ESTIMASI TOTAL DAYA LISTRIK YANG HILANG MELALUI PROSES POISSON TERPANCUNG MAJEMUK

Transkripsi

1 ESTIMASI TOTAL DAYA LISTRIK YANG HILANG MELALUI PROSES POISSON TERPANCUNG MAJEMUK Adri Arisena 1, Anna Chadidjah 2, Achmad Zanbar Soleh 3 Departemen Statistika Universitas Padjadjaran 1 Departemen Statistika Universitas Padjadjaran 2 Departemen Statistika Universitas Padjadjaran 3 adriarisena@gmail.com ABSTRAK PT. PLN (Persero) bertugas mengelola pendistribusian, penjualan tenaga listrik, dan memberikan pelayanan yang optimal kepada pelanggan yang menunggak. Pembayaran tagihan listrik yang terlambat membuat PLN tidak dapat membeli energi untuk mendistribusikan daya kepada pelanggan yang menunggak sehingga pelayanan perusahaan terhadap pelanggan yang menunggak belum optimal. Oleh sebab itu hilangnya total daya listrik pada perusahaan sangatlah besar sehingga perusahaan perlu mengevaluasi target yang telah ditetapkan. Sebagai usaha untuk mengevaluasi masalah tersebut, diperlukan analisis untuk menentukan estimasi total daya listrik yang hilang setiap bulan dan selama satu tahun pada pelanggan yang menunggak kelompok tarif golongan 0 melalui proses poisson terpancung majemuk. Adapun hasil dari penelitian ini diperoleh rata-rata total daya listrik yang hilang per bulan pada tahun 2012 dan 2013 adalah sebesar kwh dan kwh. Rata-rata total daya listrik yang hilang selama satu tahun pada tahun 2012 dan 2013 adalah sebesar kwh dan kwh. Kata kunci: poisson, poisson terpancung, distribusi poisson terpancung, distribusi gamma, proses poisson terpancung majemuk 1. PENDAHULUAN PT. PLN (Persero) bertugas mengelola pendistribusian tenaga listrik, dan memberikan pelayanan kepada pelanggan. Dalam menjalankan tugas tersebut ada hubungan timbal balik dengan pelanggan diantaranya penghematan energi dan membayar tagihan listrik sesuai dengan kebutuhan dan waktu yang telah ditetapkan. Pembayaran tagihan listrik yang terlambat membuat PLN tidak dapat membeli energi untuk mendistribusikan daya kepada pelanggan. Hal tersebut salah satunya membuat pelayanan perusahaan terhadap pelanggan belum optimal. Dalam 10 tahun terakhir perusahaan menerima konsekuensi berupa hilangnya daya yang digunakan untuk mendistribusikan listrik. Oleh sebab itu dalam mengoptimalkan pelayanan, maka PLN meningkatkan kinerja untuk menekan tunggakan sebagai salah satunya dengan membuat target penekanan tunggakan. Target ini harus dicapai oleh semua unit pelayanan dan bisnis PLN dengan cara meraih angka angka yang telah ditetapkan untuk mengurangi hilangnya pendapatan perusahaan dari segi tagihan listrik pelanggan yang menunggak. 105

2 Jumlah pelanggan yang menunggak selama tahun 2012 adalah sebanyak pelanggan dan untuk tahun 2013 adalah sebanyak pelanggan. Target yang ditetapkan oleh perusahaan rata-rata untuk setiap bulannya yaitu Rp ,00 untuk tahun 2012 dan Rp ,00 untuk tahun Target tersebut jika dikonversikan ke dalam daya maka pada tahun 2012 daya yang harus dicapai adalah sebesar kwh sedangkan untuk tahun 2013 adalah sebesar kwh. Pencapaian target tersebut terlihat belum optimal karena pada bulan tertentu kinerja perusahaan belum mencapai target. Dengan melihat kondisi yang ada saat ini, hilangnya total daya listrik pada perusahaan sangatlah besar. Ada baiknya perusahaan mengevaluasi target yang telah ditetapkan setiap bulan agar hilangnya total daya listrik menjadi kecil dan agar lebih mudah diidentifikasi untuk melakukan penanggulangannya agar total tunggakan tidak besar kembali. Untuk menanggulangi masalah