ESTIMASI MODEL EKSPONENSIAL LIFETIME DENGAN DOUBLE CENSORING

J. Math. and Its Appl. ISSN: 1829-65X Vol. 7, No. 2, Novembe 21, 27 4 ESTIMASI MODEL EKSPONENSIAL LIFETIME DENGAN DOUBLE CENSORING Fada Agustn W. 1, Thatht Puwanngtyas 2 Juusan Matematka, FMIPA ITS Suabaya 1 fada sahlan@yahoo.com, 2 thatht@sss sub.sg.co.d Abstak Analss lfetme meupakan analss statstk yang memodelkan lama waktu sampa tejadnya suatu kejadan. Peneltan n menggunakan Dstbus Eksponensal untuk mengestmas data lfetme dengan double censong dan menggunakan metode Bayesan yang bedasakan dstbus po gamma. Infomas sampel dstbus po) tesebut dkombnaskan dengan fungs lkelhood untuk mendapatkan dstbus posteo, sehngga ddapatkan estmato da yatu dan nteval kepecayaan 1 α) 1% untuk, yatu: P c 1 c 2 x) 1 α dmana penentuan nla c 1,c 2 ) ddapatkan dengan pendekatan numek dengan bantuan Matlab 7. pada peneapan kasus. Katakunc: Dstbus eksponensal, double censong, metode bayesan, dstbus posteo 1. Pendahuluan Pengamatan data lfetme beguna dalam melakukan pengujan daya tahan dan keandalan suatu hasl teknolog dan ndust. Selan sangat dpelukan dalam penngkatan kualtas suatu poduk, analss tehadap data lfetme 27

28 Estmas model eksponensal lfetme dengan double censong pada konds pelakuan atau opeasonal tetentu banyak dlakukan oleh paa lmuwan d bebaga bdang lmu. Bebeapa model dstbus yang seng dgunakan dalam pengamatan data lfetme n yatu dstbus Webull, dstbus Gamma, dstbus Eksponensal dan dstbus Lognomal. Pada peneltan n dstbus yang dgunakan adalah dstbus Eksponensal kaena dstbus tesebut banyak dgunakan dalam analss uj lfetme. Pengamblan sampel dalam uj lfetme dlakukan secaa censong sehngga waktu pengujan lebh efsen. Tedapat bebaga macam tpe sampel censong yang bsa dgunakan dantaanya sampel sngle censong dan double censong. Sampel double censong adalah sampel data yang dsenso kedua-duanya yatu ght censong dan left censong, sedangkan sampel sngle censong meupakan tpe censong yang hanya dlakukan satu kal, yatu ght censong saja atau left censong. Penggunaan sampel double censong lebh menghemat waktu dan tenaga jka dbandngkan dengan sampel sngle censong kaena pengamatan bsa dlakukan dengan mengunakan data yang teseda. Peneltan n melput estmas paamete yang menggunakan Metode Bayes, yang meupakan metode estmas bedasakan penggabungan nfomas data sampel dengan pengetahuan subyektf mengena dstbus peluang paamete yang tdak dketahu yang dsebut dstbus po dan po yang dgunakan adalah po nvese Gamma. Tujuannya da peneltan n adalah untuk mendapatkan estmato paamete dstbus Eksponensal pada data double censong bedasakan dstbus po nvese Gamma seta nteval kepecayaannya. 2. Dasa teo Msalkan G x) adalah fungs da vaabel acak x, nla haapan untuk G x) adalah: E[Gx)] x R Gx)fx) jka x dskt E[Gx)] Gx)fx) dx jka x kontnu

