Bab IV Barisa da Deret 53 Tujua Pembelajara Setelah mempelajari bab ii, diharapka kalia dapat. mejelaska ciri barisa aritmetika da barisa geometri;. merumuska suku ke da jumlah suku deret aritmetika da deret geometri; 3. meetuka suku ke- da jumlah suku deret aritmetika da deret geometri;. mejelaska ciri deret geometri tak higga yag mempuyai jumlah; 5. meghitug jumlah deret geometri tak higga; 6. meuliska suatu deret aritmetika da geometri dega otasi sigma; 7. mejelaska karakteristik masalah yag model matematikaya berbetuk deret aritmetika atau geometri; 8. merumuska da meyelesaika deret yag merupaka model matematika dari masalah; 9. mejelaska rumusrumus dalam hitug keuaga dega deret aritmetika atau geometri; 0.meetuka buga tuggal, buga majemuk, da auitas. Barisa da Deret Sumber: www.exterpassive.com Motivasi Perahkah kalia megamati ligkuga sekitar? Di sekelilig kalia tetulah bayak terjadi hal-hal yag bersifat ruti. Kejadia ruti adalah kejadia yag mempuyai pola atau keteratura tertetu. Amati pola susua biji pada buga matahari. Amati pola pertumbuha populasi makhluk hidup tertetu. Kedua cotoh itu sebearya membetuk pola keteratura tertetu berupa barisa. Kita dapat memperkiraka suku pada waktu tertetu. Salah satuya adalah keteratura populasi makhluk hidup. Utuk meghitug da memperkirakaya, diperluka suatu cara tertetu agar lebih mudah meyelesaikaya, yaitu dega kosep barisa da deret.
5 Khaz Matematika SMA 3 IPS Peta Kosep Barisa da Deret mempelajari Barisa Deret Notasi Sigma terdiri atas membahas Aritmetika Geometri terdiri atas Sifat-Sifat Notasi Sigma Aritmetika Geometri Hitug Keuaga Geometri Tak Berhigga meliputi Buga Tuggal Buga Majemuk Auitas Kata Kuci agsura buga majemuk pola bilaga auitas buga tuggal rasio barisa deret sigma barisa berhigga deret tak higga suku batas atas jumlaha Riema suku awal batas bawah koverge suku ke- beda modal suku tetap buga periode buga
Barisa da Deret 55 Sebelumya, kalia perah belajar barisa da deret ketika duduk di bagku SMP. Pada pokok bahasa ii aka dibahas secara medalam tetag barisa da deret, serta hal-hal yag terkait dega barisa da deret. Kemudia, aka dijelaska tetag keguaa barisa da deret dalam kehidupa sehari-hari. Sebelum kalia mempelajari materi ii secara medalam, perlu kalia igat kembali tetag pola bilaga yag telah kalia pelajari. Utuk itu, kerjaka soal-soal berikut berikut terlebih dahulu. Prasyarat Kerjaka di buku tugas. Tetuka rumus umum suku ke- dari pola bilaga berikut. a.,, 7, 0, 3,... b., 7,, 7,.... Jika diketahui rumus suku ke- adalah U = + 7, tetuka 5 suku pertamaya. 3. Meurutmu, apa bedaya barisa da deret? A. Barisa da Deret. Barisa Bilaga Setelah kalia mampu mejawab soal-soal di atas, mari kita lajutka ke materi berikut. Kalia tetu perah berpikir tetag omor rumah di sisi kiri jala yag beromor gajil, 3, 5, 7, da seterusya, sedagka omor rumah di sisi kaa jala beromor geap,, 6, 8, da seterusya. Mugki juga kalia perah berpikir dari maa para pakar meyataka bahwa 0 tahu ke depa peduduk Idoesia aka mejadi x juta jiwa. Dua cotoh di atas berkaita dega barisa da deret dari suatu bilaga. Misalka seorag aak diberi uag saku orag tuaya setiap miggu Rp0.000,00. Jika setiap miggu uag sakuya bertambah Rp500,00 maka dapat dituliska uag saku dari miggu ke miggu berikutya adalah Rp0.000,00, Rp0.500,00, Rp.000,00, Rp.500,00,... Susua bilaga-bilaga yag sesuai dega cotoh di atas adalah 0.000, 0.500,.000,.500,... + 500 + 500 + 500
56 Khaz Matematika SMA 3 IPS Perhatika bahwa dari bilaga-bilaga yag disusu berbetuk 0.000, 0.500,.000,.500,... mempuyai keteratura dari uruta pertama, kedua, ketiga, keempat, da seterusya, yaitu bilaga berikutya diperoleh dari bilaga sebelumya ditambah 500. Bilaga-bilaga yag disusu urut dega atura tertetu seperti itulah dikeal dega ama barisa bilaga. Secara matematis, barisa bilaga merupaka ilai fugsi dega daerah defiisiya adalah bilaga asli. Misalka barisa bilaga ditulis lambag U utuk meyataka uruta suku-sukuya maka bilaga pertama ditulis U() atau U, bilaga kedua ditulis U() atau U, da seterusya. Jika kita buat korespodesi, aka terlihat seperti berikut. 3... b b b b b b U U U 3 U... U Jadi, betuk umum barisa bilaga adalah U, U, U 3,..., U,... Dalam hal ii, U = f() disebut rumus umum suku ke- dari barisa bilaga. Cotoh : Diketahui barisa bilaga dega suku ke- berbetuk U =. Tuliska 5 suku pertama dari barisa tersebut. Rumus suku ke- adalah U =. Suku pertama dapat dicari dega meyubstitusika = da diperoleh U = () =. Suku kedua dicari dega meyubstitusika = da diperoleh U = () = 0. Dega cara yag sama, diperoleh sebagai berikut. Suku ketiga = U 3 = 3 (3) = 3. Suku keempat = U = () = 8. Suku kelima = U 5 = 5 (5) = 5. Jadi, lima suku pertama dari barisa itu adalah, 0, 3, 8, 5. Misalka diberika suatu barisa bilaga dega suku ke- dari barisa bilaga tersebut tidak diketahui. Dapatkah kita meetuka rumus suku ke-? Hal ii tidak selalu dapat ditetuka, tetapi pada beberapa barisa kita dapat melakukaya dega memerhatika pola suku-suku barisa tersebut.
Barisa da Deret 57 Cotoh : Diketahui barisa bilaga, 7,, 9,... a. Tetuka rumus suku ke-. b. Suku keberapa dari barisa tersebut yag berilai 99? Barisa bilaga:, 7,, 9,... a. Suku ke- = U = = + 3 Suku ke- = U = 7 = + 3 Suku ke-3 = U 3 = = 3 + 3 Suku ke- = U = 9 = + 3 M M Suku ke- = U = + 3 Jadi, rumus suku ke- barisa tersebut adalah U = + 3. b. Diketahui suku ke- = 99, berarti U = 99 + 3 = 99 = 96 Karea = 96 maka = atau = (dipilih ilai positif). Megapa tidak dipilih =? Jadi, suku yag ilaiya 99 adalah suku ke-.. Deret Bilaga Misalka kita mempuyai barisa bilaga U, U, U 3,..., U da S adalah jumlah dari suku-suku barisa itu. S = U + U + U 3 +... + U disebut deret. Jadi, deret adalah jumlaha suku-suku dari suatu barisa. Mari Berdiskusi Berpikir Kritis Apakah deret suatu bilaga dapat disebut suatu barisa? Apa perbedaa barisa dega deret? Jika pola suku dari deret suatu bilaga diketahui, dapatka rumus sukuya diketahui? Soal Kompetesi Kerjaka di buku tugas. Tuliska lima suku pertama dari barisa bilaga berikut. a. U = 5 d. U = ( ) + b. U = e. U = + 5 c. U = ( ) f. U = +
58 Khaz Matematika SMA 3 IPS. Diketahui rumus suku ke- dari suatu barisa adalah U = 3. a. Tetuka empat suku pertama barisa tersebut. b. Suku keberapa dari barisa tersebut yag berilai 30? 3. Tetuka rumus suku ke- dari barisa berikut, kemudia tetuka suku ke-0 da suku ke-30. a. 3, 5, 7, 9,... b. 3,, 37, 8,... c., 0, 8, 8,... d. 3,,,,... 5 6 7 e. 3,,,,... 9 9 7 8. Diketahui suku ke- dari suatu barisa bilaga adalah U = a + b. Jika U 3 = 8 da U 5 = 8, tetuka U 0. 5. Diketahui rumus suku ke- barisa bilaga adalah U = a + b, U + U = 50, da U 0 U 5 = 50. Tetuka a. U ; d. U + ; b. U 50 ; e. jumlah 0 suku pertama; c. U + U ; f. jumlah 5 suku pertama. 6. Diketahui rumus suku ke- dari suatu barisa adalah U = + 3. a. Tetuka lima suku pertama dari barisa tersebut. b. Suku keberapa dari barisa tersebut yag berilai 393? c. Suku keberapa dari barisa tersebut yag berilai.93? 7. Diketahui rumus suku ke- barisa bilaga adalah U = a + b. Jika U = 3 da U = 7, tetuka a. U ; d. jumlah suku pertama; b. U 0 ; e. U +. c. U 5 + U 7 ; 8. Diketahui rumus suku ke-( + ) dari suatu barisa bilaga adalah U + = a + b. Jika U = da U + U 7 = 7, tetuka a. rumus U + ; b. rumus U ; c. rumus U ; d. jumlah 5 suku pertama; e. U 0 + U 5. U
Barisa da Deret 59 9. Tetuka rumus suku ke- dari barisa berikut, kemudia tetuka suku ke-0 da ke-. a. 0, 5,,,... b.,, 8,,... c., 5, 6, 3,... 0. Diketahui U = a 3 + b. Jika U = 50 da U 3 U = maka tetuka a. ilai a da b; b. rumus U ; c. rumus U ; d. rumus U + ; e. U da U 5. B. Barisa da Deret Aritmetika. Barisa Aritmetika Idah meyisihka sebagaia uag yag dimilikiya utuk disimpa. Pada bula ke-, ia meyimpa Rp0.000,00. Bula berikutya ia selalu meaikka simpaaya Rp500,00 lebih besar dari bula sebelumya. Besar simpaa (dalam rupiah) Idah dari pertama da seterusya dapat ditulis sebagai berikut. Bula Ke- Bula Ke- Bula Ke-3 Bula Ke-... 0.000 0.500.000.500... Jika kalia amati, selisih suku barisa ke suku berikutya selalu tetap, yaitu 500. Barisa seperti ii diamaka barisa aritmetika. Jadi, dapat disimpulka sebagai berikut. Barisa aritmetika adalah suatu barisa bilaga yag selisih setiap dua suku berturuta selalu merupaka bilaga tetap (kosta). Bilaga yag tetap tersebut disebut beda da dilambagka dega b. Perhatika juga barisa-barisa bilaga berikut ii. a.,, 7, 0, 3,... b., 8,, 0,... c. 30, 5, 0, 5,...
