PLOT FUNGSI A. PEMAHAMAN FUNGSI Suatu fungsi dapat didefinisikan sebagai suatu aturan yang membuat korespondensi antara dua himpunan bilangan sehingga hubungan dari dua himpunan bilangan tersebut menjadi tidak ambigu. Pada umumnya suatu fungsi dinotasikan dalam bentuk aljabar. Sebagai contoh jika ada fungsi y = x 2 maka y merupakan variable dependen, sedangkan x adalah variable independent. Kita bisa mengatakan bahwa y bergantung pada x karena x adalah variable bebas yang bisa kita ganti dengan nilai berapapun. Fungsi dengan sebuah variable independen biasanya akan menghasilkan garis tunggal atau kurva ketika digambar pada koordinat kartesian, sedangkan fungsi dengan dua variable independen atau lebih akan menghasilkan suatu permukaan (surface) ketika digambar. Himpunan bilangan atau titik dimana suatu fungsi didefinisikan disebut sebagai domain fungsi. Sebagai contoh, fungsi y = x 3 terdefinisi untuk semua bilangan real karena kita bisa mengganti x dengan nilai berapapun, lalu menhitung pangkat tiga nya. Himpunan bilangan yang dihasilkan oleh suatu fungsi disebut sebagai range yang merupakan bagian dari codomain. Dengan kata lain, domain adalah bilangan bilangan yang bisa kita inputkan ke dalam fungsi, sedangkan range adalah bilangan bilangan hasil keluaran suatu fungsi. Lebih jelasnya lihat gambar berikut : x y = 2x + 1 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Domain 1, 2, 3, 4 Co Domain 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 Range 3, 5, 7, 9 1
B. FUNGSI PADA KOORDINAT KARTESIAN Secara tradisional, system koordinat kartesian dibangun dari dua sumbu atau tiga sumbu yang saling tegak lurus satu sama lain, yang umumnya sumbu sumbu tersebut disimbolkan sebagai sumbu x, sumbu y, dan apabila dalam bentuk tiga dimensi, maka akan terdapat sumbu z. Fungsi pada koordinat kartesian tiga dimensi bisa memuat dua variable independen, dengan bentuk y = f(x, z) atau z = g(x, y). Untuk koordinat kartesian kita tidak perlu membahasnya lebih panjang karena sudah sangat familiar. C. FUNGSI PADA KOORDINAT POLAR Dalam matematika, system koordinat polar adalah system koordinat dua dimensi dimana suatu titik dalam bidang ditentukan oleh jarak titik tersebut ke titik pusat, dan sudut yang dibentuk dengan garis acuan (lazimnya adalah searah dengan garis sumbu x +). Untuk lebih jelasnya lihat gambar sebagai berikut : Gambar pertama menunjukkan titik dalam koordinat polar dengan titik pusat 0 dan sumbu polar L. Titik dengan garis hijau memiliki koordinat radial sebesar 3, dan koordinat angular sebesar 60 (3, 60 ), sedangkan titik dengan garis biru menunjukkan (4, 210 ). Ingatlah bahwa besaran sudut tidak selalu ditulis dalam satuan derajat, namun juga radian. Gambar kedua menunjukkakn acuan besaran sudut pada koordinat polar, dan gambar ketiga menunjukkan hubungan antara koordinat kartesian dan koordinat polar. Untuk mengkonversi dari koordinat kartesian ke koordinat polar, digunakan persamaan persamaan sebagai berikut : Polar ke Kartesian x = r cos θ, y = r sin θ Kartesian ke Polar r = x 2 + y 2, θ = arc tan y x Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal berikut : Konversikan posisi titik (2, 2) ke koordinat polar Jawab : r = 2 2 + 2 2 = 2 2 θ = arc tan 2 2 = π 4 = 45 = (2 2, π ) 4 2
Konversikan posisi titik (6, π ) ke koordinat kartesian 3 Jawab : x = 6 cos π 3 = 3 y = 6 sin π 3 = 3 3 = (3, 3 3) D. MENGGAMBAR PLOT FUNGSI DENGAN MATLAB Secara mendasar, untuk menggambar suatu fungsi kita memerlukan fungsi yang akan digambar, dan domain fungsi yang keduanya harus kita definisikan terlebih dahulu. Plot Garis 2D Koordinat Kartesian Untuk melakukan plot 2D dari suatu fungsi, kita tuliskan perintah sebagai berikut : plot(domain, fungsi) Contoh kita akan melakukan plotting untuk fungsi y = x 2 dengan domain 4 x 4, maka kita tuliskan perintah sebagai berikut : x = 4 4 y = x. ^2 plot(x, y) Plot yang dihasilkan adalah sebagai berikut : 3