Fada Agustn W., Thatht Puwanngtyas. 29 Msalkan X dan Y adalah dstbus besama da vaabel acak maka nla haapan besyaat da Y dmana X x adalah : E[Y x)] y yfy x) jka X dan Y dskt E[Y x)] yfy x) dx jka X dan Y kontnu Defns 2.1 [3] Sebuah vaabel acak kontnu X dkatakan memlk dstbus Invese Gamma dengan paamete bentuk α dan paamete skala β, jka fungs kepadatan pobabltas pdf) da X bebentuk f x) { β α Γα) x α 1) e β x ; untuk ; untuk x > x lannya dan α > ; β > Dalam analss Bayesan basanya keputusan penentuan dstbus po memegang peanan pentng. Dengan menggunakan teoema Bayes, nfomas awal po) n dgunakan untuk mendapatkan nla da estmas, yang dnyatakan dengan fungs lkelhood yang dkombnaskan untuk membentuk dstbus posteo. Dstbus Po da paamete dlambangkan dengan p ) adalah fungs pobabltas yang menyatakan tngkat kepecayaan nla, dstbus posteo lkelhood x dstbus po. Bebeapa censong dalam analss uj hdup adalah [11]: a. Uncensoed Dalam uj sampel lengkap n ekspemen akan dhentkan jka semua komponen yang duj telah mat atau gagal. b. Left Censong Jka sebuah ttk pont beada d bawah sebuah nla tetentu tetap tdak dketahu beapa banyaknya. c. Rght Censong Jka sebuah ttk pont beada datas sebuah nla tetentu tetap tdak dketahu beapa banyaknya [2].

3 Estmas model eksponensal lfetme dengan double censong Rght Censong ted da: Censong Tpe I: Dalam censong tpe I, ekspemen akan dhentkan jka telah dcapa waktu tetentu waktu censong). Censong Tpe II: Suatu sampel dkatakan censong tpe II apabla ekspemen dhentkan setelah kegagalan ke- telah dpeoleh.. d. Double Censong[5] Dalam Double Censong, pengamatan tehadap waktu hdup n sampel acak dengan dua censong yatu ght censong dan left censong, sedangkan untuk yang ght censong dgunakan ght censong tpe II.Double censong da n sample acak adalah pengamatan tehadap waktu hdup sampel ke X, X +1,..., X s, yang teuut dengan 1) sampel tekecl seta n s) sampel tebesa dsenso. { dsenso }}{ dsenso X 1, X 2,..., X 1, X, X +1,..., X }{{} s, { X }}{ s+1, X s+2,..., X n damat Salah satu metode yang dgunakan untuk mendapatkan estmato da paamete adalah Metode Bayesan Estmaton. Paamete dpandang sebaga vaabel acak dalam uang paamete dan mempunya dstbus pobabltas p ) yang meupakan tngkat kepecayaan awal tentang paamete sebelum pengamatan dlakukan, dsebut dstbus po. Teoema umum da Bayes [4] p y ) p y ) p ) p y) dmana p y)dstbus posteo. Dstbus besama p y, ) dan dstbus magnal p y) pada umumnya tdak dketahu, basanya hanya dstbus po dan fungs lkelhood nya yang dnyatakan. Rumus Bayes dapat juga dtuls [4] p y) l, y) p ) Dstbus posteo lkelhood x dstbus po

Fada Agustn W., Thatht Puwanngtyas. 31 Inteval c 1, c 2 ) da 1 1 α) % dsebut Inteval Bayesan untuk jka c 1 < c 2 adalah dua konstanta, maka [7]: πθ x)dθ, kontnu; 1 α P C x) C πθ x), dskt. θ C dengan π θ x) adalah dstbus posteo. 3. Analss dan pembahasan 3.1. Estmas paamete dstbus eksponensal Dstbus Eksponensal secaa luas dgunakan sebaga suatu model lfetme yang ddasakan peneltan yang menyetakan ketahanan suvval). Jka x lfetme bedstbus Eksponensal dengan paamete maka pdf f x) adalah [6] f x) 1 exp x ) x > > 3.2. Fungs suvval Pobabltas suatu ndvdu oleh dstbus Eksponensal yang akan betahan hdup sampa waktu x dsebut fungs suvval adalah: R x ) P X > x ) 1) Sehngga da Pesamaan 1) ddapatkan fungs suvval sebaga bekut: R x ) exp x ) 2) 3.3. Fungs Lkelhood Msalkan x vaabel acak bedstbus Eksponensal dengan fungs pobabltas fx, ),dan adalah paamete yang tdak dketahu maka pengkonstuksan fungs lkelhood dapat dnyatakan dengan

