DISKRETISASI MODEL LOREN DENGAN ANALOGI PERSAMAAN BEDA Sii Shifaul Azizah Polieknik Koa Malang e-ail: shifa_9@yahoo.ac.id ABSTRAK Diskreisasi odel erupakan prosedur ransforasi odel koninu ke odel diskre. Diskreisasi dilakukan dengan eode analogi persaaan beda, yaiu dengan enganalogikan persaaan diferensial yang enggunakan auran lii, dengan persaaan beda yang enggunakan beda anar iik waku diskre. Model yang digunakan dala peneliian ini adalah odel Lorenz yang erepresenasikan aliran konveksi udara di aosfer yang erjadi karena perbedaan suhu. Tujuan dari peneliian ini adalah engkonsruksi odel diskre Lorenz dan ebandingkan perilaku anar odel diskre dan odel koninu. Langkah yang dilakukan erdiri dari iga ahap, yaiu konsruksi diskre, diskreisasi asing-asing persaaan dan validasi odel diskre dengan ebandingkan hasil siulasi grafik koninu dan diskre. Hasil dari peneliian ini didapakan odel diskre Lorenz dala benuk uu: = ( σ h) + + σ h, = ( r ) h + ( + h), = ( bh) + h dengan dan. Perbandingan perilaku seiap variabel pada odel koninu dan diskre diaai saa.;.;.,. dengan paraeer, dan 8 dan nilai awal,,,,. Unuk seakin kecil perbedaan anara odel koninu dan diskre akan seakin sediki pula. Dari hasil siulasi diskre, efek chaos erjadi pada eni. Saa, odel diskre yang dibenuk dapa engipleenasikan perilaku variabel koninu dan gejala kekacauan (chaos) di sekiar iik keseibangan. Kaa Kunci: Diskreisasi, Model Lorenz, Persaaan Beda, Model Koninu, Model Diskre, Chaos ABSTRACT Discreizaion of odel is ransforaion a odel in coninuous for o be a discree one. I can be done by using difference equaion analogy ehod. I analogues a differenial equaion ha use lii rules wih difference equaion ha use difference beween he poins of discree ie. The odel in his research is Lorenz odel. This odel represens a convecion oion in aosphere ha occurs due o eperaure difference.the purpose of research is show consrucion he discree version of Lorenz odel and know coparison of discree Lorenz behavior and coninuous one. This research was done by hree seps. Firs, consruc ie for discree case. Second, discreizaion each of equaions in Lorenz syse, and hird, validaion he discree odel ha is obained, by siulaing is graphics and copare i wih coninuous one. The resuls of his research obain a discree Lorenz odel in general for: = ( σ h) + + σ h, = ( r ) h + ( + h), = ( bh) + + h wih and. Coparison of he behavior of each variables on a coninuous and discree odel is observed when.;.;.,. wih he paraeer, and 8 and iniial value,,,,. For saller, he difference beween coninuous and discree odel will be less oo. Fro, siulaion of discree graphics, chaoic behavior can be shown fro inues. When., discree odel can ipleen he behavior of coninuous variables and chaoic behavior around equilibriu poin. Keywords: Discreizaion, Lorenz Model, Difference Equaion, Coninuous Model, Discree Model, Chaos PENDAHULUAN Menuru Liu dan Hussain (), diskreisasi erupakan proses kuanisasi sifasifa koninu. Kuanisasi diarikan sebagai proses pengelopokan sifa-sifa koninu pada selangselang erenu (sep size). Kegunaan diskreisasi adalah unuk ereduksi dan enyederhanakan daa, sehingga didapakan daa diskre yang lebih udah dipahai, digunakan dan dijelaskan. Oleh karena iu, hasil pebelajaran dengan benuk diskre dipandang Doughery (99) sebagai hasil yang cepa dan akura dibandingkan hasil dari benuk koninu. Diskreisasi dapa dilakukan dengan berbagai eode, salah saunya yaiu eode analogi persaaan beda.
Sii Shifaul Azizah Menuru Kaus Bahasa Indonesia (8), analogi erupakan persesuaian aau penyearaan dari dua hal yang berlainan. Adapun konsep analogi persaaan beda uncul dari pengerian persaaan koninu dan diskre. Meyer (98) enjelaskan bahwa persaaan koninu erupakan persaaan yang encakup perubahan sesaa dan secara aeais dinyaakan dengan persaaan diferensial (differenial equaion). Sedangkan persaaan diskre enggabarkan perubahan yang idak sesaa dan dinyaakan dala persaaan beda (difference equaion). Dari pengerian-pengerian ini, dikeahui bahwa analogi persaaan beda erupakan penyesuaian persaaan diferensial dengan persaaan beda. Persaaan beda adalah persaaan yang enghubungkan nilai fungsi yang dikeahui, dan sau aau lebih beda,,,, dengan, unuk seiap nilai anggoa hipunan bilangan yang eua selesaian dari fungsi (Goldberg, 98). Tirana (8) enunjukkan bahwa analogi persaaan beda di saping eiliki kesederhanaan algoria, juga erbuki eiliki