BAB 3 MODEL DASA DINAMIKA VIUS HIV DALAM TUBUH 3.1 Moel Dasar Moel asar inamika virus HIV alam tubuh menggunakan beberapa asumsi sebagai berikut: Mula-mula tubuh alam keaaan tiak terinfeksi virus atau semua sel alam tubuh alam keaaan sehat. Sejumlah kecil virus masuk kealam tubuh sehingga sejumlah sel sehat berhasil terinfeksi oleh virus. Selain virus, tiak aa patogen asing lain yang berbahaya masuk kealam tubuh. Banyaknya sel sehat yang ihasilkan oleh tubuh aalah konstan. Setiap virus mempunyai kemungkinan yang sama alam menginfeksi sel. Moel asar inamika virus mempunyai tiga kompartemen: sel tiak terinfeksi/sel sehat yang mungkin bisa terkena infeksi HIV (x), sel terinfeksi (y) an virus bebas (v). Berasarkan asumsi iatas, paa konisi awal tubuh hanya memiliki 11
sel yang sehat. Kemuian sejumlah kecil virus masuk kealam tubuh an menyerang satu buah sel sehat sehingga sel tersebut menjai terinfeksi. Sejumlah kecil sel yang terinfeksi akan menghasilkan sejumlah partikel virus baru yang akan menginfeksi sel baru/ sel sehat yang lain. Dengan begitu, berarti rantai reaksi telah imulai. antai reaksi ini memiliki ua kemungkinan, yaitu apakah ia akan mati atau menghasilkan leakan sejumlah virus baru an menginfeksi sel lain. Diagram transmisi untuk moel asar ini apat ilihat paa gambar 3.1 Dinamika Virus HIV k λ Sel Sehat Virus bebas Sel Terinfeksi + u β a Gambar 3.1 Diagram transmisi virus HIV alam tubuh Persamaan inamika sel an virus iberikan oleh persamaan ( 1 3 ) ibawah ini: x& = λ x β xv (3.1) y& = β xv ay (3.2) v& = ky uv (3.3) Persamaan (3.1-3.3) menyatakan laju perubahan populasi tiap kompartemen per satuan waktu, imana: x& aalah laju perubahan sel sehat yang mungkin sakit yang ipengaruhi oleh banyaknya sel sel sehat yang iprouksi oleh tubuh engan parameter λ terhaap waktu. Sel sehat akan berkurang karena rusak atau mati secara alami engan parameter an juga karena invasi virus terhaap sel sehat. Keberhasilan virus menginfeksi sel inyatakan engan parameter β. 12
y& aalah laju perubahan banyaknya sel terinfeksi yang ipengaruhi oleh keberhasilan virus menginfeksi sel terhaap waktu. Sel terinfeksi akan berkurang karena rusak atau mati secara alami engan parameter a. v& aalah laju perubahan banyaknya virus bebas yang ipengaruhi oleh prouksi virus ari sel terinfeksi engan parameter k terhaap waktu. Virus bebas akan berkurang karena kematian alami engan parameter u. Betikut ini aalah keterangan parameter yang ipakai alam moel asar inamika virus, yaitu: λ aalah banyaknya sel sehat yang iprouksi oleh tubuh per ml arah β aalah laju keberhasilan virus menginfeksi sel u aalah laju kematian sel sehat aalah laju kematian virus k aalah banyaknya virus yang ihasilkan oleh sel terinfeksi a aalah laju kematian sel terinfeksi 3.2 Basic eprouctive atio Basic eprouctive atio ( ) aalah banyaknya sel terinfeksi yang muncul iakibatkan oleh satu sel terinfeksi sebelumnya paa kasus susceptible. Banyaknya sel terinfeksi yang akan muncul ipengaruhi oleh beberapa faktor, iantaranya aalah faktor virulensi an faktor kematian alami ari ketiga kompartemen. akan berbaning lurus engan faktor virulensi virus an berbaning terbalik engan faktor kematian ketiga kompartemen, sehingga iperoleh = au Secara umum, bisa kita ilustrasikan seperti paa Gambar 3.2 ibawah ini: 13