60 Khaz Matematika SMA 3 IPS Barisa-barisa tersebut merupaka cotoh dari barisa aritmetika. Mari kita tijau satu per satu. a.,, 7, 0, 3,... +3 +3 +3 +3 Pada barisa ii, suku berikutya diperoleh dari suku sebelumya ditambah 3. Dapat dikataka bahwa beda sukuya 3 atau b = 3. b., 8,, 0,... +6 +6 +6 Pada barisa ii, suku berikutya diperoleh dari suku sebelumya ditambah 6. Dapat dikataka bahwa beda sukuya 6 atau b = 6. c. 30, 5, 0, 5,... 5 5 5 Pada barisa ii, suku berikutya diperoleh dari suku sebelumya ditambah 5. Dapat dikataka bahwa beda sukuya 5 atau b = 5. Secara umum dapat dikataka sebagai berikut. Jika U adalah suku ke- dari suatu barisa aritmetika maka berlaku b = U U. Rumus umum suku ke- barisa aritmetika dega suku pertama (U ) dilambagka dega a da beda dega b dapat ditetuka seperti berikut. U = a U = U + b = a + b U 3 = U + b = (a + b) + b = a + b U = U 3 + b = (a + b) + b = a + 3b U 5 = U + b = (a + 3b) + b = a + b M U = U + b = a + ( )b Jadi, rumus suku ke- dari barisa aritmetika adalah U = a + ( )b Keteraga: U a b = suku ke- = suku pertama =beda = bayak suku
Barisa da Deret 6 Cotoh : Tetuka suku ke-8 da ke-0 dari barisa 3,, 7,,... 3,, 7,, Suku pertama adalah a = 3 da bedaya b = ( 3) = 5. Dega meyubstitusika a da b, diperoleh U = 3 + ( )5. Suku ke-8 : U 8 = 3 + (8 )5 = 3. Suku ke-0 : U 0 = 3 + (0 )5 = 9. Cotoh : Diketahui barisa aritmetika,,, 7,..., 0. Tetuka bayak suku barisa tersebut. Diketahui barisa aritmetika,,, 7,..., 0. Dari barisa tersebut, diperoleh a =, b = ( ) = 3, da U = 0. Rumus suku ke- adalah U = a + ( )b sehigga 0 = + ( )3 0 = 3 5 3 = 5 Karea 3 = 5, diperoleh = 5. Jadi, bayakya suku dari barisa di atas adalah 5. Problem Solvig Suku ke-0 da suku ke- dari barisa aritmetika berturutturut adalah 7 da 5. Tetuka suku pertama, beda, da suku ke-0 barisa tersebut. Diketahui U 0 = 7 da U = 5. Dari rumus suku ke- barisa aritmetika U = a + ( )b, diperoleh persamaa, yaitu U 0 = 7 sehigga diperoleh a + 9b = 7... () U = 5 sehigga diperoleh a + 3b = 5... () Utuk meetuka ilai a da b, kita guaka metode campura atara elimiasi da substitusi. Dari persamaa () da (), diperoleh a + 9b = 7 a + 3b = 5 b = 6 b = Dega meyubstitusika b = ke persamaa (), diperoleh a + 9() = 7 a = Dega demikia, diperoleh suku ke- adalah U = + ( ). Jadi, suku ke-0 adalah U 0 = + (0 ) = 7.
6 Khaz Matematika SMA 3 IPS Soal Kompetesi Kerjaka di buku tugas. Pada barisa bilaga berikut, maa yag merupaka barisa aritmetika? Berika alasa. a.,, 6, 8, 0,... b. 5, 0, 5, 0,... c., 3,, 8,... d. 7, 5 6, 6,,... e., +, +, 3+,... f. a, ab, ab, ab 3,... g. a, a + k 3, a + k 3, a + 3k,... h.,0,, 3 3 3,.... Carilah suku-suku yag dimita pada barisa berikut ii. a. Suku ke- dari barisa, 3, 8,... b. Suku ke-9 dari barisa 0, 7,,,... c. Suku ke- dari barisa,, 5 5 5,,... d. Suku ke- dari barisa 6, 5,,... 3. Tetuka usur-usur yag ditayaka pada barisa aritmetika berikut. a. a = 8, b = 5; U 0 =... b. a = 3, U 5 = 3; b =... c. b =5, U = 95; a =... d. a =, b =, U = 3 6 ; =... e. U 0 = 3, U 7 = 6; a =... f. U 5 = 3, U = 8, a =...; b =... g. U =, U 8 U 3 = 5, a =...; b =... h. 3x +, 5x 3, 6x,...; x =... i. x + 6, x + 7, x + 0,...; x =.... Sisipka beberapa bilaga agar membetuk barisa aritmetika. a. Empat bilaga di atara 0 da 5 b. Eam bilaga di atara 6 da 9 c. Tiga bilaga di atara 67 da 7 d. Lima bilaga di atara da 6
Barisa da Deret 63 5. Misalka a, a, da a 3 merupaka barisa aritmetika. Buktika bahwa a = a + a 3. 6. Diketahui U = suku ke- barisa aritmetika sehigga U = U b. Nyataka U,..., U 3, U, U, dalam U, b, da. 7. Pada suatu barisa aritmetika diketahui suku ke-5 adalah 35 da suku ke-9 adalah 3. Tetuka suku ke-35 da suku ke-00. 8. Peomora kursi palig piggir di sebuah gedug bioskop membetuk barisa aritmetika. Jika baris ke- beromor 37 da baris ke-0 beromor 09, terletak di baris ke berapakah omor 33? 9. Jika suku kelima dari barisa aritmetika adalah 3 da suku kedua belas barisa aritmetika adalah 5 3. Tetuka suku pertama, beda, da suku kedua puluh satu barisa itu. 0. Diketahui suatu sistem persamaa liear berikut. x+ y= 9 x y= 8 Misalka x 0 da y 0 merupaka peyelesaia dari persamaa liear tersebut. Nilai x 0 merupaka suku kedua dari barisa tersebut da y 0 merupaka suku kelima barisa tersebut. Tetuka suku ke-7 da ke-5 dari barisa itu. Jedela Iformasi Iformasi lebih lajut Pola Kuadrat dari Bilaga 9 Apakah hasil kuadrat bilaga yag disusu dari agka 9 memiliki pola tertetu? Betul sekali. Hasil kuadratya haya tersusu dari agka 9, 8,, da 0. Jika bilaga terdiri atas digit agka 9 ( bilaga bulat kurag dari 0) maka kuadrat bilaga tersebut adalah bilaga yag tersusu dari agka 9 sebayak, diikuti agka 8, kemudia agka 0 sebayak, da diakhiri agka. Perhatika pola berikut. 9 = 8 99 = 980 999 = 99800 9999 = 9998000 99999 = 999980000 999999 = 99999800000 Setelah memerhatika pola di atas, coba kalia tetuka hasil dari a. 9999999 b. 99999999 c. 999999999
6 Khaz Matematika SMA 3 IPS. Deret Aritmetika Dari sembarag barisa aritmetika, misalya, 5, 8,,,... dapat dibetuk suatu deret yag merupaka pejumlaha berurut dari suku-suku barisa tersebut, yaitu + 5 + 8 + +... Terlihat bahwa barisa aritmetika dapat dibetuk mejadi deret aritmetika dega cara mejumlahka suku-suku barisa aritmetika sehigga dapat didefiisika secara umum. Misalka U, U, U 3,..., U merupaka suku-suku dari suatu barisa aritmetika. U + U + U 3 +... + U disebut deret aritmetika, dega U = a + ( )b. Seperti telah kalia ketahui, deret aritmetika adalah jumlah suku pertama barisa aritmetika. Jumlah suku pertama dari suatu barisa bilaga diotasika S. Dega demikia, S = U + U + U 3 +... + U. Utuk memahami lagkah-lagkah meetuka rumus S, perhatika cotoh berikut. Cotoh : Diketahui suatu barisa aritmetika, 5, 8,,. Tetuka jumlah kelima suku barisa tersebut. Jumlah kelima suku, 5, 8,, dapat dituliska sebagai berikut. S 5 = + 5 + 8 + + S 5 = + + 8 + 5 + + S 5 = 6 + 6 + 6 + 6 + 6 S 5 = 5 6 5 6 S 5 = S 5 = 0 Jadi, jumlah kelima suku barisa tersebut adalah 0. Setelah kalia amati cotoh di atas, kita dapat meetuka rumus umum utuk S sebagai berikut. Diketahui rumus umum suku ke- dari barisa aritmetika adalah U = a + ( )b. Oleh karea itu, U = a = a U = a + b = U (a )b U 3 = a + b = U ( 3)b M M M U = a + ( )b = U
