Jurusan Teknik Sipil dan Lingkungan Universitas Gadjah Mada STATISTIKA Continuous Probability Distributions 1
Continuous Probability Distributions Normal Distribution Uniform Distribution Exponential Distribution Gamma Distribution Lognormal Distribution Extreme Value Distributions Extreme Value Type I Extreme Value Type III Minimum (Weibull) Beta Distribution Pearson Distributions 2
Normal Distribution 3
Distribusi Uniform p X (x) a pdf: p X cdf: P X ( x) = 1 b - a, a x b ( x) = x - a b - a, a x b E ( X ) = 1 2 ( b+a ) var ( X ) = 1 12 ( b - a ) 2 b X 4
Distribusi Eksponensial p X (x) Coefficient of skew: c s = 2 (konstan) Parameter l: estimasi ˆl = 1 X pdf: p X cdf: P X ( x) = l e -l x, x > 0, l > 0 x ( x) = ò l e -lt dt =1- e -l x, x > 0 0 X 5
Distribusi Gamma Penjumlahan sejumlah n variabel random berdistribusi exponensial, masing-masing berparameter l, menghasilkan variabel random berdistribusi gamma dengan parameter l. pdf p X cdf P X P X x ( x) = l h x h-1 e -l x G( h), x,l,h > 0 x ( x) = l h t h-1 e -lt G h ò 0 ( ) =1- e -l x h-1 ( l x) j å j=0 j! ( ) dt, h = integer 6
Distribusi Gamma ( ) = fungsi gamma ( ) = h-1 ( ) = hg h G h G h ( )!, h =1,2,3,... G h+1 ( ), h > 0 ( ) = t h-1 e -h dt 0 ( ) = G( 2) =1 G h G 1 ò, h > 0 Mean: E ( X ) = h l Variance: var ( X ) = h l 2 Coef. of skew: ( ) = p G 1 2 g = 2 h 7
Distribusi Gamma p X (x) h= konstan l 1 l 2 < l 1 l 3 < l 2 < l 1 p X ( x) = 1 G h ( ) lh x h-1 e -l x, x,l,h > 0 X 8
Distribusi Lognormal Variabel random X Jika disusun dari penjumlahan sejumlah pengaruh variabel kecil, maka X kemungkinan besar berdistribusi normal. Jika disusun dari perkalian sejumlah pengaruh variabel kecil, maka ln X kemungkinan besar berdistribusi normal. X = X 1 + X 2 +...+ X n X = X 1 X 2... X n ln X = ln X 1 + ln X 2 +...+ ln X n X i = berdistribusi normal X = berdistribusi normal ln X = berdistribusi normal 9
Distribusi Lognormal Y = ln X Y i = ln X i Y = Y 1 +Y 2 +...+Y n Y berdistribusi normal p Y ( y) = 1 ( s Y 2p e-1 2 y-m Y ) 2 s 2 Y, - < y < + Distribusi X? p X ( x) = p ( Y y) d y d x Y = ln X Þ d y d x = 1 x, x > 0 p X ( x) = 1 ( xs Y 2p e-1 2 ln x-m Y ) 2 s 2 Y, x > 0 10
Distribusi Lognormal Estimasi m Y dan s Y m Y Y s Y s Y Data x i ditransformasikan dulu menjadi y i = ln x i Cara lain: æ Y = 1 2 ln X 2 ö ç ç 2 è c v +1 ø ( ) s Y 2 = ln cv 2 +1 c v = koefisien variasi data asli c v = s X X 11
Distribusi Lognormal Mean ç ( ) = e m Y +1 2 s Y 2 è E X Koefisien variasi æ æ c v = e s Y 2 ö ç -1 è ø 2 ö ø Varian var X ( ) 2 s 2 = m X ç e Y -1 Coefficient of skew 3 g = 3c v + c v æ è ö ø 12
Distribusi Nilai Ekstrem Contoh nilai ekstrem Debit banjir Debit minimum Nilai-nilai ekstrem variabel random juga merupakan variabel random. Distribusi variabel random nilai ekstrem tsb bergantung pada: distribusi variabel random tempat asal variabel nilai ekstrem tsb diperoleh parent distribution jumlah/ukuran sampel 13