Jika kita lihat sekilas, grafik diatas tidaklah smooth, dikarenakan MATLAB menggambar dengan korespondensi sebagai berikut x = 4 3 2 1 0 1 2 3 4 y = 16 9 4 1 0 1 4 9 16 Posisi titik titik diatas lalu dihubungkan dengan garis lurus sehingga menghasilkan plot yang kurang smooth dikarenakan peningkatan nilai = 1. Untuk mengatasi hal ini maka peningkatan nilai x haruslah sangat kecil, taruhlah peningkatan nilai x = 0.001 sehingga kita perlu mengubah syntax sebagai berikut : x = 4 0.001 4 y = x. ^2 plot(x, y) Plot yang dihasilkan adalah sebagai berikut : Untuk memberikan label pada sumbu x, sumbu y, maupun judul grafik, kita tambahkan perintah sebagai berikut : xlabel( sumbu x ) ylabel( sumbu y ) title( grafik fungsi y = x^2 ) 4
Untuk mengganti properties pada kurva/garis kita dapat melengkapi syntax plot menjadi plot(domain, range, warna garis tipe garis marking garis ) Dengan keterangan sebagai berikut: Hal Nilai Inputan Arti (warna) c Cyan m Magenta y Kuning Warna r Merah g Hijau b Biru w Putih k Hitam 5
Hal Nilai Inputan Arti (tipe) - Garis solid - - Garis strip Tipe : Garis berupa titik titik -. Garis strip dan titik no Tanpa garis huruf Huruf Hal Nilai Inputan Arti (marking) + Tanda tambah o Lingkaran berlubang * Asterisk x Huruf x s Persegi berisi d Diamond berisi Marking ^ Segitiga atas berisi v Segitiga bawah berisi > Segitiga kanan berisi < Segitiga kiri berisi p Pentagram (segi lima) berisi h Hexagram (segi enam) berisi no Tanpa marking huruf Huruf Kita akan coba membuat plot untuk fungsi kuadrat diatas dengan menggunakan properties yang telah dijelaskan diatas, berikut syntaxnya x = 4 4 y = x. ^2 plot(x, y, r s ) 6
Untuk membuat beberapa kurva dalam bidang yang sama, maka kita gunakan perintah old on dengan diteruskan membuat fungsi dan plot yang baru. Misalnya kita akan membuat plot dari tiga fungsi kuadrat yaitu y = x 2, y = x 2 + 2, dan y = x 2 + 4 sekaligus dalam satu bidang. x = 4 4 y1 = x. ^2 plot(x, y) old on y2 = x. ^2 + 2 plot(x, y2, r s ) old on y = x. ^2 + 4 plot(x, y3, k v ) 7
Jika kita ingin menggambar plot suatu grafik, namun kita bingung untuk menentukan domain dari fungsi yang akan kita gambar, maka kita gunakan perintah ezplot untuk menggambar fungsi yang bersangkutan dengan memperkenalkan variable terlebih dahulu dengan perintah syms, contohnya kita akan menggambar plot untuk y = x 2 9 : 8
Plot Garis 2D Koordinat Polar Seperti halnya pada koordinat kartesian, untuk menggambar suatu fungsi kita memerlukan fungsi yang akan digambar, dan domain fungsi yang keduanya harus kita definisikan terlebih dahulu. Dalam hal ini kita akan mencoba menggambar fungsi polar rose dan fungsi spiral Archimedean. Fungsi polar rose Fungsi polar rose jika digambar mirip seperti kelopak bunga, salah satu persamaan polar rose yang akan kita gambar adalah r θ = 2 sin 4θ Dengan domain 0 θ 2π, dengan kenaikan θ sebesar 0.01 radian. Dalam hal ini θ akan kita ganti sebagai t untuk mempemudah t = 0 0.01: 2 pi; r = 2 sin 4 t ; polar(t, r) title( Fungsi Polar Bunga ) 9
Fungsi Spiral Archimedean Seperti namanya fungsi ini berbentuk spiral, mungkin bisa dianalogikan dengan rumah keong. Fungsi yang akan kita gambar adalah r θ = θ 2π Dengan domain 0 θ 6π, dengan kenaikan θ sebesar 0.01 radian. Dalam hal ini θ akan kita ganti sebagai t untuk mempemudah t = 0 0.01: 6 pi; r = t/(2 pi); polar(t, r) title( Fungsi Spiral Arcimedean ) 10