Barisa da Deret 65 Dega demikia, diperoleh S = a + (a + b) + (a + b) +... + (a + ( )b) = a + (U ( ) b) + (U ( 3) b) +... + U... () Dapat pula diyataka bahwa besar setiap suku adalah b kurag dari suku berikutya. U = U b U = U b = U b U 3 = U b = U 3b Demikia seterusya sehigga S dapat dituliska S = a + (U ( )b) + + (U b) + (U b) + U... () Dari persamaa da jika kita jumlahka, diperoleh S = a + (U ( )b) + (U ( 3)b) +... + U S = U + (U b) + (U b) +... + a S = (a + U ) + (a + U ) + (a + U ) +... + (a + U ) + Kuis Kerjaka di buku tugas Sebuah deret aritmetika mempuyai suku ketiga da jumlah dua puluh suku yag pertama 30. Jumlah sepuluh suku pertama deret itu adalah... a. 0 d. 5 b. 35 e. 0 c. 30 (UMPTN 999) suku Dega demikia, S = (a + U ) S = (a + U ) S = (a + (a + ( )b)) S = (a + ( )b) Jadi, rumus umum jumlah suku pertama deret aritmetika adalah S = (a + U ) atau S = [a + ( )b] Keteraga: S = jumlah suku pertama a = suku pertama b =beda U = suku ke- = bayak suku Cotoh : Carilah jumlah 00 suku pertama dari deret + + 6 + 8 +... Diketahui bahwa a =, b = =, da = 00. S 00 = 00 {() + (00 )} = 50 { + 98} = 50 (0) = 0.00 Jadi, jumlah 00 suku pertama dari deret tersebut adalah 0.00.
66 Khaz Matematika SMA 3 IPS Cotoh 3: Hituglah jumlah semua bilaga asli kelipata 3 yag kurag dari 00. Bilaga asli kelipata 3 yag kurag dari 00 adalah 3, 6, 9,,..., 99 sehigga diperoleh a = 3, b = 3, da U = 99. Terlebih dahulu kita cari sebagai berikut. U = a + ( )b 99 = 3 + ( )3 3 = 99 = 33 Jumlah dari deret tersebut adalah S = (a + U ) S 33 = 33(3 + 99) =.683 Jadi, jumlah bilaga asli kelipata 3 yag kurag dari 00 adalah.683. Problem Solvig Dari suatu deret aritmetika diketahui suku pertamaya, bedaya, da jumlah suku pertamaya adalah 00. Tetuka bayakya suku dari deret tersebut. Diketahui a =, b =, da S = 00. Dari rumus umum jumlah suku pertama, diperoleh S = (a + ( )b) Tugas: Eksplorasi Kerjaka di buku tugas Misalka jumlah suku pertama dari deret aritmatika adalah S. Berapakah ilai S + 3 3S + + 3S + S? 00 = [() + ( )] 00 = ( + ) 00 = ( + 8) + 8 00 = 0 Jika setiap suku dibagi, persamaa tersebut mejadi + 9 00 = 0 ( 8)( + 5) = 0 5 = 8 atau = (diambil positif karea bilaga asli) Jadi, bayak suku deret tersebut adalah 8.
Barisa da Deret 67 Tugas: Eksplorasi Kerjaka di buku tugas Tujukka bahwa U = S S Petujuk: S = U + U + U 3 +... + U +U da S = U + U +U 3 +... + U Meetuka Suku ke- jika Rumus Jumlah Suku Pertama Diberika Misalka diberika suku ke- barisa aritmetika S. Rumus suku ke- dapat ditetuka dega U = S S Selai dega megguaka rumus itu, ada cara lai yag sagat efektif. Misalka jumlah suku pertama deret aritmetika adalah S = p + q. Suku ke- dapat ditetuka dega dega beda p. U = p + (q p) Cotoh: Jumlah suku pertama dari deret aritmetika adalah S =. Tetuka suku ke- deret tersebut da bedaya. Tetuka pula U 9. S = p =, q = U = p + (q p) = + ( ) = 6 Beda = p = () = Suku ke-0 dapat ditetuka dega U 9 = S 9 S 8 S 9 = (9 ) (9) = 6 S 8 = (8 ) (8) = 96 Jadi, U 9 = 6 96 = 30. Soal Kompetesi 3 Kerjaka di buku tugas. Hituglah jumlah deret aritmetika berikut ii. a. + + 7 + 0 +... (0 suku) b. 96 + 93 + 90 +... (5 suku) c. 0 6 8... (30 suku) d. + 3,5 + 6 + 8,5 +... ( suku). Tetuka usur-usur yag dimita. a. a = 5, U 5 =, S 0 =... b. b =, S 0 = 500, a =... c. a = 5, b = 3, S =, =... d. a = 3, U = 87, U 6 + U 7 = 39, S =...
68 Khaz Matematika SMA 3 IPS Tataga Eksplorasi Kerjaka di buku tugas Seorag salesma berkelilig meawarka produkya dega megguaka sepeda motor. Misalka pada miggu pertama ia melakuka perjalaa sejauh.50 km da setiap miggu berikutya jarakya berkurag 75 km. Berapa uag yag harus ia keluarka utuk megisi besi sampai dega akhir bula ke-3 jika harga besi per literya Rp.500,00 da tiap literya dapat meempuh jarak 30 km? 3. Tetuka ilai m jika a. 5 + 8 + +... + m = 0; b. 50 + 6 + +... + m = 330.. Tetuka beda da suku yag dimita utuk deret berikut. a. S = 3 9; U 8 b. S = ( ) ; U c. S = + ; U 00 5. Tetuka jumlah semua bilaga berikut. a. Bilaga asli gajil kurag dari 00. b. Bilaga asli kurag dari 500 yag habis dibagi 5. c. Bilaga kelipata atara 5 da 00. d. Bilaga asli kurag dari 300 yag tidak habis dibagi 6. e. Bilaga kelipata 3 atara 5 da 00. 6. Seorag pemilik kebu memetik jeruk setiap hari, kemudia mecatat bayak jeruk yag dipetik. Teryata, pada hari pertama ia memperoleh hasil 75 buah. Hari kedua ia memperoleh 5 buah. Tetuka jumlah jeruk yag ia petik selama 0 hari pertama jika jumlah jeruk yag dipetik megikuti pola barisa aritmetika. 7. Di sebuah pabrik getig, seorag pekerja mampu meghasilka 5 lusi getig dalam waktu hari. Jika tiap hari ia diharuska dapat meambah produksiya sebayak lusi, dalam berapa harikah ia dapat meghasilka.60 buah getig? 8. Baga di sampig adalah baga suatu auditorium. Baris pertama memuat 0 kursi, baris kedua 5 kursi, barisa ketiga memuat 30 kursi, da seterusya. Berapa jumlah kursi yag ada jika dalam auditorium itu terdapat baris? Gambar. 9. Dia da Ferdi mulai meabug di bak pada saat yag sama. Pada awal meabug Dia meabug Rp80.000,00 da tiap bula meabug Rp.500,00 lebih bayak dari uag yag ditabugka bula berikutya. Ferdi pada awalya meabug Rp00.000,00 da bula berikutya meabug Rp.000,00 lebih bayak dari bula sebelumya. Tetuka pada bula keberapakah jumlah tabuga mereka tepat sama. 0. Seorag pedagag memijam modal x rupiah di Bak Wagsa dega buga tuggal % sebula. Setelah satu tahu, ia megembalika pijama da buga semuaya Rp30.000,00. Tetuka berapa rupiah modal yag dipijam oleh pedagag tersebut.
