Soal-Jawab Fisika OSN 5. ( poin) Tinjau sebuah bola salju yang sedang menggelinding. Seperi kia ahu, fenomena menggelindingnya bola salju diikui oleh perambahan massa bola ersebu. Biarpun massa berambah, kia asumsikan bahwa bola salju selalu berbenuk bola sempurna, memiliki rapa massa persauan volum ρ yang konsan, dan selalu menggelinding anpa slip. Sekarang, kia akan meninjau bola salju yang berjari-jari sesaa r, dan kecepaan sudu sesaa ω, sera gaya gesek sesaa f, menggelinding pada sebuah bidang dengan kemiringan θ (liha gambar). Tenukan : a) besar gaya oal (dgn arah sejajar bidang) b) besar orsi oal (di pusa massa bola) c) persamaan gerak bola salju! ni disebu sebagai SSBE (simple snow ball equaion). Nyaakan SSBE dalam θ, r, ω, dan! Unuk memudahkan perhiungan, selanjunya kalian injau bola salju ersebu menggelinding pada sebuah bidang daar. d) Jika kecepaan sudu awal adalah ω o (dan sudah idak slip enunya) dan jari-jari bola awal adalah o, enukan jari-jari bola salju sebagai fungsi kecepaan sudu! Unuk mudahnya, diasumsikan bahwa seiap bergesekan dengan anah, massa bola akan berambah dengan konsan sehingga dm/dx = K = konsan. e) Tenukan kecepaan sudu sebagai fungsi waku (nyaakan dalam K, ρ, o dan ω o )! Jawab: a) Kia ahu, bahwa gaya yang bekerja adalah gaya gesek dan proyeksi gaya bera F = mg sinθ f () m = ρv = ρ(4/3)r 3..() Subiusi () ke () didapa : F = (4/3)ρr 3 gsinθ f.(3) (ANSWE)
b) Kia ahu, bahwa orsi yang bekerja pada pusa massa bola hanyalah gaya gesek τ = f.r (4) (ANSWE) ( poin) c) Karena bola selalu idak slip, maka : v = ω r (5) Momenum P = mv subiusi () dan (5) menghasilkan : P = (4/3) ρr 4 ω (6) Momenum sudu L = ω, unuk bola = (/5)mr, maka, subiusi pers () : L = (8/5) ρr 5 ω (7) Dari hukum Newon bahwa : F = (8) dan τ =..(9) Mensubiusi (3) ke persamaan (8) sera (4) ke persamaan (9), didapa : (8)*. (4/3)ρr 3 gsinθ f = (9)*. f = Eliminasi f dengan menjumlahkan (8)* dan (9)*, sera mensubiusi persamaan (6) dan (7), kemudian sederhanakan unuk menghasilkan SSBE : (ANSWE) d) Subsiusi = ke SSBE menghasilkan :.() negralkan kedua ruas dan memasukkan kondisi awal o dan ω o sehingga menghasilkan: () (ANSWE) ( poin) e) Kia ahu bahwa : dx = v d = ωr d ()
Turunkan/differensialkan persamaan () erhadap jarak menghasilkan : 4ρr (dr/dx) = K maka dr/r = K dx / (4ρr 3 ) Subiusikan pers. () diperoleh : dr/r = Kω d / (4ρr ).(3) Subiusi (3) dan () ke () dan sederhanakan unuk menghasilkan : negralkan kedua ruas dan masukkan kondisi awal = dan ω o menghasilkan: (ANSWE) ( poin)
. [ poin] Gambar ini menampilkan dua benda silinder egak dengan kedua sumbunya paralel sau sama lain dan mula-mula secara erpisah masing-masing silinder ersebu sedang beroasi (spinning) ke arah yang sama dengan kecepaan sudu. Kedua silinder ersebu kemudian secara perlahan disenuhkan sau sama lain sehingga pada awalnya keduanya saling mengalami sliding dengan gaya normal konsan N. Koefisien gesek anara permukaan-permukaan kedua silinder adalah. Dikeahui silinder dengan jari-jari memiliki momen inersia dan silinder dengan jari-jari memiliki momen inersia. (a) Gambarkan gaya-gaya yang bekerja pada kedua silinder. Tuliskan persamaan gerak (hukum kedua Newon enang roasi) unuk masing-masing silinder. [3 