32 Estmas model eksponensal lfetme dengan double censong Lx ) fx 1, )fx 2, )...fx n ) n fx ; ) 3) 1 Fungs lkelhood pada Pesamaan 2) belaku untuk tpe complete samplng, kaena data pada tpe n semua uncensoed, atnya semua unt yang duj gagal. Sedangkan untuk tpe censoed samplng mempunya fungs lkelhood yang bebeda dengan complete samplng. Ketka mengejakan analsa maxmum lkelhood pada data dengan tem yang belum gagal, fungs lkelhood pelu dpeluas untuk menghtung tem-tem yang belum gagal. Secaa keseluuhan teknk estmasnya tdak beubah, hanya saja pada fungs lkelhood dkenakan fungs suvvo. Fungs lkelhood untuk model suvval dengan keadaan data censong, dbekan fomulas bekut n [8]: Untuk uncensoed: P X x ) fx ) Uj pada sampel lengkap n ekspemen akan dhentkan jka semua komponen yang duj telah mat atau gagal. Untuk left censong: P X < x ) 1 R x ) Jka sebuah ttk pont beada d bawah sebuah nla tetentu tetap tdak dketahu beapa banyaknya. Untuk ght censong: P X > x ) R x ) Jka sebuah ttk pont beada datas sebuah nla tetentu tetap tdak dketahu beapa banyaknya. Sample acak beukuan n da dstbus Exp ), dmana U, ) adalah paamete yang tdak dketahu, dan menuut Fenandez 2) msalkan x,..., x s meupakan pengamatan teuut da 1) pengamatan tekecl dan n s) pengamatan tebesa pada double censong adalah sebaga bekut: dsenso dsenso {}}{ x 1, x 2,..., x 1, x, x +1,..., x }{{} s, { x }}{ s+1, x s+2,..., x n damat

Fada Agustn W., Thatht Puwanngtyas. 33 selanjutnya subttus Pesamaan 2) dan 3) ddapatkan fungs lkelhood untuk pada data double censong adalah L x) n! 1)!n s)! {1 Rx )} 1 {Rx )} n s s fx ) 4) sehngga dpeoleh { )} 1 n! L x) 1 exp x 1)!n s)! { s x + n s)x s )} s +1) exp 5) Pada Pesamaan 4) dmsalkan m s + 1 dan ξ x) s x + n s) x s sehngga { n! L x) 1 exp x )} 1 { m exp ξ x) ) } 1)! n s)! 6) dengan kesebandngan ddapatkan fungs lkelhood untuk adalah { L x) 1 exp x )} 1 { m exp ξ x) ) } 3.4. Dstbus po Menuut [5] dstbus yang tepat untuk nomas po da adalah dstbus Invese Gamma a, b). Dstbus po tesebut bebentuk g ) ab Γ b) b+1) exp a ) dmana > a >, b >. dengan kesebandngan ddapatkan dstbus po sebaga bekut: g ) b+1) exp a ) dmana >, a >, b > 8) dengan a dan b dketahu. 7)

34 Estmas model eksponensal lfetme dengan double censong 3.5. Dstbus posteo Metode Bayesan mempunya keuntungan dengan mengkombnaskan pengetahuan subjektf da dstbus po dengan pengetahuan yang ada dalam data. Dengan mengkombnaskan fungs lkelhood dan dstbus po ddapatkan dstbus posteonya. Pesamaan umum da dstbus posteo tesebut adalah : h x) L x) p ) L x) p ) d 9) dengan L x) adalah fungs lkelhood dan p ) adalah dstbus po. Bedasakan Pesamaan 6) dan 8) nla da L x) p ) d adalah: L x) p ) d b+1) exp ) a m exp a + ξx) m+b+1) exp ξ x) ) 1 exp x )) 1 d ) 1 exp x )) 1 d 1) dengan 1 exp x )) 1 1 1 1 1 ) exp x )) 1) 1 ) 1) exp x ) 11)

