PROGRAM LINIER FUZZY PENUH DENGAN ALGORITMA MULTI OBJECTIVE LINEAR PROGRAMMING MENGGUNAKAN METODE LEVEL SUM Yosifayza Septiai 1, Bambag Irawato 2, Susilo Hariyato 3 Departeme Matematika FSM Uiversitas Dipoegoro Jl. Prof. H. Soedarto, S. H. Tembalag Semarag yosifayzas@gmail.com, b_irawato.yahoo.co.id ABSTRACT. Fully Fuzzy Liear Programmig (FFLP) is oe form of fuzzy liear program that the decisio variables, limitig the mark, the objective fuctio coefficiets, the coefficiet costraits ad right had side costraits are fuzzy umbers. Fuzzy umbers used i FFLP is triagular fuzzy umbers.several methods have bee developed to solve FFLP oe method Kumar. This thesis explores the completio FFLP with multi-objective algorithm liear programmig (MOLP) ad compared with the method of Kumar. FFLP problem will be trasformed ito a problem MOLP with triagular fuzzy umbers ad the completed Level Sum Method. Keyword : Fully Fuzzy Liear Programmig, Triagular Fuzzy Number, Level Sum Method, Kumar Method. I. PENDAHULUAN. Titik petig dalam evolusi kosep moder ketidakpastia adalah publikasi paper oleh Lotfi A. Zadeh (1965), dalam makalahya Zadeh memperkealka teori yag objek -- fuzzy set - - dega set batas yag tidak pasti. keaggotaa dalam himpua fuzzy adalah buka soal peegasa atau peolaka, ya atau tidak, melaika soal derajat. Dalam perkembagaya pada bidag optimasi, sebuah permasalaha program liier umumya terdiri dari fugsi tujua da kedala-kedala yag diyataka oleh persamaa ataupu pertidaksamaa. Program liier merupaka suatu cara utuk memaksimalka atau memiimalka suatu fugsi tujua sehigga diperoleh hasil optimal, baik maksimum ataupu miimum. Dalam program liier terdapat salah satu asumsi dasar, yaitu asumsi kepastia (pedefiisia yag baik da tegas), dimaa setiap parameter data dalam program liier, yag terdiri dari koefisiekoefisie fugsi tujua, kostata-kostata sebelah kaa da koefisie-koefisie tekis, diketahui secara pasti. Program liier (tegas) dikembagka mejadi program liier kabur (Program Liier Fuzzy / FLP).
Dalam skripsi Muhammad Erva dibahas Masalah program liier fuzzy peuh (Fully Fuzzy Liear Programmig /FFLP) megguaka Algoritma Multi Objective Liear Programmig (MOLP) dega peyelesia megguaka Metode Leksigografi. Dalam peyusua tugas akhir ii aka dibahas proses peyelesaia masalah program liier fuzzy peuh (Fully Fuzzy Liear Programmig / FFLP) dega megguaka Algoritma Multi Objective Liear Programmig (MOLP). Dikataka program liier fuzzy peuh jika semua parameter da variabel merupaka bilaga fuzzy serta dikataka multi objective jika fugsi tujuaya lebih dari satu. Algoritma diguaka utuk medapatka peyelesaia dari FFLP dega megubah masalah FFLP mejadi setara masalah Multi Objective Liear Programmig da kemudia diselesaika dega Metode Level Sum. Pada akhir peyelesaia, himpua peyelesaia yag diharapka utuk masalah program liier fuzzy peuh adalah himpua bilaga triagular fuzzy positif yag diamaka solusi optimal fuzzy da aka diguaka utuk meghitug peyelesaia solusi optimal fugsi tujua fuzzy. II. 2.1 Bilaga Triagular fuzzy HASIL DAN PEMBAHASAN Bilaga triagular fuzzy adalah bilaga fuzzy dega fugsi keaggotaaya berbetuk segitiga. Defiisi-defiisi dasar pada bilaga triagular fuzzy da operasi aritmatika pada bilaga triagular fuzzy yaitu sebagai berikut: Defiisi 2.1 [3] Sebuah bilaga fuzzya adalah bilaga triagular fuzzy lambag dari (a 1, a 2, a 3 ) dimaa a 1, a 2, da a 3 adalah bilaga rill, dega a 1 < a 2 < a 3 da fugsi keaggotaa μ A (x) didefiisika sebagai berikut: x a 1 utuk a a 2 a 1 x a 2 1 μ A (x) = a 3 x utuk a a 3 a 2 x a 3 2 { 0 utuk yag laiya DegaF(R) himpua rill semua bilaga triagular fuzzy.
