Pedugaa Selag: Metode Pivotal Lagkah-lagkahya 1. Adaika X1, X,..., X adalah cotoh acak dari populasi dega fugsi kepekata f( x; ), da parameter yag tidak diketahui ilaiya. Adaika T adalah peduga titik bagi.. Adaika Y g( T; ) memiliki sebara pearika cotoh (samplig distributio) yag tidak bergatug pada. Y diamaka besara atau kuatitas pivotal. 3. Maka utuk besara 1 tertetu, 0 1, ada y 1 da y sedemikia rupa sehigga P( y1 Y y) 1 4. Selajutya peryataa peluag di atas diubah mejadi peryataa peluag yag setara PL 1( T) L( T) 1.
5. Bila T digati dega ilaiya berdasarka data cotoh, maka aka diperoleh peryataa peluag Pl ( t) l ( t) 1 1 dega tigkat kepercayaa sebesar 1. Jadi, selag kepercayaa 100(1 )% bagi ialah l ( t), l ( t ). 1 Telada 1. Adaika cotoh acak X1, X,..., X diambil dari sebara seragam U (0, ). Buat selag kepercayaa 90% bagi da tafsirka. Jawab Telah kita peroleh bahwa U max X i Adalah PKM bagi. Statistik U mempuyai fugsi kepekata peluag 1 u fu ( u), 0 u
Karea ii bergatug pada parameter, maka U buka usur pivot. Selajutya, kita U lakuka trasformasi Y (utuk meghilagka ). Dega megguaka metode Jacobia, maka diperoleh fkp bagi Y, yaitu 1 fy ( y) y, 0 y 1 U Yag tidak bergatug pada. Jadi, Y dapat dijadika usur pivot. Sekarag kita cari a da b sedemikia rupa sehigga P a Y b 0.90 U Pa b 0.90 Fugsi sebara kumulatif bagi Y ialah FY ( y) y, 0 y 1. Kita ambil a da b sehigga FY ( a) 0.05 da FY ( b) 0.95 Maka
a 0.05 da b 0.95 Sehigga a 0.05 da b 0.95 Dega demikia, U P 0.05 0.95 0.90, atau 1 1 P 0.90 0.95 U, atau 0.05 U U P 0.90 0.95 0.05 Jadi, selag kepercayaa 90% bagi ialah U U, 0.95 0.05 Hasil ii dapat ditasirka sebagai berikut: Bila pearika cotoh di atas dilakuka berulag-ulag, misalya 1000 kali, da utuk setiap cotoh yag terambil dibuat selag kepercayaa meurut rumus di atas, maka kira-kira 90% (atau 900) selag
kepercayaa aka mecakup ilai yag sebearya. Selag Kepercayaa Cotoh Besar: Kasus Satu Cotoh Bila ukura cotoh cukup besar, maka meurut Teorema Limit Pusat statistik tertetu memiliki sebara pearika cotoh yag meghampiri ormal. Artiya, bila adalah parameter yag tidak diketahui (misalya, p, 1, p1 p), maka ˆ Z ˆ Meghampiri sebara ormal baku. Bila, 30 diaggap cukup besar. Bila adalah parameter biom p, maka dipadag cukup besar bila p da (1 p) keduaya lebih besar dari 5. Prosedur utuk Meghitug Selag Kepercayaa Cotoh Besar bagi
1. Carilah peduga (misalya PKM) bagi, adaika itu ˆ.. Tetuka galat bakuya, yaitu ˆ ˆ 3. Lakuka trasformasi Z. Maka ˆ Z meghampiri sebara ormal baku. 4. Dari tabel ormal baku, carilah z da z. 5. Selag kepercayaa (1 )100% hampira bagi ialah ˆ z ˆ ˆ, z ˆ 6. Kesimpula: Kita yaki (1 )100% bahwa parameter sebearya, Telada. tercakup di dalam selag ˆ z ˆ ˆ, z ˆ.