tersebut peneliti akan mendiagnosa untuk rata-rata bulanan dan ratarata tahunan dari data yang diamati. Perhitungan estimasi yang telah dihitung dapat digunakan untuk menetapkan rata-rata besarnya daya listrik yang hilang per bulan dan selama satu tahun di tahun berikutnya karena angka tersebut akan dibandingkan dengan daya yang hilang yang telah ditentukan perusahaan sehingga penentuan kehilangan total daya listrik akan lebih objektif. Dalam penelitian ini, peniliti akan mencoba mengatasi masalah tersebut dimana total daya listrik yang hilang selanjutnya merupakan penjumlahan dari daya listrik yang hilang per bulan. Secara statistik distribusi dari total daya listrik yang hilang dapat didekati dengan proses poisson majemuk. Selanjutnya estimasi ratarata total daya listrik yang hilang akan bergantung dari daya listrik yang hilang per bulan yang diasumsikan berdistribusi gamma dan banyaknya pelanggan yang menunggak merupakan proses poisson terpancung. 2. METODE PENELITIAN 2.1 Simbol dan Definisi Variabel Penelitian Variabel-variabel yang digunakan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut : N(t) : banyaknya (frekuensi) pelanggan yang menunggak selama periode ke-t X i : daya listrik yang hilang selama bulan ke-i (kwh) i : 1, 2, 3,, N(t) S(t) : total daya listrik yang hilang selama periode ke-t t : periode waktu (bulan) 2.2 Estimasi Daya Listrik yang Hilang Berdasarkan fenomena distribusi kehilangan maka peneliti perlu eksplorasi terhadap distribusidistribusi yang direkomendasikan dikaitkan dengan data eksisting. Berdasarkan data daya listrik yang hilang distribusi yang mungkin diantaranya distribusi Log Normal, distribusi Gamma, distribusi Transformed Gamma, distribusi Log Gamma, dan distribusi Weibull (V.Hogg & A.Klugman, 1984) Estimasi Rata-rata dan Simpangan Baku Daya Listrik yang Hilang Per Bulan Pendekatan distribusi yang akan digunakan peneliti untuk estimasi daya listrik yang hilang menggunakan distribusi Gamma 2 parameter karena berdasarkan fenomena yang diharapkan daya listrik yang hilang kecil dan peluangnya besar kemudian didukung oleh data penelitian. Dimana akan mencari nilai distribusi gamma yang mempunyai parameter α dan β yang belum diketahui dengan peubah acak bebas X yang berukuran i. Misalkan X suatu peubah acak kontinu yang menyatakan daya yang hilang per bulan (kwh). X di asumsikan berdistribusi gamma dengan parameter α dan β dengan fungsi densitasnya sebagai berikut 106

3 f(x) = { X 1 Γ(α) Xα 1 e β, x > 0 0, untuk x lainnya (1) dengan α > 0 dan β > 0. Dengan menggunakan pendekatan momen nilai taksiran parameter distribusi gamma akan di estimasi dengan Persamaan 2 dan 3 berikut ini α = x i n β (2) β = 1 t (x i x ) 2 x i n Selanjutnya estimasi nilai ekspektasi, varians, dan simpangan baku dari peubah acak X akan diperoleh dari Persamaan 4 sampai 6 berikut ini: sehingga ˆ ˆ ˆ x (4) (3) ˆ 2 Var X E X ˆ 2 ˆ 2 2 E X (5) maka ˆ X Var X (6) oleh karena itu diperoleh rumus untuk selang interval daya listrik yang hilang untuk koefisien konfidensi 95% yaitu ˆ ˆ (7) 2 X 2.3 Estimasi Rata-rata dan Simpangan Baku Banyaknya Pelanggan yang Menunggak Berdasarkan fenomena banyaknya pelanggan yang menunggak, terdapat dua kelompok pelanggan yaitu pelanggan yang menunggak dan pelanggan yang tidak menunggak, dalam penelitian ini kelompok yang diambil yaitu pelanggan yang menunggak dimana peluang pelanggan yang menunggak kecil, tidak bisa diduga, bersifat acak, dan mempunyai sampel yang besar maka dapat dilakukan pendekatan distribusi yang digunakan yaitu distribusi poisson. Variabel acak jumlah pelanggan yang menunggak dinotasikan dengan N(t). Proses stokastik dari pelanggan yang menunggak merupakan proses poisson yang berdistribusi poisson. Fungsi kepadatan peluang dari N(t) adalah P(X = x) = P(N(t) = n) = e λ(t) (λ(t)) n, n = 0,1,2,... (8) n! 107

