BAB 2 LANDASAN TEORI

Transkripsi

1 BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Vehicle Routig Problem Vehicle routig problem memiliki peraa pokok dalam maajeme logistik. Vehicle routig problem berpera dalam meracag rute yag optimal yag diguaka oleh sejumlah kedaraa yag ditempatka pada depot utuk melayai sejumlah pelagga dega permitaa yag diketahui (Toth da Vigo, 2002). Lapora ilmiah dari Datzig da Ramser (1959) secara luas diaggap sebagai lapora ilmiah pertama tetag vehicle routig. Yag meguraika tetag rute armada truk pegirima besi atara termial curah da sejumlah besar stasiu layaa yag dipasok dari termial. Toth da Vigo meggambarka vehicle routig problem sebagai suatu graf legkap G = (V, A), di maa V = {0,..., } adalah himpua titik da A himpua busur. Node i = 1,,, meujukka pelagga, sedagka ode 0 meujukka depot. Terkadag depot digambarka juga dega + 1. Biaya o egative/jarak tempuh (c ijk ), terkait dega setiap busur (i, j) A da merupaka biaya travel yag dikeluarka dalam perjalaa dari titik i ke titik j. Tujua vehicle routig problem adalah utuk megatur rute biaya teredah kedaraa sedemikia higga: Setiap rute dimulai da diakhiri di depot. Setiap pelagga dikujugi tepatya sekali dega satu kedaraa. Jumlah permitaa dari rute kedaraa yag ada tidak melebihi kapasitas kedaraa.

2 Gambar 2.1 Visualisasi Vehicle Routig Problem Kallehauge dkk. (2001) medefiisika pemasalaha m-tsp (Travelig Salesma Problem) sebagai salah satu variasi dari TSP (Travelig Salesma Problem), di maa terdapat m salesma yag megujugi sejumlah kota da tiap kota haya dikujugi oleh tepat satu salesma saja. Tiap salesma berawal dari suatu depot da pada akhir perjalaaya juga harus kembali ke depot tersebut. Permasalaha m-tsp (Travelig Salesma Problem) ii dikeal sebagai Vehicle Routig Problem (VRP). Kallehauge dkk. juga memformulasika sebuah model dari vehicle routig problem sebagai berikut: Fugsi tujua: K N+1 N+1 Mi C = c ijk x ijk 2.1 k=1 i=0 j=0 Kedala: K N+1 x ijk = 1; i = 1, 2,, N 2.2 k=1 j=0 N N+1 d i x ijk v k ; k = 1, 2,, K 2.3 i=1 j=0

3 N+1 x 0jk = 1; k = 1, 2,, K j=0 2.4 N+1 N+1 x ihk x hjk = 0; h = 1, 2,, N; k = 1, 2,., K i=0 j=0 2.5 N+1 x i,n+1,k = 1; k = 1, 2,., K i=0 2.6 x ijk {0, 1}; i = 0, 2,, N + 1; k = 1, 2,., K 2.7 dega: c ijk K d i N v k = biaya travel atara kosume i da j. = omor kedaraa. = total permitaa kedaraa k sampai kosume i. = omor pelagga (0 meujukka depot). = kapasitas maksimum kedaraa k. Persamaa (2.1) meujukka fugsi tujua dari permasalaha ii, yaitu utuk memiimalka total biaya travel. Persamaa (2.2) meujukka bahwa tiap kosume haya dapat dilayai oleh satu kedaraa saja. Persamaa (2.3) diguaka utuk membatasi total jumlah permitaa yag dibawa oleh kedaraa k, tidak boleh melebihi kapasitas dari kedaraa tersebut. Persamaa (2.4)-(2.6) diguaka utuk memastika bahwa tiap kedaraa beragkat dari depot 0, da setelah selesai melayai seorag kosume, kedaraa tersebut aka pergi, serta pada akhirya, kedaraa tersebut aka kembali ke depot N + 1. Vehicle routig problem mugki dapat memiliki kedala tambaha yag aka megarah pada varia yag berbeda. Varia tersebut pada dasarya dibetuk dega modifikasi pada satu atau lebih eleme dalam vehicle routig problem. Terdapat empat eleme yag membetuk model dari varia tersebut, yaitu: jariga jala, kedaraa, pelagga, da ketidakpastia pada model. Elemeeleme ii dapat diatur dega cara yag berbeda. Seperti misalya, pertimbaga

