Teknik Pengolahan Data

Transkripsi

1 Uiversitas Gadjah Mada Jurusa Tekik Sipil da Ligkuga Magister Tekik Pegelolaa Becaa Alam Tekik Pegolaha Data Curve Fi)g: Regresi da Iterpolasi 1

2 Curve Fittig Acua Chapra, S.C., Caale R.P., 1990, Numerical Methods for Egieers, 2d Ed., McGraw- Hill Book Co., New York. Chapter 11 da 12, pp

3 Curve Fittig Mecari garis/kurva yag mewakili seragkaia ::k data Ada dua cara utuk melakukaya, yaitu Regresi Iterpolasi Aplikasi di bidag ejiirig Pola perilaku data (tred aalysis) Uji hipotesis (hypothesis tes;g) 3

4 Curve Fittig Regresi Apabila data meujukka :gkat kesalaha yag cukup sigifika atau meujukka adaya oise Utuk mecari satu kurva tuggal yag mewakili pola umum perilaku data Kurva yag dicari :dak perlu melewa: se:ap ::k data Iterpolasi Diketahui bahwa data sagat akurat Utuk mecari satu atau seragkaia kurva yag melewa: se:ap ::k data Utuk memperkiraka ilai- ilai di atara ::k- ::k data 4

5 Curve Fittig Ekstrapolasi Mirip dega iterpolasi, tetapi utuk memperkiraka ilai- ilai di luar kisara ::k- ::k data Ekstrapolasi :dak disaraka 5

6 Curve Fittig terhadap Data Pegukura Aalisis pola perilaku data Pemafaata pola data (pegukura, eksperime) utuk melakuka perkiraa Apabila data persis (akurat): iterpolasi Apabila data tak persis (tak akurat): regresi Uji hipotesis Pembadiga atara hasil teori atau hasil hituga dega hasil pegukura 6

7 merepresetasika sebara data Beberapa Parameter Statistik Rata- rata aritma:k, mea Deviasi stadar, simpaga baku, stadard devia;o Varia ( ragam ), variace Coefficiet of varia;o =!y 1 y i s y =! s 2 y = S t! 1 S t 1! S = y t ( y i ) 2 c.v.= s y! y 100% 7

8 Distribusi Probabilitas frek Distribusi Normal salah satu distribusi/sebara data yag serig dijumpai adalah distribusi ormal X 8

9 REGRESI Regresi Liear 9

10 Regresi: Metode Kuadrat Terkecil Mecari satu kurva atau satu fugsi (pedekata) yag sesuai dega pola umum yag ditujukka oleh data Dataya meujukka kesalaha yag cukup sigifika Kurva :dak perlu memotog se:ap ::k data Metode Regresi liear Regresi persamaa- persamaa tak- liear yag diliearka Regresi poliomial Regresi liear gada Regresi tak- liear 10

11 Regresi: Metode Kuadrat Terkecil Bagaimaa caraya? Program komputer Spreadsheet (Microsoc Excel) Program aplikasi gra:s, mirip MatLab Octave Scilab Freemat 11

12 Regresi Liear Mecari suatu kurva lurus yag cocok meggambarka pola seragkaia ::k data: (x 1,y 1 ), (x 2,y 2 ) (x,y ) y reg = a 0 + a 1 x a 0 : itercept a 1 : slope Microsoc Excel INTERCEPT(y1:y;x1:x) SLOPE(y1:y;x1:x) 12

13 Regresi Liear Kesalaha atau residu (e) adalah perbedaa atara ilai y sesugguhya (data y) da y ilai pedekata (y reg ) meurut persamaa liear a 0 + a 1 x.! e = y a 0 a 1 x Miimumka jumlah kuadrat residu tersebut mi! S # "! r $ =mi! " e i 2! ( ) 2 # $ =mi y a a x i 0 1 i "' # $( 13

14 Regresi Liear Bagaimaa cara mecari koefisie a 0 da a 1? Diferesialka persamaa tersebut dua kali, masig- masig terhadap a 0 da a 1. Samaka kedua persamaa hasil diferesiasi tersebut dega ol. Selesaika persamaa tsb utuk medapatka a 0 da a 1. S a S a r 0 r 1 = 2 = 2 a 1 = x y x i i i 2 x i x i a! 0 = y a 1 x ( y a a x ) 0 0 ( y a a x ) x = 0 i i 0 ( ) 2 y i 1 1 i i = i 14