poin] (b) Tenukan syara/kondisi agar kedua permukaan silinder berheni unuk idak mengalami sliding lagi pada saa/waku = a. Tenukan nilai a ersebu. Tenukan kecepaan sudu akhir kedua silinder, yaiu a dan a. [3 poin] Sekarang anggap kedua silinder bermassa sama, yaiu M. Silinder perama merupakan silinder pejal dengan jari-jari = dan silinder kedua merupakan silinder kosong berdinding ipis dengan jari-jari =. (c) Tuliskan momen inersia masing-masing silinder. [,5 poin] (d) Tenukan kecepaan sudu masing-masing silinder sebagai fungsi waku, yaiu () dan (). Gambarkan skes grafik () dan (). [,5 poin] (e) Tenukan besar energi yang hilang sebagai akiba kedua silinder bergesekan. [3 poin] Jawab: (a) Gambar gaya-gaya yang bekerja pada kedua silinder : f ( poin) f ' f f ' f N saa kedua silinder sedang sliding
Kedua silinder mengalami sliding dan momen gaya (orka) yang berasal dari gaya gesek yang berperan mengerem gerak roasi kedua silinder, sehingga persamaan gerak (hukum kedua Newon unuk gerak roasi) unuk masing-masing silinder adalah : Silinder : Silinder : d N d d N d () ( poin) ( poin) (b) V V Kedua silinder akan mulai berheni sliding pada waku = a yaiu saa iik-iik konak keduanya bergerak dengan kecepaan linear yang sama, yaiu v v, sehingga berlaku ( poin) dimana disini salah sau aau akan bernilai negaif, yang menuru pers. () akan erganung pada anda dari. Akibanya solusi pers. () adalah : N ( ) N ( ),. () Mencari nilai a ersebu dan kecepaan sudu akhir kedua silinder, yaiu a dan a : Pada keadaan ersebu berlaku kaian : sehingga ) ( ) (pada saa = a ) (
a a N N a N N ) ( (disini harus dipilih bila ). Dengan demikian, (3) Dan subsiusi pers. (3) ke dalam pers. () menghasilkan Sekarang dianggap kedua silinder bermassa sama, yaiu M. Silinder perama merupakan silinder pejal dengan jari-jari = dan silinder kedua merupakan silinder kosong berdinding ipis dengan jari-jari =. (c) Momen inersia masing-masing silinder :, ) ( M M M M M (d) Selanjunya akan dienukan kecepaan sudu masing-masing silinder sebagai fungsi waku, yaiu () dan (). Gambarkan skes grafik () dan () Unuk kasus khusus di aas, persamaan gerak () di aas berubah menjadi : ) ( N a ) (, ) ( a a f ' f. ) ( ) ( ) ( M N M N M N M N ( poin) ( poin) ( poin) ( poin)
sehingga yang bermakna bahwa kedua silinder akan berheni oal pada waku M yang sama, yaiu pada saa a. N Gambar skes grafik () dan () : ( poin) a (e) Menenukan besar energi yang hilang sebagai akiba kedua silinder bergesekan : Disini, yang hilang adalah semua energi kineik kedua silinder, sehingga Q E k E awal k E akhir k 3 M (M ) Q E k ( M 3 M ) ( poin) ( poin) ( poin)
3. (4 poin) Sebuah cincin bermassa m dapa bergerak bebas sepanjang baang licin horisonal. Sebuah parikel bermassa m dihubungkan dengan cincin melalui ali egar ak bermassa. Mula-mula parikel m bersenuhan dengan baang, kemudian dilepas karena pengaruh graviasi g. Seelah dilepas, keika cincin ersebu elah bergeser sejauh x, sudu yang dibenuk anara ali dengan baang horisonal adalah. Tenukan: a. Posisi x dinyaakan dalam sudu. b. Persamaan gerak unuk (idak mengandung variabel x besera urunannya). c. Tenukan besar egangan baang dan gaya normal pada cincin unuk = 3 o. Jawab: Vekor posisi, kecepaan, percepaan dan gaya unuk m dan m beruru-uru adalah: r ( x, y) ( x,) v ( x,) a ( x,) F ( T cos, N T sin m g) r ( x Lcos, Lsin ) v ( x L sin, L cos ) a x L L ( ( sin cos ), ( cos sin )) F ( T cos, T sin m g) Disini, dan. ( poin) a. Persamaan gaya pada arah x unuk m dan m adalah T cos m x () T m x L () cos ( ( sin cos )) Penjumlahan () dan () menghasilkan persamaan gaya pada arah x m x m x L (3) [ ( sin cos )]