Basic eprouctive atio ( ) k a λβk = au Gambar 3.2 Ilustrasi iperlukan untuk mengetahui keberlangsungan infeksi. Jika akan berhenti, tapi jika Semakin besar nilai > 1 < 1 maka infeksi maka kemungkinan infeksi akan terus berlanjut., maka proses infeksi akan semakin sulit untuk ilenyapkan. 3.3 Analisis Moel kesetimbangan, yaitu: Sistem persamaan iferensial 3.1-3.3 mempunyai ua buah titik i) Saat y = an v = titik kestimbangan: Paa saat y = an v =, yaitu sebelum terjai infeksi, iperoleh Titik kesetimbangan E 1 E 1 λ =,, iperoleh ketika tiak aa virus yang menyebabkan sel terinfeksi. Eksistensi ari titik kesetimbangan tersebut ipenuhi jika terapat populasi sel sehat alam tubuh yaitu x >, sehingga mengakibatkan λ >. Jai saat belum aa sel terinfeksi, kesetimbangan iperoleh jika laju prouksi sel sehat lebih besar ari kematian alami sel sel sehat tersebut. 14
Selanjutnya akan itentukan syarat kestabilan lokal ari titik kesetimbangan E 1. Dari Persamaan iferensial 3.1-3.3, kita bisa menapatkan matriks jacobi sebagai berikut: βv D = βv a k βx βx u Paa titik kesetimbangan E 1 λ =,,, matriks jacobi D menjai: D E = 1 a k βλ βλ u Syarat kestabilan iperoleh ketika nilai eigen ari matriks jacobi bernilai negatif. Misalkan z aalah nilai eigen, maka z iperoleh ari et(zi - ) = engan I aalah matriks ientitas. βλ z + βλ et(zi - DE 1 ) = z + a = k z + u sehingga iperoleh polinom karakteristik ari matriks, yaitu : D E1 βλ ( z + )( z + a)( z + u) ( k)( )( z + ) = ( z + )(( z + a)( z + u) )) = 2 ( z + )( z + ( a + u) z + au ) = D E1 D E1 (3.4) (3.5) (3.6) Dari persamaan polinom karakteristik 3.6, iperoleh satu nilai eigen yang pasti negatif, yaitu an ua akar polinom ari 15
z 2 + ( u + a) z + au Paa saat z = -z, maka Persamaan 3.7 menjai z 2 ( u + a) z + au (3.7) (3.8) Menurut aturan tana Descartes, maka haruslah terjai ua kali perubahan tana koefisien agar iperoleh nilai eigen yang bernilai negatif. Dari persamaan karakteristik iatas, koefisien z 2 bernilai positif an koefisien z bernilai negatif, sehingga kontanta au haruslah bernilai positif, sehingga mengakibatkan au au au > au Karena =, maka iperoleh syarat kestabilan lokal untuk titik au kesetibangan E 1, aalah < 1. < 1 > > ii) Paa saat y an v Paa saat y an v iperoleh titik kesetimbangan E 2 = ( x*, y*, v *) engan au x* =, βk λβk + au y* = an auβ λβ k + au v* =, aβk atau bisa kita tuliskan alam bentuk menjai 16
x u E = 2,( 1),( 1). βk β Titik kesetimbangan iperoleh saat terapat virus an sel E 2 terinfeksi. Eksistensi ari titik kesetimbangan tersebut ipenuhi oleh x * >, y * > an v * > sehingga x > x* an 1 mengakibatkan > 1. > Selanjutnya akan kita tentukan syarat kestabilan lokal ari titik kesetimbangan. Paa titik kesetimbangan E, matriks jacobi D menjai : E2 2 λβk + au + au λβk + au D E = 2 au a sehingga iperoleh polinom karakteristik ari matriks k au k au. k u D E 2, yaitu: λβk λβk λβk + + + + + + λβ (3.9) au a u 3 2 z ( u a ) z ( ) z k au Agar iperoleh syarat kestabilan lokal, maka bagian real nilai eigen ari persamaan polinom karakteristik 3.9 harus negatif, yaitu z = -z. Dengan mensubstitusikan nilai z = -z ke Persamaan 3.9, maka iperoleh λβk λβk λβk au a u 3 2 z + ( u + a + ) z ( + ) z + k au (3.1) Menurut aturan tana Descartes, untuk menapatkan tiga buah nilai eigen negatif, maka Persamaan 3.1 harus mengalami pergantian tana sebanyak tiga kali. Perhatikan bahwa koefisien z 3 bertana negatif, koefisien z 2 bertana positif an koefisien z bertana negatif, maka konstantanya haruslah bertana positif, sehingga λβ k au > λβ k > λβk au au > 1 λβ 17
λβk = > 1 au Jai, syarat kestabilan lokal untuk titik kesetimbangan E 2, iperoleh > 1 3.4 Simulasi Numerik Sebagaimana isebutkan paa bagian sebelumnya bahwa ketika terjai infeksi, maka jumlah virus alam tubuh akan melimpah iikuti oleh penurunan jumlah sel sehat an kenaikan sel terinfeksi. Untuk membutktikan fakta tersebut, selanjutnya akan ilakukan simulasi numerik untuk persamaan iferensial (1-3). Simulasi numerik ini akan ilakukan untuk nilai > 1. Nilai inilah yang menjai asar pemilihan parameter simulasi numerik. Parameter yang igunakan paa simulasi numerik moel asar inamika virus HIV aalah: λ = 25 ; =,2 ; β =, 1 ; a =, 7 ; k = 5 an u =, 9 sehingga iperoleh = 9,92. Dari parameter tersebut, iperoleh juga titik kesetimbangannya, yaitu: x* = 12,6; y* = 32,112; z* = 178,4. a b 12 6 1 5 8 4 Sel Sehat 6 Sel Terinfeksi 3 4 2 2 1 5 1 15 2 25 3 35 4 45 5 5 1 15 2 25 3 35 4 45 5 18
c 3 25 2 Virus Bebas 15 1 5 5 1 15 2 25 3 35 4 45 5 Gambar 3.3 Simulasi numerik moel asar inamika sel an virus Gambar 3.3 iperoleh engan nilai > 1. Setelah virus memasuki tubuh manusia, virus akan memasuki masa reprouksi untuk mengganakan irinya lebih banyak lagi. Proses reprouksi virus alam sel menghasilkan leakan jumlah virus, akan tetapi setelah itu jumlah virus akan mengalami penurunan menuju titik kesetimbangan. Dinamika populasi sel sehat akan menyesuaikan engan inamika populasi virus. Selama virus masih alam siklus reprouksi alam sel target, jumlah sel sehat tiak mengalami penurunan yang berarti. Penurunan populasi sel sehat akan terjai seiring meningkatnya jumlah virus. Penurunan populasi sel sehat akan iikuti oleh kenaikan populasi sel terinfeksi. Setelah waktu tertentu, ketiga populasi akan menuju keaaaan kesetimbangan. Hal yang perlu iperhatikan ari hasil simulasi numerik iatas aalah jumlah maksimum virus tiak alam skala yang sebenarnya, karena paa kenyataannya jumlah virus alam 1 ml arah bisa mencapai ribuan bahkan lebih. Hal tersebut ikarenakan paa moel ini, iasumsikan sel yang menjai target virus hanya berjumlah 1 sel. Seangkan paa kenyataannya, jumlah sel target virus bisa mencapai lebih ari itu. Paa konisi setimbang sebenarnya masih 19