keapuan yang baik dala enghasilkan odel diskre yang erepresenasikan odel koninunya. Dala peneliiannya, dilakukan diskreisasi odel AIDS dengan persaaan beda sehingga enghasilkan odel diskre AIDS yang dapa enjelaskan pola perkebangan variabel pada odel koninunya dengan sanga baik, Unuk enunjukkan bahwa eode ersebu aplikaif unuk odel lain, aka peneliian ini engebangkannya pada odel lain, yaiu odel Lorenz. Secara aeais, odel Lorenz didefinisikan sebagai srukur iga diensi berbenuk persaaan diferensial biasa nonlinear (Robinson, 4): ɺ = σ + σ ɺ = r (.) ɺ = b + Dala bidang eeorologi, odel Lorenz digunakan unuk eodelkan aliran konveksi yaiu pergerakan udara (angin) di aosfer yang engalai pergolakan karena perbedaan eperaur, dengan adalah inensias gerakan konveksi, besar perbedaan eperaur horizonal anara arus naik dan urun, dan besar perbedaan suhu verikal (Daledico, ). Paraeer adalah bilangan Prandl, erupakan hasil bagi dari viskosias dan kondukivias eral, paraeer enunjukkan perbedaan suhu pada lapisan yang dipanaskan, dan paraeer berganung pada keadaan geoeri dari lapisan fluida (O. Knill, ). Warer Turker, ebukikan bahwa pada saa nilai paraeer, dan 8 aka sise Lorenz eiliki keerganungan sensiif erhadap kondisi awal dan eiliki gejala chaos (Robinson, 4). Berdasarkan euan ini, aka peneliian ini enggunakan nilai paraeer ersebu dala engaai gejala chaos pada odel Lorenz koninu dan diskre. Tujuan dari peneliian ini adalah engkonsruksi odel diskre Lorenz dan ebandingkan perilaku dinaik odel Lorenz koninu dengan odel Lorenz diskre. Unuk iu, dilakukan proses pendiskreisasian odel, siulasi grafik odel koninu dan odel diskre, dan analisis perbandingan perilaku dan gejala chaos seiap variabel yang diunjukkan oleh kedua jenis grafik. KAJIAN TEORI. Persaaan Diferensial Persaaan diferensial adalah persaaan yang engandung urunan dari sau aau lebih peubah ak bebas dengan sau aau lebih peubah bebas (Ross, 984: 3). Turunan sebuah fungsi adalah fungsi lain (dibaca f aksen ) yang nilainya pada sebarang bilangan didefinisikan sebagai: li (.) asal lii ini ada (Purcell dan Vanberg, 3) Suau sise yang eua buah persaaan diferensial, dengan buah fungsi yang idak dikeahui, di ana disebu sise persaaan diferensial (Finizio dan Ladas, 98). Benuk uu dari sise persaaan orde peraa adalah sebagai beriku: dx = g(, x, x,..., xn ) d dx = g(, x, x,..., xn ) d (.) dxn = gn(, x, x,..., xn ) d dengan urunan fungsi erhadap, adalah fungsi yang berganung pada variabel,,., dan. Jika suau sise persaaan diferensial berbenuk: d x = F ( x, y, z ) d d y = G ( x, y, z ) (.3) d d z = H ( x, y, z ) d dengan fungsi,, secara eksplisi idak dipengaruhi oleh variabel waku, aka (.3) disebu sise auonous (Boyce, 986). 64 Volue No. 3 Noveber
Diskreisasi Model Lorenz dengan Analogi Persaaan Beda Tiik Keseibangan Tiik kriis sise (.3) adalah iik x = ( x, y, z) sehingga F( x) = G( x) = H( x) =. Tiik kriis x erupakan solusi-solusi sise (.9) yang bernilai konsan, sebab pada x, d x d y, d = d = dan dz d =. Keadaan yang enyebabkan dx dy, d = d = dan dz d = disebu keadan seibang, sehingga iik kriis ersebu disebu juga iik keseibangan (Edward dan Penney, dala Sazali, ). Kesabilan Menuru Hariyano (99) sifa dan jenis kesabilan hapir seluruhnya berganung pada akar-akar karakerisik. Kesabilan iik keseibangan suau sise dinaik diberikan pada Teorea beriku: Teorea : a. Tiik keseibangan dari sise (.3) bersifa sabil asioik, jika nilai eigen λ dan λ pada persaaan karakerisiknya adalah real dan negaif aau epunyai bagian real negaif. b. Tiik keseibangan dari sise (.3) bersifa sabil eapi idak sabil asioik, jika nilai eigen λ dan λ pada persaaan karakerisiknya adalah iaginer urni. c. Tiik keseibangan dari sise (.3) bersifa ak sabil, jika nilai eigen λ dan λ pada persaaan karakerisiknya adalah real dan juga posiif aau epunyai bagian yang posiif.. Persaaan Beda Persaaan beda adalah persaaan yang enghubungkan nilai fungsi yang dikeahui, dan sau aau lebih beda,,,, unuk seiap nilai anggoa suau hipunan bilangan (Goldberg, 98). Meyer (98) enuliskan benuk uu dari persaaan beda adalah sebagai beriku:, (.4) aau diulis:, (.),,,,. Analogi anara Kalkulus Beda dan Kalkulus Diferensial Faka bahwa urunan sebuah fungsi didefinisikan sebagai lii dari hasil bagi beda enghasilkan banyak analogi enarik anara kalkulus beda hingga dan kalkulus diferensial. Unuk sebuah fungsi yang diberikan, aka fungsi baru yang eiliki nilai di dinyaakan