4 dalam jariga jala, perbedaa kedaraa, time widows, da perbedaa tipe dari permitaa pelagga (pick-up atau delivery). Selai itu, beberapa ketidakpastia juga dapat dipertimbagka, seperti ketidakpastia dalam permitaa da waktu perjalaa. Beberapa cotoh varia dari vehicle routig problem adalah vehicle routig problem with time widows, vehicle routig problem with backhaul, vehicle routig problem with pick-up ad delivery, da stochastic vehicle routig problem. 2.2 Teori Himpua Fuzzy Dalam megatasi permasalaha himpua dega batas yag tidak tegas, Zadeh megaitka himpua semacam itu dega suatu fugsi yag meyataka derajat kesesuaia usur-usur dalam semestaya dega kosep yag merupaka syarat keaggotaa himpua tersebut. Fugsi tersebut dapat dikataka sebagai fugsi keaggotaa da fugsi tersebut juga dapat dikataka sebagai derajat keaggotaa suatu usur dalam himpua. Hal ii utuk selajutya disebut sebagai himpua fuzzy. Maka dapat dikataka setiap usur dalam semesta memiliki derajat keaggotaa tertetu dalam himpua tersebut. Derajat keaggotaa diyataka dega suatu bilaga real dalam selag tertutup [0,1]. Dega perkataa lai, fugsi keaggotaa dari suatu himpua fuzzy A dalam X adalah pemetaa μ Ã (x) dari X ke selag [0,1], yaitu μ Ã : X [0,1]. Nilai fugsi μ Ã (x) meyataka derajat keaggotaa usur x Є X dalam himpua fuzzy A. Nilai fugsi sama dega 1 meyataka keaggotaa peuh, da ilai fugsi sama dega 0 meyataka sama sekali buka aggota himpua fuzzy tersebut. Maka himpua tegas juga dapat dikataka sebagai kejadia khusus dari himpua fuzzy, yaitu himpua fuzzy yag fugsi keaggotaaya haya berilai 0 atau 1 saja. Jadi fugsi keaggotaa dari suatu himpua tegas A dalam semesta X adalah pemetaa dari X ke himpua {0,1} Fugsi Keaggotaa Secara matematis suatu himpua fuzzy A dalam semesta X dapat diyataka sebagai himpua pasaga berurut:

5 A = x, μ A (x) x X 2.8 di maa μ A adalah fugsi keaggotaa dari himpua fuzzy A, yag merupaka suatu pemetaa dari himpua semesta X ke selag tertutup [0,1]. Apabila semesta X adalah himpua yag kotiu, maka himpua fuzzy A diyataka dega: A = μ A (x) x x X 2.9 di maa lambag ʃ di sii buka lambag itegral seperti dalam kalkulus, tetapi melambagka keseluruha usur-usur x X bersama dega derajat keaggotaaya dalam himpua fuzzy A. Apabila semesta X adalah himpua yag diskrit, maka himpua fuzzy A diyataka dega: A = μ A (x) x x X 2.10 di maa lambag di sii tidak melambagka operasi jumlaha seperti dalam aritmatika, tetapi melambagka keseluruha usur-usur x X bersama dega derajat keaggotaaya dalam himpua fuzzy A. Pedukug (support) dari suatu himpua fuzzy A, yag dilambagka dega Ped(A ), adalah himpua tegas yag memuat semua usur dari semesta yag mempuyai derajat keaggotaa tidak ol dalam (A ), yaitu: Ped A = {x X μ A (x) > 0} 2.11 Tiggi (height) dari suatu himpua fuzzy (A ), yag dilambagka dega Tiggi(A ), didefiisika sebagai: Tiggi A = sup{μ A (x)} 2.12 x X