Distribusi Nilai Ekstrem Contoh Variabel random X = x 1,x 2,..., x n Y = nilai ekstrem variabel random tersebut P Y P Xi P Y ( y) = prob( Y y) ( x) = prob( X i x) ( y) = prob( Y y) = prob( semua x yang y) 14
Distribusi Nilai Ekstrem maka: P Y ( y) = P ( X1 y) P ( X2 y) P ( Xn y) = P ( X y) é ë ù û n p Y ( ) ( y) = d P Y y d y = né ëp X y ( ) = né ëp X y ù ( ) ( ) ûn-1 px y ( ) d y ù n-1 d P y X û 15
Distribusi Nilai Ekstrem Contoh Waktu antara 2 hujan berurutan berdistribusi eksponensial. Waktu rata-rata antara 2 hujan = 4 hari Waktu antara tsb merupakan kejadian independent satu dengan yang lain Dicari: waktu antara terbesar, misal probabilitas waktu antara tsb lebih besar daripada 8 hari. 16
Distribusi Nilai Ekstrem Ditinjau 10 kejadian hujan h h h h h h h h h h x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 n = 9 Distribusi Eksponensial: p X P X E X ( x) = l e -l x, x > 0, l > 0 ( x) =1- e -l x, x > 0 ( ) = l -1 Þ l = 1 E X ( ) ˆl = 1 X 17
Distribusi Nilai Ekstrem p X P X ( x) = 1 4 e-1 4 x ( x) =1- e -1 4 x P Y ( 8) = prob( Y 8) = prob( semua x 8) ( ) = é ëp X 8 ù û 9 = ( 1- e -2 ) 9 = 0.271 prob( Y > 8) =1-0.271 = 0.729 18
Distribusi Nilai Ekstrem Permasalahan yang sering ditemui adalah bahwa jenis parent distribution tidak diketahui. Hal ini diatasi dengan ukuran sampel cukup besar, n» pemakaian distribusi asimtotis dikenal 3 jenis distribusi asimtotis Type I parent distribution unbounded in direction of the desired extreme and all moments of the distribution exist (exponential type distributions) Type II parent distribution unbounded in direction of the desired extreme and all moments of the distribution do not exist (Cauchy type distributions) Type III parent distribution bounded in the direction of the desired extreme (limited distributions) 19
Distribusi Nilai Ekstrem Permasalahan yang menjadi interest umumnya menyangkut nilai-nilai ekstrem maximum atau extrem minimum. Beberapa contoh parent distributions Type I extreme value largest normal, lognormal, eksponential, gamma Type I extreme value smallest normal Type II extreme value largest or smallest distribusi Cauchy Type III extreme value largest distribusi beta Type III extreme value smallest beta, lognormal, gamma, eksponential 20
Distribusi Nilai Extrem (9) Permasalahan di bidang hidrologi Type II extreme value largest or smallest jarang dijumpai/dipakai Type I extreme value largest nilai ekstrem maksimum sering mengikuti distribusi jenis ini mengingat banyak variabel hidrologi unbounded di sisi kanan Type III extreme value smallest nilai ekstrem minimum sering mengikuti distribusi jenis ini mengingat banyak variabel hidrologi bounded di sisi kiri oleh nilai nol 21
Type I Extreme Value Distribution (Gumbel Distribution) p X { ( ) a -exp ( x -b) a } a ( x) = exp x -b é ë ù û - < x < + - < b < + a > 0 untuk nilai maksimum + untuk nilai minimum α = skala β = lokasi = mode 22
Type I Extreme Value Distribution (Gumbel Distribution) E ( X ) = b+0.577a (max) = b -0.577a (min) var ( X ) =1.645a 2 (max min) g =1.1396 (max) = -1.1396 (min) 23
