Uiversitas Gadjah Mada Fakultas Tekik Departeme Tekik Sipil da Ligkuga REGRESI DAN KORELASI Statistika da Probabilitas
Kurva Regresi Mecari garis/kurva yag mewakili seragkaia titik data Ada dua cara utuk melakukaya, yaitu Regresi Iterpolasi Aplikasi di bidag ejiirig Pola perilaku data (tred aalysis) Uji hipotesis (hypothesis testig)
Kurva Regresi 3 Pemakaia regresi Apabila data meujukka tigkat kesalaha yag cukup sigifika atau meujukka adaya oise Utuk mecari satu kurva tuggal yag mewakili pola umum perilaku data Kurva yag dicari tidak perlu melewati setiap titik data
4 Kurva Regresi Iterpolasi Diketahui bahwa data sagat akurat Utuk mecari satu atau seragkaia kurva yag melewati setiap titik data Utuk memperkiraka ilai-ilai di atara titik-titik data Extrapolasi Mirip dega iterpolasi, tetapi utuk memperkiraka ilai-ilai di luar rage titik-titik data
5 Kurva Regresi terhadap Data Pegukura Aalisis pola perilaku data Pemafaata pola data (pegukura, eksperime) utuk melakuka perkiraa Apabila data persis (akurat): iterpolasi Apabila data tak persis (tak akurat): regresi Uji hipotesis Pembadiga atara hasil teori atau hasil hituga dega hasil pegukura
6 Beberapa Parameter Statistik merepresetasika sebara data Rata-rata aritmatik, mea Deviasi stadar, simpaga baku, stadard deviatio Varia ( ragam ), variace Coefficiet of variatio y = 1 y i s y = s y = S t 1 S t 1 S = y t ( i y ) c v = s y y 100%
7 Distribusi Probabilitas frek Distribusi Normal salah satu distribusi/sebara data yag serig dijumpai adalah distribusi ormal X
8 Regresi Regresi liear: metode kuadrat terkecil Regresi hubuga tak-liear yag diliearka
9 Regresi: Metode Kuadrat Terkecil Mecari satu kurva atau satu fugsi (pedekata) yag sesuai dega pola umum yag ditujukka oleh data Dataya meujukka kesalaha yag cukup sigifika Kurva tidak perlu memotog setiap titik data Regresi liear Regresi persamaa-persamaa tak-liear yag diliearka Regresi tak-liear
10 Regresi: Metode Kuadrat Terkecil Bagaimaa caraya? Program komputer Spreadsheet (Microsoft Excel) Program aplikasi: Matlab, Octave, Scilab
11 Regresi Liear Mecari suatu kurva lurus yag cocok meggambarka pola seragkaia titik data: (x 1,y 1 ), (x,y ) (x,y ) y reg = a 0 + a 1 x a 0 : itercept a 1 : slope, gradie Microsoft Excel INTERCEPT(y 1 :y ;x 1 :x ) SLOPE(y 1 :y ;x 1 :x )
1 Regresi Liear Kesalaha atau residu (e) adalah perbedaa atara ilai y sesugguhya (data y) da y ilai pedekata (y reg ) meurut persamaa liear a 0 + a 1 x. e = y y reg = y a 0 a 1 x Memiimumka jumlah kuadrat residu tersebut! ( ) mi! " S r # $ = mi! e # " i $ = mi y a i 0 a 1 x "' i # $(
13 Regresi Liear Bagaimaa cara mecari koefisie a 0 da a 1? Diferesialka persamaa tersebut dua kali, masig-masig terhadap a 0 da a 1. Samaka kedua persamaa hasil diferesiasi tersebut dega ol. S r = ( y a i a 0 a 1 x i ) = 0 0 S r = ( y a i a 0 a 1 x i ) x i = 0 1
14 Regresi Liear Selesaika persamaa yag didapat utuk mecari a 0 da a 1 a 1 = x y x i i i x i x i a 0 = y a 1 x ( ) y i y x dalam hal ii, da masig-masig adalah ilai y rata-rata x rata-rata
15 Cotoh Regresi Liear Tabel data i x i y i = f(x i ) 0 1 0.5 1.5 3 3 4 4 4 5 3.5 5 6 6 6 7 5.5 y = f(x) Grafik/kurva data 8 6 4 0 0 1 3 4 5 6 7 X