6 Teras (core) dari suatu himpua fuzzy (A ), yag dilambagka dega Teras(A ), adalah himpua semua usur dari semestaya yag mempuyai derajat keaggotaaya sama dega 1, yaitu: Teras A = {x X μ A (x) = 1} 2.13 Pusat dari suatu himpua fuzzy didefiisika sebagai berikut: jika ilai purata dari semua titik di maa fugsi keaggotaa himpua fuzzy itu mecapai ilai maksimum adalah berhigga, maka pusat himpua fuzzy itu adalah ilai purata tersebut. Jika ilai purata itu tak higga positif, maka pusat himpua fuzzy itu adalah yag terkecil di atara semua titik yag mecapai ilai fugsi keaggotaa maksimum. Da begitu pu sebalikya jika ilai purata itu tak higga egatif, maka pusat himpua fuzzy itu adalah yag terbesar di atara semua titik yag mecapai ilai fugsi keaggotaa maksimum. Dua buah himpua fuzzy A da B dalam semesta X dikataka sama A = B, jika da haya jika μ A (x) = μ B (x) 2.14 utuk setiap x X. Himpua fuzzy A dikataka merupaka himpua bagia dari himpua fuzzy B A B, jika da haya jika μ A (x) μ B (x) 2.15 utuk setiap x X. Jadi A = B jika da haya jika A B da B A. Fugsi keaggotaa trapesium/trapezoidal merupaka salah satu fugsi keaggotaa himpua fuzzy yag mempuyai empat buah parameter, yaitu a, b, c, d R dega a < b < c < d, da diyataka dega trapesium (x; a, b, c, d) dega atura: x a utuk a x b b a 1 utuk b x c μ(x) = d x utuk c x d d c 0 utuk laiya

7 Fugsi keaggotaa tersebut dapat diformulasika sebagai berikut: x a Trapesium(x; a, b, c, d) = max mi b a d x, 1,, d c Berikut gambar yag memperlihatka fugsi keaggotaa trapesium (x; a, b, c, d). μ(x) 1 0 a b c d x Gambar 2.2 Fugsi Keaggotaa Bilaga Fuzzy Trapezoidal Peegasa (Defuzzifikasi) Iput dari proses defuzzifikasi adalah suatu himpua fuzzy yag diperoleh dari suatu komposisi atura-atura fuzzy, sedagka output yag dihasilka merupaka suatu bilaga pada himpua fuzzy tersebut. Sehigga jika diberika suatu himpua fuzzy dalam rage tertetu, maka harus dapat diambil suatu ilai crisp tertetu sebagai output. Meurut Kusumadewi (2004), ada beberapa metode defuzzifikasi pada komposisi atura Mamdai. Salah satuya adalah metode cetroid (Composite Momet). Pada metode ii, solusi crisp diperoleh dega cara megambil titik pusat daerah fuzzy. Secara umum dirumuska sebagai berikut: Utuk domai kotiu: Z 0 = b a Z μ (Z) dz b μ (Z) dz a 2.17

8 di maa: Z = ilai domai ke i μ (Z) =derajat keaggotaa titik tersebut Z 0 = ilai hasil peegasa Utuk domai diskrit: Z = i=1 d i. U Ai (d i ) U Ai (d i ) i=j 2.18 di maa: Z = ilai hasil peegasa (defuzzyfikasi) d i = ilai keluara pada atura ke i U Ai (d i ) = derajat keaggotaa ilai keluara pada atura ke i = bayakya atura yag diguaka Distribusi Possibility Misalka X mejadi variabel yag megambil ilai-ilai dalam semesta wacaa U, dega usur umum U diotasika dega u. Maka: X = u 2.19 meadaka bahwa X diberi ilai u, u U. Misalka F mejadi subset fuzzy dari U yag ditadai dega fugsi keaggotaa μ F. Kemudia F adalah batasa fuzzy pada X (atau berhubuga dega X) jika F bertidak sebagai kedala elastis pada ilai-ilai yag dapat ditugaska utuk X dalam arti bahwa peugasa ilai u utuk X memiliki betuk: X = u: μ F (u) 2.20 di maa μ F diartika sebagai derajat yag kedalaya diwakili oleh F, di maa F memeuhi bila u ditugaska utuk X. Sama seperti, (2.20) meujukka bahwa

