normal dilambangkan dengan dan tegangan geser dengan. Ada sembilan komonen tegangan:,,,,,,, dan. Jika diambil momen terhada smb, smb dan smb, masing-masing akan mennjkkan = = = (4.10) Jadi ada enam komonen tegangan ang hars dihbngkan dengan tekanan dan komonen-komonen keceatan. Hbngan-hbngan tersebt disebt sebagai ersamaan-ersamaan konstittif. Selanjtna, alikasikan hkm keda Neton ada elemen dalam Gambar 4.3, dengan mengasmsikan tidak ada tegangan geser ang bekerja ke arah dan baha graitasi bekerja hana ke arah : d d d d d d Gambar 4. Komonen-komonen tegangan ang saling tegak lrs ada sebah elemen cairan Uniersitas Smatera Utara

8 ddd dd d dd dd = ddd D (4.11) d dd dd d dd dd = ddd D (4.1) Disederhanakan menjadi : D = D = Jika komonen-komonen arah dimaskkan, ersamaan-ersamaan diferensialna menjadi D = (4.13) D = D g = (4.14) Dengan mengasmsikan baha sk graitasi gddd bekerja ke arah negatif. Dalam banak aliran, efek-efek kekentalan ang menimblkan tegangan geser daat diabaikan dengan tegangan normal merakan negatif dari tekanan. Untk aliran-aliran tak-kental semacam it, ersamaan (sebelmna) mengambil bentk D = (4.15) Uniersitas Smatera Utara

9 D = D = g Dalam bentk ektor, ini menjadi Persamaan : g D = gk (4.16) Yang berlak ntk aliran-aliran tak kental. Untk aliran tnak dengan densitas konstan. Persamaan-ersamaan konstittif menghbngkan tegangan dengan medan keceatan dan tekanan; ersamaan-ersamaan tersebt tidak ditrnkan akan tetai dirmskan melali engamatan-engamatan di Laboratorim. Untk sat flida Netonian isotroik, ermsanna adalah = λ. V = (4.17) = λ. V = (4.18) = λ. V = (4.19) Untk kebanakan gas, hiotesis Stokes daat dignakan sehingga Jika tegangan-tegangan normal tersebt dijmlahkan 1 = 3 ( ) (4.0) Yang mennjkkan baha tekanan merakan rata-rata negatif dari ketiga tegangan normal dalam kebanakan gas, termask dara, dan di sema cairan di mana V. = 0. Uniersitas Smatera Utara

10 Jika ersamaan (4.19) dimaskkan ke dalam Persamaan (4.16) dengan menggnakan 3 λ =, dieroleh hasil = D 3 = D 3 g D = 3 (4.1) di mana graitasi bekerja ke arah negatif dan flida diasmsikan homogen, sebagai contoh 0 =. Akhirna, jika aliran diasmsikan inkomresibel sehingga 0. = V, dieroleh ersamaan-ersamaan Naier Stokes = D = D g D = (4.) Di mana arah adalah ertikal. Jika dierkenalkan oerator skalar ang disebt Lalacian, ang didefinisikan d d d = (4.3) Dan menglangi langkah-langkah ang menghasilkan Persamaan (4.19) samai Persamaan (4.0), ersamaan-ersamaan Naier Stokes daat ditliskan dalam bentk ektor sebagai Uniersitas Smatera Utara

11 D = V g 4.4 Persamaan Naier-Stokes memodelkan bagaimana sat flida it mengalir didalam sat adah. 4.6 Persamaan Model Camran Model camran (ata model sli aljabar) adalah formlasi ang disederhanakan dari ersamaan aliran mltihase (da fase). Model camran terdiri dari kontinitas dan ersamaan momentm ntk camran dan ersamaan kontinitas ntk fase disersi ata terisah. Jika didalam aliran flida it terdaat sat artikel adat akni ang diasmsikan adalah lmr sehingga membentk sedimentasi, maka ada sat rangkaian ersamaan bar ang terdaat ada ersamaan Naier-Stokes. Persamaan bar tersebt akni engarh sedimentasi ada aliran flida ang mengalir ada sat adah. Diasmsikan ada ariabel bar akni : mm = massa artikel (solid) mm aa = massa air (liqid) ssssssss = Keceatan relatif antara fase adat dan cair Maka, Dengan cara ang sama seerti menrnkan ersamaan kontinitas diferensial, didaatlah sat ersamaan ang menjelaskan terkait artikel adat ang terdaat dalam sat aliran flida, akni: ( m )( 1 m ) ) 0. = (4.5) sli sli Persamaan (4.5) dimaskkan ke dalam ersamaan (4.4) sehingga menjadi: Uniersitas Smatera Utara

12 ( m ( m ) V V ) V g DV = 1 sli sli (4.6) dimana: V = keceatan (m/s) = tekanan (Pa) g = graitasi (m/s ) m V sli = massa artikel tak berdimensi = keceatan relatif antara fase adat dan cair (m/s) Persamaan disebt dengan ersamaan transortasi momentm ntk aliran da fase dari ssensi ang bisa menelesaikan dan menghitng beraa banak sedimentasi dalam sat adah enamngan air. Uniersitas Smatera Utara

13 BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN 5.1 Kesimlan Dari hasil dan embahasan, memerlihatkan baha ersoalan di dnia nata daat dimodelkan dengan menggnakan Model Matematika, dalam hal ini akni ersoalan sedimentasi ada adah enamngan air di adah sedimentasi ada saat engolahan air bersih. Persoalan tersebt daat dimodelkan ke dalam bentk Matematika, akni menjadi sat ersamaan ang disebt dengan ersamaan transortasi momentm. Persamaan transortasi momentm na adalah ( m ( m ) V V ) V g DV = 1 sli sli. Hal ini jga mennjkkan baha matematika bisa dialikasikan ada kehidan sehari-hari. 5. Saran Penlis menarankan ntk daat memodelkan sat ersoalan dengan cara dan metode lainna seerti dengan metode ersamaan, ertidaksamaan ata fngsi. Uniersitas Smatera Utara