16 Hituga Regresi Liear i x i y i x i y i x i y reg (y i y reg ) (y i y mea ) 0 1 0.5 0.5 1 0.910714 0.168686 8.576531 1.5 5 4 1.75 0.565 0.8645 3.0 6 9.58986 0.34758.040816 3 4 4.0 16 16 3.48571 0.36531 0.36531 4 5 3.5 17.5 5 4.67857 0.589605 0.00510 5 6 6.0 36 36 5.107143 0.797194 6.6145 6 7 5.5 38.5 49 5.94649 0.19998 4.90816 = 8 4.0 119.5 140 =.991071.7149
17 Hituga Regresi Liear a 1 = x y x i i i x i x i y i ( ) = ( ) 8( 4) = 0.83986 7( 140) ( 8) 7 119.5 y = 4 7 = 3.4 x = 8 7 = 4 a 0 = 3.4 0.83986 4 ( ) = 0.07149
18 Hituga Regresi Liear Y 7 6 5 4 3 1 0 0 1 3 4 5 6 7 8 X data regresi
19 Regresi Liear Kuatifikasi kesalaha Kesalaha stadar s y x Sr = S r = ( y a a x ) i 0 1 i Perhatika kemiripaya dega simpaga baku s S = ( ) y t yi y St = 1
0 Regresi Liear Beda atara kedua kesalaha tersebut meujukka perbaika atau peguraga kesalaha r = S t S r S t r = x i y i x i x i x i ( )( y ) i ( ) y i y i ( ) koefisie determiasi (coefficiet of determiatio) koefisie korelasi (correlatio coefficiet) 1 r +1
1 Hituga regresi liear ( ) S r = y i a 0 a 1 x i =.991071 S t = ( y i y ) =.7149 r = S t S r S t = r = 0.931836.7149.991071 = 0.868318.7149 1 r +1
Regresi Liearisasi persamaa tak-liear
3 Regresi Liear Liearisasi persamaa-persamaa tak-liear Logaritmik mejadi liear Ekspoesial mejadi liear Pagkat (poliomial tigkat > 1) mejadi liear (poliomial tigkat 1) Dll.
4 Liearisasi Persamaa Tak-Liear y l y l y = la1 + b1 x 1 y = a e 1 b x 1 b 1 l a 1 x x
5 Liearisasi Persamaa Tak-Liear y log y logy = loga + b log x y = a x b 1 b x logb log x
6 Liearisasi Persamaa Tak-Liear y 1/y 1 y = b + x a x 1 a 3 = + 3 3 b a 3 3 1 x y = a 3 b 3 x + x 1 a 3 1 b 3 a 3 x 1/x
7 Korelasi Korelasi Korelasi serial (auto korelasi)
8 Koefisie Korelasi r = S t S r S t =1 S r S t r = S t S r S t = 1 S r S t koefisie korelasi S S t r ( y y) = = i ( y a a x ) i 0 1 i r = r = ( y i y reg ) 1 ( y i y ) y i a 0 a 1 x i 1 y i y ( ) ( )
Koefisie Korelasi 9 r = ( y i a 0 a 1 x i ) 1 y i y ( ) r = x i y i x i x i x i ( )( y ) i ( ) y i y i ( )
30 Koefisie Korelasi r = x i y i x i x i x i ( )( y ) i ( ) y i y i ( ) s X,Y =! ( X i X) Y i Y 1 ( ) s X = ( X i X) 1 s Y = ( Y i Y ) 1 kovaria X da Y simpaga baku X simpaga baku Y
31 Koefisie Korelasi r = r X,Y = s X,Y s! X s Y r X,Y = COVARIANCE. S(X,Y) = STDEV.S(X) STDEV.S(Y) MS Excel! r X,Y = CORREL(X,Y) koefisie korelasi atara variabel radom X da Y
3 Koefisie Korelasi Pegertia koefisie korelasi Koefisie korelasi meujukka tigkat keerata hubuga liear atara suatu variabel radom Y da suatu variabel kedua yag merupaka fugsi liear dari satu atau lebih variabel(-variabel) X Setiap variabel X dapat berupa variabel radom atau buka variabel radom
33 Koefisie Korelasi Nilai koefisie korelasi adalah 1 < r X,Y < 1 r X,Y = ±1 meujukka hubuga liear sempura atara X da Y r X,Y = 0 meujukka idepedesi (ketidak-gatuga) liear, amu dapat saja keduaya memiliki hubuga (kebergatuga) yag lai, yag tidak liear Jika X da Y tidak salig bergatug (idepedet), maka r X,Y = 0 Koefisie korelasi sampel da populasi r X,Y koefisie korelasi sampel ρ X,Y koefisie korelasi populasi
34 Iferesi terhadap Koefisie Korelasi Populasi Dua variabel radom tak berkorelasi, ρ X,Y = 0 berkorelasi, ρ X,Y 0 Situasi Sampel yag diperoleh dari variabel radom yag tidak berkorelasi jarag meujukka ilai r X,Y = 0 koefisie korelasi serig r X,Y 0, karea kebetula Oleh karea itu perlu pegujia utuk megetahui peyimpaga koefisie korelasi dari ol tersebut bear disebabka oleh kebetula, atau peyimpaga tersebut terlalu besar utuk dikataka sebagai akibat kebetula