Plot Kontur/Permukaan/3D Seperti pada yang telah diterangkan sebelumnya, untuk menggambar suatu fungsi kita memerlukan fungsi yang akan digambar, dan domain fungsi yang keduanya harus kita definisikan terlebih dahulu. Pada fungsi kartesian dengan bentuk umum z = f(x, y) maka kita perlu mendefinisikan domain fungsi pada sumbu x dan pada sumbu y. Hal tersebut dapat kita lakukan dengan perintah mesgrid dengan format sebagai berikut : x, y = mesgrid(x1: dx: x2; y1, dy, y2) Dimana : x1 batas bawa domain x yang kita tentukan dx peningkatan nilai pada domain x (semakin kecil semakin detail) x2 batas atas domain x yang kita tentukan y1 batas bawa domain y yang kita tentukan dy peningkatan nilai pada domain y (semakin kecil semakin detail) y2 batas atas domain y yang kita tentukan Sedangkan untuk menggambar dalam koordinat tiga dimensi, ada beberapa perintah yang bisa kita gunakan, yaitu : surf (domain_x, domain_y, fungsi) : untuk menggambar permukaan mes (domain_x, domain_y, fungsi) : untuk menggambar rangka dari fungsi contour (domain_x, domain_y, fungsi) : untuk menggambar kontur, yaitu garis garis/ kurva kurva pada bidang datar yang menunjukkan ketinggian Apabila kita ingin menggambar suatu fungsi namun bingung dengan penentuan domain, kita bisa menggunakan perintah perintah sebagai berikut : ezsurf ( fungsi) ezmes ( fungsi) ezcontour (fungsi) dengan memperkenalkan terlebih dahulu variable variable dengan perintah syms Untuk lebih jelasnya akan dicontohkan kita akan menggambar beberapa fungsi tiga dimensi sebagai berikut : Fungsi Paraboloid (menggunakan surf) Fungsi paraboloid merupakan hasil perputaran 360 fungsi parabola terhadap sumbu simetrinya. Fungsi yang akan kita gambar adalah z = x 2 + y 2, dengan domain 5 x 5, dan 5 y 5, dengan peningkatan nilai domain sebesar 0.5. Kita ketikkan perintah sebagai berikut : x, y = mesgrid( 5: 0.5: 5, 5: 0.5: 5); z = x. ^2 + y. ^2; surf(x, y, z) 11
Fungsi Hyperbolic-Paraboloid (menggunakan ezmes) Fungsi hyperbolic-paraboloid merupakan hasil perpaduan 2 fungsi hyperbolic, dan sebuah fungsi parabolic. Dua fungsi hyperbola tegak lurus terhadap bidang xy sedangkan sebuah fungsi hiperbola sejajar dengan bidang zy. Fungsi ini jika dilihat seperti sebuah pelana kuda. Fungsi yang akan kita gambar adalah z = y 2 x 2 Kita ketikkan perintah sebagai berikut : syms x; syms y; z = y^2 x^2; ezmes(z) 12
Fungsi Hyperbolic-Paraboloid (menggunakan ezcontour) Kita akan coba menggambar kontur dari fungsi hyperbolic-paraboloid pelana kuda diatas. Yang perlu kita ketahui, output pada fungsi kontur adalah beberapa garis yang memiliki berbagai macam warna. Warna warna yang ada bisa kita deretkan seperti aturan spectrum warna. Semakin kearah warna merah menunjukkan permukaan yang tinggi, sedangkan semakin kearah warna biru menunjukkan permukaan yang rendah. Kita ketikkan perintah sebagai berikut : syms x; syms y; z = y^2 x^2; ezcontour(z) 13
REFERENSI Stewart, James. 2008. Calculus, 6 th Edition. California : Thomson Brooks/Cole Varberg, D.E, Purcell, E.J., Rigdon, S.E. 2006. Calculus, 9 th Edition. New Jersey : Pearson Prentice Hall Thomas, G.B., Weir, D.B., Hass, J. Giordano, F.R. 2004. Calculus, 11 th Edition. Massachussets : Addison Wesley Perez, E. 2008. The Golden E-Book of Graphs of Mathematical Functions : A Selection of Some Beautiful Mathematical Surfaces from The Domain of The Real and Transcomplex Numbers System. Tanpa Kota : Tanpa Penerbit The MathWorks, Inc. 2012. MATLAB Primer. Massachussets : The MathWorks Inc REFERENSI ONLINE : Pierce, Rod. (27 May 2011). "Domain, Range and Codomain". Math Is Fun. Tersedia pada situs : http://www.mathsisfun.com/sets/domain-range-codomain.html Graphing Quadratic Functions : Introduction. (diakses pada 16 Juli 2012) Stapel, Elizabeth. "Graphing Quadratic Functions." Purplemath. Tersedia pada situs : http://www.purplemath.com/modules/grphquad.htm (diakses pada 15 July 2012) Polar Coordinate System. http://en.wikipedia.org/wiki/polar_coordinate_system (diakses tanggal 15 Juni 2012) 14