Defiisi 2.2 [1] Bilaga triagular fuzzy(a, b, c) dikataka bilaga fuzzy o-egatif jika a 0. Defiisi 2.3 [3] Diberika A =(a 1, a 2, a 3 ) da B =(b 1, b 2, b 3 ) berada didalam F(R), maka (i) A B = (a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ). (ii) A B = (a 1 b 3, a 2 b 2, a 3 b 1 ). (iii) ka = (ka 1, ka 2, ka 3 ), utuk k 0. (iv) ka = (ka 3, ka 2, ka 1 ), utuk k < 0. (a 1 b 1, a 2 b 2, a 3 b 3 ), a 1 0, (v) A B = {(a 1 b 3, a 2 b 2, a 3 b 3 ), a 1 < 0, a 3 0, (a 1 b 3, a 2 b 2, a 3 b 1 ), a 3 < 0. Defiisi 2.4 [3] Diberika A = (a 1, a 2, a 3 ) da B = (b 1, b 2, b 3 ) berada di dalam F(R), maka (i) A B jika a i = b i, i = 1,2,3 ; (ii) A B jika a i b i, i = 1,2,3 da (iii) A B jika a i b i, i = 1,2,3. Defiisi 2.5 [3] Diberika A = (a 1, a 2, a 3 ) da B = (b 1, b 2, b 3 ) berada di dalam F(R), makaa B jika a i b i, i = 1,2,3 da a r > b r, utuk beberapa r {1,2,3}. Defiisi 2.6 [1] Fugsi rakig yag diguaka utuk megurutka bilaga triagular fuzzy didefiisika dega: degaa = (a, b, c), A F(R). R(A ) = a+2b+c 4 fugsi rakig (2.11) merupaka fugsi yag diguaka utuk megurutka bilaga triagular fuzzy pada program liier fuzzy sehigga berilai bilaga real da dapat dibadigka. 2.2 Program Liier Fuzzy Peuh Mejadi Masalah Multi Objective Liear Programmig Multiobjective optimizatio adalah metode optimasi dega beberapa fugsi tujua yag tuduk pada beberapa batasa. Solusi permasalaha ii diperoleh seperti peyelesaia optimasi dega satu fugsi tujua. Program liier Fuzzy yag terdiri dari Fuzzy peuh da Fuzzy tidak
peuh, utuk masalah Fuzzy tidak peuh tidak dapat diubah mejadi masalah program liier multi tujua (MOLP) karea pada Fuzzy tidak peuh x j adalah variabel keputusa berupa crisp buka Fuzzy, maka haya masalah Fuzzy peuh yag dapat diubah mejadi masalah program liier multi tujua (MOLP) dega tiga fugsi tujua. Berikut masalah FFLP mejadi masalah MOLP. Dikataka program liier Fuzzy peuh jika variabel (variabel keputusa da pembatas tada), koefisie fugsi tujua, koefisie kedala da ruas kaa kedala merupaka bilaga Fuzzy, dega formula: Memaksimalka / Memiimalka Z c T x dega kedala A x {,, }b, x 0, Dimaa a ij, c j, x j, b i F(R), utuk semua 1 j da 1 i m, c T = (c j) 1x, A = (a ij ) mx, x j = (x ij ) x1 da b = (b i) mx1. Di ubah mejadi betuk masalah MultiObjectie Liear Programmig (MOLP) mejadi berikut: (P) Memaksimalka / Memiimalka(z 1, z 2, z 3 ) j=1 (p j, q j, r j ) (x j, y j, t j ) dega kedala j=1 (a ij, b ij, c ij ) (x j, y j, t j ){,, }(b i, g i, h i ), utuk semua i = 1,2,, m da (x j, y j, t j ) 0, j = 1,2,, m. dega megguaka operasi aritmatika da hubugaparsial, masalah FFLP yag diberika dega masalah MOLP yag diberika dibawah ii: (M) Memaksimalka/Memiimalka z 1, = j=1 lower value dari ((p j, q j, r j ) (x j, y j, t j )) Memaksimalka/Memiimalka z 2, = j=1 middle value dari ((p j, q j, r j ) (x j, y j, t j )) Memaksimalka/Memiimalka z 3, = j=1 upper value dari ((p j, q j, r j ) (x j, y j, t j )) dega kedala j=1 lower value dari ((a ij, b ij, c ij ) (x j, y j, t j )) {, =, }b i,utuk semua i = 1,2,, m;