Barisa da Deret 69 Jedela Iformasi Iformasi lebih lajut Pythagoras Sumber: segue.middlebury.edu Teorema yag Megharuka Apakah kamu tahu teorema yag dikemukaka Pierre de Fermat (60 665)? Teorema ii dikembagka dari teorema Pythagoras yag sagat masyur itu. Meurut teorema Pythagoras, ada bayak pasaga bilaga a, b, da c yag memeuhi c = a + b, seperti 5, 3, da (beserta kelipataya); 3,, da 5 (beserta kelipataya); 5,, da 7 (beserta kelipataya); da seterusya. Pierre de Fermat megklaim, tidak ada bilaga bulat a, b, da c yag memeuhi c = a + b, utuk >. Namu, pembuktiaya saat itu masih dipertayaka. Bayak ilmuwa yag peasara dega teorema yag dilotarka Fermat. Paul Wolfskehl, profesor matematik asal Jerma, awal tahu 900- a berusaha membuktika teorema tersebut, amu gagal. Rasa frustrasi meyelimutiya, ditambah kekecewaa pada kekasihya membuat ia beriat buuh diri. Ketika waktu utuk buuh diri sudah dekat, ia masih peasara da mecoba lagi membuktika Teorema Fermat membuat dia lupa utuk buuh diri. Sampai akhir hayatya, teorema ii belum juga terbuktika. Wolfskehl berwasiat, ia meyediaka uag 00.000 mark bagi orag pertama yag mampu membuktika teorema itu. Tahu 995, Dr. Adrew Wiles, matematikawa dari Uiversitas Priceto, Iggris, berhasil membuktika teorema Fermat dega gemilag. Ia akhirya medapat hadiah 00.000 dolar dari Yayasa Raja Faisal di Arab Saudi pada tahu 997. Sumber: www.mate-mati-kaku.com C. Barisa da Deret Geometri. Barisa Geometri Coba kalia amati barisa,,, 8, 6, 3,... Terlihat, suku berikutya diperoleh dega megalika pada suku sebelumya. Barisa ii termasuk barisa geometri. Jadi, secara umum, barisa geometri adalah suatu barisa bilaga yag setiap sukuya diperoleh dari suku sebelumya dikalika dega suatu bilaga tetap (kosta). Bilaga yag tetap tersebut diamaka rasio (pembadig) da diotasika dega r. Perhatika cotoh barisa-barisa berikut. a. 3, 6,,,... b.,,,... c.,, 8, 6,...
70 Khaz Matematika SMA 3 IPS Kuis Kerjaka di buku tugas Tiga bilaga merupaka barisa geometri dega rasio lebih besar dari satu. Jika bilaga ketiga dikuragi 3 maka aka terbetuk barisa aritmetika dega jumlah 5. Selisih suku ketiga dega suku pertama barisa aritmetika tersebut adalah... a. 8 d. b. 0 e. 6 c. Kompetisi Matematika DKI, 000 Barisa di atas merupaka cotoh barisa geometri. Utuk barisa di atas berturut-turut dapat dihitug rasioya sebagai berikut. a. b. 6 3 = 6 = = = =... =. Jadi, r =. =. Jadi, r =. 8 c. = =. Jadi, r =. Dega demikia, dapat disimpulka jika U, U,...U barisa geometri dega U adalah rumus ke-, berlaku r = U U Rumus umum suku ke- barisa geometri dega suku pertama (U ) diyataka a da rasio r, dapat dituruka sebagai berikut. U = a U = U r = ar U 3 = U r = ar U = U 3 r = ar 3 M M U = U r = ar r = ar Dega demikia, diperoleh barisa geometri a, ar, ar,..., ar,... Jadi, rumus umum suku ke- (U ) barisa geometri adalah U = ar Keteraga: a = suku pertama r = rasio = bayak suku Cotoh: Carilah suku pertama, rasio, da suku ke-7 dari barisa geometri berikut. a., 6, 8, 5,... b. 9, 3,, 3,... a., 6, 8, 5,... Dari barisa geometri di atas, diperoleh ) suku pertama: a = ; U ) rasio: r = U = = 3 6
Barisa da Deret 7 Karea rumus suku ke- barisa geometri adalah U = ar maka U 7 = (3 7 ) = 79 =.58 b. 9, 3,,,... 3 Dari barisa ii, diperoleh ) suku pertama: a = 9; ) rasio: r = U 3 U = 9 = 3 ; 3) suku ke-7: U 7 = 9 ( 3 )7 = 9( 3 )6 = 9 =. ( 3) 6 8 Kuis Kerjaka di buku tugas Problem Solvig Jika k + 3, 5k 9, k + 9 membetuk barisa geometri maka jumlah semua ilai k yag memeuhi adalah... a. b. c. 66 66 5 66 7 d. e. 66 0 66 (UMPTN 00) Tiga bilaga membetuk barisa geometri. Jumlah ketiga bilaga itu da hasil kaliya 6. Tetuka ketiga bilaga itu. Pemisala yag mudah utuk barisa geometri adalah a, a, r da ar. Jumlah ketiga bilaga itu adalah maka r a + a + ar =. Hasil kali ketiga bilaga adalah 6 maka r a a ar = 6 a 3 = 6 Karea a 3 = 6, diperoleh a = 6. Kemudia, substitusika ilai a = 6 ke persamaa a + a+ ar = sehigga diperoleh r hasil sebagai berikut. 6 + 6 + 6r =... (kedua ruas dikalika dega r) r 6 + 6r + 6r = r 6 5r + 6r = 0... (kedua ruas dibagi 3) r 5r + = 0 (r )(r ) = 0
7 Khaz Matematika SMA 3 IPS Tugas: Ivestigasi Kerjaka di buku tugas Adakah cara lai utuk megerjaka cara ii? Bagaimaa jika kalia megguaka pemisala a, ar, da ar utuk ketiga bilaga itu? Coba kerjaka. Apa kesimpula kalia? r = 0 atau r = 0 r = atau r = Dari persamaa di atas, diperoleh r = da r =. Utuk r = da a = 6, ketiga bilaga tersebut, 6, da 3. Utuk r = da a = 6, ketiga bilaga tersebut 3, 6, da. Jedela Iformasi Iformasi lebih lajut Pola Bilaga yag Idah Perhatika pola bilaga berikut. 8 + = 9 8 + = 98 3 8 + 3 = 987 3 8 + = 9876 35 8 + 5 = 98765 356 8 + 6 = 98765 Badigka dega pola bilaga berikut. 0 9 + = 9 + = 9 + 3 = 3 9 + = 3 9 + 5 = 35 9 + 6 = 356 9 + 7 = Dari kedua pola bilaga di atas, dapatkah kalia meemuka betuk umumya? Dega memerhatika betuk umum kedua pola bilaga di atas, tetu kalia dapat dega mudah meetuka hasil dari pertayaa berikut. a. 3567 8 + 7 =... b. 35678 8 + 8 =... c. 356789 8 + 9 =... d. 3567 9 + 8 =... e. 35678 9 + 9 =... Coba kalia kerjaka.
Barisa da Deret 73 Soal Kompetesi Kerjaka di buku tugas. Tetuka suku-suku sesuai yag dimita. a. Suku ke-8 dari barisa 7,, 63, 89,... b. Suku ke-6 dari barisa 5, 8, 6,... c. Suku ke-7 dari barisa 3 3 6 3 3 8 d. Suku ke-0 dari barisa, 3, 3, 3 3,.... Tetuka usur yag dimita pada barisa geometri berikut. U U U3 U Gambar. a. a = 3, U = 9 ; r =... b. U 3 = 8, U = 3; a =... c. U = 50, U = 6.50; a =... d. U =, U 5 = 3; r =... e. k, k 6, k + 3,...; k =... 3. Sisipka beberapa bilaga agar membetuk barisa geometri. a. Tiga bilaga atara da 3 b. Lima bilaga atara da 5.65 c. Empat bilaga atara 3 da 0 3 Petujuk: Meyisipka p bilaga di atara bilaga m da agar membetuk barisa geometri berarti suku pertama m da suku ke-(p + ) adalah.. Tiga bilaga membetuk barisa geometri. Jika hasil kali ketiga bilaga itu adalah 5 da jumlahya 8. Tetuka ketiga bilaga itu. 5. Misalka bakteri membelah mejadi bagia tiap 0 meit. Jika pada pukul 5.00 ada 00 bakteri, tetuka bayak bakteri pada pukul 0.00 pada hari yag sama. 6. Selembar kertas yag tebalya 0,0 cm dilipat sehigga sebagia terletak di atas yag lai. a. Berapa tebal lipata itu jika melipatya dilakuka higga 0 kali? b. Berapa kali palig sedikit harus melakuka lipata agar tebal lipata kertas tidak kurag dari 5 cm? 7. Perhatika Gambar.. Jari-jari ligkara pertama adalah cm da U, U, U 3,... merupaka barisa geometri. Jika luas ligkara kedua 6 cm, tetuka jari-jari ligkara keempat.
