TURUNAN FUNGSI (DIFERENSIAL) A. Pengertian Derivatif (turunan) suatu fungsi. Perhatikan grafik fungsi f( (pengertian secara geometri) ang melalui garis singgung. f( f( f(+ Q [( +, f ( + ] f( P (, f ( ) 0 (+ jika terjai perubahan penambahan sebesar maka terjai perubahan f( sebesar f(. Laju perubahan rata-rata aalah : perubahan alam perubahan alam f ( + f ( ( + f ( + f ( Untuk iambil sekecil-kecilna ( menekati nol), apabila mempunai harga, maka harga ari maka menekati nol itu isebut Turunan (erivatif) /turunan pertama ari fungsi f( terhaap. Definisi : Apabila f ( + f ( lim 0 aa hargana, maka harga tersebut ikatakan sebagai erivatif pertama fungsi f( terhaap an biasa itulis engan simbol :
f (, ' f ' (, Jai f ' ( lim 0 f ( + f ( isebut koofisien ifferensi. Proses penarikan limit atas suatu koefisien iferensi alam hal tambahan variabel bebasna menekati nol isebut proses penurunan suatu fungsi atau iferensiasi. Seangkan hasil ang iperoleh ari ifferensiasi isebut turunan atau erivatif. B. Menentukan Turunan Fungsi Melalui Proses Limit. Langkah-langkah untuk menapatkan turunan suatu fungsi melalui proses limit aalah sbb:. Tulis fungsina, f(. Berikan tambahan terhaap sebesar terhaap sebesar, sehingga iapat, + f(+ ) 3. Pinahkan f( keruas kanan untuk menapatkan f(+ )- f(. 4. Bagi i keua ruas engan, iapat f ( + f ( 5. Hitung limit untuk menapatkan Contoh Soal : f ' ( lim 0 f ( + Tentukan ari f( f ( + f ( lim 0 ( +. + lim 0 lim + 0 f ( ( + lim 0 ). + lim 0
3 C. Menentukan Turunan Fungsi Melalui Rumus-Rumus Diferensial. Untuk memuahkan mencari turunan suatu fungai biasana igunakan rumus-rumus iferensial sbb : c.. Turunan fungsi aljabar : f(. f ( k. f ( k. n 0 k. n. n f '( 3. k{ f ( } n k. n. { f ( } n. f '( ) 4. f ( ± 5. f (. f ( 6. Keterangan : k suatu konstanta n bilangan bulat positif Berikut ini aalah penjelasan peritem :. f ( k 0 5 0. f ( k. n k. n. n 4 3 4.3. 3 f f '( ± g'( '(. + { } f (. g'( f '(. g'(. f (
4 3. k{ f ( } n k. n. { f ( } n. f '( isebut juga aturan Rantai, aturan ini juga bisa isebut eferensial fungsi ari suatu fungsi (komposit). Anaikan f(u) an u menentukan fungsi komposit f()(f o g)(. Jika tereferensialkan i an f tereferensialkan i u, maka f o g tereferensial i an ( f o g)'( f '( ) g'( atau D Du Du u atau u Contoh : a. 5( 3 + ) 3 carilah? misalkan u ( 3 + 5( u) 3 5.3. u u ; ( 3 + ) u maka, 5.3( 3 +.(3 + ) 5 ( 3 +.(3 + ) b. sin 3 (4 carilah? ari persoalan ini maka aa 3 unsur aitu sinus, pangkat an nilai 4 maka iselesaikan engan aturan rantai bersusun. Misalkan : f(u), usin v an v h( Maka, u v u v ari contoh i atas : u 3, usin v an v4 v u 4, cosv an 3u v u
5 3u. cosv. 4 3sin(4. cos(4. 4 sin(4. cos(4 4. f ( ± f '( ± g'( 5 3 + 5.3. +. 5 + 5. f (. f '(. + f (. g'( ( 3 + + 5)( + 3 ) f ( ( + + 5) f '( ( + ) g ( ( 3 + 3 g '( (3 + 3) ( + )( 3 + 3 + ( + + 5)(3 3) + 6 + 3 + 6 + (34 + 3 + 63 + 6 + 5 ( 4 + ( 5 4 + 83 + 4 + + 5) 5) 6. f ( f '(. g'(. f ( { } + + f ( ( + ) f '( g ( ( + ) g '(