j=1 middle value dari ((a ij, b ij, c ij ) (x j, y j, t j )) {, =, }b i,utuk semua i = 1,2,, m ; j=1 upper value dari ((a ij, b ij, c ij ) (x j, y j, t j )) {, =, }b i,utuk semua i = 1,2,, m; z 2 z 1 ; z 3 z 2 ; x j y j, j = 1,2,, m; y j t j, j = 1,2,, m ; x j 0, j = 1,2,, m. Teorema 2.1[3] Diberika X = {x j, y j, t j ; j = 1,2,, m}yag merupaka solusi yag efisie utuk masalah (M), maka X = {(x j, y j, t j) ; j = 1,2,, m} adalah solusi optimal utuk masalah (P). Bukti : Misal, karea X = {(x j, y j, t j) ; j = 1,2,, m}adalah solusi efisie utuk masalah (M), X = {(x j, y j, t j) ; j = 1,2,, m} adalah solusi fisibel utuk masalah (P). Asumsika X = {(x j, y j, t j) ; j = 1,2,, m} tidak optimal utuk masalah (P). Maka, terdapat solusi fisibel X = {(x j, y j, t j ) ; j = 1,2,, m} laiya utuk masalah (P) sedemikia higgaz(x ) Z(X ) yaitu z i (x, y, t) z i (x, y, t ), i= 1,2,3 da z r (x, y, t) z r (x, y, t ), utuk beberapa r {1, 2, 3} dimaa x = {x j ; j = 1, 2,, m}, y = {y ; j = 1, 2,, m}, j t = {t j ; j = 1, 2,, m}, x = {x j ; j = 1,2,, m}, y = {y j ; j = 1,2,, m}, da t = {t j ; j = 1,2,, m}. Ii berarti bahwa X = {x j, y j, t j ; j = 1,2,, m} buka solusi efisie utuk masalah (M) yag merupaka kotradiksi. 2.4 Program Liier Fuzzy Peuh dega Bilaga Triagular Fuzzy Megguaka Metode Level Sum
Mecari solusi optimal dari program liier fuzzy peuh dega bilaga triagular fuzzy yag diberika megguaka metode Level Sum yag sudah di jelaska pada 2.3 maka sebagai berikut lagkah-lagkahya: 1. Memaksimalka/ memiimalka Z c T x dega kedala A x {,, }b, x 0, Dimaa a ij, c j, x j, b i F(R), utuk semua 1 j da 1 i m, c T = (c j) 1x, A = (a ij ) mx, x = (x j) x1 da b = (b i) mx1. 2. Jika diberika parameter z = (z 1, z 2, z 3 ), a ij = (a ij, b ij, c ij ), c j = (p j, q j, r j ), x j = (x j, y j, t j )da b i = (b i, g i, h i ), Maka lagkah 1 dapat ditulis sebagai masalah (P) seprti pada 2.3. 3. Permasalaha diubah mejadi masalah MOLP dibagi mejadi 3 bagia yaitu mejadimasalah (M) seperti pada 2,3. 4. Guaka metode Sum of Objective Jumlahka beberapa fugsi tujua mejadi sebagai berikut: Memaksimalka/ Memiimalka Z = (z 1 + z 2 + z 3 ) dega kedala seperti masalah (M) pada 2.3. 5. Selesaika lagkah 4 megguaka metode simpleks atau metode big m utuk meemuka x j, y j, da t j, dega, j = 1,2,, m. 6. Temuka solusi optimal fuzzy dega memasukka ilai x j, y j, t j,dega, j = 1,2,, m ke dalam x j = (x j, y j, t j ). 7. Subtitusi ilai x j = (x j, y j, t j ) ke dalam fugsi tujua j=1 c j x j. 8. Peegasa (defuzzificatio) ilai optimal fuzzy dega fugsi ragkigr(a ) = a+2b+c 4 Cotoh 1 Home Idustry Hagia Sofia memproduksi beberapa jeis baju muslim waita dewasa diataraya model terusa da model setela. Utuk memproduksi kedua jeis baju muslim tersebut dibutuhka beberapa jeis baha baku diataraya kai, beag, kai keras. Setiap satu