7 Khaz Matematika SMA 3 IPS 8. Dari suatu barisa geometri diketahui hasil kali suku kedua dega suku kesembila adalah 8 da hasil kali suku keempat dega suku kesepuluh adalah 9. Tetuka suku keeam barisa tersebut. 9. Pada barisa geometri, diketahui: U + U + U 3 = 0 U + U 3 + U 5 = 6 U 3 + U + U 5 = 8 Tetuka U, U 3, da U 6. 0. Tiga bilaga membetuk barisa geometri. Jumlah ketiga bilaga adalah 3. Jika bilaga ke- ditambah maka barisa itu aka mejadi barisa aritmetika. Tetuka hasil kali ketiga bilaga semula.. Deret Geometri Kuis Kerjaka di buku tugas Ada barisa bilaga, x, y, z diketahui tiga suku pertama membetuk barisa geometri da tiga suku terakhir membetuk barisa aritmetika. Nilai x + y =... a. atau b. atau c. 0 atau 5 d. atau 7 e. atau 0 Olimpiade 00 Jika U, U, U 3,... U merupaka barisa geometri maka U + U + U 3 +... + U adalah deret geometri dega U = ar. Rumus umum utuk meetuka jumlah suku pertama dari deret geometri dapat dituruka sebagai berikut. Misalka S otasi dari jumlah suku pertama. S = U + U +... + U S = a + ar +... + ar + ar... () Jika kedua ruas dikalika r, diperoleh rs = ar + ar + ar 3 +... + ar + ar... () Dari selisih persamaa () da (), diperoleh rs = ar + ar + ar 3 +... + ar + ar S = a + ar + ar + ar 3 +... + ar rs S = a + ar (r )S = a(r ) a( r ) S = r Jadi, rumus umum jumlah suku pertama dari deret geometri adalah sebagai berikut.
Barisa da Deret 75 S = a( r ), utuk r > r S = a( r ) r, utuk r < Keteraga: S = jumlah suku pertama a = suku pertama r = rasio = bayak suku Apa yag terjadi jika r berilai? Cotoh : Tetuka jumlah dari deret geometri berikut. a. + + 8 + 6 +... (8 suku) b. + 6 + 3 +,5 +... (6 suku) a. + + 8 + 6 +... Dari deret tersebut, diperoleh a = da r = = (r > ). Jumlah deret sampai 8 suku pertama, berarti = 8. a( r ) ( S = 8 ) S r 8 = = (56 ) = 50 Jadi, jumlah 8 suku pertama dari deret tersebut adalah 50. b. + 6 + 3 +,5 +... 6 Dari deret itu, diperoleh a = da r = = (r < ). Jumlah deret sampai 6 suku pertama, berarti = 6. a( r ) S = r S 6 = ( 6 ( ) ) = ( 6 ) = 3 5 8
76 Khaz Matematika SMA 3 IPS Kuis Cotoh : Kerjaka di buku tugas Suku ke-5 dari barisa geometri k, 3k, 8k +,... adalah... a. 8 d. 68 b. 6 e..96 c. 3 Kompetisi Matematika DKI, 000 Diketahui deret 3 + 3 + 3 3 +... + 3 = 363. Tetuka a. suku pertama; c. bayak suku. b. rasio; Deret 3 + 3 + 3 3 +... + 3 = 363 a. Suku pertama: a = 3 b. U 3 Rasio: r = = U 3 = 3 c. Utuk S = 363 Karea r = 3 >, kita guaka rumus a( r ) S = r 3(3 ) 363 = 3 76 = 3 + 3 3 + = 79 3 + = 3 6 Dega demikia, diperoleh + = 6 atau = 5. Jadi, bayak suku dari deret tersebut adalah 5. Cotoh 3: Carilah terkecil sehigga S >.000 pada deret geometri + + 6 + 6 +... Dari deret tersebut, diketahui a = da r = (r > ) sehigga jumlah suku pertamaya dapat ditetuka sebagai berikut. S = ar ( ) ( ) = = r 3 Nilai yag megakibatka S >.000 adalah >.000 > 3.00 3 Jika kedua ruas dilogaritmaka, diperoleh log > log 3.00 log > log 3.00 > log log 3.00 > 5,78 (Guaka kalkulator utuk meetuka ilai logaritma) Jadi, ilai terkecil agar S >.000 adalah 6.
Barisa da Deret 77 Problem Solvig Tetuka rumus jumlah dari deret + + +. +... Jika kalia perhatika sekilas, deret ii buka merupaka deret aritmetika maupu geometri. Namu, coba perhatika pejabara berikut. + + +. +... = 9( + + +. +...) 9 = (9 + 99 + 999 + 9.999 +...) 9 = (0 ) + (00 ) + (.000 ) + (0.000 ) +... ) 9 = 9 (( 0 + 00 +. 000 +...) 3 ( + + + 3...)) deret geometri = 0 ( 0 ) 9 ( ) 0 = 0 + 0 9 9 = 0 + 9 0 9 9 deret kosta Soal Kompetesi 5 Kuis Kerjaka di buku tugas Diketahui bilaga a +, a, a + 3 membetuk barisa geometri. Agar ketiga suku ii membetuk barisa aritmetika maka suku ketiga harus ditambah dega... a. 8 b. 6 c. 5 d. 6 e. 8 Kompetisi Matematika DKI, 000 Kerjaka di buku tugas. Tetuka jumlah deret geometri di bawah ii. a. + 6 + 8 + 5 +...; S 0 b. 3 + 9 7 + 8...; S 5 c. 8 6. Tetuka usur yag dimita pada deret geometri berikut. a. a =, r = 5; S 5 =... b. r =, S = 55; a =... c. r = 3, = 5, S =.80; a =... d. a = 9, r =, S = 567; =... e. a =, S = 0; r =... f. U = k, r = ; S =...
78 Khaz Matematika SMA 3 IPS 3. Tetuka ilai. a. + + 3 +... + = 50 b. a = 3 da r = sehigga S > 0 8 c. 8( ) k = k 7 6 Kuis Kerjaka di buku tugas Besar suku ke-p dari suatu deret geometri adalah p, sedagka suku ke-p adalah p. Jumlah p suku pertama deret itu adalah... p a. p b. p p c. p d. + e. Kompetisi Matematika DKI, 000 d. 3 = 0(3 + 3) k = k. Suatu tali dibagi mejadi 5 bagia dega pajag bagiabagiaya membetuk barisa geometri. Jika yag terpedek cm da terpajag 3 cm, tetuka pajag tali semula. 5. Sebuah bola dijatuhka dari ketiggia 8 meter. Setiap megeai latai, bola mematul kembali secara vertikal setiggi 3 dari ketiggia sebelumya. Berapa pajag litasa bola itu sampai megeai latai yag keeam kaliya? 6. Jumlah peduduk di suatu daerah 00.000 jiwa. Setiap tahuya pertambaha peduduk mecapai 5%. Tetuka jumlah peduduk 5 tahu ke depa (dega asumsi selama lima tahu itu tidak terjadi kematia maupu perpidaha peduduk). 7. Seorag pedagag membuka rekeig tabuga di sebuah bak. Pada awal meabug, ia meabug sebesar Rp00.000,00. Teryata usahaya sukses sehigga tiap bula ia dapat meabug kali dari tabuga bula sebelumya. Berapakah jumlah tabugaya setelah tahu? 8. Kereta api bergerak dega kecepata awal 0 km/jam. Tiap jam kecepataya bertambah aik, kali lipat dari kecepata sebelumya. Tetuka: a. kecepata kereta api setelah 5 jam berjala; b. jarak seluruhya yag ditempuh kereta api selama 5 jam perjalaa. 9. Akar persamaa kuadrat x 0x + (7k ) = 0 merupaka suku pertama da suku ke- suatu deret geometri yag rasioya lebih besar. Jika kedua akar berbadig da 3, tetuka a. suku ke-3; b. suku ke-5; c. jumlah kelima suku pertama.
Barisa da Deret 79 3. Deret Geometri Tak Berhigga 0. Pada suatu deret geometri ditetuka jumlah suku pertama da suku kedua adalah, U + U = 08, da jumlah suku pertama adalah. Tetuka rasio deret geometri tersebut. Deret geometri yag tidak dapat dihitug bayak seluruh sukuya disebut deret geometri tak berhigga. Perhatika deret geometri berikut. a. + + + 8 +... c. + + +... b. 5 0 + 0 0 +... d. 9 3 + 3 +... Deret-deret di atas merupaka cotoh deret geometri tak berhigga. Dari cotoh a da b, rasioya berturut-turut adalah da. Jika deret tersebut diteruska maka ilaiya aka maki besar da tidak terbatas. Deret yag demikia disebut deret diverge, dega r >. Sebalikya, dari cotoh c da d, rasio masigmasig deret da. Dari cotoh c da d, dapat kita hitug 3 pedekata jumlahya. Deret tersebut diamaka deret koverge dega r <. Pada deret koverge, jumlah suku-sukuya tidak aka melebihi suatu harga tertetu, tetapi aka medekati harga tertetu. Harga tertetu ii disebut jumlah tak berhigga suku yag diotasika dega S. Nilai S merupaka ilai pedekata (limit) jumlah seluruh suku (S ) dega medekati tak berhigga. Oleh karea itu, rumus deret tak berhigga dapat dituruka dari deret geometri dega suku pertama a, rasio r, da. S = lim S = lim a ( r ). r Karea deret koverge ( r < ), utuk maka r 0 sehigga S = lim ( ) a r a ar a a = lim = 0. r r r = r Jadi, rumus jumlah deret geometri tak berhigga adalah S = a r, dega r <
80 Khaz Matematika SMA 3 IPS Tataga Eksplorasi Cotoh : Kerjaka di buku tugas Sebuah bola teis dijatuhka dari ketiggia 75 m da mematul kembali dega ketiggia kali ketiggia semula. Pematula 5 terjadi terus-meerus sampai bola berheti. Tetuka pajag seluruh litasa bola sampai berheti Kompetisi Matematika DKI, 000 Tetuka jumlah tak berhigga suku dari deret berikut. a. + + + 8 +... b. + + + +... a. + + + 8 +... Dari deret tersebut diketahui a = da r = sehigga S = b. a r + + + +... = = = Perhatika deret + + + + 6 +... Dari deret tersebut, diperoleh a = da r =. S = a = r = Jadi, + + + +... = = 6. Cotoh : Suku pertama suatu deret geometri adalah da jumlah sampai tak berhigga adalah. Carilah rasioya. Dari soal di atas, usur-usur yag diketahui adalah a = da S =. Kita substitusika ke dalam rumus S. S = a r = r r = r = Jadi, rasioya adalah.