15 Cotoh Regresi Liear Tabel data Grafik/kurva data i x i y i = f(x i ) y = f(x) X 15

16 Hituga Regresi Liear i x i y i x i y i 2 x i y reg (y i y reg ) 2 (y i y mea ) = =

17 Hituga Regresi Liear a 1 = x y x i i i 2 x i x i y = 24 7 = 3.4 x = 28 7 = 4 y i ( ) 2 = a! 0 = ( ) 28( 24) = ( 140) ( 28) ( ) =

18 Hituga Regresi Liear Y X data regresi 18

19 Regresi Liear Kua:fikasi kesalaha Kesalaha stadar s y x =! S r 2 Perha:ka kemiripaya dega simpaga baku s y =!! S = y r ( a a x i 0 1 i ) 2 S t 1! S = y t ( y i ) 2 19

20 Regresi Liear Beda atara kedua kesalaha tersebut meujukka perbaika atau peguraga kesalaha r 2 = S t S r S t r = =1 S r S t x i y i x i 2 x i x i ( )( y ) i ( ) 2 y i 2 y i ( ) 2 koefisie determiasi (coefficiet of determia;o) koefisie korelasi (correla;o coefficiet) 20

21 Hituga Regresi Liear ( ) 2 ( ) 2 S r = y i a 0 a 1 x i = S! t = y i y = r 2 = S S t r =1 S r = S t S t = ! r =

22 REGRESI Regresi persamaa tak- liear yag diliearka 22

23 Regresi Liear Liearisasi persamaa- persamaa tak- liear Logaritmik mejadi liear Ekspoesial mejadi liear Pagkat (poliomial :gkat > 1) mejadi liear (poliomial :gkat 1) Dll. 23

24 Liearisasi Persamaa No- liear y! y = aebx x l y l a! ly =la+bx 1 b x 24

25 Liearisasi Persamaa No- liear y! y = axb x log y! logb! logy =loga+blogx 1 b log x 25

26 Liearisasi Persamaa No- liear y! y = a x b+ x 1/y 1! y = b+ x ax = 1 a + b a! b a 1! 1 a 1 x x 1/x 26

27 REGRESI Regresi Poliomial 27

28 Regresi Poliomial Sebagia data bidag tekik, walaupu meujukka pola yag jelas, amu pola tsb :dak dapat diwakili oleh sebuah garis lurus Metode 1: trasformasi koordiat (liearisasi persamaa tak- liear) Metode 2: regresi poliomial Poliomial :gkat m! y = a 0 +a 1 x+a 2 x a m x m Jumlah residu kuadrat 2 S r = e i = y i a 0 a 1 x i +a 2 x 2 m i +...+a m x i! ( ) 2 28

29 Metode kuadrat terkecil yag diperluas utuk regresi poliomial :gkat m Persamaa- persamaa di kaa ii disamaka dega ol da disusu sedemikia rupa mejadi sistem persamaa liear S r = 2 a 0 S r = 2 a! m ( y i a 0 a 1 x i +a 2 x 2 m i +...+a m x ) i S r = 2 x a i y i a 0 a 1 x i +a 2 x 2 m i +...+a m x i 1 S r = 2 a 2... ( ) x 2 ( i y i a 0 a 1 x i +a 2 x 2 m i +...+a m x ) i x m i ( y i a 0 a 1 x i +a 2 x 2 m i +...+a m x ) i 29

30 2 m a 0 +a 1 x i +a 2 x i +...+a m x i = y i! a m+1 x i +a 1 x i +a 2 x i +...+a m x i = x i y i m+2 a 0 x i +a 1 x i +a 2 x i +...+a m x i = x 2 i y i... m m+1 a 0 x i +a 1 x i m+2 2m +a 2 x i +...+a m x i = x m i y i Ada m+1 persamaa liear dega m+1 variabel tak diketahui, yaitu a 0, a 1, a 2,, a m Persamaa- persamaa liear ii dapat diselesaika dega metode- metode Elimiasi Gauss Gauss- Jorda Iterasi Jacobi Iversi matriks 30