Fada Agustn W., Thatht Puwanngtyas. 35 Kemudan subttuskan Pesamaan 1) ke 11), sehngga ddapatkan L x) p ) d maka a + ξx) m+b+1) exp 1 1 o 1 1 ) ) 1) ) 1 1 ) 1) exp x ) d ) a + ξx) + m+b+1) x exp d 1) Γ b + m) a + ξ x) + x ) b+m) a + ξ x) + x ) b+m) ) a + ξx) + m+b+1) x exp d 12) Γ b + m) o a + ξ x) + x ) b+m) ) m+b+1) exp a+ξx)+x Γ b + m) d 1 sehngga Pesamaan 12) akan menjad 1 L x) p ) d Γ b + m) 1 ) 1) 1 + x )) b+m) dengan : a + ξ x), dpeoleh dstbus posteonya dnyatakan sebaga bekut: ) ) )) 1 b+1) a exp m exp ξx) 1 exp x d h x) 1 ) 1 Γ b + m) 1) a + ξ x) 1 + x )) b+m) a + ξx) 13) Msalkan ) 1 ) 1 F [a + ξ x), b + m] 1) x b+m) 1 + a + ξx) dengan a + ξx), m + b >. Sehngga dstbus posteo pada Pesamaan

36 Estmas model eksponensal lfetme dengan double censong 13) dapat dnyatakan sebaga bekut: ) )) 1 b+m+1) exp a+ξx) 1 exp x d h x) Γ b + m) a + ξ x)) b+m) F [a + ξ x), b + m] 14) 3.6. Estmato Bayes Dengan menggunakan fungs keugan kuadatk, estmato Bayes untuk ) adalah mean da dstbus posteo. Estmas Bayes dapat dnyatakan sebaga bekut: E x) h x) d 15) dmana h x) adalah dstbus posteo sesua Pesamaan 14), sehngga Pesamaan 15) menjad ) )) 1 a + ξ x)) b+m) exp a+ξx) 1 exp x d Γb + m) b+m+1) F [a + ξ x), b + m] a + ξ x)) b+m) Γ b + m) F [a + ξ x), b + m] a + ξx) b+m) exp Pesamaan sebaga bekut: kaena b+m) exp ) 1 exp x )) 1 d 16) ) )) 1 a+ξx) 1 exp x d dapat dtuls ) a + ξx) b+m) exp 1 exp x )) 1 d a + ξ x) + x ) b+m 1) ) a + ξx) + b+m 1)+1) x ) exp d 1 Γ b + m + 1)

Fada Agustn W., Thatht Puwanngtyas. 37 sehngga ) 1 exp x )) 1 d a + ξx) b+m) exp ) 1 1 1) Γ b + m 1) a + ξ x) + x ) b+m 1) 1 Γ b + m 1) x)) b+m 1) 1 ) 1) 1 + x ) b+m 1) 17) dengan : a + ξ x). Msalkan 1 F [a + ξ x), b + m 1] 1 ) ) 1) x b+m 1) 1 + a + ξx) dengan a + ξx), m + b 1 > Sehngga Pesamaan 17) dapat dtuls sebaga bekut: ) a + ξx) b+m) exp 1 exp x )) 1 d Γ b + m + 1) a + ξ x)) b+m 1) F [a + ξ x), b + m 1] 18) Dengan demkan estmato Bayes untuk pada Pesamaan 16) dan substtus da Pesamaan 18) dapat dnyatakan sebaga bekut: Γ b + m 1) F [a + ξ x), b + m 1] Γ b + m) F [a + ξ x), b + m] a + ξ x)) dengan Γ b + m) b+m 1) Γ b + m 1), maka estmato Bayes untuk adalah sebaga bekut: { F [a + ξ x), b + m 1] F [a + ξ x), b + m] } { } a + ξ x)) b + m 1 dengan m s 1 dan ξ x) s x + n s) x s

38 Estmas model eksponensal lfetme dengan double censong 3.7. Inteval kepecayaan Bayes Dketahu bahwa dstbu posteo da adalah: h x) a + ξx))b+m) exp a+ξx)) )1 exp x Γb + m) b+m+1) F [a + ξx), b + m] )) 1 dengan > yatu 1 1 α) % nteval kepecayaan untuk dan 1 α) dsebut koefsen kepecayaan πθ x)dθ, 1 α P C x) C πθ x), θ C kontnu; dskt. dengan π θ x) adalah dstbus posteo. Selanjutnya akan dca nteval kepecayaan 1 α) 1% untuk, yatu: P c 1 c 2 x) 1 α dmana adalah paamete yang tdak dketahu dengan batas bawah memenuh pesamaan S c 1 x) c 1 dan batas atas juga memenuh pesamaan S c 2 x) c 2 h x) d α 2 h x) d 1 α 2 Batas bawah c 1 ) dan batas atas c 2 ) dtentukan dengan menggunakan pendekatan numek. Pendekatan ntegas numek yang dgunakan pada peneltan adalah Atuan Smpson s 1 / 3 bedasakan dengan bantuan matlab 7.. Contoh kasus Ilustas pemasalahan flue tme waktu kegagalan)dengan satuan ment, untuk jens sekatan lstk type B pada suatu pecobaan dmana sekatan dgunakan teus meneus untuk menngkatkan tekanan voltase...., 24.4, 28.6, 43.2, 46.9, 7.7, 75.3, 95.5,... Pada contoh n pengamat gagal untuk mengamat dua waktu kegagalan palng kecl dan pengamatan dhentkan pada saat waktu kegagalan ke-9,