sebagai: y( x + h) y( x) y( x) Dy( x) = li = li h h h h Jika liinya ada aka fungsi baru di aas disebu urunan. adalah operaor diferensiasi yang enghasilkan urunan fungsi. adalah keiringan dari garis lurus yang enghubungkan iik-iik pada kurva di dengan di. Dengan enggunakan noasi ini, kalkulus diferensial dapa diinyaakan dengan beberapa analogi forula kalkulus beda beriku (Goldberg, 98). Tabel. Analogi Kalkulus Diferensial dengan Persaaan Beda Kalkulus Beda Kalkulus Diferensial li li,,,,, Suber: (Goldberg, 98) Pendekaan Persaaan Diferensial dengan Persaaan Beda Berdasarkan hubungan anara operaor beda dengan operaor diferensial yang elah disinggung pada bagian sebelunya, didapakan beberapa hubungan anara persaaan beda dan persaaan diferensial. Pada bagian ini akan diunjukkan keungkinan endapakan solusi persaaan diferensial sebagai solusi lii yang epa dengan persaaan beda. Abil sebuah fungsi yang erdefinisi di seiap pada inerval, yang eenuhi persaaan diferensial beriku dy( x) Dy( x) = = Ay( x) + B, a x b (.6) dx dengan dan adalah sebarang konsan dengan. Diasusikan nilai di dienukan sebagai nilai awal (Goldberg, 98). Unuk endekai persaaan diferensial dengan persaaan beda, peraa dilakukan pengganian inerval koninu dengan hipunan diskre dari nilai yang eungkinkan persaaan beda erdefinisi pada hipunan ersebu. Abil bilangan bula posiif yang ebagi inerval sapai dala bagian yang saa, dengan panjang asingasing inerval: b a h = (.7) n pebagian inerval ini enghasilkan iik-iik diskre pada selang, beriku: Jurnal CAUCH ISSN: 86-38 6
Sii Shifaul Azizah x = a, x = a + h, x = a + h,..., x n = a + nh = b Sehingga seiap iik diskre,,,, akan berkorespondensi dengan: y = y( x ) = y( x + nh) (.8) n inga bahwa: n Dy( xk ) = Ay( xk ) + B (.9) yk li = Ay( xk ) + B h h dengan enggunakan persaaan beda, aka persaaan (.9) dapa dinyaakan dengan: yk = Ay( xk ) + B h yk + yk = Ayk + B h y = y + h( Ay + B) k + k k yk + = ( + ha) yk + Bh, k =,,,..., n dapa dienukan nilainya seelah dierapkan nilai awal fungsi (Goldberg, 98). 3. Model Lorenz Persaaan Lorenz dikebangkan dari sise persaaan yang digunakan oleh Salzan unuk epelajari proses erodinaika yang dikenal dengan isilah konveksi. Konveksi encipakan gaya yang beranggungjawab unuk gerakan aosfer bui. Jika diberikan suau fluida, konveksi akan erjadi keika fluida dipanaskan dari bawah dan didinginkan dari aas. Perbedaan suhu fluida anara bagian aas dan bawah aosfer dijangkau fluida dala gulungan-gulungan silinder (Danforh, ). Sel konveksi digunakan unuk ensiulasikan perilaku aosfer secara kualiaif. Maahari yang eanaskan aosfer dan perukaan bui, enyediakan suber energi panas yang besar. Lau dan ruang angkasa engalirkan energi ersebu keluar aosfer. Udara hanga dari perukaan bui naik ke angkasa, sapai enjangkau iik-iik ebun yang akan berkondensasi ebenuk awan. Pada lapisan erluar aosfer udara didinginkan oleh ruang angkasa, sehingga enjadi lebih pada dan jauh ke bagian bawah. Dengan cara ini, konveksi yang erupakan aliran udara dingin dan hanga erjadi di aosfer dan enibulkan pengaruh pada cuaca (Danforh, ). Sel konveksi diunjukkan dala Gabar beriku. Gabar. Sel Konveksi (Suber:Danforh, ) Persoalan konveksi ini sebenarnya elibakan dua fenoena yaiu fenoena gerak dan fenoena difusi eral. Pada dasarnya unuk ebahas keseluruhan fenoena ini adalah dengan encari solusi dari persaaan Navier- Sokes (gerak) dan persaaan difusi eral. Kedua persaaan ersebu diekspansi oleh Lorenz sehingga dapa digunakan dala kasus nonlinier. Solusi yang dipelajari Lorenz dibenuk dala odel beriku (Sulaian, ): ɺ = σ + σ ɺ = r (.) ɺ = b + Tiik enyaakan urunan erhadap non diensi waku, dengan adalah bilangan Prandl, dan 4. Persaaan (.) adalah persaaan konveksi yang dikenal dengan sise persaaan Lorenz aau odel Lorenz (Sulaian, ). Paraaer odel Lorenz erdiri dari,,. Paraeer adalah bilangan Prandl yang erupakan hasil bagi viskosias dan kondukivias eral, suau nilai aau harga unuk enenukan disribusi eperaur pada suau aliran. Paraeer erupakan nilai yang enunjukkan ekspansi eral. Dan paraeer sebagai bilangan Rayleigh yang didefinisikan sebagai rasio dari bilangan Rayleigh kriis dan bilangan Rayleigh awal. Bilangan Rayleigh engindikasikan keberadaan dan kekuaan konveksi pada suau fluida. Sifa odel Lorenz adalah nonlinier yang diunjukkan oleh suku dan, sieri yang berari bahwa persaaan invarian erhadap,,, oleh karena iu, jika,, adalah solusi persaaan, aka,, juga erupakan solusi dari persaaan ersebu (Anoni, ). 