4 Jumlah pelanggan yang menunggak tidak bisa sama dengan nol karena di setiap bulannya selalu ada pelanggan yang menunggak, oleh karena itu distribusi yang akan digunakan dalam penelitian ini adalah distribusi Poisson Terpancung Estimasi Rata-rata dan Simpangan Baku Banyaknya Pelanggan yang Menunggak Per Bulan Distribusi poisson terpancung yang sering digunakan sebagai distribusi yang mendasari untuk model penghitungan dapat ditulis sebagai : λ(t) n P[N(t) = n] = { n! 1 (e λ(t) 1) jika n = 1,2,3 N(t) 0 lainnya dengan parameter λ(t) dimana taksiran parameternya adalah (9) λ(t) = Median (10) maka Median = X ( 1 2 (n+1)) (11) Berdasarkan Persamaan (7) maka menurut (Tate, 1958 ) didapatkan nilai ekspektasi dan varians sebagai berikut : E[N(t)] = Var[N(t)] = maka simpangan bakunya adalah λ(t) ) (1 e λ(t) λ(t) (1 e λ(t) (12) )2 (13) ˆ Var Nt () (14) N sehingga diperoleh rumus untuk selang interval banyaknya pelanggan yang menunggak dengan interval konfidensi 95% yaitu E[ N( t)] ˆ (15) 2 N 2.4 Estimasi Rata-rata dan Simpangan Baku Total Daya Listrik yang Hilang Per Bulan Berdasarkan fenomena, total daya listrik yang hilang merupakan penjumlahan dari banyaknya pelanggan yang menunggak dan daya listrik yang hilang sehingga pendekatan distribusi yang digunakan adalah proses poisson majemuk. Setelah didapat banyaknya pelanggan yang menunggak dan daya listrik yang hilang perbulan, kemudian dapat dihitung nilai ekspektasi dan varians sebagai berikut : E[S(t)] = E[N(t)]. E[X] = λ(t). α β (16) (1 e λ(t) ) Var[S(t)] = Var[X]. E[N(t)] + (E[X]) 2 λ(t). Var[N(t)] λ(t) = (α β 2. ) + ((α β ) 2 ). (17) (1 e λ(t) ) (1 e λ(t) ) 2 (Putranti, 2007) 108

5 sehingga simpangan bakunya adalah (Putranti, 2007) ˆ S Var S( t) (18) untuk interval konfidensi 95% maka diperoleh rumus untuk selang interval yaitu E[S( t)] ˆ (19) 2 S Estimasi total daya listrik yang hilang didasari pada penetapan target yang telah ditetapkan oleh perusahaan yaitu pada tahun 2012 dan 2013 adalah sebesar kwh dan kwh dimana peneliti dapat menentukan diagnosa untuk menilai apakah kinerja perusahaan tergolong baik atau buruk berdasarkan pencapaian target yang telah diperoleh. 3. HASIL DAN PEMBAHASAN 3.1 Estimasi Rata-rata Daya Listrik yang Hilang Per Bulan Berdasarkan perhitungan, daya yang hilang mengikuti distribusi Gamma, maka didapat nilai taksiran parameter berdasarkan Persamaan (2) untuk beta dan (3) untuk alfa ditampilkan pada tabel berikut: Taksiran Parameter Dari Daya Listrik yang Hilang Per Bulan Taksiran Parameter β 1,446 1,720 α 121, ,880 Setelah mendapatkan penaksiran parameter kemudian mencari nilai ekspektasi berdasarkan Persamaan (4), variansi berdasarkan Persamaan (5) dengan simpangan baku berdasarkan Persamaan (6) maka hasilnya ditampilkan pada tabel berikut : Ekspektasi dan Dua Simpangan Baku Daya Listrik yang Hilang Per Bulan Ukuran Statistik μ 176,249 kwh 192,541 kwh 2σ X 31,934 kwh 36,406 kwh Berdasarkan tabel tersebut maka dapat disimpulkan bahwa rata-rata daya listrik yang hilang per bulannya pada tahun 2012 adalah sebesar 176,249 kwh per bulan dan pada tahun 2013 adalah sebesar 192,541 kwh per bulan. Untuk nilai simpangan baku dihitung agar dapat mengetahui pola penyimpangan data sehingga didapatkan selang interval berdasarkan Persamaan (7) untuk dua kali simpangan baku atau dengan kata lain interval kepercayaan 95% dari daya listrik yang hilang per bulan pada tahun 2012 adalah 144,315 ; 208,183 dan pada tahun 2013 adalah 156,135 ; 228,947. Dengan kata lain rata-rata dari daya listrik yang hilang per bulannya pada tahun 2012 berada di dalam interval antara 144,315 kwh dan 208,183 kwh. Sedangkan untuk tahun 2013 berada di dalam interval antara 156,135 kwh dan 228,947 kwh. 109