Fada Agustn W., Thatht Puwanngtyas. 39 dan dketahu a 26 dan b 27. Oleh kaena tu ddapatkan n 12, 3, s 9, dan m 7. sehngga dpoleh: 2,47555772 dan nteval kepecayaannya 15.75 < < 28.75 4. Kesmpulan dan saan 4.1. Kesmpulan Bedasakan hasl dan pembahasan dsmpulkan sebaga bekut: a. Estmato paamete dstbus Eksponensal pada data double censong bedasakan po nvese gamma adalah: { } { } F [a + ξ x), b + m 1] a + ξ x)) F [a + ξ x), b + m] b + m 1 b. Inteval kepecayaan 1 α) 1% paamete dstbus Eksponensal pada data Double censong bedasakan dstbus po nvese Gamma dengan α, 5, yatu P c 1 c 2 x) 1 α. dengan batas,25 dan batas atas,975. Nla batas bawah c 1 ) dan batas atas c 2 ) ddapatkan dengan pendekatan numek Atuan Smpson s 1 / 3 dengan bantuan Matlab 7.. Pada peneapan contoh kasus ddapatkan nla estmas ) 2,47555772 dengan α, 5 dan ddapatkan nteval kepecayaan bayes dengan nla batas bawah c 1 ) 15.75 dan batas atas c 2 ) 28.75 sehngga nteval kepecayaannya 15.75 < < 28.75 4.2. Saan Saan yang dapat dbekan pada pembahasan estmas Eksponensal lfetme dengan double censong yang menggunakan metode Estmas Bayesan dan bedasakan dstbus po nvese gamma, dapat dkembangkan lebh lanjut dengan pendekatan dstbus po yang lan msalnya : Non- Imfomatf Po, Conjugate Po, Po Pope, Po Impope seta Refeence Po.

4 Estmas model eksponensal lfetme dengan double censong Pustaka [1] Ban, L. J. dan Max E., Intoducton to Pobablty and Mathematcal Statstcs, 2nd edton, Calfona: Duxbuy Pess, 1991. [2] Bege, J.O., Statstcal Decson Theoy and Bayesan Analyss, 2nd ed., Spnge Velag, New Yok, 1998. [3] Benado, J.M, dan Smth, A.F.M., Bayesan theoy, Chcheste : John Wley & Sons, Ltd, 2. [4] Box, G., dan Tao, G. C., Bayesan Infeence n Statstcal Analyss, Addson-Wesley Pubhlsng Company, Inc., Phlppnes, 1973 [5] Fenandez, J. Atuo., Estmaton and Hypothess Testng fo Eksponental Lfetme Models wth Double censong and Po Infomaton, Jounal of Economc and Socal Reseach, 2. [6] Hanald., Pnsp-Pnsp Statstk Untuk Teknk dan Sans, Elangga, Jakata, 26. [7] Lason, H. J., Intoducton to Pobablty Theoy and Statstcal Infeence, John Wley and Sons, Sngapoe, 1982. [8] Mlle, R. G., Suvval Analyss, Wley classcs lbay, Stanfod Unvesty, Canada, 1998. [9] Sawoko, Statstk Infeens untuk Ekonom dan Bsns, And, Yogyakata, 27. [1] Soehadjo, Analss Numek, Dosen Matematka ITS dan Insttut Adh Tama Suabaya, Suabaya, 1986. [11] Wkpeda, the fee encyclopeda., Types Of Censong, http://www.wkpeda.com., Dakses pada tanggal 23 Jun 28.