4. Kekacauan (chaos) Chaos adalah suau perilaku evolusi jangka panjang yang enunjukkan kekacauan dan eenuhi krieria aeaika erenu sera erjadi pada sise nonlinear deerinisik (Willias, 997). Chaos bersifa aperiodik dan eiliki keerganungan pada kondisi awal (Ipek, 9). Sifa chaos aperiodik, yakni suau kondisi yang idak berauran dan dala grafik idak dieukan perulangan ke benuk awal grafik. Tapilan grafik yang acak ersebu adalah benuk dari respon sise erhadap kondisi awal yang diberikan. Perbedaan peberian nilai awal, akan enyebakan perbedaan hasil yang sanga besar pada sise chaos. Jika adalah iik keseibangan odel, dan diberikan gangguan dengan nilai yang sanga deka dengan iik ersebu, sehingga 66 Volue No. 3 Noveber
Diskreisasi Model Lorenz dengan Analogi Persaaan Beda dapa dikaakan, di ana, isal aka chaos akan enghasilkan efek kekacauan yang sanga idak erduga. Peberian gangguan ini dapa diilusrasikan oleh Gabar beriku (Anoni, ). Gabar. Gangguan di Sekiar Tiik Kondisi pada Gabar dapa dierapkan pada sebuah odel dala rangka engeahui kesensiivan erhadap kondisi awal. PEMBAHASAN. Konsruksi Benuk Diskre Model Lorenz Model Lorenz koninu adalah sebagai beriku: f : ɺ = σ + σ f : ɺ (3.) = r f3 : ɺ = b + Konsruksi benuk diskre (diskreisasi) dari odel Lorenz yang berbenuk sise persaaan iga diensi dilakukan dengan enransforasi sau per sau persaaannya. Proses diskreisasi diawali dengan pengganian inerval koninu dengan hipunan diskre yang eungkinkan persaaan beda erdefinisi pada hipunan ersebu. Konsruksi Diskre Pada kasus diskre, variabel pada odel Lorenz berubah seiring dengan perubahan waku yang bergerak dengan beda sebesar. Perubahan nilai variabel unuk diskre diilusrasikan oleh Gabar 3. Gabar 3. Skea Perubahan Diskre Skea di aas enjelaskan bahwa inerval koninu diubah ke dala benuk diskre yang berupa hipunan,,.,. Dengan engabil bilangan asli yang ebagi inerval dala bagian yang saa, diperoleh inerval anar iik diskre beriku:,,,3,, ; (3.) secara rekursif, iik-iik diskre dala inerval, dapa dienukan sebagai beriku: = + = + h = + = + h = + 3 = + 3h 3 = + = + h = + ( + ) = + ( + ) h sehingga fungsi,,, ;,,, dan,,, dapa dinyaakan sebagai beriku: = ( + h) = ( + h) = ( + 3 h) 3 = ( + h) = ( + ( + ) h) Dengan cara yang saa, dapa dienukan pula bahwa dan. Jika diasusikan aka, dan dapa diulis enjadi: = ( ) = ( ) = ( ) (3.3) Saa, aka dapa diperolehkondisi beriku: + = + ( + ) h = + h + h = ( + h) + h = + h (3.4) Sehingga didapakan, dan beriku: = ( + h) (3.) = ( + h) = ( + h) Persaaan (3.3) dan (3.) selanjunya akan digunakan dala diskreisasi asing-asing persaaan,,. Diskreisasi Diberikan : ɺ = σ + σ (3.6) Jurnal CAUCH ISSN: 86-38 67
Sii Shifaul Azizah anda iik pada enyaakan urunan peraa fungsi erhadap waku. Berdasarkan definisi urunan, aka (3.6) dapa dinyaakan sebagai beriku, d = σ + σ d ( + ) ( ) li = σ ( ) + σ ( ) (3.7) dengan enggunakan persaaan beda, aka persaaan (3.7) dapa dinyaakan sebagai: ( + ) ( ) = σ ( ) + σ ( ) (3.8) karena aka ruas kiri persaaan (3.8) dapa diulis kebali sebagai, ( + h) ( ) = h( σ ( ) + σ ( )) ( + h) ( ) = σ h ( ) + σ h ( ) (3.9) Selanjunya, persaaan (3.9) diransforasi ke dala fungsi diskre dengan diskre yang diberikan pada persaaan (3.3) dan (3.). Sehingga, persaaan (3.9) enjadi, = σh + σh = σh + σh + = ( σh) + σh (3.) Diskreisasi Diberikan sebagai beriku, ɺ = r (3.) anda iik pada enyaakan urunan peraa fungsi erhadap waku. Berdasarkan definisi urunan, aka (3.) dapa diuliskan sebagai beriku, d = r d (3.) ( + ) ( ) li = r ( ) ( ) ( ) ( ) dengan enggunakan persaaan beda, dan dengan aka persaaan (3.) dapa dinyaakan sebagai ( + ) ( ) = r( ) ( ) ( ) ( ) ( + h) ( ) = r( ) ( ) ( ) ( ) h ( + h) ( ) = h( r( ) ( ) ( ) ( )) ( + h) ( ) = hr ( ) h( ) h( ) ( ) (3.3) Selanjunya, persaaan (3.3) diransforasi ke dala fungsi diskre dengan diskre yang diberikan pada persaaan (3.3) dan (3.). Sehingga, persaaan (3.3) enjadi, = hr h h = hr + h h = hr h + h + = ( r ) h + ( h) (3.4) Diskreisasi Diberikan sebagai beriku, ɺ = b + (3.) dengan enguraikan ruas kiri sesuai dengan definisi urunan erhadap, dan dengan eberikan, aka (3.) enjadi, d = b + d ( + ) ( ) li = b( ) + ( ) ( ) (3.6) dengan enggunakan persaaan beda, persaaan (3.6) dapa diulis ( + ) ( ) = b( ) + ( ) ( ) (3.7) dengan ensubsiusi, aka persaaan (3.7) enjadi ( + h) ( ) = b( ) + ( ) ( ) h ( + h) ( ) = h( b( ) + ( ) ( )) ( + h) ( ) = bh ( ) + h ( ) ( )) (3.8) Selanjunya persaaan (3.8) dianalogikan dengan enggunakan persaaan (3.3) dan (3.), sehingga enjadi, = bh + h = bh + h + = ( bh) + h (3.9) Dari uraian di aas, aka diperoleh benuk diskre dari persaaan, dan yang dapa disusun dala sise persaaan Lorenz diskre beriku, = ( σ h) + σ h + = ( r ) h + ( h) (3.) = ( bh) + h di ana,,3,, dengan, dan.. Analisis Perbandingan Perilaku Variabel pada Model Koninu dan Diskre Lorenz Seelah dilakukan diskreisasi odel, langkah selanjunya adalah validasi odel diskre dengan ebandingkan grafik odel diskre yang elah dikonsruksi dengan odel koninunya. Sebuah grafik koninu dengan selang waku erenu akan didekai oleh grafik diskre 68 Volue No. 3 Noveber
Diskreisasi Model Lorenz dengan Analogi Persaaan Beda yang ebagi selang ersebu dengan iik-iik diskre berinerval eap. Besar inerval endekai nol, dala peneliian ini diberikan:.;.;.,. dengan iga selang waku koninu yang berbeda, yaiu eni, eni dan 3 eni. Dengan nilai paraeer,, 8, dan nilai awal,, dan. Model Lorenz koninu pada persaaan (3.) dan odel Lorenz diskre pada persaaan (3.), dapa diunjukkan oleh Gabar 4.,, 4 x 4 8 6 4 Grafik Diskre -...3.4..6.7.8.9 6 4 (a) 4 3,, 3,, - -...3.4..6.7.8.9 (b) - -...3.4..6.7.8.9 Gabar 4. Grafik Koninu Model Lorenz dala Meni Inensias dari gerak konveksi () diunjukkan dala () gerakan, besar perbedaan eperaur horizonal () dan perbedaan eperaur verikal () diukur dala deraja Fahrenhei (F), sedangkan waku dala sauan eni. Pada saa koninu, perkebangan variabel akan erliha sebagaiana Gabar 4 Terdapa beberapa pola perilaku dari seiap variabel yang diunjukkan. Perkebangan enunjukkan bahwa dala selang eni, kuanias gerak konveksi akan engalai kenaikan sapai dengan endekai gerakan pada saa,3 eni peraa. Perkebangan ini sebanding dengan yang enunjukkan perbedaan suhu horizonal, dala,3 eni peraa selalu engalai kenaikan sapai endekai F. Sedangkan perbedaan suhu secara verikal eningka lebih besar pada saa endekai,38 eni peraa, yaiu sapai dengan endekai F. Perilaku,, sebanding sau saa lain, kenaikan sau variabel akan diikui oleh kenaikan variabel lainnya. Perilaku ini akan dibandingkan dengan dengan perilaku variabel pada odel diskre. Grafik odel diskre diunjukkan oleh Gabar.,,,, 4 3 - -...3.4..6.7.8.9 4 3 - (c) -...3.4..6.7.8.9 (d) Gabar. Grafik Diskre Model Lorenz dala Meni dala yang bervariasi: (a)., (b)., (c)., dan (d). Gabar enunjukkan bahwa unuk. odel diskre dala selang eni belu ewakili pola perkebangan odel koninu yang diunjukkan oleh Gabar 3. Nilai,, yang erlapau besar saa. engakibakan iik waku idak dapa endekai inerval nilai fungsi koninu yaiu,,. Seakin kecil, yaiu diabil. enunjukkan grafik diskre endekai linasan grafik koninu. Dengan engabil lebih kecil, yaiu., iik diskre akan seakin banyak dan rapa, sehingga Jurnal CAUCH ISSN: 86-38 69
Sii Shifaul Azizah sebagaiana erliha pada Gabar (c), odel koninu elah dapa diwakili oleh odel diskre, dengan pola perilaku variabel yang hapir saa. Selanjunya, kebali di abil.. Diunjukkan bahwa grafik diskre eap eperahankan benuknya, yaiu enunjukkan kesaaan dala enggabarkan pola perkebangan odel koninu. Sehingga unuk selang eni, dapa dinyaakan bahwa odel diskre enunjukkan pola perilaku yang saa dengan odel koninu saa.. Selanjunya, unuk enunjukkan bahwa odel diskre apu ewakili pola perilaku odel koninu saa. berlaku unuk inerval lain, aka akan dilakukan uji dengan inerval yang lebih panjang, yaiu eni. Grafik koninu unuk inerval eni, diunjukkan oleh Gabar 6. Pola perkebangan seiap variabel dala inerval eni adalah ulai enunjukkan flukuasi. Grafik berosilasi dengan seibang di sekiar iik,, 8, 8, 7. Analisis iik keseibangan ini akan dibahas lebih deail pada sub bab selanjunya.,, 4 3 - - 3 4 6 7 8 9 Gabar 6. Grafik Koninu Model Lorenz dala Meni Pola perilaku variabel pada grafik koninu di aas akan dibandingkan dengan pola perilaku grafik diskre pada Gabar 7. Dala selang eni, grafik diskre dengan. kebali enunjukkan adanya keerbaasan keapuan dala erepresenasikan grafik koninu. Inerval yang sedeikian besar, enyebabkan fungsi bernilai besar dan idak erdefinisi pada selang fungsi,,. Dengan., grafik diskre ulai eperlihakan osilasinya, walaupun linasan asing-asing plo variabel diskre asih enyebar dan bergeser dari linasan koninu. Pola perkebangan seiap variabel diskre sanga endekai keadaan koninu, yaiu berflukuasi secara erus enerus dan enunjukkan adanya kesabilan pada