Jika (3) diinegralkan, hasilnya persamaan kekekalan momenum pada arah x, yaiu m x ( sin ) m x L konsan. (4) Unuk mencari nilai konsan ersebu, pada saa awal v x dan = sehingga nilai konsan ersebu sama dengan nol. x m x ( sin ) m x L ( poin) (5) Jika diinegralkan lagi, maka menjadi persamaan posisi pusa massa pada arah x, yaiu m x ( cos ) m x L konsan. (6) Pada saa awal, x = dan = sehingga nilai konsan ersebu sama dengan ml. Jadi ml SOLUS x m m m x m ( x Lcos ) m L ( cos ) ( poin) (7) b. Jika persamaan (7) diurunkan sau kali dan dua kali erhadap waku diperoleh x x ml sin m m ml ( sin cos ) m m (8) ( poin) (9) Persamaan gaya arah x unuk m dan arah y unuk m beruru-uru adalah T cos m x () T m g m L ( poin) () sin ( cos sin ) Jika persamaan () dikalikan sin, sedangkan persamaan () dikalikan cos kemudian dijumlahkan, diperoleh m g m x m L () cos sin cos ( cos sin ) Subsiusi persamaan (9) ke persamaan () menghasilkan SOLUS L[( m m cos ) m sin cos ] ( m m ) g cos (3) Alernaif lain persamaan dari kekekalan energi mekanik (liha persamaan 7) adalah SOLUS ( m m)sin g m mcos L Alernaif lain persamaan gerak dengan menggabungkan anara (3a) dan (3b) adalah SOLUS ( )( ( sin ))cos ( cos ) m m m m g m m L ( poin) c. Karena sisem idak ada gesekan maka energi mekanik sisem konsan. Energi kineik sisem adalah (3b) (3c)
EK mx m[( x L sin ) ( L cos ) ] EK ( m m ) x m ( L xsin L ) (4) Subsiusi persamaan (8) dan (9) ke dalam persamaan (4) menghasilkan EK m sin ml ( m ) m ( poin) (5) Adapun energi poensial sisem adalah EP m glsin sehingga energi mekanik sisem adalah m sin EM ml mgl sin ( m m) Pada saa awal, = dan = sehingga EM =. Jadi m sin EM ml mgl sin ( m m) Dari persamaan (7), nilai unuk sudu = 3 adalah 4m 4m g 4m 3m L Dari persamaan (8), maka nilai unuk sudu = 3 adalah 3 4m 4m g L[( m 4 m ) m.. 3] ( m m ) g. 3 4m 3m L 3( m m )(4m 5 m ) g (4m 3 m ) L (6) (7) (8) (9) Akhirnya dengan subsiusi persamaan (8) dan (9) ke dalam persamaan () unuk sudu = 3 diperoleh 3( m m )(4m 5 m ) g 3 4m 4m g T m g m L(.. ) (4m 3 m ) L 4m 3m L Besar egangan ali saa sudu = 3 adalah mm (m m ) SOLUS T g (4m 3 m ) Besar gaya Normal pada m unuk sudu = 3 adalah N T sin m g SOLUS m (m m ) N T mg mg (4m 3 m) (,5 poin) () (,5 poin) ()
4. (4 poin) Terdapa 3 buah pla dengan luas penampang ersusun seperi gambar dibawah (ampak aas). Pla engah memiliki muaan lisrik yang erdisribusi meraa sebesar dan ia bisa bergerak bebas anpa gesekan ke kanan dan ke kiri, sedangkan pla di sebelah kiri dan kanan dihubungkan ke ground dan fix (diam). Pada kondisi awal, pla engah epa berada pada jarak dari pla kanan maupun kiri. Pada kedua ruangan yang dibenuk di sisi kanan dan kiri erdapa udara (anggap permiiviasnya sama dengan ruang hampa = ) yang memiliki ekanan masing-masing sebesar. Kondisi ini merupakan kondisi dimana pla engah