Type I Extreme Value Distribution (Gumbel Distribution) Dengan memakai transformasi p Y ( y) = expé ë y -exp y ( ) ù û Y = x -b a P Y + ( y) = ò expé ë t - exp( t) ù û dt, - < y < + - untuk nilai maksimum + untuk nilai minimum ( ) ù û ( ) = expé ë - exp -y =1- expé ë - exp y ù û (max) (min) P min ( y) =1- P ( max -y) 24
Type I Extreme Value Distribution (Gumbel Distribution) Estimasi parameter α dan β s â = 1.283 ˆb = X -0.45s (max) = X +0.45s (min) 25
Type II Extreme Value Distribution P X ( x) = 0 if x b é = expê æ - u -b ö ç ê è x -b ë ø k ù ú ú û if x ³ b k > 0 bentuk u -b > 0 skala b lokasi E ( X ) = b+ ( u -b) G( 1-1 k) é ëê var ( X ) = ( u -b) 2 G( 1-2 k) -G 2 1-1 k ( ) ù ûú, k > 2 26
Type III Extreme (Minimum) Value Distribution (Weibull Distribution) p X P X é ( x) = a x a-1 b -a expê æ -ç x ö ê èb ë ø é æ ( x) =1- exp -ç x ö aù ê ê èbø ú ú ë û E X var X a ù ú ú, x ³ 0 û ( ) = b G( 1+1 a) ( ) = b 2 é G( 1+ 2 a) - G 2 ( 1+1 a) ëê ( ) - 3G 1+ 2 a g = G 1+ 3 a é G 1+ 2 a ëê ù ûú ( )G 1+1 a ( ) - G 2 ( 1+1 a) ( ) + 2G 3 ( 1+1 a) ù ûú 3 2 27
Type III Extreme (Minimum) Value Distribution (Weibull Distribution) Estimates: l = b -a ˆl = â = n å i=1 ˆb = â n x i â n n â ˆl åx i ln xi -åln x i i=1 ( ) -1 â n i=1 28
Extreme Value Distributions Silakan baca discussion pada hlm 118 (Haan, 1982) 29
Beta Distribution Distribusi yang memiliki batas atas dan batas bawah p X ( x) = x a-1 ( 1- x) b-1 B( a,b), 0 < x <1 and a,b > 0 B( a,b) = beta function 1 ò 0 = x a-1 1- x = G ( a )G b G a +b ( ) ( ) ( ) b-1 d x E ( X ) = a a +b var ( X ) = ab ( a +b+1) a +b ( ) 2 30
Pearson Type III Distribution p X p X ( x) = p ( 0 1+ x a) a 5 e -x d ( x) = p 0 e - x-a mode di x = 0 batas bawah di x = α Dengan transformasi (translasi) sehingga: mode di x = α batas bawah di x = 0 æ ö ç èaø ( ) d x a b 31
Distribusi Chi-square Distribusi t Distribusi F DISTRIBUSI SAMPEL STATISTIK 32
Chi-square Distribution Z = X -m s n å Y = Z i 2 i=1 variabel random berdistribusi normal berdistribusi chi-square dengan n degrees of freedom Distribusi chi-square = distribusi gamma dengan λ = ½ η = kelipatan ½ p c 2 ( x ) = ( 1-n 2) x- e -x 2 2 n 2 G( n 2) x,n > 0 n = 2h E ( c 2 ) = n var ( ) c2 = 2n ˆn = X 33
t Distribution Y = normal standar U = chi-square Y dan U independent X = Y n U berdistribusi t dengan ν degrees of freedom p T ( t) = ( ) -1 2 n+1 Gé ë 1 ( 2 n+1 ) ù û 1+t2 n pn G( n 2) ( ) - > t < + n > 0 E ( T ) = 0 var ( c 2 ) = n n - 2 untuk n > 2 34
F Distribution U = chi-square dengan γ = m degrees of freedom V = chi-square dengan γ = n degrees of freedom maka: p F ( f ) = G é ë 1 2 g 1 + g 2 g 2 + g 1 f ( ) ( ) 1 2 g 1 +g 2 1 ù û g g 1 2 g 1 g 2 2 f ( ) G g1 2 ( ) 2 g 1-2 ( )G g 2 2 ( ) g 1,g 2 > 0 U dan V independent X = ( U m) ( V n) berdistribusi F dengan γ 1 = m dan γ 2 = n degrees of freedom E ( F) = g 1 g 2-2 var ( F) = 2 g ( 2 g1 + 2) ( )( g 2-4) g 1 g 2-2 35
36