saa.. Deikian pula saa., kebali diunjukkan bahwa keadaan diskre idak engalai perubahan yang besar dari keadaan diskre saa.. Sehingga secara uu, unuk selang eni, odel koninu Lorenz dapa diwakili oleh odel diskre dengan..,, Grafik Diskre - 4 6 8,,,,,, 4 3-4 3 - (a) (b) (c) (d) Gabar 7. Grafik Diskre Model Lorenz dala Meni dala yang bervariasi: (a)., (b)., (c)., dan (d). Selanjunya, unuk eperuu kesipulan bahwa grafik diskre odel Lorenz dapa engipleenasikan perilaku koninunya saa., aka kebali dilakukan uji unuk selang waku pengaaan yang lebih besar, yaiu 3 eni. Grafik koninu unuk selang waku ersebu diberikan pada Gabar 8. - 3 4 6 7 8 9 4 3 - - 3 4 6 7 8 9 4 3 - - 3 4 6 7 8 9 7 Volue No. 3 Noveber
Diskreisasi Model Lorenz dengan Analogi Persaaan Beda 4 4 3 3,,,, - - - 3 - Gabar 8. Grafik Koninu Model Lorenz dala 3 Meni Keadaan diskre unuk inerval 3 eni dapa diliha pada Gabar 9 beriku. 3,, - - -3 3 4 3,, - - -3 Jurnal CAUCH ISSN: 86-38 3 3 4 3 - - -3 3 Gabar 9. Grafik Diskre Model Lorenz dala 3 Meni dala yang bervariasi, beruru-uru dari aas adalah grafik diskre dengan.,.,., dan. Grafik Diskre 4,, Keadaan koninu pada inerval 3 eni enunjukkan adanya gejala chaos yang diandai dengan keacakan osilasi grafiknya. Pola perilaku seiap variabel pada saa koninu, berflukuasi secara aperiodik dala linasan yang saa dengan linasannya. Perkebangan dan bergerak dala inerval (,, sedangkan berflukuasi dala inerval. -3 Model diskre dengan 3 eni dan. enunjukkan perilaku variabel yang cenderung idak berbeda dengan perilaku saa diuji dengan dua selang sebelunya yaiu enunjukkan gala yang besar karena nilainya yang erlapau besar dala endekai odel koninu. Unuk. diunjukkan bahwa perkebangan variabel asih erlalu lebar dari linasan. Hal ini dikarenakan julah iik-iik yang ebagi selang ersebu belu cukup ewakili perkebangan seua iik di saa koninu. Selanjunya saa., pola perkebangan lebih endekai pola koninu. Naun saa diabil lebih kecil lagi yaiu., grafik yang sebelunya pada saa eni dan eni cenderung idak enunjukkan perubahan pola perkebangan lagi unuk., pada selang waku yang lebih besar yaiu 3 eni enunjukkan adanya perubahan yang signifikan ulai eni ke-. Naun eap eperahankan benuknya, dala ari, perkebangan seiap variabel asih berada pada linasan asing-asing, walaupun perkebangannya elah sediki berbeda dengan kondisi koninunya. Hal ini enunjukkan adanya efek kekacauan (chaos) yang oleh banyak eori disebukan diiliki oleh sise persaaan 7
Sii Shifaul Azizah Lorenz ini. Analisis kekacauan Lorenz akan diuraikan lebih deail pada bagian berikunya. Dari uji validias, yang dilakukan dengan ebandingkan grafik diskre dan grafik koninu pada iga selang waku, yaiu eni, eni dan 3 eni sera inerval unuk iik diskre yang bernilai.;.;.;., dapa dikeahui secara uu bahwa perilaku seiap variabel enunjukkan perbedaan yang signifikan saa odel diskre enggunakan., dengan eperkecil nilai enjadi. didapakan odel diskre yang lebih endekai pola perkebangan koninu yang enunjukkan adanya flukuasi grafik dengan linasan yang lebih lebar daripada linasan koninu. Seakin kecil aka diperoleh perilaku diskre yang seakin endekai perilaku koninu, yaiu saa.. Apabila kebali diperkecil, perilaku grafik diskre eunculkan dua keungkinan, peraa yaiu eperahankan keadaannya sebagaiana diunjukkan pada saa., dan kedua engalai sediki perubahan dala linasannya. Keungkinan kedua ini, erjadi unuk selang pengaaan pada eni-eni yang cukup besar, yaiu eni. Naun secara uu, keadaan koninu elah dapa dicapai saa odel diskre dikonsruksi dengan.. Dari kedua grafik, baik koninu aupun diskre dengan. enunjukkan bahwa kuanias gerak konveksi berkebang sebanding dengan perkebangan perbedaan suhu horisonal, keduanya berkebang dala kisaran nilai yang idak jauh berbeda. Sedangkan unuk perbedaan suhu verikal, eskipun eiliki pola perkebangan dengan flukuasi yang sebanding, eapi nilainya jauh lebih inggi dari dua variabel lainnya. 