9 1 μ F (u) adalah derajat yag maa kedalaya harus dilebarka utuk memeuhi tugas u utuk X. Misalka R(X) meujukka batasa fuzzy yag berhubuga dega X. Kemudia, utuk meyataka bahwa F memaika pera dari batasa fuzzy dalam hubugaya dega X, maka dapat ditulis: R(X) = F 2.21 Persamaa betuk ii disebut persamaa tugas rasioal karea hal tersebut meggambarka peugasa dari himpua fuzzy (atau relasi fuzzy) dega batasa yag berhubuga dega X. Defiisi 1 Misalka F himpua bagia kabur dari semesta U yag ditadai dega fugsi keaggotaa μ F, dega tigkat keaggotaa, μ F (u), diartika sebagai kecocoka dari u dega kosep yag bertada F. Misalka X mejadi variabel yag ilaiya diambil dalam U, da misalka F bertidak sebagai batasa fuzzy, R(X), yag berhubuga dega X. Kemudia permasalaha "X adalah F", yag diterjemahka mejadi: R(X) = F 2.22 meghubugka distribusi possibility, Π x, dega X yag didalilka sama dega R (X), yaitu: Π x = R(X) 2.23 Sejala dega itu, fugsi distribusi possibility berhubuga dega X (atau fugsi distribusi possibility dari Π x ) diotasika dega π x da didefiisika sebagai umerik yag sama dega fugsi keaggotaa F, yaitu: π x μ F 2.24

10 dega demikia π x (u), di maa kemugkia bahwa X = u, adalah utuk medalilka mejadi sama dega μ F (u). Dalam gambara (2.23), persamaa tugas relasioal (2.22) dapat diyataka setara dalam betuk: Π x = F 2.25 meempatka bukti bahwa dalil p X adalah F, yag memiliki efek utuk meghubugka X dega distribusi possibility Π x, di maa (2.23) adalah sama dega F. Ketika diyataka dalam betuk (2.25), persamaa tugas relasioal aka disebut persamaa tugas possibility, dega pegertia bahwa Π x diiduksi oleh p. a. Ukura possibility Misalka A himpua bagia ofuzzy dari U da misalka Π x mejadi distribusi possibility yag terhubug dega variabel X yag megambil ilai dalam U. Kemudia, ukura possibility π(a) dari A didefiisika sebagai bilaga dalam [0, 1] yag diberika oleh: π(a) Sup u A π x (u) 2.26 di maa π x (u) adalah fugsi distribusi possibility Π x. Jumlah ii kemudia mugki diartika sebagai possibility bahwa ilai X milik A, yaitu: Poss{X A} π(a) Sup u A π X (u) 2.27 Ketika A adalah himpua fuzzy, yag termasuk ilai dari X ke A adalah tidak berarti. Defiisi 2 Misalka A himpua bagia fuzzy dari U da misalka Π x mejadi distribusi possibility yag berhubuga dega variabel X yag megambil ilai dalam U. Ukura possibility π(a) dari A didefiisika dega:

11 Poss{X adalah A} π(a) Sup u U μ A (u) π X (u) 2.28 di maa "X adalah A" digati "X A" dalam (2.27), μ A adalah fugsi keaggotaa dari A, da berdiri, seperti biasa, utuk miimal. Perlu dicatat bahwa, dalam hal height dari suatu set fuzzy, yag didefiisika sebagai supremum dari fugsi keaggotaa, (2.27) dapat diyataka dega jelas dega persamaa: π(a) Height(A Π X ) 2.29 b. Possibility da iformasi Jika p adalah sebuah dalil dari betuk p X adalah F yag diterjemahka ke dalam persamaa tugas possibility: Π A(X) = F 2.30 di maa F adalah himpua bagia fuzzy dari U da A (X) adalah sifat tersirat dari X yag megambil ilai dalam U, maka iformasi yag disampaika oleh p, I(p), dapat diidetifikasi dega distribusi possibility, Π A(X), dari variabel fuzzy A(X). Dega demikia, hubuga atara I(p), Π A(X), R(A(X)) da F diyataka oleh: I(p) Π A(X) 2.31 di maa: Π A(X) = R A(X) = F Program Possibilistic Berikut merupaka formulasi program possibilistic. Pertimbagka masalah program liear berikut: Fugsi tujua: mi z = cx