6 3.2 Estimasi Rata-rata Banyaknya Pelanggan yang Menunggak Per Bulan Seminar Statistika FMIPA UNPAD 2017 (SNS VI) Untuk mencari nilai ekspektasi, varians, dan simpangan baku terlebih dahulu harus mencari nilai taksiran parameter oleh karena itu didapat nilai taksiran parameter pada Persamaan (11) adalah ditampilkan pada tabel berikut: Taksiran Parameter Poisson Terpancung Taksiran Parameter λ pelanggan yang menunggak pelanggan yang menunggak Berdasarkan tabel tersebut maka dapat disimpulkan bahwa nilai harapan banyaknya pelanggan yang menunggak per bulan pada tahun 2012 adalah sebanyak pelanggan yang menunggak, sedangkan pada tahun 2013 adalah pelanggan yang menunggak. Setelah mendapat nilai taksiran kemudian mencari nilai ekspektasi berdasarkan Persamaan (12), variansi berdasarkan Persamaan (13) dengan simpangan baku berdasarkan Persamaan (14) maka hasil perhitungan ditampilkan pada tabel berikut: Ekspektasi dan Dua Simpangan Baku Banyaknya Pelanggan yang Menunggak Per Bulan Pada Tahun 2012 dan 2013 Ukuran Statistik E[N(1)] pelanggan yang menunggak pelanggan yang menunggak 2σ N 106 pelanggan yang menunggak 100 pelanggan yang menunggak Berdasarkan tabel tersebut maka dapat disimpulkan bahwa rata-rata banyaknya pelanggan yang menunggak per bulan pada tahun 2012 adalah sebanyak pelanggan yang menunggak per bulan dan pada tahun 2013 adalah sebanyak pelanggan yang menunggak per bulan. Sehingga didapatkan selang interval berdasarkan Persamaan (15) agar dapat mengetahui rata-rata jarak penyimpangan untuk dua kali simpangan baku atau dengan kata lain interval kepercayaan 95% dari banyaknya pelanggan yang menunggak per bulan pada tahun 2012 adalah antara pelanggan yang menunggak dan pelanggan yang menunggak. Sedangkan untuk tahun 2013 adalah antara 2439 pelanggan yang menunggak dan pelanggan yang menunggak. 3.3 Estimasi Rata-rata Total Daya Listrik yang Hilang Per Bulan Berdasarkan perhitungan dari estimasi rata-rata daya listrik yang hilang dan estimasi rata-rata banyaknya pelanggan yang menunggak maka akan didapat perhitungan estimasi total daya listrik yang hilang per bulan pada tahun 2012 dan Berdasarkan Persamaan (16) dan (17) maka di dapat nilai ekspektasi dan varians. Untuk simpangan baku berdasarkan Persamaan (18) maka hasil perhitungan ditampilkan pada tabel berikut: Ekspektasi dan Dua Simpangan Baku Total Daya Listrik yang Hilang Per Bulan Ukuran Statistik E[S(1)] kwh kwh 2σ S kwh kwh Berdasarkan tabel tersebut maka dapat disimpulkan bahwa rata-rata total daya listrik yang hilang per bulan pada tahun 2012 adalah sebesar kwh. Sedangkan untuk tahun 2013 adalah sebesar kwh. 110