terapat sejumlah tertentu virus, akan tetapi jumlahnya tiaklah signifikan ibaningkan engan jumlah maksimum virus. Berbea engan > 1, jika < 1, yaitu engan mengambil konisi belum aa sel terinfeksi, virus bisa ilenyapkan engan cepat. < 1 menunjukkan bahwa faktor keberhasilan virus alam menginfeksi sel lebih kecil ari faktor kematian alami virus itu seniri. Hal inilah yang menyebabkan virus tiak akan berkembang menjai lebih banyak. 3.5 Dinamika Virus HIV Terhaap Perubahan Parameter Simulasi ini ilakukan untuk melihat parameter mana yang sangat mempengaruhi penyebaran atau jumlah virus HIV alam tubuh. Caranya aalah engan memberikan nilai yang berubah-ubah terhaap suatu parameter seangkan parameter lainnya bernilai konstan. Dengan emikian, parameter tersebut yang perlu ikenalikan untuk menghambat penyebaran virus HIV alam tubuh penerita. Perhatikanlah simulasi numerik inamika virus HIV terhaap perubahan parameter ibawah ini: 3 25 2 a =,7 a =,8 a =,9 a = 1 a = 1,1 Virus Bebas 15 1 5 5 1 15 2 25 3 35 4 45 5 Gambar 3.4 Dinamika virus HIV engan a berbea 2
35 3 25 beta =,1 beta =,11 beta =,21 beta =,31 beta =,41 Virus Bebas 2 15 1 5 5 1 15 2 25 3 35 4 45 5 Gambar 3.5 Dinamika virus HIV engan beta berbea 3 25 2 =,2 =,3 =,4 =,5 =,6 virus bebas 15 1 5 5 1 15 2 25 3 35 4 45 5 Gambar 3.6 Dinamika virus HIV engan berbea 21
3 25 k = 5, k = 5,1 k = 5,2 k = 5,3 k = 5,4 virus bebas 2 15 1 5 5 1 15 2 25 3 35 4 45 5 Gambar 3.7 Dinamika virus HIV engan k berbea 3 25 2 u =,9 u = 1, u = 1,1 u = 1,2 u = 1,3 virus bebas 15 1 5 5 1 15 2 25 3 Gambar 3.8 Dinamika virus HIV engan u berbea 22
Dengan memperhatikan Gambar 4.7 4.11, kita bisa mengetahui parameter mana yang paling berpengaruh alam penyebaran virus HIV alam tubuh. Dari gambar tersebut iperoleh hal-hal berikut ini: Gambar 3.4 merupakan simulasi numerik inamika virus HIV engan mengubah parameter a, seangkan parameter lainnya konstan. Dari gambar tersebut terlihat bahwa semakin besar nilai a, maka semakin seikit virus yang berkembang alam tubuh. Gambar 3.5 merupakan simulasi numerik inamika virus engan mengubah parameter β, seangkan parameter lainnya konstan. Dari gambar tersebut terlihat bahwa semakin besar nilai β, maka semakin banyak virus yang berkembang alam tubuh. Gambar 3.6 merupakan simulasi numerik inamika virus engan mengubah parameter, seangkan parameter lainnya konstan. Dari gambar tersebut terlihat bahwa semakin besar nilai, maka semakin seikit virus yang berkembang alam tubuh. Gambar 3.7 merupakan simulasi numerik inamika virus engan mengubah parameter k, seangkan parameter lainnya konstan. Dari gambar tersebut terlihat bahwa semakin besar nilai k, maka semakin banyak virus yang berkembang alam tubuh. Gambar 3.8 merupakan simulaisi numerik inamika virus engan mengubah parameter u, seangkan parameter lainnya konstan. Dari gambar tersebut terlihat bahwa semakin besar nilai u, maka semakin seikit virus yang berkembang alam tubuh. Dengan memperhatikan Gambar 3.4 3.8, kelima parameter tersebut memang sangat mempengaruhi pertumbuhan virus HIV alam tubuh. Hanya saja, ari kelima parameter tersebut terlihat bahwa parameter β pengaruhnya lebih besar ibaningkan engan parameter yang lainnya. Dengan emikian, semakin kecil laju keberhasilan 23
virus alam menginfeksi sel sehat, maka pengenalian pertumbuhan virus HIV menjai semakin lebih muah. 24