berada pada kondisi keseimbangan labil. Anggap idak ada celah yang mengakibakan udara di sebelah kanan dan kiri saling mengalir aau pun keluar dari sisem. Tenukanlah: a. Dimana pla mengalami kondisi keseimbangan sabil ( ) dihiung dari posisi pla pada kondisi keseimbangan labil! b. Jika pada posisi keseimbangan sabil ersebu, pla engah diganggu dengan simpangan (dimana ), maka enukan frekuensi osilasi pla engah! (Hin : konsep ermodinamik idak dibuuhkan unuk menyelesaikan soal ini) Solusi : a. Gambar keika sisem berada pada kondisi keseimbangan sabil (misal erjadi pada saa pla engah bergeser sejauh ) - Kapasiansi oal dari ruang yang dibenuk oleh pla kiri + engah dan pla kanan + engah (kombinasi kedua kapasior adalah paralel, menginga kedua pla kiri dan kanan mempunyai poensial yang sama)
- Energi elekrosaik yang dimiliki sisem - Gaya elekrosaik yang dirasakan - Karena pla mendisribusikan muaan secara meraa, maka ia kondukor lisrik (yang noabennya kondukor lisrik merupakan kondukor panas juga), maka ekanan idak erpengaruh suhu, hanya berbanding erbalik dengan volume. Menginga luas pla idak berubah, maka ekanan berbanding erbalik dengan jarak anar pla - Tekanan udara pla kanan dan kiri pada kondisi pla engah ergeser sejauh ke kanan - Pada keseimbangan sabil, gaya elekrosais diimbangi oleh gaya yang disebabkan oleh adanya perbedaan ekanan udara - Nilai merupakan solusi dari persamaan kuadra ersebu, yaiu : ( poin) b. Keika pla engah diganggu dengan simpangan sejauh, maka persamaan gayanya sekarang : - Liha ekspresi, karena, maka
- Persamaan gayanya menjadi - Liha ekspresi, karena, maka - Persamaan gayanya menjadi - Kia bisa mengambil suku, karena - Kia bisa menuliskan, dimana adalah sebuah konsana - ni merupakan persamaan osilasi dengan - Dengan memasukan nilai, dari soal a, maka - Keerangan : idak mempengaruhi nilai frekuensi osilasi, melainkan hanya berkonribusi dalam perhiungan iik seimbang osilasi
5. (8 poin) Sebuah bola baske berjari-jari (anggap saja bola berongga), dilempar oleh seseorang dengan kecepaan horizonal dan kecepaan sudu (dimana ) dari keinggian (liha gambar). Bola baske ersebu memanul secara verikal pada lanai dengan koefisien panul. Namun sebelum memanul, bola ersebu bergerak slip dengan waku yang singka. Tepa keika bola mulai menggelinding sempurna, ia memanul dan membua gerak parabola. Tenukanlah : a. (5 poin) Sudu panul ( ) yang erbenuk epa seelah bola menggelinding sempurna! b. (5 poin) Jumlah puaran ( )yang dialami bola ersebu selama bersenuhan dengan lanai! c. (8 poin) Jarak oal ( ) yang diempuh bola hingga menyelesaikan gerak parabolanya! Jawab: a. Sudu panul. - Kelajuan seelah memanul pada arah y : - Gerak slip : Dari persamaan gaya Dari persamaan orsi
Syara keika bergerak menggelinding sempurna Sudu panul b. Jumlah puaran - Sudu puaran yang diempuh - Mencari waku Dari persamaan gaya - Mencari percepaan sudu Dari persamaan orsi Masukan ke persamaan mencari sudu sebelumnya
Hubungan puaran dan sudu c. Jarak oal - Jarak mendaar gerak seengah parabola Waku jauh (, poin) - Jarak mendaar gerak slip Percepaan keika slip
- Jarak mendaar gerak parabola Persamaan parabola Keika bola elah melakukan gerak parabola sepenuhnya, maka - Jarak oal