PENDAHULUAN Latar Belakang Menurut teor molekuler benda, satu unt volume makroskopk gas (msalkan cm ) merupakan suatu sstem yang terdr atas sejumlah besar molekul (kra-kra sebanyak 0 0 buah molekul) yang bergerak dengan arah yang tdak menentu. Karena jumlahnya yang sangat besar, maka secara matemats, untuk memodelkan gerak dan sfat setap molekul tdak mudah, sehngga perlaku setap molekul gas pada suatu sstem ddekat dengan menggunakan sfat partkel. Pergerakan partkel gas yang tdak melbatkan nteraks dengan partkel lannya dsebut alran. Model matematka yang menyatakan perstwa n dkenal dengan persamaan transport. D ss lan, model pergerakan partkel yang melbatkan nteraks dengan partkel gas lan dsebut persamaan Boltzmann, yang pertama kal dungkapkan oleh seorang ahl fska bernama Ludwg Boltzmann pada tahun 898 (Cercgnan 975). Persamaan Boltzmann merupakan persamaan dferensal ntegral yang menggambarkan evolus dstrbus peluang suatu partkel gas sebaga fungs dar waktu, poss dan kecepatannya, serta nteraks antar partkel karena adanya tumbukan antar partkel gas. Persamaan Boltzmann telah dkenal luas karena banyak aplkas dan perluasannya antara lan dalam bdang fska, bolog, ekonom, ekonofska dan sosal. Pada bdang fska, aplkas dar solus persamaan Boltzmann dapat dgolongkan menjad dua jens. Aplkas yang pertama berkatan dengan penarkan kesmpulan mengena sfat-sfat makroskopk gas yang ddekat dar sfat-sfat mkroskopknya. Haslnya member banyak manfaat dalam bdang mekanka statstka, yatu menjembatan perbedaan antara sfat-sfat yang terdapat pada struktur atom benda dengan sfat benda pada tngkat makroskopk. Aplkas yang kedua berkatan dengan pengembangan model untuk jens zat lan sepert zat padat dan zat car (Bellomo & Pulvrent 000). Peneltan awal mengena persamaan Boltzmann yang dlakukan oleh Maxwell-Boltzmann berhasl menjelaskan sfat-sfat makroskopk gas pada suatu sstem, menghtung kekentalan zat, serta koefsen hantar panas antar partkel.
Besaran makroskopk gas adalah sfat-sfat gas yang dapat damat secara fss pada suatu sstem, sepert suhu, tekanan, dan volume (Cercgnan 975). Karena rumusan matemats persamaan Boltzmann melbatkan fungs dengan dmens varabel bebas yang tngg, maka persamaan n relatf sult dcar solus, meskpun fungs sebaran yang dpergunakan sebaga nla awal merupakan fungs sebaran yang palng sederhana. Fungs sebaran yang pernah dplh sebaga nla awal antara lan adalah fungs sebaran Maxwell, fungs sebaran Bobylev, fungs sebaran Bobylev Cercgnan I,serta fungs sebaran Bobylev Cercgnan II (Nugrahan 00). Secara umum, terdapat jens solus persamaan Boltzmann, yatu solus eksak dan solus numerk. Solus eksak dperoleh dengan menyelesakan persamaan secara matemats, sedangkan solus numerk dperoleh melalu suatu smulas. Salah satu metode yang banyak dgunakan untuk melakukan smulas adalah metode Monte Carlo, sedemkan sehngga vektor poss dan kecepatan partkel dbangktkan secara stokastk (Lboff 990). Tujuan Peneltan Tujuan dar peneltan n adalah:. Merekonstruks solus eksak persamaan Boltzmann dengan menggunakan dstrbus awal Bobylev.. Memanfaatkan solus eksak persamaan Boltzmann untuk menghtung besaran makroskopk gas.. Mencar solus numerk dengan menggunakan smulas alran dan tumbukan partkel gas dengan menggunakan metode Drect Smulaton Monte Carlo. Batasan Peneltan Peneltan n dbatas oleh beberapa asums, antara lan:. Pengamatan gerak molekul hanya dlakukan pada gerak lnear, dengan mengabakan gerak angular.. Sfat-sfat molekul gas ddekat dengan menggunakan sfat partkel.. Pada sstem, gas dmodelkan sebaga gas deal, tunggal dan dentk. 4. Tumbukan yang terjad adalah tumbukan antara partkel. 5. Untuk kemudahan tekns, smulas gerak dan poss partkel gas sebelum dan setelah tumbukan hanya dlakukan pada sumbu x saja.