3. Analisis Perbandingan Perilaku Kekacauan (chaos) pada Model Koninu dan Diskre Lorenz Perilaku chaos pada odel koninu dan diskre dapa diaai di sekiar iik keseibangannya. Unuk enunjukkan kekacauan yang enyebabkan sise engalai perubahan yang signifikan, aka diberikan gangguan berupa dengan besar di sekiar iik keseibangan. Dala hal ini, besar gangguan yang diberikan dipilih sanga kecil, yaiu yang dierapkan pada salah sau variabel, yaiu. Langkah unuk ebandingkan gejala chaos pada odel koninu dan diskre diawali dengan analisis iik keseibangan odel koninu, analisis kekacauan di sekiar iik keseibangan odel koninu, dan analisis kekacauan di sekiar iik keseibangan odel diskre. Dala hal ini, dipilih odel diskre dengan. yaiu.,. yang pada pebahasan sebelunya elah diunjukkan dapa endekai odel koninu dengan baik, dan dari iga inerval waku yang diberikan, dipilih inerval waku 3 eni karena pada pebahasan sebelunya dinyaakan bahwa kekacauan grafik erliha pada eni. Beriku akan diunjukkan analisis iik keseibangan odel Lorenz sebelu endapa gangguan. Tiik keseibangan sise persaaan Lorenz (3.) diperoleh saa sise berada dala keadaan seibang, yang erjadi saa, dan. Sehingga didapakan sise beriku f : = σ + σ f : = r (3.) f3 : = b + Dari dikeahui bahwa, yang enyebabkan enjadi = r (3.) = ( r ) Persaaan (3.) enyebabkan aau. Pilih sehingga. Nilai ini engakibakan pada juga bernilai. Dengan deikian iik keseibangan peraa dari sise (3.) adalah,,,, Selanjunya akan dienukan iik keseibangan kedua. Inga bahwa dari, didapakan dan dari didapakan, yang engakibakan enjadi = b( r ) + = ± b( r ) = ± b( r ) Karena odel Lorenz eiliki sifa sieri, di ana persaaan akan invarian pada,,, aka,, r sebagai iik keseibangan sise engakibakan,, r juga akan enjadi iik keseibangan sise. Sehingga secara uu, iik keseibangan yang idak nol unuk sise persaaan Lorenz dapa diuliskan sebagai beriku,,,,, r,,,, r (3.3) Unuk nilai paraeer yang dibaasi pada dan 8, aka iik keseibangan pada persaaan (3.3) dapa diberikan sebagai beriku, 7 Volue No. 3 Noveber
Diskreisasi Model Lorenz dengan Analogi Persaaan Beda 8,48; 8,48; 7 Selanjunya akan dianalisis kesabilan dari iik keseibangan yang elah diperoleh. Unuk iik eap peraa, ariks Jacobi di sekiar,, adalah,, Dapa dienukan nilai eigen yang eenuhi dengan ariks idenias, sebagai beriku. Sehingga diperoleh persaaan karakerisik beriku Dengan deikian, didapakan nilai eigen, λ = b + σ + σ σ λ = ( ) ( ) 4 ( r) ( + σ ) + ( + σ ) 4 σ ( r) λ3 = Unuk nilai, dan 8, nilai eigennya adalah λ =.67 λ =,8 λ3 =,8 Karena erdapa, dan aka berdasarkan Teorea, iik keseibangan peraa idak sabil. Selanjunya akan dianalisis kesabilan iik keseibangan ak nol, yaiu 8,48; 8,48; 7. Mariks Jacobi di sekiar iik 8,48; 8,48; 7 dengan nilai paraeer yang elah diberikan adalah, ;, ; 8,48 8,48 8,48,67 Persaaan karakerisiknya adalah 3,67 4,67 38,67 Sehingga nilai eigennya: λ = 3,8 λ =.9 +,9i λ3 =.9,9i Karena dan unsur real dari, aka iik keseibangan ak nol unuk odel Lorenz adalah idak sabil. Selanjunya akan diaai gejala kekacauan (chaos) yang erjadi di sekiar iik keseibangan odel koninu Lorenz. Dengan eberikan gangguan pada variabel, aka iik keseibangan baru adalah,,. Tiik keseibangan peraa sebelu dan sesudah endapa gangguan dapa diunjukkan oleh Gabar.,,,,.8.6.4. -. -.4 -.6 -.8-3 4 3 - (a) - -3 3 (b) Gabar. (a) Grafik Model Koninu dengan iik keseibangan,,,, sebelu endapa gangguan. (b) Grafik Model Koninu dengan iik keseibangan,,,, sesudah endapa gangguan. Berdasarkan Gabar (a) dan (b), dikeahui bahwa gangguan yang sanga kecil pada variabel enyebabkan perubahan yang signifikan pada sise Lorenz. Faka ini enandakan bahwa sise sensiif erhadap peberian nilai awal, dan peneriaan inpu yang sederhana pada sise elah enghasilkan keluaran yang kopleks. Gejala ini erupakan buki bahwa sise eiliki gejala chaos di sekiar iik keseibangan peraa. Keadaan ini idak diikui oleh iik keseibanak nol. Gangguan diberikan di sekiar iik keseibangan ak nol, keadaan grafik sebelu dan sesudah diberikan gangguan di sekiar iik keseibangan ak nol, diapilkan dala Gabar. Jurnal CAUCH ISSN: 86-38 73
Sii Shifaul Azizah,, 3 Sebelu dan sesudah Mendapa Gangguan 8,48; 8,48; 7 (b) Tiik Keseibangan 8,48 ; 8,48; 7 Beriku akan diunjukkan iik keseibangan odel diskre dengan. sebelu dan sesudah diberikan gangguan di sekiar iik,,,, oleh Gabar 3. 