6 f '(. g'(. f ( { }.( + ) ( ( + ) + 4 ( + 4 + 4) + 4 + 4 + 4 + ) c.. Turunan Fungsi Logaritma Dalam perhitungan aa ua basis ang biasana ipakai akni 0 an e. Logaritma ang memakai basis 0 isebut logaritma biasa an ang memakai basis e isebut Logaritma natural. e ( + ), 788 n lim n n 0 Rumus-rumus :. Log f ( (log e). f '( f (. Ln f ( (ln e). f '( f ( f ( f '( Catatan : ln e e log e e log ln ; log a ln a e Rumus-rumus eferensiasi penjumlahan, perkalian an pembagian juga berlaku bagi fungsi algoritma. Untuk lebih jelasna perhatikan eferensiasi engan memakai rumus-rumus i atas :
7 Rumus. Log f ( (log e). f '( f ( log 5 (log e). 5 5 Rumus. ln f ( f ( f '( ln. ln an bila z igantikan F engan fungsi F, maka { ln F}. Dengan mengingat hal ini, F uv marilah kita tinjau sebuah kasus, engan u,v,w an aalah w fungsi. Kita ambil logaritmana engan bilangan asar e makabiapat ln ln u +ln v ln w. Kita iferensiasikan masing-masing ruas iperoleh : Diasarkan paa kenataan bahwa { } u u + v v w w maka, u v w + u v w atau uv u v w + w u v w Contoh : sin, tentukanlah? cos imana u, vsin an wcos maka, u v w, cos, sin
8 Mengambil logaritma keua ruasna sin ln ln( ) + ln(sin -ln(cos cos uv u v w + w u v w cos + cos ( sin sin sin cos cos + cot + tan sin c.3. Turunan Fungsi Eksponen Untuk menentukan turunan fungsi eksponen igunakan basis rumus akni basis e an bukan e. Rumus-Rumus : f ( f (. e e. f '( f ( f (. a a. lna. f '( Contoh penggunaan rumus ini : Rumus. f ( f ( e e. f '( ( 5+ 4) e (5 e + 4).(0
9 Rumus. f ( f ( a a. lna. f '( 0 0 ( (. ln0.( ) D. Turunan Tingkat Tinggi. Apabila fungsi f( apat iturunkan/ierivatifkan sampai n kali terhaap, maka iapat : Jika f( maka f '( Turunan pertama f ''( Turunan keua 3 f ''( 3 Turunan ketiga n n n f ( Turunan ke-n Contoh soal : Carilah turunan tingkat 3 ari persoalan berikut ini : Jika iketahui f( 5 + 4 3 04 + Turunan pertama 40 3 + 4 Turunan keua 3 0 + 4 3 Turunan ketiga
0 Berikut ini iberikan cara penulisan iferensial : Derivatif Pertama Keua Ketiga Ke - n Penulisan F( f ' Penulisan ' f '' ' ' f ''' ''' f n Penulisan D D D D3 n D n Penulisan Leibniz 3 n E. Turunan Fungsi Implisit. Fungsi Implisit aalah fungsi ang inatakan sebagai f(,)0. Untuk mencari turunanna apat ilakukan engan ua cara. Pertama, bentuk fungsi irubah terlebih ahulu bentuk eksplisit, baru ipecahkan. Keua, tetap alam bentuk implisit engan pemecahan melalui ifresiansi implisit. Contoh Soal : Bila iketahui sebuah persamaan sbb : 4 +5+3-50, carilah? 8 + 5 + + 6 0 0 8 + 5 + 5 + 6 0 ( 8 + 5) + (5 + 6) 0 ( 8 + 5) (5 + 6) (8 + 5) 5 + 6
F. Turunan Fungsi Trigonometrik. Beberapa ientitas trigonometri ang perlu iketahui. a. sin + cos ; sec + tan ; cos ec + cot b. sin( A + B) sin Acos B + cos Asin B sin( A + B) cos Acos B sin Asin B cos( A B) cos Acos B + sin Asin B tan A + tan B tan( A + B) tan A tan B tan A tan B tan( A B) + tan A tan B c. misalkan AB. sin sin cos cos cos sin sin cos tan tan tan. misalkan sin sin cos cos cos sin sin cos tan tan tan e. C + D C D sinc + sin D sin cos C + D C D sinc sin D cos sin