31 Cotoh Temukalah kurva poliomial :gkat 2 yag mewakili pola sebara data pada tabel di sisi kaa ii! y = a 0 +a 1 x+a 2 x2 Jawab y = x x 2 r 2 =1 S r S t = = ! r = x i y i

32 REGRESI Regresi Liear Gada (Mul;ple Liear Regressio) 32

33 Regresi Liear Gada Misal variabel y adalah fugsi liear dua variabel bebas x 1 da x 2! y = a 0 +a 1 x 1 +a 2 x 2 Koefisie a 0, a 0, a 0 pada persamaa di atas dapat ditemuka dega metode kuadrat terkecil kesalaha (error) S r =! ( y i a 0 a 1 x 1i a 2 x 2i ) 2 33

34 Regresi Liear Gada Diferesial parsial persamaa tersebut terhadap masig- masig koefisie S r = 2 a 0 ( y i a 0 a 1 x 1i a 2 x 2i ) S r = 2 x a 1i y i a 0 a 1 x 1i a 2 x 2i 1 ( ) S r = 2 x a 2i y i a 0 a 1 x 1i a 2 x 2i! 2 ( ) Samaka persamaa diferesial tsb dega ol da atur suku- suku dalam persamaa a 0 + x 1i a 1 + x 2i a 2 = y i x 1i a 0 + x 2 1i a 1 + x 1i x 2i a 2 = x 1i y i x 2i a 0 + x 1i x 2i a 1 + x 2 2i a 2 = x 2i y i! 34

35 Regresi Liear Gada Persamaa- persamaa liear tersebut dapat dituliska dalam betuk persamaa matriks " $ $ $ $ $ $ $ $! # x 1i x 1i 2 x 1i x 2i x 2i x 1i x 2i 2 x 1i x 2i x 2 % ' '( ' ' * ) '* ' + * ' ' & a 0 a 1 a 2 ( *, * * * - = ) * *.* * * + * y i x 1i y i x 2i y i, * * * - * * *.* 35

36 Cotoh Temukalah persamaa liear yag mewakili pola sebara data dalam tabel di sampig ii. Jawab! y = 5+ 4x 1 3x 2 x 1 x 2 y

37 Regresi Liear Gada Regresi liear gada dapat dipakai pada kasus hubuga atar variabel yag berupa persamaa pagkat (power equa;os)! y = a 0 x 1 a 1 x 2 a 2...x m a m Persamaa di atas sagat bermafaat pada kasus fi)g data eksperime Persamaa di atas ditrasformasika mejadi persamaa liear! logy =loga 0 +a 1 logx 1 +a 2 logx a m logx m 37

38 REGRESI Betuk Umum Persamaa Regresi Liear dega Metode Kuadrat Terkecil 38

39 Regresi Liear (Kuadrat Terkecil) Tiga jeis regresi yag telah dipaparka, yaitu regresi liear, regresi poliomial, da regresi liear gada dapat dituliska dalam betuk umum model kuadrat terkecil! y = a 0 z 0 +a 1 z 1 +a 2 z a m z m z 0, z 1,, z m adalah fugsi- fugsi yag berjumlah m+1 m+1 adalah jumlah variabel bebas +1 adalah jumlah data Persamaa di atas dapat dituliska dalam betuk persamaa matriks {! Y }=! " Z # $ { A } 39

40 Regresi Liear (Kuadrat Terkecil) {! Y }=! " Z # $ { A }! % %! " Z # % $ = % % % %! "% a 01 a a m1 a 02 a a m a 0 a 1 a m!! " Z# T! $ " Z # $ { A }=! " Z # T $ # & & & & & & & $ & { Y} {Y} adalah vektor kolom variabel tak bebas [Z] adalah matriks data ilai variabel bebas {A} adalah vektor kolom koefisie yag :dak diketahui # m & S r = % y i a j z ji ( j=1! $ ' 2 40