4-3 - - 3 (a) Sebelu Mendapa Gangguan 3,, - -,, -3 3 (a) - - 4-3 (b)sesudah Mendapa Gangguan Gabar. Grafik Model Lorenz Koninu sebelu dan sesudah diberikan gangguan di sekiar iik keseibangan. (a) Tiik Keseibangan 8,48; 8,48; 7, (b) Tiik Keseibangan 8,48 ; 8,48; 7) Pada saa iik keseibangan 8,48; 8,48; 7, peberian gangguan di sekiar iik keseibangan diunjukkan oleh Gabar.,,,, 3 3 (a) Sebelu Mendapa Gangguan 3 3 (b) Sesudah Mendapa Gangguan Gabar. Grafik Model Lorenz Koninu sebelu dan sesudah diberikan gangguan di sekiar iik keseibangan. (a) Tiik Keseibangan,, 3 - - -3 3 (b) Gabar 3. (a) Tiik Keseibangan Model Diskre dengan. Lorenz di,,,,, (b) Tiik Keseibangan Model Diskre Lorenz dengan.di,,,, Keadaan serupa Gabar 3 di aas juga diunjukkan oleh odel diskre dengan.. Perubahan sebelu dan sesudah peberian gangguan di sekiar iik keseibangan pada odel diskre. diberikan pada Gabar 4. Dari Gabar 3 (a) dan (b) dan Gabar 4 (a) dan (b), dapa diunjukkan bahwa dala keadaan diskre juga erjadi perubahan yang signifikan sebelu dan sesudah diberikan gangguan di sekiar iik keseibangan. Hal ini enunjukkan bahwa sise diskre juga eiliki sensiivias erhadap peberian nilai awal. Dengan sise diskre juga eiliki efek chaos di sekiar iik keseibangan,,,,. Selanjunya gejala chaos pada kondisi diskre dibandingkan dengan chaos dala kondisi koninu. Unuk iu, dibandingkan Gabar 3 (b) dan 4 (b) yang ewakili gejala chaos pada kondisi diskre dan Gabar (b) unuk gejala chaos pada kondisi koninu. Kedua gabar 74 Volue No. 3 Noveber
Diskreisasi Model Lorenz dengan Analogi Persaaan Beda ini enunjukkan bahwa osilasi grafik yang engandung chaos baik dala kondisi koninu aupun diskre, enunjukkan pola yang serupa, yakni berflukuasi dala linasan yang saa secara aperiodik saa eni.,,,, 4 3 (a) (b) Gabar 4. (a) Tiik Keseibangan Model Diskre dengan. Lorenz di,,,,, (b) Tiik Keseibangan Model Diskre Lorenz dengan.di,,,, Berdasarkan hasil pengaaan yang dilakukan, dapa diunjukkan bahwa odel koninu Lorenz dengan paraeer, dan 8 eiliki gejala chaos di sekiar iik keseibangan,,,,. Keadaan ini dapa direpresenasikan dengan baik oleh odel diskre Lorenz dengan.. PENUTUP - - -3 3 4 3 - - -3 3 Berdasarkan hasil peneliian, dapa disipulkan bahwa konsruksi benuk diskre odel Lorenz dengan enggunakan analogi persaaan beda dilakukan dengan iga ahap, ahap peraa adalah konsruksi waku unuk kasus diskre, ahap kedua adalah diskreisasi asing-asing persaaan penyusun sise persaaan Lorenz dan ahap keiga adalah validasi dengan siulasi perbandingan grafik. Benuk diskre odel Lorenz yang dihasilkan adalah = ( σ h) + σh = ( r ) h + ( h) = ( bh) + h dengan dan. Perbandingan perilaku seiap variabel pada odel koninu dan diskre diaai saa,;,;,;, dengan paraeer, dan 8 dan nilai awal,,,,. Unuk seakin kecil perbedaan anara kedua odel akan seakin sediki pula. Mulai. perilaku variabel pada odel diskre hapir idak enunjukkan perbedaan dengan odel koninu. Dari hasil siulasi diskre, efek chaos erjadi pada eni. Saa., odel diskre yang dibenuk dapa engipleenasikan perilaku variabel koninu dan gejala kekacauan (chaos) di sekiar iik keseibangannya. Bagi peneliian selanjunya, disarankan unuk elanjukan sudi diskreisasi odel Lorenz ini dengan enggunakan nilai paraeer yang berbeda dan bervariasi, agar dapa diliha keakuraan odel diskre yang elah dibangun unuk nilai paraeer yang lain. Peneliian selanjunya juga dapa engebangkan eode diskreisasi lainnya. DAFTAR PUSTAKA [] Anoni. TT. Three Diensional Syses Lecure 6: The Lorenz Equaions. www.a.ox.ac.uk/user/read/chaos/lec6.p df diakses anggal Deseber [] Daledico, A. D.. Hisory and Episeology of Models: Meeorology (946-963) as a Case Sudy. Arch. His. Exac Sci. () 39 4. Springer- Verlag. [3] Danforh, C. A.. Why he Weaher is Unpredicable, An Experienal and Theoriical Sudy of The Lorenz Equaions. Lewison: The Faculy of The Deparen of Maheaics ang The Deparen of Physics Baes College. [4] Goldberg, S. 98. Inroducion o Difference Equaions. New ork: John Wiley & Son. [] Hariyano, dkk. 99. Persaaan Diferensial Biasa. Malang: Universias Terbuka [6] Liu & Hussain. TT. Discreizaion: An Enabling Technique. Arizona: Depareen of Copuer Science and Enginering- Arizona Sae Universiy Jurnal CAUCH ISSN: 86-38 7
Sii Shifaul Azizah [7] Meyer, W. J. 98. Concep of Maheaical Modeling. New ork: McGraw-Hill Book Copany. [8] O.Knill. TT. The Lorenz Syse. www.ah.harvard.edu/.../8r.../lorenz. pdf. diakses anggal Deseber. [9] Ross, S. L. 984. Differenial Equaions Third Ediion. New ork: John Wiley & Son. [] Sazali, M. 9. Analisis Kesabilan pada Persaaan Lorenz. Skripsi Tidak Dierbikan. Malang: Jurusan Maeaika FMIPA UM. [] Ti Penyusun. 8. Kaus Bahasa Indonesia. Jakara: Pusa Bahasa [] Tirana, M. A. 8. Diskreisasi Model Dinaik Koninu. Skripsi Tidak Dierbikan. Bandung: Depareen Maeaika Fakulas F-MIPA Insiu Peranian Bogor. [3] Varberg & Purcell, E. J. 3. Calculus 8 h Ediion. Terjeahan I Nyoan Susila. Jakara: Erlangga [4] Willias, G. P. 997. Chaos Theory Taed. London: Tailor and Francis 76 Volue No. 3 Noveber