A. DEFINISI LIMIT Istilah it dalam matematika hampir sama artinya dengan istilah mendekati. Akibatnya, nilai it sering dikatakan sebagai nilai pendekatan.. Pengertian Limit secara Intusi Untuk memahami pengertian it secara intuisi perhatikanlah contoh soal berikut: Diketahui f ()+ untuk anggota bilangan real, tentukanlah f ( ) untuk mendekati (tetapi ) y f ()+ 2 O Dari Kiri Gambar. - -,5,5 f ().5,5 2 Untuk mendekati dari kiri maka nilai f () akan mendekati 2 Dapat dituliskan: Dari Kanan f ()2 atau (+ )2,5 2 2,5 3 f () 2 2,5 3 3,5 4 Untuk mendekati dari kanan nilai f () akan mendekati 2 Dapat dituliskan: + f ( )2 atau karena it dari kiri it dari kanan + (+)2
Yaitu + f ( )2 f ( ) Maka dapat dituliskan f ( )2 atau (+ )2 Secara intuitif pengertian it dapat didefinisikan sebagai berikut: Pernyataan f ( )L menunjukkan bahwa jika a tetapi a, maka nilai f () mendekati L. mendekati a 2. Pengertian Limit secara Aljabar Selain pengertian secara intuitif, pengertian it juga dapat dijelaskan secara aljabar. Misalkan f adalah fungsi yang terdefinisi pada interval tertentu yang memuat a, kecuali di a sendiri, sedangkan L adalah suatu bilangan real. Fungsi f dikatakan mempunyai it L untuk mendekati a, ditulis a f () L jika dan hanya jika untuk setiap bilangan kecil ε> terdapat bilangan δ > sedemikian rupa sehingga jika < a δ maka f () L ε. Pernyataan tersebut dinamakan definisi it secara umum. Teorema. f ( )L jika dan hanya jika a 2. Jika tidak ada. a f ( )L dan a f ()L a + f ( )L 2 dan a + f ()L dengan L L 2, maka f () a
B. LIMIT FUNGSI ALJABAR. Limit Fungsi f () untuk a Langkah-langkah menentukan f ( ) a R sebagai berikut a ) Tentukan nilai f () dengan mensubstitusikan nilai a pada fungsi f (). Dengan demikian kita memperoleh f ( )f (a). 2 Jika (a ), maka nilai f () telah diperoleh. 2 Jika f (a ) (bentuk tak tentu), maka teruskan ke langkah 2. 2) Tentukan f ( ) dengan cara memfaktorkan. 2 a. Metode Substitusi Jika fungsi f () mempunyai nilai tertentu untuk a, maka f ( )f (a ), asalkan (a ) a Contoh : ) Tentukan nilai it dari a) ( 5) 3 b) 2 c) 2 +2 8 2 +5 2 + Penyelesaian : a) ( 5) 3 5-2, 3 b) c) Jadi, 3 2 +2 8 2 Jadi, 2 2 +5 2 Jadi, + ) ( 5) -2. 2 2 +2.2 84+4 8 2 +2 8 ) 2 +5 2 + Latihan soal : Hitunglah it berikut 2 +5. 2 + ) 2 4 2 2
) 2 ( 8) 3 2) 4 3) 3 4) 9+ 2 3 7 3 2 4 5 +2 b. Metode Pemfaktoran Jika f () g () h ( ) dan dengan substitusi langsung a diperoleh f (a) g() h(), bentuk g( ) dan h() difaktorkan lebih dahulu sehingga mempunyai factor yang sama yang dapat disederhanakan sedemikian sehingga f (a). Selanjutnya perhitungan it dapat dilakukan dengan cara substitusi. Secara umum, cara menyelesaikan it fungsi f() bentuk taktentu dengan memfaktorkan adalah sebagai berikut g() f ( ) 2 2 h() ( a ) H () 2 ( a ) S() H () 2 S() Contoh. ) Tentukan it fungsi berikut. 3 a) 3 2 6 2 2 8 b) 2 2 + 2 3 c) 3 3 d) 2 4 +4 Penyelesaian: 3 a) 3 2 6 memfaktorkan diperoleh mempunyai bentuk, sehingga dengan