35 Iferesi terhadap ρ Uji hipotesis H 0 : ρ X,Y = 0 H a : ρ X,Y 0 statistik uji " t = r % $ '! # 1 r & 1 t >t! 1 α, H 0 ditolak
36 Iferesi terhadap ρ Uji hipotesis H 0 : ρ X,Y = ρ* (ρ* kostata) H a : ρ X,Y ρ* statistik uji! z = W ω 1+r W = 1 l = arctah r 1 r Retag keyakia ρ: ( )( 3) 1 z >! z 1 α! 1+ρ ω = 1 l & 1 ρ! % # % % $ % 3 $ l = tah W z 1 α ( ) 1 ukura sampel > 5 ' )= arctahρ ( & ( ( '( H 0 ditolak # u = tah % W + z 1 α % 3! $ % ( ) 1 & ( ( '(
Korelasi Serial 37 Korelasi serial (serial correlatio) dikeal pula sebagai autokorelasi (autocorrelatio) yaitu korelasi atara data hasil pegukura pada suatu waktu dega data hasil pegukura pada waktu sebelumya eleme dalam sampel yag memiliki korelasi serial buka eleme radom (igat defiisi variabel radom)
38 Korelasi Serial Pada korelasi serial, dega demikia sampel berukura yag memiliki korelasi serial aka memberika iformasi yag lebih sedikit dibadigka dega iformasi yag dimiliki oleh sampel radom berukura sebagia iformasi pada sampel yag memiliki korelasi serial dapat diperoleh dari atau telah diketahui dalam data hasil pegukura pada waktu sebelumya
Korelasi Serial 39 Korelasi serial (serial correlatio) Dapat pula dijumpai atara suatu pegukura pada waktu tertetu dega pegukura pada waktu k periode waktu sebelumya (terdahulu), k = 1,, Asumsi Selag waktu atar pegukura adalah sama (seragam) Sifat-sifat statistis proses atau peristiwa yag diukur tidak berubah terhadap waktu (bersifat permae) ρ(k) koefisie korelasi serial populasi r(k) koefisie korelasi serial sampel
40 Korelasi Serial x i x i+k x i x i+k r(k)= 1 ) k # k &, ) k # k & + x i % x i ( ( k. + + ) x $ '. i+k x + % i+k (! * - * $ ' r(k)= r Xi = s X i,x i+k,x i+k s! Xi s Xi+k k k k r k ( k), ( k. ). - 1 ( ) = COVARIANCE.S ( X,X I i+k ) = STDEV.S( X I ) STDEV.S( X i+k ) ( ) = CORREL( X I,X I+K ) r k x i = X i X i x! i+k = X i+k X i+k
41 Korelasi Serial r(0) = 1 korelasi suatu eleme data dega diriya sediri adalah sama dega satu semaki besar k, jumlah pasaga data utuk meghitug r(k) semaki sedikit; r(k) adalah ilai estimasi ρ(k) oleh karea itu, k << jika ρ(k) = 0 utuk semua k, maka proses atau peristiwa atau populasi tersebut bersifat radom muri
4 Regresi Regresi liear gada (multiple liear regressio)
43 Regresi Liear Gada Misal variabel y adalah fugsi liear dua variabel bebas x 1 da x y = a 0 + a 1 x 1 + a x Koefisie a 0, a 1, a pada persamaa di atas dapat ditemuka dega metode kuadrat terkecil kesalaha (error) S r = ( y i a 0 a 1 x 1i a x i )
44 Regresi Liear Gada Diferesial parsial persamaa tersebut terhadap masig-masig koefisie adalah sbb. S r = a 0 ( y i a 0 a 1 x 1i a x i ) S r = x a 1i y i a 0 a 1 x 1i a x i 1 ( ) S r = x a i y i a 0 a 1 x 1i a x i ( ) a 0 + x 1i a 1 + x i a = y i x 1i a 0 + x 1i a 1 + x 1i x i a = x 1i y i Samaka persamaa diferesial tsb dega ol da atur suku-suku dalam persamaa x i a 0 + x 1i x i a 1 + x i a = x i y i!
45 Regresi Liear Gada Persamaa-persamaa liear tersebut dapat dituliska dalam betuk persamaa matriks sbb. x 1i x i x 1i x 1i x i x 1i x i x 1i x i x a 0 a 1 a = y i x 1i y i x i y i
Cotoh 46 Temukalah persamaa liear yag mewakili pola sebara data dalam tabel di sampig ii. Jawab y = 5+ 4x 1 3x r =1 x 1 x y 0 0 5 1 10.5 9 1 3 0 4 6 3 7 7
47