41 Regresi Liear (Kuadrat Terkecil)!! " Z# T! $ " Z # $ { A }=! " Z # T $ { Y} Strategi peyelesaia Dekomposisi LU Metode Cholesky Iversi matriks! { A}=! " Z # $! "% T! " Z # # $ $& 1 T! Z " # $ { Y} 41

42 INTERPOLASI Metode Newto Metode Lagrage 42

43 Iterpolasi liear kuadra:k kubik 43

44 Iterpolasi Situasi Keperlua utuk memperkiraka ilai variabel di atara data akurat yag diketahui Metode yag palig serig dipakai utuk keperlua tersebut adalah iterpolasi poliomial Betuk umum persamaa poliomial :gkat ( ) = a 0 +a 1 x+a 2 x a x! f x Haya ada satu poliomial :gkat atau :gkat yag lebih kecil yag melalui semua +1 ::k data 44

45 Iterpolasi Peyelesaia persamaa poliomial :gkat membutuhka sejumlah + 1 ::k data Metode utuk mecari poliomial :gkat yag merupaka iterpolasi sejumlah + 1 ::k data: Metode Newto Metode Lagrage 45

46 Iterpolasi Liear: Metode Newto f(x 1 ) f 1 (x) f(x 0 ) f(x) x x 0 x x! 1 f 1 f 1 ( x) f ( x 0 ) = f ( x 1) f ( x 0 ) x x 0 x 1 x 0 ( )+ f ( x 1) f ( x 0 ) x x x 1 x 0 0 ( x) = f x 0 ( ) 46

47 Iterpolasi Kuadratik: Metode Newto! f 2 ( x) = b 0 +b 1 ( x x 0 )+b 2 ( x x 0 )( x x 1 ) = b 0 +b 1 x b 1 x 0 +b 2 x 2 +b 2 x 0 x 1 b 2 xx 0 b 2 xx 1 ( ) = b 0 b 1 x 0 +b 2 x 0 x!# #" ### $ + b b x b x !## "## $ x+ b 2 a 0! f x 2 ( ) = a 0 +a 1 x+a 2 x 2 ( ) a 1 ( ) % x2 a 2 " a 0 = b 0 b 1 x 0 +b 2 x 0 x $ 1 # a 1 = b 1 b 2 x 0 b 2 x 1 $ a!% 2 = b 2 47

48 Iterpolasi Kuadratik: Metode Newto! b = f x 0 ( 0) b 1 = f ( x 1) f ( x 0 ) = f " x x! 1 x 1,x $ # 0 % 0 f ( x 2 ) f ( x 1 ) f ( x 1) f ( x 0 ) x b 2 = 2 x 1 x 1 x 0 = f " x x! 2 x # 2,x 1,x $ 0 % = f " # x,x $ 2 1% f " # x x $ 1 0% 1 x 2 x 1 48

49 Iterpolasi Poliomial: Metode Newto ( ) = b 0 +b 1 x x 0 b 0 = f ( x 0 )! f x ( )+...+b x x 0 b 1 = f! x 1,x # " 0 $ b 2 = f! x 2,x 1,x # " 0 $... b! = f! x,x 1,...,x 1,x # " 0 $ ( ) x x 1 ( )... x x 1 ( ) 49

50 Iterpolasi Poliomial: Metode Newto! f! x i,x # " j $ = f ( x i ) f x j x i x j f! " x i,x j,x k f! x,x 1,...,x 1,x # " 0 f ( ) # $ = f! x,x # " i j$ f! x,x # " j k $ x i x k $ = f! x,x,...,x # " 1 1$ f! x,,...,x # " 1 2 0$ x x 0 ( x) = f( x0 ) + ( x x0 ) f[ x1, x0] + ( x x0 )( x x1) f[ x2, x1, x0] ( x x )( x x )...( x x ) f[ x, x,..., x ]

51 Iterpolasi Poliomial: Metode Newto i x i f(x i ) Lagkah Hituga ke- 1 ke- 2 ke- 3 0 x 0 f(x 0 ) f[x 1,x 0 ] f[x 2,x 1,x 0 ] f[x 3,x 2,x 1,x 0 ] 1 x 1 f(x 1 ) f[x 2,x 1 ] f[x 3,x 2,x 1 ] 2 x 2 f(x 2 ) f[x 3,x 2 ] 3 x 3 f(x 3 ) 51