Adaika, ˆ X, da cotoh yag diambil cukup besar ( 30), maka selag kepercayaa (1 )100% bagi ialah X z, X z Bila tidak diketahui, ˆ S. Sehigga selag hampiraya ialah S S X z, X z Telada Dari dua kelas besar metode statistik diambil cotoh acak masig-masig 50 ilai UTS da hasilya sebagai berikut: 1. Kelas 1: x1 77.01, s1 10.3. Kelas : x 7., s 11.0 Hituglah selag kepercayaa 95% bagi rataa ilai UTS sebearya utuk kedua kelas itu. Jawab
Karea 50 adalah cukup besar, maka kita dapat megguaka hampira ormal. Utuk 0.05, dari tabel ormal diperoleh z z0.05 1.96. Jadi, selag kepercayaa yag dimita ialah: 1. Kelas 1: s1 10.3 x1 z 77.011.96 50 Yag meghasilka selag kepercayaa 95% (74.149, 79.871).. Kelas : s1 11.0 x1 z 7. 1.96 50 Yag meghasilka selag kepercayaa 95% (69.165, 75.75). Telada. Limabelas mobil dipilih secara acak da diamati kecepata mereka di jala raya yag kecepataya dibatasi 70 mil per jam.
Teryata rata-rata kecepata mereka 73.3 mil per jam. Adaika berdasarka pegalama dapat diasumsika bahwa kecepata meyebar ormal dega simpaga baku 3.. Buat selag kepercayaa 90% bagi rataa kecepata sebearya mobil-mobil yag melaju di jala raya itu. Jawab Karea diketahui populasiya ormal dega simpaga baku 3., maka ukura cotoh tidak perlu besar. Karea x 73.3, 3., 15, da 0.10, maka z z0.05 1.645. Sehigga selag kepercayaa 90% bagi ialah x z x z 3. 3. 73.3 1.645 73.3 1.645 15 15 Atau
71.681 74.919 Jadi, kita percaya 90% bahwa kecepata rata-rata kedaraa yag melalui jala raya itu atara 71.681 da 74.919 mil per jam. Selag Kepercayaa utuk Proporsi Perhatika sebara biom dega parameter p. Adaika X adalah bayakya keberhasila dalam tidaka. Telah X diperoleh PKM bagi p ialah pˆ. Bila cukup besar, dapat diperlihatka bahwa pˆ (1 pˆ ) pˆ (1 pˆ ) P pˆ z p pˆ z 1 Sehigga selag kepercayaa (1 )100% bagi parameter p ialah ˆ(1 ˆ ˆ(1 ˆ ˆ p p z p ˆ, p z p p
Pertayaa yag releva ialah Bagaimaa kita tahu bahwa ukura cotoh sudah mecukupi utuk megguaka hampira ormal? Ada yag meyaraka agar p da (1 p) harus lebih besar dari 10. Ada lagi yag meyaraka ˆ(1 ˆ) ˆ p p p tercakup di dalam selag (0, 1). Yag lai lagi meyaraka agar p(1 p) 10 da ada pula yag meyaraka p da (1 p) keduaya lebih besar dari 5. Telada. Sebuah perusahaa elektroik memberika jamia 3 tahu bagi produk baruya. Dari cotoh acak 60 produk yag terjual, teryata 0 membutuhka layaa perbaika selama masa garasi. Dugalah proporsi sebearya barag elektroik itu yag membutuhka layaa perbaika selama masa garasi dega tigkat kepercayaa 95%.