3 b) 2 2 3 2 6 2 2 8 2 + 2 ( 3) 3 2( 3) 2 mempunyai bentuk memfaktorkan diperoleh 2 2 8 (+2)( 4) 2 + 2 2 (+2)( ) 4 2 c) 3 3 3 3 memfaktorkan diperoleh 3 3 3 d) 4 2 +4 2 4 2 mempunyai bentuk + 3 3 3+ 3 2 3 memfaktorkan diperoleh 2 4 +4 4 ( 3) ( + 3) 3 mempunyai bentuk 4 2 ( 2)( + 2) +2 4+2 2+2 Latihan soal: Hitunglah it berikut ) 2 2 2 2 3 2) 3 3 3) 2 4 +4 4, sehingga dengan 6 3 2, sehingga dengan, sehingga dengan c. Metode Mengalikan dengan Akar Sekawan Beberapa fungsi yang akan ditentukan itnya merupakan sebuah fungsi irasional sehingga sulit untuk difaktorkan. Untuk bentuk seperti ini, kita harus menghilangkan tanda akar dengan cara mengalikannya dengan akar sekawan. Setelah itu baru difaktorkan. Cara merasionalkan penyebut suatu pecahan telah kita pelajari di kelas, antara lain:
) Pecahan berbentuk a b a b b b a b b 2) Pecahan berbentuk diperoleh b a c c a+ b c a+ b. a b a b a b a b b dikalikan dengan c a+ b b b dikalikan dengan sehingga diperoleh a b a b sehingga Contoh : Tentukan it fungsi berikut: + a) +2 b) + 2 Jawab: + a) +2 + +2 +2 + ( +2) (+ ) +2 + ( + ) +2 + ( + ) + +2. + +2 + +2
b) + 2 +2 + (+ +2 ) 2 mempunyai bentuk mengalikan akar sekawan diperoleh + 2 + + + 2 + + + + ( ) ( +) + + ( ) + + ( ) + + ( ) ( )(2) 2, sehingga dengan Latihan soal : Hitunglah it berikut
) 2) 3 3) 2 +4 2 2 9 2 +7 4 2 4 3 2 +5 C. TEOREMA LIMIT Misal k konstanta, fungsi f dan fungsi g mempunyai it untuk a,a R, maka berlaku :. kk a 2. a a 3. a 4. 5. 6. a 7. a 8. a k. f ( )k. f () a [f ( )+g ( ) ] a a [f ( ) g ( ) ] a a f () f () g() a g() a [f ( )] n [ a n f ( ) n f ( )+ f ( ) g ( ) a g ( ) a, untuk g( ) a f ( )] n,untuk nbilanganbulat dan [ f ()] n R a f ( ),untuk nbilangan asli, n 2dan n a Contoh : Tentukan nilai it fungsi berikut dengan menggunakan teorema it a. 7 2 b. 2 3 5 2 Penyelesaian: f ( ) R a a. 7 2 7 2 (menggunakan teorema it ke-3) 3 3
a 2 7(3) 2 63 2 7 3 7 b. 2 2 5 2 5 2, (menggunakan teorema it ke-6) 2 5, (menggunakan teorema it ke-8) 5 5 2 5 2 5 Bentuk it fungsi trigonometri (2 ) 5 5 2.5 5 2 9 25 3 25, (menggunakan teorema it ke-5). Bentuk f ()f (a) a Bentuk ini dapat dianalogikan dengan bentuk penyelesaian it fungsi aljabar, yaitu dengan mensubstitusikan langsung nilai a pada fungsi f (). Contoh: Tentukan nilai sin2 π 4 Penyelesaian: sin2 π 4 2. Bentuk a sin 2 ( f () g() π 4 ) sin π 2, dengan f (a) dan g(a)
Contoh : Tentukan nilai dari: a. π 2 sin 2 cos cos 2 b. π sin Sebelumnya ingat: sin 2 2sin cos cos Penyelesaian: a. π 2 b. π 2 sin 2 sin 2 cos π 2 cos 2 ( 2sin 2 ) sin π sin 2sin cos 2 sin 2 sin π 2.2 cos π 2 2 π 2sin 2 sin 2 sin π 2sin π -2 sin 3. Bentuk atau tan Pada bentuk yang dapat diubah kebentuk sin, rumusrumus it fungsi trigonometri yang digunakan adalah: a. sin sin b. tan tan atau tan Bukti: y P - o B A (,) Gambar. 2 Lingkaran satuan yang berpusat di O (,)
a. Perhatikan gambar 7.4. Gambar tersebut adalah lingkaran dengan pusat O dan jarijari, sudut AOP radian. Jika maka titik P mendekati A (,). Segitiga OBP siku-siku di B, PB menyinggung juring lingkaran BOC. Luas juring BOC Luas OBP Luas juring AOP 2 π π. (OB )2 2.OB.PB 2 π π. ()2 cos 2 cos cos sin cos sin cos cos sin atau sin Jadi, sin dan sin b. Untuk membuktikan tan dan kembali rumus sebelumnya, yaitu tan sin. cos. cos. sin cos sin. cos Dengan cara yang sama, maka diperoleh: tan. cos. sin cos.cos sin tan, perlu mengingat sin. sin, dan sin. cos
Jadi, terbukti tan dan tan Contoh : Tentukan nilai it fungsi trigonometri tersebut sin 8 a. 2 Penyelesaian: a. b... 3 4 3 4 c. tan3 b. sin 4 sin 8 2 sin 8. 8 8 2.44 tan3 sin 4 tan 3 3 ( tan 3 3 4. sin 4. 3 4 )( cos 2 ( 2sin 2 ) 2 2 sin sin 22. 2 2 2 2sin 2 2 cos 2 c. 2 4 sin 4 ). 3 4