buah baju muslim model terusa membutuhka 3,2 yard kai pada model ormal, 2,8 yard kai pada model simple, da 3,6 yard kai pada model sulit, 1 buah beag pada model ormal, 1/2 beag pada model simple, da 2 beag pada model sulit, 1/2 kai keras beag pada model ormal, 0,1 kai keras pada model simple, da 1 kai keras pada model sulit. Setiap satu buah baju model setela membutuhka 4 yard kai pada model ormal, 3 yard kai pada model simple, da 5 yard kai pada model sulit, 1½ beag pada model ormal, 1 buah beag pada model simple da 2 buah beag pada model sulit, 0.9 kai keras pada model ormal, 0,5 kai keras pada model simple da 1,5 kai keras pada model sulit. Akibat berbagai macam model baju tidak meetu baha baku yag disediaka utuk diolah pu dapat berubah-ubah, dega jumlah kai 4050 yard da dapat megalami keaika tidak perah mecapai 4500 yard da megalami peurua tidak perah mecapai 3150 yard. Beag 1350 buah, megalami keaika tidak perah mecapai 1800 buah, megalami peurua tidak perah mecapai 900 buah. Kai keras 810 yard, megalami keaika tidak perah mecapai 1000 yard, megalami peurua tidak perah mecapai 450 yard. Produk tersebut dikerjaka melalui 3 proses pegerjaa, yaitu Proses I adalah pemotoga kai, Proses II adalah pejahita, Proses III adalah pegemasa (fiishig). Utuk membuat baju muslim model terusa dibutuhka 7 jam pada Proses I, 7 jam pada Proses II, 9 jam pada Proses III. Berbeda dega baju muslim model setela dibutuhka 5 jam pada Proses I, 9 jam pada Proses II, 13 jam pada Proses III. Jumlah karyawa pada Proses I sebayak 2 orag, pada Proses II sebayak 10 orag, pada Proses III sebayak 3 orag. Para karyawa bekerja 10 jam. Jika pasar sepi para karyawa bekerja kurag dari 10 jam tetapi tidak perah mecapai 6 jam da jika pasar ramai tidak perah mecapai 12 jam sehari. Da bekerja selama 6 hari kerja dalam satu miggu. Keutuga tiap baju muslim model terusa adalah Rp. 21.000,00 sedagka model setela Rp. 25.000,00 saat pasar sedag, sedagka saat pasar sepi keutuga mejadi meuru tetapi tidak perah mecapai Rp. 16.000,00 utuk model terusa da Rp. 20.000,00 utuk model setela. Saat pasar ramai keutuga pu bertambah tetapi tidak perah mecapai Rp. 25.000,00 utuk model terusa da Rp. 30.000,00 utuk model setela. Tabel Tabulasi Data pada Home Idustry Hagia Sofia Baha Baku Produk Kapasitas