12 Kedala: Ax b x 0, 2.33 Di maa c = (c 1,, c ) merupaka vektor baris -dimesi, x = (x 1,, x ) t merupaka vektor kolom -dimesi, b = (b 1,, b m ) t merupaka vektor kolom m-dimesi da A = a i,j merupaka matriks m x. Bilaga fuzzy L-R A i,j c l dapat ditetuka dega sebuah pusat a ij dega peyebara kiri w aij da peyebara kaa w r aij, da dapat direpresetasika sebagai A i,j =< c l r, w aij, w aij >. c j diperkiraka sebagai bilaga fuzzy L-R c j =< a ij c c j, w l cj, w r cj >. Bilaga fuzzy yag membatasi ilai fugsi possibilistic liear didefiisika oleh prisip perluasa. Meerapka prisip perluasa, misalya, utuk fugsi tujua dari permasalaha (2.33), f 0 (x 1,, x ) = c j x j, bilaga fuzzy F 0 (x 1,, x ) dega batasa f 0 (x 1,, x ) didefiisika oleh fugsi keaggotaa berikut: μ F0 (x 1,,x )(r) = Sup p 1,, p mi μ c1 (p 1 ),, μ c (p ) 2.34 Di maa r = p 1 x p x. Mempertimbagka fakta bahwa c j adalah bilaga fuzzy L-R < c c j, w l cj, w r cj >, bilaga fuzzy F 0 (x 1,, x ) juga mejadi bilaga fuzzy L-R, yaitu: F 0 (x 1,, x ) =< c j c x j, w l cj x j, w r cj x j > 2.35 Persamaa kedua adalah dari o-egatif dalam x j dari permasalaha (2.33). misalka F i (x 1,, x ) mejadi bilaga fuzzy yag membatasi ilai sisi kiri dari kedala ke-i dari (2.33), oleh karea itu utuk i = 1,, m,

13 Catata 1 F i (x 1,, x ) =< a c ij x j, l w aij x j, w r aij x j > 2.36 Asumsika A ij da c j adalah bilaga fuzzy triagular simmetris sebagai berikut: A ij =< a c c ij, w aij >, c j =< c c j, w c cj > Jika ditetapka L(x) = R(x) = 1 x, kemudia permasalaha (2.33) dirumuska sebagai permasalaha program liear berikut: Fugsi tujua: max c j c x j a w cj x j Kedala: a c ij x j + a w c aij x j b i, i = 1,, m x j 0, j = 1,, Metode Savig Matriks Metode savig matriks pada hakikatya adalah metode utuk memiimumka jarak atau waktu da ogkos dega mempertimbagka kedala-kedala yag ada. Berikut ii lagkah-lagkah pembetuka rute distribusi dega megguaka metode savig matriks, yaitu: 1. Idetifikasi Matriks Jarak Pada lagkah ii, diperluka jarak atara gudag da ke masig-masig toko da jarak atar toko. Utuk meyederhaaka permasalaha, litasa terpedek diguaka sebagai jarak atar lokasi. Jadi, dega megetahui koordiat masig-masig lokasi maka jarak atar dua lokasi bisa dihitug dega megguaka rumus jarak stadar. Apabila jarak riil atar lokasi diketahui, maka jarak tersebut lebih baik diguaka dibadig dega jarak teoritis dega megguaka rumus. Jarak dari gudag ke masig-masig

14 toko da jarak atar toko aka diguaka utuk meetuka matriks peghemata (savig matriks) yag aka dikerjaka pada lagkah berikutya. 2. Megidetifikasi matriks peghemata ( savig matriks) Pada lagkah ii, diasumsika bahwa setiap toko aka dikujugi oleh satu armada secara eksklusif. Savig matriks merepresetasika peghemata yag bisa direalisasika dega meggabugka dua pelagga ke dalam satu rute. Utuk perhituga peghemata jarak dapat meguaka persamaa: S(x, y) = J (G, x) + J(G, y) J(x, y) di maa: S(x, y) = Peghemata Jarak J (G, x) = Jarak gudag ke toko x J (G, y) = Jarak gudag ke toko y J (x, y) = Jarak toko x ke toko y 3. Megalokasika Distributor ke rute Dega megguaka tabel peghemata jarak, dapat dilakuka pegalokasia toko ke kedaraa atau rute. Pada tahap awal, tiap toko alokasika ke rute yag berbeda, amu toko-toko tersebut bisa digabugka sampai pada batas kapasitas truk yag ada. Peggabuga aka dimulai dari ilai peghemata terbesar karea diupayaka memaksimumka peghemata.