C + D C D cos C + cos D cos cos C + D C D cos D cosc sin sin f. sin A cos B sin ( A+ B) + sin ( A B) cos A sin B sin ( A+ B) sin ( A B) cos A cos B cos( A+ B) + cos( A B) sin A sin B cos( A B) cos( A + B) Jika aalah fungsi ang apat ieferensiasi, maka f(. sin cos. cos -sin 3. tan sec 4. cot -cosec 5. sec sec. tan 6. cosec -cosec. cot Contoh soal : a. Buktikan f(sin maka cos engan turunan fungsi, lim sin( + sin lim sin cos + cos sin sin lim cos sin sin + cos 0 0 0 cos sin ( sin lim + ( cos lim 0 0
3 t (cos t, sin t) t (,0),0 0,5 0, 0,0 0-0,0-0, -0,5 -,0 cos 0,45970 0,4483 0,04996 0,00500? -0,00500-0,04996-0,4483-0,45970 sin 0,8447 0,95885 0,99833 0,99998? 0,99998 0,99833 0,95885 0,8447 ini membuktikan bahwa : lim 0 cos sin 0; an lim 0 Sehingga, D(sin (-sin.0 + (cos. cos cos b. Diketahui f(, hitung? f ( cos f '( sin g ( g'( maka engan menggunakan rumus : f ( f '(. g'(. f ( { } iapat,.sin cos
4 G. Turunan Fungsi Invers. a. Diferensiasi invers fungsi trigonometri Misalkan sin sin cos cos Selanjutna natakan cos alam Sebagaimana iketahui bahwa : sin + cos, maka cos sin ( karena sin ) cos ( ) sin ( engan cara ang sama apat icari Bagaimana engan tan? Misalkan tan tan sec + tan + + + ) cos ( b. Diferensiasi invers fungsi hiperbolik Misalkan sinh sinh cosh ; cosh Sebagaimana iketahui bahwa : sinh cosh, maka cosh + sinh + ( karena sinh ) cos ( + ) ( + ) sinh (+ ) )
5 engan cara ang sama apat icari cosh ( ) Bagaimana engan tanh? Misalkan tanh tanh ; sech Sebagaimana iketahui : sech tanh, maka sech tanh sin Berikut ini tabel hasil turunan fungsi invers Invers Fungsi Trigonometri sin ( ) cos ( ) tan + cot + sec ( ) csc ( ) Invers Fungsi Hiperbolik sinh ( + ) cosh ;( >) ( ) ;( tanh <) coth ;( >) sech ;( 0 < < ) ( ) csch ;( u 0) ( + )
6 Contoh soal : a. Cari, jika iberikan + sin + f ( ; f '( sin ; g '( ( ) + sin + ( ) b. Cari, jika iberikan sinh 3 sebagaimana iketahui sinh ( + ) 3 3 (3 + ) (9 + ) H. Persamaan Parametrik. Seringkali lebih enak mengungkapkan suatu fungsi engan menatakan suatu fungsi engan menatakan an alan suatu variabel bebas ketiga secara terpisah, contoh cost, sint. Dalam hal ini, sebuah harga t tertentu akan memberikan pasangan harga an, ang jika perlu apat saja igambarkan alam grafik sebagai salah satu titik ari kurva f(. Variabel ang ketiga ini, misalna t, isebut parameter, an keua pernataan untuk an isebut persamaan parametrik. Aa kalana kita masih memerlukan koefisien iferensial fungsi tersebut terhaap. Contoh : Persamaan untuk fungsi aalah : cost, sint, cari pernataan an? Jika, cost sint ; sint cos t t t
7 Dengan menggunakan kenataan bahwa Sehingga, t t sin t. cos karena sin t sint cost maka, 4sint cost. cost 4sint t