I Model Terusa II Model Setela (miggu) Kai (yard) 2.8, 3.2, 3.6 3,4,5 3150,4050,4500 Beag (buah) 0.5, 1, 2 1, 1.5, 2 900, 1350, 1800 Kai keras (yard) 0.1, 0.5, 1 0.5, 0.9, 1.5 450, 810, 1000 Proses I (jam) 4, 7, 8 6, 7.5, 8 72,120,144 Proses II (jam) 5, 7, 10 6, 9, 11 360,600,720 Proses III (jam) 7.5, 9, 11 8, 13, 15 108,180,216 Keutuga per pcs 21000 25000 Keutuga mi per pcs 16000 20000 Keutuga maks per pcs 25000 30000 Variabel Keputusa : x 1 : jumlah produk I (model terusa) yag dibuat dalam pcs x 2 : jumlah produk II (model setela) yag dibuat dalam pcs Kasus tersebut dapat diformulasika sebagai berikut: Memaksimalka Z = (16000,21000,25000)x 1 + (20000,25000,30000)x 2 Dega kedala (2.8, 3.2, 3.6)x 1 + (3, 4, 5)x 2 (3150, 4050, 4500), (0.5,1, 2)x 1 + (1,1.5,2)x 2 (900,1350,1800), (0.1, 0.5,1)x 1 + (0.5,0.9,1.5)x 2 (450,810,1000), (4,7,8)x 1 + (6,7.5,8)x 2 (72,120,144), (5,7,10)x 1 + (6,9,11)x 2 (360,600,720), (7.5,9,11)x 1 + (8,13,15)x 2 (108,180,216),
x 1, x 2adalahbilaga triagular fuzzy o-egatif. Peyelesaia : Diperoleh dega metode Level Sum x 1 = (x 1, y 1, t 1 ) = (5.5385, 8.9362, 13.5) da x 2 = (x 2, y 2, t 2 ) = (8.3077, 7.6596, 4.5) z = (254770, 379150.2, 472500) dega ilai crisp Z level sum = 371392.6 Jadi, keutuga maksimum yag bisa didapat oleh home idustry Hagia Sofia dalam memproduksi baju muslim waita adalah sebesar 371392.6, dalam ribua rupiah yaitu Rp. 371.392,6 per migguya dega jumlah baju model terusa yag harus diproduksi sebayak 36.9109 pcs 37 pcs da jumlah baju model setela yag harus diproduksi sebayak 28.1269pcs 29 pcs. III. KESIMPULAN Masalah program liier fuzzy peuh (FFLP) dapat diselesaika dega megguaka algoritma Multi Objective Liier Programmig (MOLP) kemudia diselesaika dega metode level Sum pada bilaga triagular fuzzy, algoritma ii diguaka utuk memecahka masalah program liier fuzzy peuh (FFLP) dega cara megubah masalah FFLP mejadi setara dega masalah MOLP da kemudia diselesaika dega metode Level Sum. Pada cotoh soal simulasi I peyelesaia masalah FFLP dega megguaka algoritma Multi Objective Liier Programmig (MOLP) Level Sum meghasilka solusi optimal fuzzy lebih optimal dibadigka peyelesaia masalah FFLP megguaka metode Kumar, karea meghasilka ilai solusi optimal da himpua tegas yag lebih besar dibadigka dega megguaka metode Kumar. IV. DAFTAR PUSTAKA [1] Kumar, Amit, Jagdeep Kaur da Pushpider Sigh. 2010. Applied Mathematical Modellig. A New Method for Solvig Fully Fuzzy Liear Programmig Problems,35: 817-823. [2] N. Mahdavi Amiri, S. H. Nasheri, A. Yazdi. 2009. Fuzzy Primal Simplek Algorithms for Solvig Fuzzy Liear Programmig Problems. Iraia Joural of Operatio Research. Vol. 1, No. 2. PP. 68-84.
[3] Padia. P. 2013. Multi-Objective Programmig Approach for Fuzzy Liear Problem. Joural Vol. 7, No. 37, PP. 1811-1817