7 Oleh karena itu di dapat selang interval berdasarkan Persamaan (19) agar dapat mengetahui rata-rata jarak penyimpangan untuk dua kali simpangan baku atau dengan kata lain interval kepercayaan 95% maka rata-rata penyimpangan total daya listrik yang hilang per bulan pada tahun 2012 adalah antara kwh dan kwh. Sedangkan untuk tahun 2013 adalah antara kwh dan kwh. Jika rata-rata jarak penyimpangan tertinggi dibandingkan dengan data eksisting yaitu target daya yang hilang per bulan maka ditampilkan pada tabel berikut Perbandingan Target Daya Listrik yang Hilang Per Bulan Tahun 2012 dan 2013 Terhadap Model Ukuran Statistik Target Model Target Model E[S(1)] kwh kwh kwh kwh Berdasarkan tabel tersebut dapat dilihat bahwa berdasarkan model statistik, kinerja perusahaan dalam menanggulangi total daya listrik yang hilang pada tahun 2012 dengan menggunakan taraf signifikan 95% berada dibawah dari target yang telah ditentukan dengan kata lain pada tahun 2012 kinerja perusahaan belum optimal, sedangkan untuk tahun 2013 kinerja perusahaan berada di atas target yang telah ditentukan dengan kata lain kinerja perusahaan sudah dianggap optimal. Analisis lebih lanjut berdasarkan rata-rata selisih antara target dengan daya yang hilang per bulan dan rata-rata selisih model dengan daya yang hilang per bulan sebagai penyimpangan dari total daya listrik yang hilang per bulan maka diperoleh hasil yang ditampilkan pada tabel berikut : Perbandingan Penyimpangan Daya Listrik yang Hilang Per Bulan Antara Target dan Model Tahun 2012 dan Penyimpangan Realita - Target Model - Realita Realita - Target Model Realita Rata-rata kwh kwh kwh kwh Berdasarkan tabel tersebut dapat diketahui bahwa rata-rata penyimpangan dari daya listrik yang hilang per bulan untuk tahun 2012 terlihat bahwa perhitungan selisih antara model dan realita sudah sesuai karena nilai dari rata-rata penyimpangan lebih kecil dibandingkan dengan selisih antara target dan realita, sedangkan untuk tahun 2013 perhitungan selisih antara model dan realita belum sesuai karena nilai rata-rata penyimpangan lebih besar dibandingkan dengan selisih antara realita dan target. 3.4 Estimasi Rata-rata Total Daya Listrik yang Hilang Selama Satu Tahun Setelah mendapat perhitungan dari estimasi total daya listrik yang hilang per bulan kemudian menghitung estimasi total daya listrik yang hilang selama satu tahun pada tahun 2012 dan Perhitungan estimasi total daya listrik yang hilang selama satu tahun dilakukan untuk mengevaluasi kinerja PLN dalam menekan jumlah pelanggan yang menunggak dan daya listrik yang hilang selama satu tahun. Berdasarkan perhitungan maka rata-rata jumlah pelanggan yang menunggak pada tahun 2012 dan 2013 akan dibandingkan dengan data eksisting (pelanggan yang menunggak) yang ditampilkan pada tabel berikut Perbandingan Jumlah Pelanggan yang Menunggak Terhadap Model Tahun 2012 dan 2013 Ukuran Statistik Pelanggan yang menunggak Model Pelanggan yang menunggak Model μ

8 Berdasarkan tabel tersebut dapat dilihat bahwa pencapaian PLN dalam menekan jumlah pelanggan yang menunggak dalam satu tahun untuk tahun 2012 dan 2013 dianggap berhasil karena jumlah pelanggan yang menunggak berada dibawah model statistik yang telah dihitung oleh peneliti. Setelah menghitung jumlah pelanggan yang menunggak maka akan dihitung total daya listrik yang hilang selama satu tahun yaitu tahun 2012 dan Perhitungan nilai ekspektasi dari total daya listrik yang hilang selama satu tahun berdasarkan Persamaan (16), varians berdasarkan Persamaan (17), dan simpangan baku berdasarkan Persamaan (18), yang ditampilkan pada tabel berikut: Ekspektasi dan Dua Simpangan Baku Total Daya Listrik yang Hilang Selama Satu Tahun Pada Tahun 2012 dan 2013 Ukuran Statistika E[S(12)] kwh kwh kwh kwh 2σ St Berdasarkan tabel tersebut maka dapat disimpulkan bahwa rata-rata total daya listrik yang hilang selama satu tahun pada tahun 2012 adalah sebesar kwh. Sedangkan untuk tahun 2013 adalah