TINJAUAN PUSTAKA Defns Gas Gas adalah suatu sstem dnamk yang terdr atas sejumlah besar N partkel dengan massa partkel yang relatf kecl m. (Cercgnan 975) Defns Gas Ideal Suatu gas dkatakan deal jka energ potensal dar gaya ntermolekulernya dabakan, meskpun partkel-partkel tersebut berada pada jarak yang lebh dekat dar dameter partkel tersebut. (Cercgnan 975) Defns Gas Tunggal Gas tunggal adalah gas yang molekulnya tdak mempunya derajat bebas nternal, sedemkan sehngga derajat bebas yang dmlk hanya berasal dar vektor poss dan vektor kecepatan. (Cercgnan 975) Defns 4 Teor Knetk Teor knetk adalah suatu cabang lmu fska yang mempelajar sfat-sfat mkroskopk molekul dan nteraks yang berhubungan dengan sfat-sfat makroskopk benda sepert hukum gas deal. Asums-asums yang mendasar teor knetk adalah:. Jumlah molekul sangat banyak.. Molekul-molekul tersebut merupakan molekul tunggal yang dentk.. Molekul bergerak secara acak. 4. Gerak molekul tdak melanggar hukum gerak Newton. 5. Molekul mengalam tumbukan elasts dengan molekul lannya. 6. Gaya gravtas antar molekul dabakan. 7. Sfat-sfat molekul ddekat dengan menggunakan sfat-sfat partkel dengan tdak mengabakan hukum-hukum mekanka klask. (Kbble & Berkshre 996)
4 Defns 5 Hukum Kekekalan Momentum Msal terdapat partkel yang bergerak pada suatu sstem. Massa partkel pertama m bergerak dengan kecepatan v, serta massa partkel kedua m bergerak dengan kecepatan bahwa: m v + mv = P = v. Maka hukum kekekalan momentum menyatakan konstan. Defns 6 Hukum Kekekalan Energ (Kbble & Berkshre 996) Msalkan suatu partkel yang bergerak mempunya energ knetk T dan energ potensal P. Maka berlaku Defns 7 Fungs Kepekatan Peluang T + V = C = konstan. (Kbble & Berkshre 996) Msalkan X peubah acak satu dmens dalam ruang Ω yang terdr dar selang atau gabungan selang. Msal terdapat fungs f ( x) tak negatf yang memenuh: Ω ( x) dx = f. Jka fungs peluang P( A) dengan sedemkan sehngga P( A) ( X Ω) = f ( x)dx ( ) A Ω dapat dnyatakan dalam bentuk f ( x) = Pr, maka X merupakan peubah Α acak kontnu dan f x merupakan fungs kepekatan peluang dar X. (Hogg & Crag 995) Defns 8 Persamaan Lovlle (Persamaan Transport) Msalkan pada suatu sstem terdapat N buah partkel gas deal tunggal. Msalkan setap partkel berada pada poss x bergerak dengan kecepatan v, dengan =,,..., N. Maka setelah waktu t, persamaan gerak dar partkel tersebut dapat dtulskan sebaga: dv = a, dt dx = v, dt dengan a merupakan percepatan gerak partkel ke-. ()
5 Pada sstem, partkel gas bergerak pada suatu bdang fase dengan dmens ruang 6N, yatu N merupakan dmens komponen vektor poss x dan N lannya merupakan dmens dar komponen vektor kecepatan v. Msalkan vektor z menyatakan dmens ruang 6N. Maka persamaan evolus z terhadap waktu adalah: d dt z = y. () Jka nla awal z dketahu untuk semua partkel gas, maka nla z untuk 0 semua partkel dapat dketahu, yatu dengan menggunakan konsep persamaan dferensal basa. Akan tetap, karena jumlah partkel gas yang terdapat pada sstem tersebut sangat banyak, maka untuk mengdentfkas poss awal x0 dan kecepatan awal v 0 dar setap partkel akan menjad sult dlakukan dan membutuhkan waktu yang tdak sedkt. Oleh karena tu, drumuskan teknk lan untuk menggambarkan poss dan pergerakan awal partkel, yatu dengan menggunakan fungs sebaran kepekatan peluang pada saat t = 0. f ( ) = f ( z, t 0) z yang menyatakan fungs 0 = Jka setap partkel bergerak tanpa bertumbukan satu sama lan dan banyaknya partkel yang keluar dar sstem sama dengan banyaknya partkel yang masuk sstem, maka persamaan gerak partkel dapat dnyatakan sebaga: ( y) = 0 t + z f () yang dkenal sebaga persamaan Louvlle atau persamaan alran. Perhatkan bahwa z ( f y) = y z + f z ( y) ( y) = 0, sehngga: t + y z + f z. (4) Oleh karena / z y = 0, maka persamaan (4) dapat dtulskan kembal dalam bentuk: t + y z = 0, (5) N atau : t + ( x t)( x ) + ( v t)( v ) = 0, = N t + v = N N = ( x ) + a ( v ) = 0 = / t + v. / x + a. / v = 0 (6) (Cercgnan 975) t
6 Defns 9 Persamaan Boltzmann Pada persamaan Louvlle, setap partkel dasumskan hanya bergerak, tanpa bertumbukan satu dengan lannya, sehngga nla ruas kanan persamaan Louvlle bernla nol. Jka pada sstem terjad tumbukan antar partkel, maka nla ruas kanan berubah, menjad model matemats yang merepresentaskan tumbukan antar partkel tersebut yang dsebut collson ntegral dan dlambangkan I[ f, f], dtulskan: + v = I[ f, f ] (7) t x Msalkan terdapat buah partkel yang salng bertumbukan. Sebelum tumbukan, partkel melaju dengan kecepatan v, sedangkan partkel melaju dengan kecepatan w. Kecepatan partkel setelah tumbukan masng-masng v dan w ddefnskan sebaga berkut: v w v w v + = + e. (8) v w v w w + = e. (9) Vektor e merupakan vektor normal bdang tumbukan yang dnyatakan dengan ( x x ) j e = dengan j, x x j vektor kecepatan setelah tumbukan memenuh:, j =,,..., N sedemkan sehngga resultan kedua. Hukum kekekalan momentum v + w = v + w. (0) Bukt persamaan n dapat dlhat pada Lampran.. Hukum kekekalan energ v + w = v + w. () Bukt persamaan n dapat dlhat pada Lampran.