Jawab Margi of Error da Ukura Cotoh Di dalam hasil survei serig dilaporka tetag besarya margi of error. Besara ii tidak lai adalah setegah lebar selag kepercayaa maksimum pada tigkat kepercayaa 95% diyataka dalam persetase. Adaika b adalah lebar selag kepercayaa 95% bagi parameter p. Adaika ˆ adalah ilai dugaa bagi p da x adalah bayakya keberhasila. Maka p x
x x x x 1 1 x x b 1.96 1.96 x x 1 1 3.9 3.9 4 x x 1 1 pˆ(1 pˆ) 4 Karea Jadi, margi of error bagi proporsi dugaa diyataka dalam persetase ialah 100 d % dega d 1 3.9 max b 4 1.96 Tetu saja bila tigkat kepercayaaya (1 ) digati, bilaga 1.96 juga harus digati dega z. Jelas terlihat dari rumus di atas bahwa semaki besar ukura cotoh, semaki
kecil margi of errorya. Aka tetapi, yag besar berimplikasi biaya survei mejadi semaki mahal. Pertayaaya sekarag ialah berapa ukura cotoh harus diambil utuk mecapai margi of error tertetu. Selag kepercayaa (1 )100% bagi p utuk cotoh besar ialah Maka ˆ(1 ˆ ˆ(1 ˆ ˆ p p z p ˆ, p z p p pˆ(1 pˆ) pˆ p z ˆ ˆ p p z (1 ) Itu meujukka bahwa, dega peluag 1, ilai dugaa ˆp berada dalam jarak z ˆ ˆ p(1 p) dari p. Karea 1 pˆ(1 pˆ), 4 maka pertidaksamaa terakhir di atas dapat ditulis mejadi z 1 z pˆ p 4
Kalau kita igi meduga p pada tigkat kepercayaa 1 sehigga ilai dugaaya berada dalam jarak d dari ilai parameter sebearya, dega kata lai ˆp p d, maka ukura cotohya harus memeuhi syarat z d atau z 4d Kalau kita memiliki ilai dugaa awal ˆp berdasarka survei pedahulua, misalya, maka kita dapat megguaka rumus ˆ(1 ˆ) z p p Dalam hal rumus-rumus di atas tidak meghasilka bilaga bulat, maka lakuka pembulata ke bilaga bulat berikutya. Perhituga serupa utuk ukura cotoh utuk pedugaa rataa populasi pada tigkat kepercayaa (1 ) dega margi of error E meghasilka d
z Walaupu di dalam praktek ragam populasi pada umumya tidak diketahui, amu mugki saja itu dapat diduga dari peelitia serupa yag mugki perah dilakuka sebelumya atau dari peelitia awal (pedahulua). E Telada Sebuah lembaga peelitia aka melakuka survei utuk meduga besarya dukuga terhadap kebijaka preside dalam masalah ekoomi dega margi of error 3% pada tigkat kepercayaa 95%. (a) Berapa respode yag harus diwawacarai kalau tidak ada iformasi awal yag dapat dimafaatka? (b) Kalau ada iformasi awal bahwa yag medukug kebijaka preside adalah
70%, berapa respode yag harus disurvei? Jawab (a) Dalam masalah ii 0.05, z 1.96, da d 0.03. Karea tidak ada iformasi awal apa-apa, maka diguaka rumus: z (1.96) 1067.1 1068 4d 4(0.03) Jawab (b) Karea ada iformasi awal pˆ 0.7, maka ˆ(1 ˆ) z p p d (1.96) (0.7)(0.3) 896.37 897 (0.03) Terlihat bahwa adaya iformasi dapat memperkecil ukura cotoh yag berarti memperkecil biaya. Selag Kepercayaa Cotoh Kecil bagi Rataa Populasi