52 Iterpolasi Poliomial: Metode Lagrage! f L i ( x) = L i x ( x) = i=0 j=0 j i ( ) f ( x i ) x x j x i x j 52

53 Cotoh iterpolasi i x i f(x i ) f(x) X 53

54 SPLINE Liear Kuadra:k Kubik 54

55 Iterpolasi: Splie Jumlah ::k data + 1 iterpolasi poliomial :gkat Tigkat besar, >>, megalami kesulita apabila ::k- ::k data meujukka adaya perubaha :ba- :ba di suatu ::k tertetu (perubaha gradie secara :ba- :ba) Dalam situasi tsb, poliomial :gkat kecil, <<, dapat lebih represeta:f utuk mewakili pola data Splie Cubic splies ( = 3) Quadra;c splies Liear splies 55

56 Iterpolasi Poliomial vs Splie Poliomial :gkat» = 1 = 1» 56

57 Liear Splies Splie :gkat 1 : garis lurus Data urut : x 0, x 1, x 2,, x f ( x) = f ( x 0 )+m 0 x x 0 f ( x) = f ( x 1 )+m 1 x x 1!... ( ) = f x 1 f x ( ) x 0 x x 1 ( ) x 1 x x 2 ( )+m 1 x x 1 gradie: f( xi+ 1) f( xj ) ( ) x 1 x x mi = x i+ 1 x j 57

58 Liear Splies Liear splie Dega demikia, liear splie adalah sama dega iterpolasi liear Kekuraga liear splie adalah ke:dak- mulusa kurva iterpolasi Terdapat perubaha slope yag sagat tajam di ::k- ::k data atau di ::k- ::k pertemua kurva splie (kot) Deriva:f pertama fugsi liear splie disko:u di ::k- ::k kot Kelemaha liear splie tersebut diatasi dega pemakaia poliomial yag memiliki :gkat lebih :ggi yag mejami kemulusa kurva splie di kots dega cara meyamaka ilai deriva:f di ::k- ::k kot 58

59 Quadratic Splies Quadra;c splies Utuk medapatka kurva yag memiliki diferesial/laju- perubaha ke- m ko:u di ::k kot, maka diperluka kurva splie yag ber:gkat palig kecil m + 1. Yag palig bayak dipakai adalah splie :gkat 3 (cubic splie): diferesial pertama da kedua ko:u di ::k- ::k kot. Ke:dak- mulusa diferesial ke:ga, keempat, dst. umumya :dak begitu tampak secara visual 59

60 Quadratic Splies Tujua: mecari poliomial :gkat 2 utuk se:ap iterval ::k- ::k data. Poliomial :gkat 2 tsb harus memiliki diferesial pertama (laju perubaha) yag ko:u di ::k- ::k data. Poliomial :gkat 2: 2 ( x) = aix + bix ci f + Utuk (+1) ::k data (i = 0, 1, 2,, ), terdapat iterval, sehigga terdapat 3 koefisie yag harus dicari (a i, b i, c i ), i = 1, 2,...,. Perlu persamaa sejumlah 3. 60

61 Quadratic Splies Ke- 3 persamaa tsb adalah sbb. 1. Kurva splie memotog ::k- ::k data (kot): iterval i - 1 da i bertemu di ::k data {x i - 1, f(x i - 1 )}! ( ) ( ) a i 1 x i 1 2 +b i 1 x i 1 +c i 1 = f x i 1 a i x i 1 2 +b i x i 1 +c i = f x i 1 i = 2, 3,, 2( - 1) pers. 2. Kurva splie di iterval pertama memotog ::k data pertama (i = 1) da kurva splie di iterval terakhir memotog ::k data terakhir (i = ) 2 a1x 0 + b1x 0 + c1 = f( x0 ) 2 pers. 2 a x + b x + c = f x ( ) 61