7 Dengan mengasumskan bahwa = 0, maka persamaan (6) dapat v dtulskan sebaga: t + v = I[ f, f ], () x dengan: dan ( cos )[ f ( v ) f ( w ) f ( f ( w)] dwde, I[ f, f ] = g θ () u = v w, S g ( cosθ ) = parameter tumbukan antar partkel, e = vektor normal tumbukan, de = sn θ dθ dϕ, x = vektor poss partkel. yang dkenal dengan persamaan Boltzmann. (Cercgnan 975) Defns 0 Dstrbus Kecepatan Maxwell Menurut Maxwell, pada suatu sstem yang dam, dstrbus kecepatan partkel yang ada d dalamnya smetrs d sektar ttk nol. Artnya, jumlah partkel yang bergerak ke arah kanan dan ke arah kr adalah sama, sedemkan sehngga peluang untuk menemukan partkel yang bergerak dengan kecepatan sangat besar adalah kecl sekal. Jka perstwa tersebut dgambarkan dalam bentuk kurva, maka dperoleh suatu kurva yang menyerupa kurva sebaran normal, atau Gauss exp(-x ). Dstrbus kecepatan tersebut dkenal dengan dstrbus kecepatan Maxwell dan dnyatakan sebaga: f ( m mv = 4π n v exp. (4) πkt kt (Krane 99)
8 Defns Besaran Makroskopk Gas Salah satu manfaat dar solus persamaan Boltzmann adalah dapat menjelaskan beberapa sfat makroskopk benda, khususnya gas dengan menggunakan pandekatan mkroskopknya. Sfat makroskopk gas adalah sfat gas yang dapat teramat secara fss. Sfat tersebut melput denstas, mpuls, alran mpuls, alran energ, energ, volume, tekanan dan suhu. Sfat mkroskopk gas berhubungan dengan struktur dan sfat atomk dar gas tersebut. Msalkan f adalah fungs kepekatan peluang partkel yang berada pada poss x dan bergerak dengan kecepatan v pada waktu t. Fungs kepekatan peluang d atas dapat dmanfaatkan untuk memperoleh besaran makroskopk.. Fungs Denstas Fungs denstas (kerapatan) partkel pada ruang ddefnskan sebaga: d. Impuls x) = f dv. (5) Impuls merupakan hasl perkalan antara fungs denstas dengan vektor kecepatan massa ( ξ ). Kecepatan massa ddefnskan sebaga: ξ =, (6) f dv vf sehngga d m dv ) ξ = f x dv, dv x f, vf dv x) = vf dv. (7). Alran Impuls M T x) = vv f dv. (8)
9 4. Alran Energ r 5. Energ E 6. Volume 7. Suhu x) = v v f dv x) = v f dv. (9). (0) vf dv m V x) = =. () d f dv T = Gd. () x) v V x) f dv dengan G adalah konstanta gas. 8. Tekanan P x) v V x) f dv = () (Cercgnan 975) Defns Smulas Smulas merupakan suatu proses membuat desan logka matematka dar suatu sstem real dengan melbatkan batasan-batasan tertentu untuk memecahkan suatu masalah. (Prtsker 999) Defns Metode Monte Carlo Metode Monte Carlo adalah suatu metode algortma komputas yang banyak dgunakan dalam smulas untuk menggambarkan berbaga sstem pada bdang matematka dan fska dengan melbatkan blangan acak sebaga pembangkt varabel-varabel yang terdapat pada sstem. (Brd 990)