Adaika X1, X,..., X adalah suatu cotoh acak dari sebuah populasi ormal. Telah diketahui bahwa T X S mempuyai sebara-t dega 1 derajat bebas yag tidak bergatug kepada. Jadi, T dapat diguaka sebagai usur pivot. Jadi, utuk kecil ( 30) da tidak diketahui, selag kepercayaa (1 )100% bagi rataa populasi ialah S X t, X t ; 1 ; 1 Perlu ditekaka di sii bahwa asumsi populasi ormal tidak boleh diabaika. Telada Berikut ii diberika suatu data acak dari sebuah populasi ormal: 7., 5.7, 4.9, 6., 8.5,.8 S
Buat selag kepercayaa 95% bagi rataa populasi. Jawab Perhituga dega kalkulator, misalya, meghasilka rataa cotoh x 5.883 da simpaga baku cotoh s 1.959. Utuk 5 derajat bebas da 0.05, dari tabel-t diperoleh t 0.05.571. Jadi, selag kepercayaa 95% bagi ialah S X t, X t ; 1 ; 1 1.959 1.959 5.883.571, 5.883.571 6 6 (3.87, 7.939) Selag Kepercayaa bagi Ragam Populasi Adaika X1, X,..., X masig-masig meyebar ormal dega rataa da S
ragam. Adaika da keduaya tidak diketahui. Kita tahu bahwa X i X i1 ( 1) S Mempuyai sebara dega ( 1) derajat bebas, tidak bergatug pada ilai. Maka besara itu dapat diguaka sebagai pivot. Selajutya kita cari L da U sedemikia rupa sehigga ( 1) S PL 1 U Peryataa peluag di atas dapat dituliska dalam betuk ( 1) S ( 1) S P 1 U L Jadi, selag kepercayaa (1 )100% bagi ialah
( 1) S ( 1) S, U L Bila diambil U da L 1, maka selag kepercayaa bagi mejadi ( 1) S ( 1) S, 1 Telada. Suatu cotoh acak berukura 1 diambil dari populasi ormal dega simpaga baku 9. Tetuka selag kepercayaa 90% bagi. Telada Berikut adalah data kolesterol dari 10 pasie yag diambil secara acak di sebuah rumah sakit besar: 360 35 94 160 146 14 318 00 14 116 Tetuka selag kepercayaa 95% bagi.
Selag Kepercayaa Dua Parameter Populasi Adaika X11,..., X 1 adalah suatu cotoh 1 acak dari sebara ormal dega rataa 1 da ragam. 1 Adaika X1,..., X adalah suatu cotoh acak dari sebara ormal dega rataa da ragam. Adaika kedua cotoh bebas (idepedet), sehigga X 1 da X juga bebas. Dega demikia 1 X1 X N 1, 1 Ada dua kemugkia 1. Bila 1 da diketahui, maka selag kepercayaa (1 )100% cotoh besar bagi 1 diberika oleh rumus X 1 X z 1 1
. Bila 1 da tidak diketahui, maka keduaya digati oleh simpaga baku cotoh S 1 da S bila i 30, i 1,. Sehigga selag kepercayaa bagi ialah 1 S X 1 X z S 1 1 Selag Kepercayaa Cotoh Kecil bagi Selisih Dua Rataa Populasi Bila ukura cotohya kecil, pembuata selag kepercayaa bagi selisih dua rataa populasi bisa mejadi sagat sulit. Aka tetapi, bila diasumsika kedua populasi mempuyai ragam yag sama, walaupu tidak diketahui ilaiya, katakalah 1, maka kita dapat meduga ragam itu dega cara meggabugka kedua ragam dugaa. Adaika
S 1 X 1i X1 X i X i1 i1 p 1 ( 1 1) S1 ( 1) S 1 Bila kedua cotoh itu bebas, maka X 1 X 1 T 1 1 S p 1 Mempuyai sebara-t dega 1 derajat bebas. Maka selag kepercayaa bagi 1 ialah 1 1 X 1 X t ; 1 S p 1 Soal Berikut adalah dua cotoh bebas yag diambil dari dua populasi ormal dega ragam yag sama
Cotoh 1: 1. 3.1 1.7.8 3.0 Cotoh : 4..7 3.6 3.9 (a) Dugalah ragam gabugaya (b) Tetuka selag kepercayaa 90% bagi 1