Barisa da Deret 8 Cotoh 3: Sebuah bola jatuh dari ketiggia 0 m da mematul kembali dega ketiggia 3 kali tiggi sebelumya. Pematula berlagsug terus-meerus sehigga bola berheti. Tetuka jumlah seluruh litasa bola. (UMPTN 995) U 0 = 0 m; r = 3 U = 3 0 m = 30 m Tataga Pealara Kerjaka di buku tugas Sebuah bola dijatuhka ke latai dari tempat yag tiggiya meter. Setiap kali setelah bola itu mematul, bola itu mecapai ketiggia seperlima dari tiggi sebelumya. Tetuka pajag litasa bola sampai berheti. S = 0 + S U = 0 + r 30 = 0 + 3 = 0 + 3 = 70 m Dega cara lai: Misalya suatu beda dijatuhka dari ketiggia H 0 secara vertikal da mematul ke atas dega tiggi patula a b kali dari ketiggia semula maka pajag litasa patula (H) higga berheti dirumuska dega: H = b+ a b a H 0 (Coba kalia buktika rumus tersebut.) Dega megguaka cara ii, diketahui a = 3, b =, da H 0 = 0 m. b+ a Jadi, H = b a H 0 3 = + 3 0 = 7 0 = 70 m
8 Khaz Matematika SMA 3 IPS Mari Berdiskusi Eksplorasi Diketahui deret geometri tak berhigga berikut. a + ar + ar + ar 3 + ar +... Deret suku-suku gajilya adalah a + ar + ar +... Deret suku-suku geapya adalah ar + ar 3 + ar 5 +... a Tujukka bahwa jumlah suku-suku gajilya adalah r ar jumlah suku-suku geapya adalah r ; Soal Kompetesi 6 Kerjaka di buku tugas. Tetuka batas-batas ilai x agar barisa geometri:, (3 x), (3 x), (3 x) 3,... koverge.. Tetuka jumlah dari deret geometri tak berhigga berikut. a. + + 3 +... b. + + + +... 6 6 c. 7 60 50 d.... + + + +... e. 0 3. Tetuka usur-usur yag ditayaka pada deret geometri di bawah ii. a. S = 8, r = ; a =... b. S = 36, a = 8; r =... 3 c. U = ; S =... d. S =, r =, a =... e. a = 0, r = 3, S =... f. a = 0, r =, S =...
Barisa da Deret 83 A Kuis Kerjaka di buku tugas Segita ABC sama sisi da luasya satua. Di dalam segitiga ABC dibuat segitiga dega titik sudutya berimpit dega pertegaha sisi-sisi segitiga pertama. Selajutya, dibuat segitiga sama sisi dega titik sudut pertegaha sisi-sisi segitiga tersebut. Proses ii dilajutka terus-meerus. Luas segitiga yag ke-6 adalah... satua luas. a. b. c. P K. 096. 0 79 C M Q d. e. L R 6 3 B (Olimpiade 000). Tetuka jumlah suku-suku gajil da jumlah suku-suku geap dari deret berikut. a. + + + +... b. + + + +... 8 3 8 5. Sebuah ayua di sebuah rumah diguaka utuk maia aak. Dega sekali ayu, pajag litasa pertama 0 cm, 7 pajag litasa berikutya dari pajag litasa 0 sebelumya. Berapa pajag litasa seluruhya higga ayua berheti? 6. Seorag aak bermai gasig di halama rumahya. Pada detik pertama, gasig berputar sebayak 6 kali. Detik berikutya, gasig haya berputar 8 5 kali dari bayak putara pada detik sebelumya. Berapa bayak putara sampai gasig berheti berputar? 7. Sebuah bola teis dijatuhka dari ketiggia 0 m da mematul kembali dega ketiggia 3 kali ketiggia 7 semula. Pematula terjadi terus-meerus sampai bola berheti. Tetuka jumlah seluruh litasa bola yag terjadi. 8. Diketahui deret geometri dirumuska dega U = 5. Tetuka jumlah tak berhigga dari deret tersebut. 9. Jumlah semua suku dari deret geometri tak berhigga adalah. Jumlah suku-suku beromor geap adalah. Tetuka suku ke-7 dari suku-suku beromor gajil. 0. Dari suatu deret geometri koverge, diketahui selisih U da U 3 adalah 8 da 3 log U + 3 log U + 3 log U 3 = 3. Tetuka jumlah tak berhigga suku deret geometri tersebut. (Igat kembali materi logaritma di kelas X). Jedela Iformasi Small is beautiful, demikia salah satu sloga yag dipegag bayak matematikawa dalam membuktika teoriteori matematis. Thomas Aquio, pada abad XIII sudah melihat hubuga atara keidaha da matematika. Dia megataka, Idra itu seag dega sesuatu yag proporsiya tepat. Proporsi yag tepat itu dapat diterjemahka dalam keserasia, keteratura, keselarasa, keseimbaga, da keutuha. Keidaha Matematika dalam Deret Iformasi lebih lajut
8 Khaz Matematika SMA 3 IPS Jika kita jeli, alam meyediaka bayak sekali keidaha matematis. Coba kalia perhatika, spiral geometris pada cagkag sarag siput (Nautilus), susua sel segi eam pada sarag tawo madu, susua mahkota buga aster, susua mahkota da biji buga matahari, da masih bayak yag laiya. Susua-susua objek di atas berkaita barisa atau deret matematis. Sumber: Happy with Math, 007 (a) Cagkag siput Sumber: www.digitalguide.com (b) Buga aster Sumber: www.goigativegardetour.org (c) Sarag tawo madu Sumber: www.aomalies.et (d) Buga matahari Sumber: www.exterpassive.com D. Peerapa Kosep Barisa da Deret Cotoh : Kaidah barisa da deret dapat diguaka utuk memudahka peyelesaia perhituga, misalya buga bak, keaika produksi, da laba/rugi suatu usaha. Utuk meyelesaika persoala tersebut, kita harus dapat membedaka apakah persoala tersebut termasuk barisa aritmetika, barisa geometri, deret aritmetika ataupu deret geometri. Kemudia, kita dapat meyelesaika persoala tersebut megguaka rumus-rumus yag berlaku. Ketika awal bekerja, seorag karyawa sebuah perusahaa digaji Rp700.000,00 per bula. Setahu berikutya, gaji per bulaya aka aik sebesar Rp5.000,00. Demikia seterusya utuk tahu-tahu berikutya. Berapa gaji karyawa itu per bula utuk masa kerjaya sampai pada tahu ke-9?
Barisa da Deret 85 Kasus ii adalah aplikasi dari barisa aritmetika. Suku awal a = 700.000 Beda b = 5.000 = 9 Jadi suku ke-9, dapat ditetuka sebagai berikut. U = a + ( )b U 9 = 700.000 + (9 ) 5.000 = 700.000 +.000.000 =.700.000 Jadi, gaji per bula karyawa itu pada tahu ke-9 adalah Rp.700.000,00. Tataga Pealara Cotoh : Kerjaka di buku tugas Setiap tahu, jumlah peduduk suatu kota bertambah mejadi tiga kali lipat dari jumlah peduduk tahu sebelumya. Meurut taksira, jumlah peduduk pada tahu 009 peduduk kota tersebut aka mecapai 3, juta jiwa. Berdasarka iformasi ii, tetuka jumlah peduduk pada tahu 959. Setiap awal bula Nyoma meabug Rp50.000,00 di suatu bak yag memberika buga % per bula. Pada tiap akhir bula, bugaya ditambahka pada tabugaya. Berapakah uag Nyoma di bak itu pada akhir tahu ke- jika ia tidak perah megambil tabugaya sampai akhir tahu ke-? Misalka tabuga awal adalah Rp50.000,00. Pada akhir bula ke- Jumlah uag Nyoma adalah sebagai berikut. Buga yag ia peroleh = 50.000 % = 50.000 0,0 Jumlah uag Nyoma = 50.000 + (50.000 0,0) = 50.000( + 0,0) = 50.000(,0) Pada akhir bula ke- Uag yag sudah dimasukka sejak bula ke- adalah jumlah uag pada akhir bula ke- ditambah buga sehigga diperoleh 50.000(,0) + (50.000(,0) %) = 50.000(,0)( + 0,0) = 50.000(,0) Uag yag dimasukka pada awal bula ke- mejadi 50.000 + (50.000 %) = 50.000( + 0,0) = 50.000(,0) Jadi, jumlah uag Nyoma pada akhir bula ke- adalah 50.000(,0) + 50.000(,0).