sebesar kwh. Oleh karena itu di dapat selang interval berdasarkan Persamaan (19) agar dapat mengetahui rata-rata jarak penyimpangan untuk dua kali simpangan baku atau dengan kata lain dengan taraf signifikan 95% maka rata-rata penyimpangan total daya listrik yang hilang selama satu tahun pada tahun 2012 adalah antara kwh dan kwh sedangkan pada tahun 2013 adalah antara kwh dan kwh. Jika rata-rata jarak penyimpangan tertinggi dibandingkan nilai yang telah didapat berdasarkan model terhadap data eksisting rata-rata daya listrik yang hilang selama satu tahun yang ditampilkan pada tabel berikut Perbandingan Daya Listrik yang Hilang Selama Satu Tahun Terhadap Model Pada Tahun 2012 dan 2013 Ukuran Statistik Daya Model Daya Model E[S(12)] kwh kwh kwh kwh Berdasarkan tabel tersebut maka dapat disimpulkan dengan taraf signifikansi 95% bahwa pencapaian PLN dalam menekan total daya listrik yang hilang selama satu tahun masih dalam batas kendali perusahaan karena nilai dari data eksisting lebih kecil dari model yang telah dihitung oleh peneliti 4. KESIMPULAN Berdasarkan hasil pembahasan dan analisis data pada bab sebelumnya, maka dapat disimpulkan beberapa hal sebagai berikut : 1. Rata-rata total daya yang hilang per bulan E[S(1)] pada tahun 2012 adalah sebesar kwh. Sedangkan untuk tahun 2013 rata-rata total daya yang hilang per bulan pada tahun 2013 adalah sebesar kwh. 2. Rata-rata total daya yang hilang selama satu tahun E[S(12)] pada tahun 2012 adalah sebesar kwh. Sedangkan untuk tahun 2013 rata-rata total daya yang hilang selama satu tahun pada tahun 2013 adalah sebesar kwh. 112

9 5. DAFTAR PUSTAKA Seminar Statistika FMIPA UNPAD 2017 (SNS VI) [1] Kaas, R. (2008). Modern Actuarial Risk Theory. London: Springer. [2] Kurniasari, D. (2007). Sifat Asimtotik Normalitas dan Ketakbiasan Penduga Kemungkinan Parameter Distribusi Generalized Gamma, [3] Mahmuddin, F. (2013). Studi densitas Energi Dengan Distribusi Weibull. Jurnal Riset dan Teknologi kelautan, [4] Misbahussurur, A. (2009). Estimasi Parameter Distribusi Gamma Dengan Metode Maksimum Likelihood. Malang: Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim. [5] Putranti, A. E. (2007). Probabilitas Ruin Pada Proses surplus. Depok: Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Departemen Matematika Universitas Indonesia. [6] Rahman, A. (2012). Simulasi Sistem Persediaan Spare Part Dengan Pendekatan Proses poisson terpancung majemuk, [7] Springael, J. (2006). On The Sum of Independent Zero Truncated Poisson Random Variables. Belgium: Faculty of Applied Economics, University of Antwerp Prinsstraat. [8] Sugito. (2011). Distribusi Poisson dan Distribusi Eksponensial Dalam Proses Stokastik, [9] Syafik, A. (t.thn.). Aplikasi Distribusi Lognormal Dalam Statistika. Purwerejo: Jurusan Pendidikan Matematika FKIP Universitas Muhammadiyah Purworejo. [9] Tate, R. F. ( 1958 ). Minimum variance unbiased estimation for the truncated poisson distribution. The Annals of Mathematical Statistics 29, , 17. [10] Ulhusna, M. (2010). Keterbagian Tak Hingga Distribusi Log-Gamma dan Aplikasinya Dalam pembuktian Rumus Perkalian Gauss dan Rumus Legendae, [11] V.Hogg, R., & A.Klugman, S. (1984). Loss Distribution. Lowa: Department of Statistics and Actuarial Science The University of Lowa. [12] Walpole, R. E., Myers, R. H., Myers, S. L., & Ye, K. (2007). Probability & Statistics for Engineers & Scientists. London: Pearson Education International. [13] Wikipedia. (2013, August). Zero Truncated Distribution. Diambil kembali dari Wikipedia: 113