62 Quadratic Splies Ke- 3 persamaa tsb adalah sbb. 3. Diferesial (gradie) kurva splie di dua iterval beruruta adalah sama di ::k data yag bersagkuta ( ) =2ax+b 2a i 1 x i 1 +b i 1 =2a i x i 1 +b i f! x i = 2, 3,,! ( - 1) pers. 4. Diferesial kedua (laju perubaha gradie) kurva splie di ::k data pertama sama dega ol 1 pers.! a = 0 i Kosekuesi: 2 ::k data pertama (i = 0 da i = 1) dihubugka dega garis lurus 62

63 Quadratic Splies Dega demikia, jumlah persamaa seluruhya: 2( 1) ( 1) + 1 = 3 63

64 Cubic Splies Tujua: mecari poliomial :gkat 3 utuk se:ap iterval ::k- ::k data. Poliomial :gkat 3 tsb harus memiliki diferesial pertama (gradie) da diferesial kedua (laju perubaha gradie) yag ko:u di ::k- ::k data. Poliomial orde 3: ( ) = a i x 3 +b i x 2 +c i x+d i! f i x Utuk (+1) ::k data (i = 0, 1, 2,, ), terdapat iterval, shg. terdapat 4 koefisie yag harus dicari (a i,b i,c i,d i ), i = 1, 2,...,. Perlu persamaa sejumlah 4. 64

65 Cubic Splies Ke- 4 persamaa tsb adalah sbb. 1. Kurva splie memotog ::k- ::k data (kot): iterval i - 1 da i bertemu di ::k data {x i - 1, f(x i - 1 )} (2-2) pers. 2. Kurva splie di iterval pertama memotog ::k data pertama da kurva splie terakhir memotog ::k data terakhir 2 pers. 3. Diferesial pertama kurva splie di dua iterval beruruta adalah sama di ::k data ybs. ( - 1) pers. 4. Diferesial kedua kurva splie di dua iterval beruruta adalah sama di ::k data ybs. ( - 1) pers. 5. Diferesial kedua kurva splie di ::k data pertama da terakhir sama dega ol 2 pers. 65

66 Cubic Splies Ke- 4 persamaa tsb. Syarat kelima membawa kosekuesi sbb. Kurva splie di iterval pertama da iterval terakhir berupa garis lurus dua ::k data pertama dihubugka dega sebuah garis lurus dua ::k data terakhir dihubugka dega sebuah garis lurus Ada sebuah syarat altera:f sebagai pegga: syarat kelima tsb Deriva:f kedua di ::k kot terakhir diketahui 66

67 Cubic Splies Diperoleh 4 persamaa yag harus diselesaika utuk mecari 4 koefisie, a i, b i, c i, d i 2( 2) ( 1) + ( 1) + 2 = 4 Dimugkika utuk melakuka maipulasi matema:s shg diperoleh suatu tekik cubic splies yag haya memerluka 1 peyelesaia (lihat uraia di buku acua Chapra, S.P., Caale, R.P., 1985, Numerical Methods for Egieers, McGraw- Hill Book Co., New York, hlm ). 67

68 Cubic Splies 2 ukows di se:ap iterval: f!! ( x! i 1 )!!da!! f!! ( x i ) ( x i x i 1 ) f"" ( x i 1 )+2 x i+1 x i 1 6 # ( x! i+1 x $ i ) f ( x i+1 ) f x i ( ) f"" ( ) ( x i )+ x i+1 x i % & + 6 x i x i 1! f i ( x) = f!! ( x i 1 ) ( ( ) x x i ) 3 f!! ( x + i 1 ) ( 6( x i x i 1 ) x x i 1 ) 3 ( ) ( x i x i 1 ) f!! ( x i 1 ) x i x & ( i 1 )( ( 6 ' ( x x i ) f ( x i ) ( x i x i 1 ) f!! ( x i 1 ) x i x & ( i 1 )( ( 6 ( x x i 1 ) 6 x i x i 1 # + f x i 1 % $ % # + % $ % ( ) f"" ( x i+1 ) = # $ ( ) f x i 1 ( ) f x i ( ) % & "!iterval $ f!! ( x 0 ) = 0# $ f!! ( x! ) = 0% $ ' ( 1)!pers. 68

69 69