86 Khaz Matematika SMA 3 IPS Pada akhir bula ke-3 Uag yag sudah dimasukka sejak bula ke- adalah 50.000(,0) + (50.000(,0) %) = 50.000(,0) ( + 0,0) = 50.000(,0) (,0) = 50.000(,0) 3 Uag yag dimasukka pada awal bula ke- mejadi 50.000(,0) + (50.000(,0) %) = 50.000(,0)( + 0,0) = 50.000(,0)(,0) = 50.000(,0) Uag yag sudah dimasukka pada awal bula ke-3 mejadi 50.000 + (50.000 %) = 50.000( + %) = 50.000(,0) Jadi, jumlah uag Nyoma pada akhir bula ke-3 adalah 50.000(,0) + 50.000(,0) + 50.000(,0) 3 Demikia seterusya, sampai akhir bula ke-. Dari hasil perhituga sampai bula ke-3, dapat disimpulka bahwa jumlah uag tabuga Nyoma adalah 50.000(,0) + 50.000(,0) + 50.000(,0) 3 +... + 50.000(,0) = 50.000{,0 + (,0) + (,0) 3 +... + (,0) } Deret,0 + (,0) +... + (,0) merupaka deret geometri dega a =,0, r =,0, da =.,0((,0) ) S =,0 =,0(0,7) 0,0 =,83 Oleh karea itu, jumlah uag Nyoma setelah tahu adalah 50.000 {,0 + (,0) +... + (,0) } = 50.000,83 = 6.500 Jadi, jumlah uag Nyoma setelah tahu adalah Rp6.500,00. Soal Kompetesi 7 Kerjaka di buku tugas. Suatu perusahaa memproduksi TV sebayak 5.000 uit pada awal tahu pediriaya. Teryata, tiap tahu perusahaa tersebut dapat meambah produksiya sebesar 500 uit. Jika perusahaa tersebut didirika tahu 99, berapa uit TV-kah yag telah diproduksi perusahaa itu sampai akhir tahu 008?
Barisa da Deret 87. Selama tahu berturut-turut jumlah peduduk di Kota A membetuk deret aritmetika. Jumlah peduduk pada tahu ke- adalah 7 juta jiwa. Selisih peduduk pada tahu ke- da ke- adalah 0 juta jiwa. Tetuka berapa jiwakah jumlah peduduk pada akhir tahu ke-3? 3. Seorag buruh pabrik medapat gaji permulaa Rp500.000,00 per bula. Tiap tahu ia medapat keaika gaji Rp50.000,00. Tetuka jumlah pedapataya setelah 0 tahu bekerja di pabrik tersebut.. Populasi seragga di suatu tempat pada taggal 5 Februari 008 adalah 00.000 ekor. Tiap 3 hari sekali bertambah 5% dari jumlah semula. Berapa bayak seragga tersebut pada taggal 6 Maret 009? 5. Tia medapatka hadiah dari orag tuaya setiap ulag tahu berupa tabuga di bak sebesar Rp00.000,00. Jika bak itu memberika buga majemuk sebesar % setiap tahuya, berapakah uag Tia setelah ia berumur 5 tahu? 6. Harga suatu mesi pada saat pembelia adalah 0.000.000,00. Setiap tahu meyusut 5% terhadap ilai awal permulaa tahu. Berapa harga mesi tersebut pada akhir tahu ke-8? 7. Suatu bola dilempar dari ketiggia 00 meter. Setiap meyetuh latai, bola aka mematul kembali dega ketiggia 5 kali dari ketiggia sebelumya. Berapa Gambar.3 Bola pematul jarak yag ditempuh bola sampai bola berheti? 8. Jumlah bagua di sebuah kota tiap sepuluh tahu mejadi dua kali lipat. Meurut perhituga pada tahu 00 ati aka mecapai,8 juta bagua. Tetuka jumlah bagua kota tersebut pada saat perhituga pertama yaitu tahu 950. 9. Pada taggal Jauari 000, Robi meabug di bak Rp00.000,00 dega suku buga % per tahu. Demikia juga pada Jauari tahu-tahu berikutya sampai 0 kali. Tetuka jumlah tabuga Robi pada tahu 00. 0. Wey mempuyai pita rambut yag pajagya 0 m. Utuk merigkas peyimpaaya, ia melipat pita itu mejadi bagia da seterusya sehigga pajag pita yag ia peroleh 5,65 cm. Berapa kali Wey harus melipat pita tersebut?
88 Khaz Matematika SMA 3 IPS E. Notasi Sigma. Pegertia Notasi Sigma Salah satu ciri matematika adalah diguakaya lambag utuk megugkapka suatu peryataa secara sigkat, jelas, da kosiste yag jika diugkapka dega kalimat biasa cukup pajag. Salah satu lambag yag petig adalah (dibaca: sigma). Lambag ii diguaka utuk meuliska pejumlaha secara sigkat. Perhatika pejumlaha bilaga-bilaga di bawah ii. + + 3 + +... + 50 Jika semua suku-sukuya ditulis, cara peulisa pejumlaha tersebut jelas tidak efektif. Apalagi jika bayak bilaga yag dijumlahka maki besar. Dega megguaka otasi sigma, peulisa + + 3 + +... + 50 dipersigkat me-jadi k 50 (dibaca: sigma k mulai dari k = sampai dega k = 50). Atau, boleh dibaca sigma k, utuk k = higga 50. Huruf k diguaka sebagai variabel suku yag aka bergerak mulai da bertambah sampai mecapai 50. Bilaga disebut batas bawah da 50 disebut batas atas pejumlaha. Secara umum, otasi sigma diyataka sebagai berikut. U k = U + U +... + U Keteraga: k U k = batas bawah = batas atas = ideks = suku ke-k Batas bawah tidak harus berilai. Jika batas bawah pejumlaha da batas atasya maka pejumlaha terdiri atas suku, sedagka jika batas bawahya r da batas atasya maka pejumlaha terdiri dari ( r + ) suku. Cotoh : Nyataka dalam betuk pejumlaha 5 k = kk ( + ).
Barisa da Deret 89 5 k ( k + ) = ( + ) + ( + ) + 3(3 + ) + ( + ) + 5(5 + ) = + 3 + 3 + 5 + 5 6 = + 6 + + 0 + 30 Cotoh : Tulislah betuk pejumlaha berikut dalam otasi sigma. a. + + 6 + 8 + 0 b. 3 + + 3 5 c. ab 5 + a b + a 3 b 3 + a b a. + + 6 + 8 + 0 = + + 3 + + 5 = ( + + 3 + + 5) 5 = k 3 b. + + = ( ) + ( ) 3 5 + + + 3 ( )3 3 + + ( ) + = k k ( ). k + c. ab 5 + a b + a 3 b 3 + a b = a b 6 + a b 6 + a 3 b 6 3 + a b 6 = a k b 6 k. Meetuka Nilai Pejumlaha yag Diyataka dega Notasi Sigma Cotoh: Nilai pejumlaha yag diyataka dega otasi sigma dapat dicari, atara lai dega terlebih dahulu meyataka ke dalam betuk legkapya, kemudia dijumlahka. Perhatika cotoh-cotoh berikut ii. Tetuka ilai-ilai otasi sigma berikut. 0 a. p b. p= = 3 6
90 Khaz Matematika SMA 3 IPS 0 a. p = + + 3 + + + 0 p= 6 = 55 b. = (3 ) + ( ) + (5 ) + (6 ) = 3 = 8 + 3 + 50 + 7 = 7 3. Sifat-Sifat Notasi Sigma Utuk mempermudah perhituga yag berhubuga dega otasi sigma, dapat diguaka sifat-sifat yag berlaku pada otasi sigma. Sifat apakah yag berlaku pada otasi sigma? Lakuka Aktivitas berikut. Aktivitas Tujua : Meemuka sifat-sifat yag berlaku pada otasi sigma. Permasalaha : Sifat-sifat apakah yag berlaku pada otasi sigma? Kegiata : Kerjaka soal-soal berikut.. Nyataka otasi sigma berikut dalam betuk pejumlaha biasa. 6 a. U k 6 b. U i i= c. Badigka hasil atara a da b. Apa kesimpulamu?. Tetuka ilai pejumlaha yag diyataka dalam otasi sigma berikut. 7 a. Apakah 5 hasilya sama k = 3 dega (7 3 + ) 5? 5 b. 3k k =
Barisa da Deret 9 c. 3 5 k k = d. Badigka hasil atara c da d. Apa kesimpulamu? Kesimpula : Sifat-sifat apakah yag kalia temuka? Dari Aktivitas di atas diperoleh sifat-sifat berikut. q a. U k = U p q q i = p i b. c = (q p + )c, c = kostata, c R p q c. cu k = cu p q i = p k Sifat-sifat lai yag berlaku pada otasi sigma adalah sebagai berikut. Utuk U k da V k adalah rumus umum suku ke-k da p, q B, berlaku q q q k p p p d. ( Uk ± Vk) = Uk ± V e. Uk + Uk = U q p + p q f. ) U = U p q k q q+ a ka p+ a ) Uk = U p p g. U k = U p p q qa k+ a pa h. ( U k ± Vk ) = U k ± U kvk + V p q p k q p q k p Bukti: Pada kali ii, aka dibuktika sifat b da e saja.
9 Khaz Matematika SMA 3 IPS Tugas: Eksplorasi Kerjaka di buku tugas Coba kalia buktika kebeara sifat-sifat otasi sigma di atas selai sifat b da e. Sifat b: q c = c + c + c + c +... + 3 c p Sifat e: U ( q p+ ) suku = (q p +)c... (terbukti) + U k k p + q =(U p + U p + +... + U ) + (U + + U + +... + U q ) = U p + U p + +... + U + U + +... + U q = U k... (terbukti) p Sekarag, mari kita guaka sifat-sifat di atas utuk meyelesaika permasalaha otasi sigma, seperti cotoh-cotoh berikut. Cotoh : Hituglah ilai dari ( k k). Ada cara yag dapat diguaka utuk meyelesaika soal di atas. Cara : ( k Cara : ( k k) =( ()) + ( ()) + (3 (3)) + ( ()) = ( ) + ( 8) + (9 ) + (6 6) = 3 3 + 0 = 0 k) = k k = k k =( + + 3 + ) ( + + 3 + ) = ( + + 9 + 6) (0) = 30 0 = 0
Barisa da Deret 93 Cotoh : Dega megguaka sifat otasi sigma, buktika bahwa ( k ) = 6 + 6 k = k = k k. ( k ) = (k 6k + 6) = k 6k + 6 = k 6 k + 6 k =.... (terbukti) Cotoh 3: Ubahlah batas bawah sigma mejadi dari otasi sigma berikut. 5 a. ( k + ) 3 b. ( 3 k) k = 0 5 5 a. ( k + ) = ( k + ) + = ( k + 3) 3 k = 3 + 3 b. ( 3 k) = ( 3( k )) 0 0+ 5 5 = ( 3 k+ ) = ( 5 k) Cotoh : Ubahlah batas bawah sigma mejadi dari otasi sigma berikut. a. k k 0 b. ( k 6 + )
9 Khaz Matematika SMA 3 IPS a. k k 6 = + + k 6 k = 6 ( k 6) 0 k 6 = k = k 3 0 0 b. ( k + ) = ( k + ) 6 = 6 k 8 + = ( k + k + 5). Meyataka Suatu Deret dalam Notasi Sigma Notasi sigma dapat mempermudah kita dalam meuliska jumlah bilaga-bilaga yag terpola, misalya + + 6 + 8 +... Seperti kalia ketahui, deret aritmetika da deret geometri merupaka deret dega suku-sukuya terpola tetap. Deret-deret seperti ii dapat kita sajika dalam otasi sigma. Agar lebih paham, perhatika cotoh berikut. Cotoh: Suatu deret diyataka dega otasi sigma berikut. 0 a. ( + ) b. = 6 = Deret apakah itu? Kemudia, tetuka ilaiya. 0 a. ( + ) = (() + ) + (() + ) + ((3) + ) +... + = ((0) + ) = ( + ) + ( + ) + (6 + ) +... + (0 + ) = 3 + 5 + 7 +... + Tampak bahwa deret itu memiliki suku-suku yag selisihya tetap, yaitu. Jadi, deret itu adalah deret aritmetika dega suku awal a = 3, beda b =, da U 0 =. 0 Nilai ( + ) sama dega ilai jumlah suku = pertama, S 0. Dega megguaka jumlah 0 suku pertama yag kalia ketahui, diperoleh
Barisa da Deret 95 S = (a + U ) = (0)(3 + ) = 0 0 Jadi, ( + ) = 0. 6 = b. = + + 3 + + 5 + 6 = = + + 8 + 6 + 3 + 6 Tampak bahwa deret itu memiliki rasio tetap, yaitu r =. Jadi, deret ii termasuk deret geometri dega suku awal a = da rasio r =. Oleh karea itu r = >, kita guaka rumus berikut. a( r ) ( 6 ) S = S r 6 = 6 Jadi, = 6. = (6 ) = = 6 6 = = S6. Karea Soal Kompetesi 8 Kerjaka di buku tugas. Tulislah otasi sigma berikut dalam betuk legkap atau pejumlaha biasa. 5 3 a. j d. j = 7 k k = 3 k + 6 b. 0 5k 3 c. (3 + ) k 5 e. ( ) f. ( ). Nyataka pejumlaha berikut dalam betuk sigma. a. 3 + + 5 +... + 00 b. 3 + 6 + 9 +... + c. 3 + 3 5 + 5 7 + 7 9 + 9 + 3 d. xy + x y 3 + x 3 y + x y 5 + x 5 y 6 + x 6 y 7 = k+ x k y k
96 Khaz Matematika SMA 3 IPS Tataga Pealara Kerjaka di buku tugas Tetuka ilai otasi sigma berikut. Adakah yag termasuk deret koverge? 5 a. ( 3 ) k = 6 b. ( i + i ) i= 0 c. 3 3 = 0 6 i= 5 d. 3. Hituglah hasil pejumlaha berikut (jika perlu guaka sifat otasi sigma). 0 a. 8 5 b. (k ) 6 c. i d. i = 6 6 ( ) ( ) k e. ( i + 3)( i + ) i = 5 (3 + )( + 3) f. ( ) = +. Dega megguaka sifat-sifat otasi sigma, buktika peryataa berikut. a. (k ) = k k + 0 5 k = b. 3k = 3 k + 30 k + 375 6 c. ( k + ) = k + 8 k + 0( ) 5 5 5. Jika diketahui x i = 5 da y i 0 i = 50, hituglah ilaiilai sigma berikut. 0 i= = 0 a. ( i = x i + ) 0 b. (3 i = y i ) 0 c. (x i y i i = + 5) 0 d. (7y i x i ) i =
Barisa da Deret 97 6. Ubahlah otasi sigma berikut ke dalam batas bawah b yag ditetuka. a. + 3 ; b = 0 = 6 0 ( + 5) k = 5 b. k c. b = 3 d. 0 p + p= 0 8 ; b = ; b = 5 p 3 e. ( i i + 5) ; b = i = 7. Tetuka ilai otasi sigma berikut. 5 a. k 5 k = b. 3k k = 5 c. k k0 = 8. Diketahui U 8 = = p, tetuka ilai otasi sigma berikut. 8 a. ( U + ) = 8 b. ( 3U ) = F. Deret dalam Hitug Keuaga Perahkah kalia megamati kegiata ekoomi yag terjadi di sekitarmu? Kegiata ekoomi pada umumya melibatka terjadiya rotasi uag. Misalya, terjadiya trasaksi jual beli, hutag-piutag, pijam-memijam, da lai-lai. Pada trasaksitrasaksi tersebut, biasaya dihubugka dega buga. Berkaita dega hal itu, pada pembahasa kali ii, kita aka membicaraka buga tuggal, buga majemuk, da auitas. Utuk mempermudah proses perhituga buga tuggal, buga majemuk, da auitas, kalia dapat megguaka batua kalkulator.
98 Khaz Matematika SMA 3 IPS. Buga Tuggal Gambar. Aktivitas perbaka Sumber: Dukume Peerbit Pada suatu kegiata (usaha) yag berhubuga dega uag, misalya pijam-memijam, biasaya jumlah omial uag yag dibayarka oleh seorag pemijam aka lebih besar daripada jumlah omial uag yag dipijamya. Selisih jumlah omial uag yag dipijam da jumlah yag dikembalika itu diamaka buga. Buga pijama merupaka beba gati rugi bagi pemijam. Hal ii disebabka pemijam megguaka uag pijama tersebut utuk usaha. Besarya buga dipegaruhi oleh besar uag yag dipijam, jagka waktu pemijama, da tigkat suku buga (persetase). Buga yag dibayarka oleh pemijam pada akhir jagka waktu pemijama tertetu dega besar pijama dijadika dasar perhituga da buga pada periode berikutya. Jika besarya buga sebagai jasa pemijama yag dibayarka tetap utuk setiap periode, buga itu diamaka buga tuggal. Misalka uag sebesar Rp00.000,00 dibugaka atas dasar buga tuggal dega tigkat suku buga 0%. Jumlah uag da buga sampai akhir bula pertama: Rp00.000,00 + 0% Rp00.000,00 = Rp00.000,00 ( + 0%) Jumlah uag da buga sampai akhir bula kedua: Rp00.000,00 + 0% Rp00.000,00 + 0% Rp00.000,00 = Rp00.000,00 ( + 0%) Jumlah uag da buga sampai akhir bula ketiga: Rp00.000,00 + 0% Rp00.000,00 + 0% Rp00.000,00 + 0% Rp00.000,00 = Rp00.000, 00 ( + 3 0%) Jumlah uag da buga sampai akhir bula ke-t: Rp00.000,00 + 0% Rp00.000,00 +... + 0% Rp00.000,00 = Rp00.000,00 ( + t 0%) Secara umum, dapat kita kataka sebagai berikut. Misalka modal sebesar M 0 dibugaka atas dasar buga tuggal selama t periode waktu dega tigkat suku buga (persetase) r. Buga (B) da besar modal pada akhir periode (M t ) adalah B = M 0 t r M t = M 0 ( + t r)